Tài liệu Chuyên đề hình không gian thầy hà bắc

Thầy: Nguyễn Hà Bắc GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. Định nghĩa: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Δ. Từ điểm I nằm trên giao tuyến, trong mặt phẳng (P) dựng đường thẳng a vuông góc với Δ, trong mặt phẳng (Q) dựng b vuông góc với Δ. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng P và Q chính là góc giữa hai đường thẳng a và b. Chú ý: Góc giữa hai mặt phẳng cũng phải nhỏ hơn 90o. 2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng. Cách làm: Tìm hai đường thẳng trong hai mặt phẳng, hai đường thẳng này phải cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó tại một điểm. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai đường thẳng vừa tìm được. 3. Bài tập minh họa. Bài 1: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶). b. Giả sử tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶). Bài 2: Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’ cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (𝐵𝐴’𝐶) và (𝐷𝐴’𝐶). Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh a. 𝑆𝐴 = 𝑎. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐴𝐷). GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG | 1 Thầy: Nguyễn Hà Bắc GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau. o Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O, khi đó chúng ta sẽ được 4 góc. Góc có số đo bé nhất trong 4 góc được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b. ̂ o Khí hiệu: (𝑎; 𝑏) ̂  Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 ⟹ (𝑎; 𝑏) = 0𝑜 ̂  Nếu 𝑎 ⊥ 𝑏 ⟹ (𝑎; 𝑏) = 90𝑜 ̂ o Chú ý: 0𝑜 ≤ (𝑎; 𝑏) ≤ 90𝑜 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. o Định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau khi nó không có điểm chung và không song song. o Quy tắc xác định hai đường thẳng chéo nhau a và b QUY TẮC 1:  Chọn một điểm O tùy ý không nằm trên hai đường thẳng a và b.  Qua O kẻ đường thẳng a’ song song với a và b’ song song b.  Khi đó góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b chính là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’. QUY TẮC 2:  Từ một điểm O nào đó nằm trên một trong hai đường thẳng a và b.  Qua O kẻ đường thẳng a’ song song với a (nếu O nằm trên b) hoặc kẻ đường thẳng b’ song song với b (nếu O nằm trên a).  Khi đó, góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, chính là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b’ hoặc a’ và b. Một số công cụ dùng để tính góc cần lưu ý: Ngoài việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác, định lý Pytago chúng ta còn có định lý hàm số cosin như sau: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU | 1 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Bài tập mẫu (Xem video bài giải) Ví dụ 1: Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 2𝑎. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD và 𝑀𝑁 = 𝑎√3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. A. 120𝑜 B. 60𝑜 C. 30𝑜 D. 150𝑜 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, 𝐴𝐴′ = 2𝑎, đáy là tam giác vuông tại A. 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎√3. