Chuyên đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRÒN XOAY
Sưu tầm và biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên
Quang.
1. Một số kiến thức bổ trợ :
a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết:
a.1.Một số công thức tính thể tích:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V a.b.c Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V a 3
Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .
V B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
1
- Thể tích của khối chóp: V .B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
3
- Thể tích khối lăng trụ:
- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt
lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
.
.
VS . ABC
SA SB SC
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài
đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V = .R 2 .h ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R.l
- Thể tích khối nón: V =
- Diện tích mặt cầu: S =
- Thể tích khối cầu: V =
1
. .R 2 .h
3
4. .R 2
4
.R 3
3
a.2.Một số kiến thức bổ trợ:
3
3
Diện tích : S a2 .
2
4
+ Hình vuông ABCD có cạnh a: Đường chéo AC= a. 2 Diện tích S a2 .
1
1
+ Công thức tính diện tích tam giác: S .a.ha .a.b.sin C .
2
2
+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P).
Nếu d (P ) thì (�
d ,(P )) 900
Nếu không vuông góc với ( P ) thì
+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: h a.
- Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P) .
�
�
Khi đó : (d ,(P )) (d , d ') .
+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
( P ) �(Q) d �
a �(P ), a d �
� �
�
�� (( P ),(Q)) (a, b)
b �(Q ), b d �
a �b I �d �
�
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
* Nếu a b thì
- Dựng mp(P) �b và mp(P) a tại A
- Dựng AB vuông góc với b tại B
Khi đó: d (a, b) AB
* Nếu a và b không vuông góc thì
Cách 1:
- Dựng mp(P) a tại O và ( P ) �b I
- Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b
trên (P)
-Trong (P) dựng OH vuông góc với b’tại
H.
-Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b tại B
-Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a tại
A.
Khi đó: d (a, b) AB
Cách 2:
- Dựng (P) �b và mp(P)//a .
- Dựng (Q) thỏa mãn A �(Q), A �a,
(Q) (P),(Q) �(P)= c
- Trong (Q) kẻ AB vuông góc với c tại B
Khi đó: d (a, b) AB
Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.
3 3a 3
3 9a 2 3
2
Giải: Ta có : Chiều cao: h 3a.
Diện
tích
:
S 3a .
2
2
4
4
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 5a 6 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích
hình vuông ABCD.
Giải: Ta có : AC 5a 6. 2 10a 3 và SABCD 5a 6
2
150a2
Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 7,
BC 5a .
Giải: Ta có: AB BC 2 AC 2 (5a)2 (a 7)2 18a 2 3a 2 Khi đó:
2
Diện tích tam giác ABC là
1
1
a2 14
(đvdt)
SABCD .AC .AB .a 7.a 2
2
2
2
Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a 3 , �
ABC 600 .
Giải: Diện tích tam giác ABC là
1
1
3 15a2
�
(đvdt)
SABCD .AB.BC.sin ABC .5a.2a 3.
2
2
2
2
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .
b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC).
Giải
Giải:
a. Gọi M là trung điểm của BC và O là
tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là
hình chóp tam giác đều nên ta có:
O �AM , SO ( ABC )
Khi đó OA là hình chiếu vuông góc của
SA trên (ABC).Do đó
�
�, AO ) SAO
�
(SA
,( ABC )) (SA
b.Vì SO ( ABC ) nên
OM là hình chiếu vuông góc của SM
trên (ABC) mà BC OM
nên
SM BC .Do đó
�,OM ) SMO
�
((�
SBC ),( ABC )) (SM
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA ( ABCD)
a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) .
b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD).
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì
ABCD là hình vuông nên ta có:
AC BD
Vì SA ( ABCD) Khi đó AC là hình
chiếu vuông góc của SC trên
(ABCD).Do đó
�
�, AC ) SCA
�
(SC
,( ABCD)) (SC
b.Vì SA ( ABCD) nên AO là hình
chiếu vuông góc của SO trên (ABCD)
mà BD AO nên SO BD
.Do đó
�,OA ) SOA
�
((�
SBD),( ABCD )) (SO
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA ( ABCD)
3
Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC .
Giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta
AC BD và
SA BD
thấy
nên
BD (SAC ) Do đó SC BD
(SAC ) �SC ,(SAC ) BD tại O
Trong (SAC ) kẻ OH vuông góc với SC
tại H.
Khi đó :
d (BD, SC ) OH
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng ( ABC ) .Gọi M là trung điểm của AB,mp
qua SM và // BC cắt AC tại N.Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau AB và SN .
Giải: (ĐH khối A-2011)
Kẻ đt d đi qua N và //AB,Qua A kẻ đt đi //MN
cắt d tại E.
EN AE �
�� EN (SAE ) � (SEN ) (SAE ) .
EN SA �
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SE.
Khi đó AK (SEN ) .
Vì MN//EN mà EN �(SEN ) � AM //(SEN )
Do đó
d AB, SN d ( AB,(SEN ) d ( A,(SEN )) AK
b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm
Bài tập 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 2a.
Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 4a 3 . Tính độ dài đoạn AC và diện
tích hình vuông ABCD.
Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 5 ,
BC 4a .
Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a 6 , �
ABC 300 .
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) .
b.Xác định góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD).
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
SA=SB=SC.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .
b.Xác định góc giữa mặt (SAB) và (ABC).
4
Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều.Hình chiếu
của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Xác định góc giữa cạnh bên AA’
và mặt đáy (A’B’C’).
Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại
A. Xác định góc giữa đường chéo BC’ của mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’).
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề :
a) Ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác.
B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B 3: Áp dụng công thức V =
1
B.h
3
Ví dụ 1.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Giải:
a) Gọi E là trung điểm của BC và O là
tâm của ABC .Vì ABCD là tứ diện đều
DO ( ABC )
AE BC và
nên
và
2
2a 3
AE
3
3
Trong vuông DAO : DO AD 2 AO 2
O �AE , AO
(2a ) 2 (
2a 3 2 2a 6
)
3
3
Mặt khác: S ABC
2a
2
4
3
a2 3 ,
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
1
1 2
2a 6 2 a 3 2
V S ABC .DO .a 3.
3
3
3
3
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
mp(ABC) là MH
MH
1
a 6
DO
2
3
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích
khối chóp
a. Biết cạnh bên bằng a 3 .Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứ
diện K.ABC theo a.
5
b.
c.
d.
Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 600 .
Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 300 .
Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 450 .
Giải
Giải:
a. Gọi M là trung điểm của BC và O là
tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là hình
chóp tam giác đều nên ta có:
O �AM , SO ( ABC )
2
2 a 3 a 3
AM .
3
3 2
3
2
Trong vuông SAO : SO SA AO 2
O �AM , AO
(a 3) 2 (
a 3 2 2a 6
)
3
3
Mặtkhác:
2
1
1 a 3 a 3
S ABC .BC. AM .a.
2
2
2
4
Vậy thể tích chóp S.ABC là
2
3
1
VS . ABC S ABC .SO 1 . a 3 . a 6 a 2
3
3 4
3
12
Gọi
H
là
hình chiếu vuông góc của K trên (ABC).Khi
1
a 6
Vậy Tính thể tích khối tứ diện K.ABC là
H �AM , KH // SO
2
3
VK . ABC
đó
1
1 a 2 3 a 6 a3 2
(đvtt)
S ABC .KH .
.
3
3 4
3
12
b.Vì SO ( ABC ) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).Do đó
�
�, AO) SAO
� = 600 .Trong tam giác vuông SAO ta có:
(SA
,( ABC )) (SA
a 3
a2 3
�
;
S
(đvdt)
SO=AO.tanSAO
. 3 a ABC
4
3
1
1 a2 3
a3 3
Vậy VS . ABC S ABC .SO .
(đvtt)
.a
3
3 4
12
c.Vì SO ( ABC ) nên OM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) mà BC OM
�,OM ) SMO
� = 300
nên SM BC .Do đó ((�
SBC ),( ABC )) (SM
2
� a 3 . 1 a ; S a 3 (đvdt)
Trong tam giác vuông SMO ta có: SO=OM.tanSMO
ABC
4
6
3 6
1
1 a 2 3 a a3 3
Vậy VS . ABC S ABC .SO .