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. A. 1/4 B. 2/4 C. 3/4 D. 3/8 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. 𝑆𝐴 = 𝑎, 𝑆𝐵 = 𝑎√3, Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy. M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN. A. √14/3 C. √3/4 B. √5/5 D. √2/2 Bài tập tự luyện. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho 𝐴𝐶 = 2, 𝐵𝐶 = 4. Cạnh bên SA vuông góc vói mặt phẳng đáy. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD. A. 0,33 B. 0,182 C. 0,25 D. 0,74 Hướng dẫn nhanh (Học sinh tự vẽ hình) Ta có: 𝐴𝐵 = 2√5 Gọi M là trung điểm của BC, ta có: 𝐷𝑀 = 1. Tính lần lượt các cạnh: 𝑆𝐷 = √30, 𝑆𝐶 = √29, 𝑆𝑀 = √33. ⟹ 𝑐𝑜𝑠∠𝑆𝐷𝑀 = 𝑆𝐷2 + 𝑀𝐷2 − 𝑆𝑀2 30 + 1 − 33 1 = =− 2. 𝑆𝐷. 𝑀𝐷 2√30 √30 Ghi nhớ: Cos góc giữa hai đường thẳng luôn lớn hơn 0 và bé hơn 1 nên ta lấy góc bù với góc vừa tính được. Bằng cách ấn máy tính như sau: (Xem hình dưới) Và chọn ngay được đáp án: B GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU | 2 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 2𝑎, 𝑀𝑁 = 𝑎√3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. A. 120𝑜 B. 30𝑜 C. 150𝑜 D. 60𝑜 Hướng dẫn nhanh Học sinh tự vẽ hình. Gọi P là trung điểm của AC. Ta được: 𝑴𝑷//𝑨𝑩. 𝑵𝑷//𝑪𝑫 và 𝑀𝑃 = 𝑁𝑃 = 𝑎. Góc giữa AB và CD chính là góc giữa MP và NP. Xét tam giác MPN ta có: 𝑐𝑜𝑠∠𝑀𝑃𝑁 = 𝑀𝑃2 + 𝑁𝑃2 − 𝑀𝑁 2 2𝑎2 − 3𝑎2 1 = =− 2. 𝑀𝑃. 𝑁𝑃 2. 𝑎. 𝑎 2 (Lưu ý: Bước này chúng ta có thể ấn máy tính bằng cách bỏ hết a đi nhé) ̂ ̂ ∠𝑀𝑃𝑁 = 120𝑜 ⇒ (𝑴𝑵; 𝑵𝑷) = (𝑨𝑩; 𝑪𝑫) = 180𝑜 − 120𝑜 = 𝟔𝟎𝒐 . Chọn: D Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. AD=DC=a, AB=2a. Cạnh SA ̂ ̂ vuông góc với AB và AD. SA=2𝑎√3/3. Côsin góc giữa hai đường thẳng (𝐷𝐶; 𝑆𝐵 ) và (𝑆𝐷; 𝐵𝐶 ) lần lượt là? A. √3/2 và √42/14 B. √3/2 và √21/3 C. √2/2 và √42/14 D. √2/2 và √21/3 Hướng dẫn nhanh Học sinh tự vẽ hình. ̂ Tính: (𝑫𝑪; 𝑺𝑩) ̂ ̂ Nhận thấy: 𝑫𝑪//𝑨𝑩 ⟹ (𝑫𝑪; 𝑺𝑩) = (𝑨𝑩; 𝑺𝑩) ̂ ̂ Tam giác SAB vuông tại A nên góc (𝑨𝑩; 𝑺𝑩) là góc nhọn nên: 𝑡𝑎𝑛(𝑨𝑩; 𝑺𝑩) = 𝑆𝐴/𝐴𝐵 = √3/3 ̂ ̂ (𝑨𝑩; 𝑺𝑩) = 𝟑𝟎𝒐 ⇒ 𝒄𝒐𝒔(𝑨𝑩; 𝑺𝑩) = √3/2. ̂ Tính: (𝑺𝑫; 𝑩𝑪) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó 𝐴𝐼 = 𝑎. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có 𝐴𝐼 = 𝐴𝐷 = 𝑎 nên là hình thoi. Lại có thêm góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a 𝐷𝐼 = 𝑎√2. Tứ giác BIDC là hình bình hành nên 𝑩𝑪//𝑫𝑰. ̂ ̂ Khi đó góc giữa (𝑺𝑫; 𝑩𝑪) = (𝑺𝑫; 𝑫𝑰) = ∠𝑆𝐷𝐼 Xét tam giác SAI vuông tại A nên: 𝑆𝐼 2 = 7𝑎2 /3 Xét tam giác SAD vuông tại A nên: 𝑆𝐷2 = 7𝑎2 /3 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU | 3 Thầy: Nguyễn Hà Bắc 𝑐𝑜𝑠∠𝑆𝐷𝐼 = 𝑆𝐷2 + 𝐷𝐼 2 − 𝑆𝐼 2 = 2. 𝑆𝐷. 𝐷𝐼 2𝑎2 2. 𝑎√7 . 𝑎√2 √3 = √42 >0 14 (Bước này nên sử dụng máy tính, bỏ hết chữ a đi bấm bình thường). Chọn A. Bài 4: Cho hình chóp tam giác 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác vuông cân tại B, trong đó: 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 2𝑎 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và SC là? B. 3√5/2 A. √5/2 C. √5/5 D. 3√5/5 Hướng dẫn nhanh Học sinh tự vẽ hình. Từ điểm C kẻ đường thẳng 𝐶𝐷//𝐴𝐵, 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵. Khi đó góc giữa AB và SC chính là góc giữa CD và SC. 𝑆𝐵 = 2𝑎 = 4𝑎. 