(đvtt)
.
3
3 4 6
72
d. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên VSAB là tam giác cân đỉnh S mà
6
� 450 ,AB=a Do đó VSAB vuông cân đỉnh S Ta có: SA AB.sin 450 a 2
SAB
2
Trong SAO vuông có : SO SA2 AO 2 (
Vậy VS . ABC
a 2
a
a 6
) ( )2
6
2
3
2
3
1
S ABC .SO 1 . a 3 . a 6 a 2 (đvtt)
3
3 4
6
24
Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
AB=a,BC=3a, SA ( ABCD) .Góc giữa SD và ABCD bằng 450 .
Giải:
a) Vì SA ( ABCD) nên AD là hình chiếu
vuông góc của SD trên (ABCD).Do đó
�
�, AD) SDA
� 450
(SD
,( ABCD)) (SD
� 450 và
Xét tam giác SAD có SDA
� 900 nên SA=AD=3a
SAD
2
Ta có S ABCD AB.BC a.3a 3a ,
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
1
1
VS . ABCD S ABCD .SA .3a 2 .a 3a 3
3
3
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ.
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B3: Áp dụng công thức V B.h
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và
chiều cao bằng 2a 15
Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có
cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a 15
là ABCA’B’C’.
Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là
VABCA ' B'C' AA '.SABC 2a 15.
a2 3 3a3 5
4
2
a3 6
(đvtt)
12
7
Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều
cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một
góc 600. Tính thể tích của lăng trụ
Giải:
a. Gọi H là hình chiếu của
A’trên (ABC). Do
A’A=A’B=A’C nên H là tâm của
tam giác đều ABC.
a 3
0
�
Ta có AH=
và A'AH=60
3
Trong vuông AA’H ta có
a 3
A’H = AH. tan600 =
. 3a
3
2
SABC = a 3
4
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCA ' B 'C ' S ABC . A ' H
a2 3
a3 3
.a
4
4
Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo
bằng AC'=2a 6
Giải:
Gọi b là độ dài cạnh của khối lập
phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có
A'C'=a 2; AA ' b; AC ' b 3
Mặt khác Theo giả thiết ta có
AC'=2a 6 nên b 3
=2a 6 � b 2a 2
Khi đó SABCD 2a 2
2
8a2
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCD. A ' B 'C ' D ' S ABCD . AA '
2a 2.8a 2 16a 2 . 2
Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay
B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối tròn xoay
B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay
B 3: Áp dụng công thức :
8
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài
đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V = .R 2 .h ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R.l
- Thể tích khối nón: V =
- Diện tích mặt cầu: S =
- Thể tích khối cầu: V =
1
. .R 2 .h
3
4. .R 2
4
.R 3
3
Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối trụ
ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b.
Giải:
Khối trụ có bán kính
Mặt khác Theo giả thiết ta có bán kính
2
2 3a 3
R=AO= AH=
a 3
3
3 2
- Diện tích xung quanh của hình trụ là
Sxq = 2. .a 3.4b 8ab 3. (đvdt)
- Diện tích toàn phần của hình trụ là
Stp = Sxq +2.Sđ =
2. .a 3.4b 2 .(a 3)2
8ab 3. 6a2 . 2a (4b 3 3a)
Thể tích khối trụ có bán kính R và chiều
cao h=4b là
2
V = .R 2 .h a 3 .4b 12a 2b
Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối nón có
chiều cao bằng a và góc ở đỉnh bằng 1200 .
Giải:
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có
tâm O.Thiết diện qua trục là SAB
0 nên �
�
cân có ASB=120
ASO=600
Trong vuông ASO Ta có:
R AO SO.tan 600 a 3;
AO
a 3
2a
sin 600
3
2
- Diện tích xung quanh của hình nón là
Sxq = Rl .a 3.2a 2a2 3. (đvdt)
- Diện tích toàn phần của hình nón là
Stp = Sxq +Sđ = Rl R 2
9
l SA
.a 3.2a a 3
2
2a 2 3. 3 a 2
a2 (2 3 3) (đvdt)
Thể tích khối nón có bán kính R và
chiều cao h=a là
2
1
1
2
3
V = . .R .h . a 3 .a a
3
3
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc
với đáy ABC và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a
Giải: Do SA ( ABC ) nên SA là đường
cao của khối chóp S.ABC.
Trong tam giác vuông ABC.
Ta có:
BC AC 2 AB 2
(5a)2 (4a)2 3a
1
1
SABC AB.BC .3a.4a 6a2
2
2
1
Vậy V = 3 SABC. SA = 6a3 (đvtt)
Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a và đường cao SA vuông góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy
một góc 300
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì ABC là tam giác đều nên AM BC
mà SA ( ABC )
Nên AM là hình chiếu vuông góc của
SM trên (ABC) Do đó SM BC hơn
nữa BC ( SBC ) �( ABC ) nên
�, AM )
((�
SBC ),( ABC )) (SM
� 300
SMA
Trong V SAM ta có
a 3 3 a
SA = AM. tan300 =
.
2 3 2
1
Vậy V = 3 SABC. SA =
1 a 2 3 a a3 3
= .
(đvtt)
.
3 4 2
24
10
Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác
a 3
vuông tại A,BC=a, SA=SB=SC=
và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một
2
góc 600
Giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên (ABC).Do tam giác
ABC vuông tại A và SA=SB=SC
nên H là trung điểm của BC.
Gọi M là trung điểm của AB.
AM BC Khi đó
�, HM )
((�
SAB ),( ABC )) (SM
� 600
SMH
Trong V SHC ta có
SH SC 2 CH 2
a 3 2 a 2 a 2
) ( )
2
2
2
Trong V SHM ta có
(
a 2
a 6
a 6
Do đó AC=2HM=
Khi đó
: 3
2
6
3
2
1
1
SABC = AB.AC= .a 3 . a 6 a 2
2
2 3 3
6
2
1
1 a 2 a 2 a3
Vậy V = 3 SABC. SA = .
(đvtt)
.
3 6
2
18
HM = SH: tan600 =
Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích
khối chóp
a.Biết cạnh bên bằng a 2 .Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA
Tính tỷ số thể tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD.
b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 600 .
c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 300 .
� 600 .
d. Biết SAB
11
Giải:
a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Vì S.ABCD là hình chóp tam giác đều
nên ta có: SO ( ABCD)
O �AC , AO
1
1
a 2
AC .a 2
2
2
2
Trong SAO vuông có : SO SA2 AO 2
(a 2) 2 (
a 2 2 a 6
)
2
2
2
Mặtkhác: S ABCD a
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
1
VS . ABCD S ABCD .SO 1 .a 2 . a 6 a 6
3
3
2
6
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (ABCD).
1
a2
1
1 a 6 a 6
Khi đó H �AO, MH // SO .
, S ABC .S ABCD
2
2
5
5 2
10
Ta có thể tích khối tứ diện M.ABC là VM . ABC
1
1 a2 a 6 a3 6
S ABC .KH . .
3
3 2 10
60
a3 6
VM . ABC
1
360
Khi đó :
VS . ABCD a 6 10
6
1
1
�1
�
Cách 2: VS . ABCD .S ABCD .SO .2 S ABC .5MH 10 � S ABC .MH � 10VM . ABC
3
3
�3
�
V
1
� M . ABC
VS . ABCD 10
b.Vì SO ( ABCD) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD).Do đó
�
�, AO) SAO
� = 600 .Trong tam giác vuông SAO ta có:
(SA
,( ABCD)) (SA
a 2
a 6
a2 3
�
; S ABC
(đvdt)
SO=AO.tanSAO
. 3
4
2
2
3
1
VS . ABC S ABC .SO 1 .a 2 . a 6 a 6 (đvtt)
Vậy
3
3
2
6
c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì SO ( ABCD) nên OE là hình chiếu vuông góc của
SE trên (ABCD) mà CD OE nên SE CD .
�,OE ) SEO
� = 300
Do đó ((�
SCD),( ABCD)) (SE
Trong tam giác vuông SMO ta có:
2
� a . 1 a 3 ; S a 3 (đvdt)
SO=OE.tanSEO
ABC
4
2 3
6
12
Vậy VS . ABCD
3
1
S ABCD .SO 1 .a 2 . a 3 a 3 (đvtt)
3
3
6
18
d. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên VSAB là tam giác cân đỉnh S mà
� 600 ,AB=a Do đó VSAB đều cạnh a Ta có: SA AB a
SAB
Trong SAO vuông có : SO SA2 AO 2 (a)2 (
Vậy VS . ABC
a 2 a 2
)
2
2
3
1
S ABC .SO 1 .a 2 . a 2 a 2 (đvtt)
3
3
2
6
Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông.
a. Biết AB=,2a SA ( ABCD) và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 600
b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 300
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD
là hình vuông cạnh 2a nên ta có: AC BD và
1
AO = AC a 2
2
SA
( ABCD) Khi đó AO là hình chiếu
Vì
vuông góc của SO trên (ABCD). mà BD AO
nên SO BD
Do đó
�, AO ) SOA
� = 600
((�
SBD),( ABCD )) (SO
Trong tam giác vuông SAO ta có:
� a 2. 1 a 6 ;
SA=AO.tanSOA
6
3
S ABCD 2a 4a 2 (đvdt)
2
Vậy VS . ABCD
1
1 2 a 6 2a 3 6
S ABCD .SO .4a .
3
3
6
9
b. Vì SA ( ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó
�
�, AC ) SCA
� = 300 .Trong tam giác vuông SAC ta có:
(SC
,( ABCD)) (SC
� 2a. 1 2a 3 ; Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông ABCD Ta
SA=AC.tanSCA
3
3
có b. 2 2a � b a 2
Vậy
Khi đó S ABCD a 2 2a 2 (đvdt)
2
3
1
VS . ABCD S ABCD .SO 1 .2a 2 . 2a 3 4a 3 (đvtt)
3
3
3
9
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng 3a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là
trung điểm của AB
13
a. CMR SH ( ABCD)
b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
1
4
c. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho AM AD .Tính VS . ABM theo a.
Giải:
a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là
trung điểm của AB nên SH AB
3 3a 3
và SH 3a.
2
2
Khi đó Ta có :
(SAB) ( ABCD )�
�
SH AB
�� SH ( ABCD)
�
SH �(SAB)
�
b. Mặtkhác: S ABCD 3a 9a 2
2
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
1
VS . ABCD S ABCD .SH 1 .9a 2 . 3a 3 9a 3
3
3
2
2
1
4
c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn AM AD nên.Tính
SVABM
1
1 1
1
9a 2
.SVABD . S ABCD S ABCD
4
4 2
8
8
Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là
VS . ABM
1
1 9a 2 3a 3 9a 3 3
S ABM .SH .
.
3
3 8
2
16
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a.
� 600 , SA SC a 5 , SB SD .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
BAD
2
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có
SA=SC và OA=OC nên SO AC (1)
SB=SD và OB=OD nên SO BD (2)
Từ (1) và (2) Ta có SO ( ABCD )
Xét VABD ta có AB = AD = a và
� 600 nên VABD là tam giác đều
BAD
cạnh a. Khi đó Ta có :
a 3
a2 3
AO
; S VABD
2
4
a2 3
� S ABCD 2. S VABD
2
14
Trong vuông SAO Ta có:
SO SA2 AO 2 (
a 5 2 a 3 2 a 2
) (
)
2
2
2
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
2
1
VS . ABCD S ABCD .SO 1 . a 3 . a 2
3
3 2
2
a3 6
(đvtt)
12
Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và
đường chéo hợp với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
a. Vì ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác đều nên
AA ' ( ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a.Khi
2
đó ta có SABCD 5a 25a2 và
AC là hình chiếu vuông góc của A’C trên ( ABCD)
0
�
nên AC'A'=60
Trong V ABC ta có
AA’ = AC. tan600 = 5a 2 . 3 =5 a 6
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCD. A ' B 'C ' D ' S ABCD . AA ' 25a 2 .5a 6 125a 3 6
Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
� 600 .Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên
BC = a, ACB
(ABC) một góc 300.Tính thể tích lăng trụ đó.
Giải:
a. Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên
AA ' ( ABC ) Do đó AB là hình chiếu vuông
0
�
góc của A’B trên (ABC)Ta có: BC'A=30
Trong V ABC ta có: AB = BC. tan600 = a 3
AA'
Trong V AA’B Ta có: tan300 =
AB
1
� AA’=AB.tan300 = a 3 .
=a
3
2
1
1
SABC = AB.AC = .a 3 .a = a 3
2
2
2
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
VABCA ' B 'C '
a2 3
a3 3
S ABC . AA '
.a
2
2
15
Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại
� 600 .Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên
A, AC = a, BCA
(ACC’A’) một góc 300.
a. Tính độ dài cạnh AC’
b. Tính thể tích lăng trụ
Giải:
a. Vì ABC vuông tại A nên BA AC
Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA AA’ Do đó BA ( ACC ' A ')
Ta có BA ( ACC ' A ') nên AC’ là hình chiếu vuông góc của BC’ trên ( ACC ' A ')
0
�
Theo giả thiết Ta có: BC'A=30
AB
� AB = AC. tan600 = a 3
Trong V ABC ta có: tan600 =
AC
Trong V BAC’ Ta có:
AB
AB
� AC’ =
tan300 =
=AB 3 =3a
AC�
tan 300
Trong V AA’C’:
AA'
AC '2 A ' C '2 (3a ) 2 a 2 2a 2
1
1
a2 3
AB.AC = .a 3 .a =
2
2
2
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
SABC =
VABCA ' B 'C '
a2 3
S ABC . AA '
.2a 2 a 3 6
2
Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều
a 6
cạnh a , AA'=
và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’.
2
Tính thể tích của lăng trụ trên.
Giải:
a. Gọi H là trung điểm của
B’C’.Theo giả thiết ta có
AH ( A ' B 'C ')
Trong vuông AA ' H Ta có:
AH
(
AA '2 A ' H 2
a 6 2 a 3 2 a 3
) (
)
2
2
2
SA 'B'C'
=
a2 3
4
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
16
VABCA ' B 'C ' S ABC . A ' H
a 2 3 a 3 3a 3
.
4
2
8
Bài tập 12: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung
quanh bằng bằng 2 a 2 .
Giải:
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có
tâm O.Thiết diện qua trục là SAB
- Diện tích xung quanh của hình nón là
Sxq = Rl � Rl 2 a2 �
(đvdt)
2 a2 2 a2
�R
a
l
2 a
Trong vuông SAO Ta có:
SO SA2 AO 2
2a
2
a2 a 3
Vậy Thể tích khối nón có bán kính
R và chiều cao h=a là
1
1
a3 3
V = . .R 2 .h . a2 .a 3
3
3
3
c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a 2 ,
SA vuông góc với đáy, SA a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với
BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Lời giải:
S
a)Ta có: VS . ABC
1
S ABC .SA
3
+ SA a
+ ABC cân có : AC a 2 � AB a
N
G
1 2
a
2
1 1 2
a3
. a .a
3 2
6
� S ABC
Vậy: VSABC
A
I
Yêu cầu:
B
+Học sinh ghi được thể tích khối
SABC và tính.
b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có :
C
M
SG 2
SI 3
17
// BC � MN// BC �
�
SM SN SG 2
SB SC SI 3
VSAMN SM SN 4
.
VSABC
SB SC 9
4
9
Vậy: VSAMN VSABC
2a 3
27
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các
đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai
khối.
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số
thể tích đối với khối chóp
Bài 2.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo
với đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song
với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Lời giải:
HD
I
SO
�
AM
S
a) Gọi
.
Ta có (AEMF) //BD � EF // BD
b) VS . ABCD
1
S ABCD .SO
3
M
E
2
+ S ABCD a
B
a 6
+ SOC có : SO AO.tan 60
2
I
C
F
Vậy : VS . ABCD
a
3
6
SM 1
SC 2
SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
SI SF 2
�
SO SD 3
V
SM SF 1
� SAMF
.
VSACD SC SD 3
� VSAMF
D
6
c) VS . AEMF :
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có : �
O
A
Yêu cầu:
+Học sinh dựng được E, F dưới sự
pháp vấn của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD
sau khi đã làm qua nhiều bài tập.
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối
S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính
thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ
số ( tương tự như bài 5)
1
1
a3 6
VSACD VSACD
3
6
36
� VS . AEMF
a3 6 a3 6
2
36
18
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a . Trên đường thẳng qua C và
vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a . Mặt phẳng qua
C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
18
b) Chứng minh CE ( ABD )
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
a)Tính VABCD
Ta có: VABCD
D
1
1
S ABC . AD a 3
3
3
F
b) Ta có: AB AC , AB CD
� AB EC
Ta có: DB EC � EC ( ABD)
E
C
B
c) Tính VDCEF :
VDCEF
DE DF
A
.
(*)
Ta có: V
DA
DB
DABC
Mà DE.DA DC 2 , chia cho DA2
�
Yêu cầu:
+Học sinh chứng minh được đường thẳng
vuông góc mặt phẳng.
DE DC 2
a2
1
2
2
DA DA
2a
2
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số
Tương tự:
DF
.
DB
DF DC 2
a2
1
2
2
2
DB DB
DC CB
3
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông
để suy ra
VDCEF 1
.
Từ (*) � V
6
DABC
Vậy
DE
,
DA
DE
DA
1
a3
VDCEF VABCD
6
36
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc đáy, SA a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
d)
Lời giải:
a) Ta có:
S
3
1
a 2
VS . ABCD S ABCD .SA
3
3
b) Ta có BC ( SAB) � BC AB '
SB AB '
Ta có
AB ' ( SBC )
Suy ra:
c) Tính VS . A B 'C ' D '
B'
C'
D'
I
B
A
+Tính VS . AB ' C ' :
O
VSA ' B ' C ' SB ' SC '
.
(*)
Ta có: V
SB
SC
SABC
D
19
C
SAC vuông cân nên
Yêu cầu:
+Học sinh biết chứng minh AB ' ( SBC )
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng
nhau: S . AB ' C ', S . AC ' D '
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
SC ' 1
SC 2
Ta có:
SB ' SA2
2a 2
2a 2 2
2 2
SB SB
SA AB 2 3a 2 3
VSA ' B 'C ' 1
Từ (*) � V
3
SABC
� VSA ' B 'C '
1 a3 2 a 3 2
.
3 3
9
+ VS . A B 'C ' D ' 2VS . A B 'C '
2a 3 2
9
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a 3 , AD = a, AA’=a,
O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
B
A
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
O
Ta có : V AB. AD.AA '
M
D
2
3
c
a 3.a a 3
.
ABD có : DB AB 2 AD 2 2a
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và
A'
B'
đường cao giống khối hộp nên:
1
a3 3
� VOA ' B ' C ' D ' V
D'
C'
3
3
�
OM
(
BB
'
C
')
b) M là trung điểm BC
Yêu cầu:
1
1 a 2 a 3 a3 3
� VO BB 'C ' S BB 'C ' .OM . .
+Học sinh xác định công thức thể tích
3
3 2 2
12
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ của khối hộp và khối chóp.
+Biết khai thác tính chất của hình hộp
3VOBB 'C '
C
'
H
diện OBB’C’. Ta có :
đứng để làm bài: Chọn đáy của khối
SOBB '
OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hình
ABD có : DB AB 2 AD 2 2a
hộp)
1 2
+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
� SOBB ' a � C ' H 2a 3
2
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích
khối tứ diện ACB’D’.
20
- Xem thêm -