𝑆𝐴 = √𝑆𝐵 2 − 𝐴𝐵 2 = 2𝑎√3 𝑐𝑜𝑠60𝑜 Nhận thấy CB vuông góc với SB tại B nên: 𝑆𝐶 = √𝑆𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = 2𝑎√5 𝑆𝐷 = √𝑆𝐴2 + 𝐴𝐷2 = 4𝑎 (Do SA vuông với mặt phẳng ABC). 𝑐𝑜𝑠∠𝑆𝐶𝐷 = 𝐷𝐶 2 + 𝑆𝐶 2 − 𝑆𝐷2 4𝑎2 + 20𝑎2 − 16𝑎2 1 = = >0 2. 𝐷𝐶. 𝑆𝐶 2.2𝑎. 2𝑎√5 √5 (Bấm máy bỏ hết a đi cho nhanh nhé). Chọn C. Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD với K là trung điểm của CD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD có giá trị là? A. 30𝑜 B. 45𝑜 C. 60𝑜 D. 90𝑜 Góc giữa hai đường thẳng AK và BC có giá trị gần đúng là? A. 60𝑜 B. 53,5𝑜 C. 73𝑜 D. 30𝑜 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU | 4 Thầy: Nguyễn Hà Bắc GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM HÌNH KHÔNG GIAN PHẦN: THỂ TÍCH (Thành công là giúp người khác thành công hơn mình) Like page http://facebook.com/habacsgu để nhận thêm nhiều tài liệu hơn nữa. Video bài giảng được phát miễn phí tại http://youtube.com/habacsgu Một số lưu ý: Để tính nhanh được hình không gian phần thể tích, cũng như các phần khác, các bạn phải nắm được các khái niệm cơ bản như: mặt bên, mặt đáy, và chiều cao. Trước tiên chúng ta cần phải thống nhất với nhau một số ý như sau: + Đường cao là đường thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh của hình cần tính tới mặt phẳng đáy. + Nếu đề cho cạnh nào đó vuông góc với đáy thì dó chính là đường cao. + Nếu đề cho mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chắc chắn nằm trong mặt bên đó. + Không nên sử dụng phương pháp gắn tọa độ vì rất mất thời gian. Chúng ta chỉ sử dụng không gian thuần túy để tính toán. + Khi tính toán, đề bài cho chiều dài các cạnh có chữ “a” thì chúng ta luôn coi nó là số 1 để tiện làm việc. Trên dây là những lưu ý cần thiết để các bạn có thể giải nhanh được hình học không gian. Tuy nhiên, về mặt bản chất các bạn cần phải nắm được những kiến thức nền như quan hệ vuông góc, quan hệ song song mà chúng ta đã được học ở phần trước. Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 1 Thầy: Nguyễn Hà Bắc LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT (Phần 1: CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY) - Ở phần này chúng ta chỉ cần chú ý đền đường cao của hình, đường cao là độ dài đoạn vuông góc hạ tự đỉnh xuống mặt đáy. Chân đường cao có thể nằm trong hoặc ở ngoài đáy. - Các công thức tính nhanh trong hình học không gian: Có rất nhiều công thức tính nhanh nhưng ở đây Thầy chỉ nêu ra một số công thức thường dung để tính nhanh thôi nhé: - Đường cao tam giác đều:𝑐ạ𝑛ℎ √3 2 - Diện tích tam giác đều: (𝑐ạ𝑛ℎ)2 √3 4 - Đường chéo hình vuông:𝑐ạ𝑛ℎ. √2 - Đường trung tuyến của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền. - Trong tam giác bất kỳ, đường trung bình (đoạn thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh bên có độ dà - Các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 2 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Tính nhanh, thủ thuật, không có nghĩa là các bạn không học cũng biết làm nhanh, biết bấm máy tính, thành công thuộc về người chịu tìm hiểu, chịu mày mò, thì mới làm được. Thầy sẽ hướng dẫn các bạn các thao tác để làm sao chúng ta có thể chọn được đáp án nhanh nhất và chính xác nhất (trên nền các bạn đã nắm được những khái niệm cơ bản và những quan hệ vuông góc, quan hệ song song cơ bản mà chúng ta đã được học) giúp chúng ta hoàn thành tốt phần HÌNH HỌC KHÔNG GIAN trong năm nay. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Bài 1: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, có 𝑆𝐴 = 3𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy, 𝐴𝐵 = ̂ = 120𝑜 . Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có giá trị nào sau đây: 𝐵𝐶 = 2𝑎, góc 𝐴𝐵𝐶 A. 𝑎3 √6 C. 𝑎3 √3 B. 𝑎3 √2 D. 𝑎3 √5/2 Hướng dẫn giải Phác họa hình ảnh theo đề bài. (Học sinh tự làm). (Do SA vuông với đáy nên SA chính là đường cao và đề bài cho sẵn là 2a nên khỏi cần tìm chiều cao nữa. Chúng ta tiến hành tìm diện tích đáy là điện tích tam giác ABC. Công thức: 1 𝑆𝐴𝐵𝐶 = . đá𝑦 . 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑐𝑎𝑜 2 (Công thức trên không phải khi nào cũng xài được) 1 𝑆𝐴𝐵𝐶 = . (𝑡í𝑐ℎ ℎ𝑎𝑖 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑛à𝑜 đó). [𝑠𝑖𝑛(𝑔ó𝑐 𝑥𝑒𝑛 𝑔𝑖ữ𝑎 ℎ𝑎𝑖 𝑐ạ𝑛ℎ đó)] 2 Ở bài này chúng ta sử dụng: 1 ̂ 𝑆𝐴𝐵𝐶 = . 𝐵𝐴. 𝐵𝐶. 𝑠𝑖𝑛 𝐴𝐵𝐶 2 Thế là xong phần tư duy nhé!) Bắt đầu làm: Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 3 Thầy: Nguyễn Hà Bắc 1 1 1 1 1 √3 ̂ . 𝑆𝐴 = . . 2𝑎. 2𝑎. 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = . 𝑆𝐴𝐵𝐶 . 𝑆𝐴 = . . 𝐵𝐴. 𝐵𝐶. sin 𝐴𝐵𝐶 . 3𝑎 = 𝑎3 √3 3 3 2 3 2 2 Chọn C. Chú ý: Phần này nếu thông thạo rồi các bạn có thể bấm máy phát ra luôn không phải nghĩ bằng cách cho a bằng 1. Và ghi nhớ rằng, thể tích luôn đi kèm với a3. Bài 2: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SB và mặt phẳng SAC đáy là 30o. Thể tích khối chóp S.ABC có giá trị nào? A. 𝑎 3 √6 B. 12 𝑎 3 √6 C. 6 𝑎 3 √6 4 D. 𝑎 3 √6 5 Hướng dẫn giải Để làm nhanh được, chắc chắn các bạn cần phải nhớ kiến thức về góc giữa đường thẳng ̂ = 30𝑜 . Còn nếu không, bạn sẽ rất và mặt phẳng. Nếu nhớ bạn sẽ biết ngay đó là góc 𝐵𝑆𝐼 khó khăn, Chứng minh như sau: (Gọi I là trung điểm của AC Suy ra: 𝐵𝐼 ⊥ 𝐴𝐶 (tam giác ABC đều). Mà 𝐵𝐼 ⊥ 𝑆𝐴 (vì 𝑆𝐴 ⊥ 𝐴𝐵𝐶). Nên: 𝐵𝐼 ⊥ 𝑆𝐴 và 𝐵𝐼 ⊥ AC nên 𝐵𝐼 ⊥ 𝑆𝐴𝐶. ̂ = 30𝑜 ) Suy ra, góc giữa SB và SAC là góc 𝐵𝑆𝐼 Nếu bạn thành thạo, chỉ cần như sau: Tam giác ABC đều nên diện tích là: 𝑆𝐴𝐵𝐶 (𝑐ạ𝑛ℎ)2 √3 𝑎2 √3 = = 4 4 Tính SA: Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 4 Thầy: Nguyễn Hà Bắc BI là đường cao của tam giác đều ABC nên: 𝐵𝐼 = (𝑐ạ𝑛ℎ), √3 𝑎 √3 = = 𝑆𝐵. sin 30𝑜 ⇒ 𝑆𝐵 = 𝑎√3 2 2 Tam giác SAB vuông tại B nên: 𝑆𝐴 = √𝑆𝐵2 − 𝐵𝐴2 = 𝑎√2. Cuối cùng, thể tích bằng: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 1 1 𝑎 2 √3 𝑎 3 √ 6 = . 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = . 𝑎√2. = 3 3 4 12 Chọn A. Bài 3: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, có đáy là tam giác vuông cân tại B. 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) bằng 30o. Gọi M là trung điểm của 𝑆𝐶. Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝑀 là? A. 𝑎 3 √3 B. 18 𝑎 3 √3 C. 36 𝑎 3 √3 12 D. 𝑎 3 √3 24 Hướng dẫn giải Để làm được bài này các bạn cần phải nắm được quy tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Nếu xác định được góc giữa hai mặt phẳng thành thạo thì bài này không có gì đáng ngại. Còn nếu không biết thì bạn có thể làm như thế này: Mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) có giao tuyến BC. Trong SBC có: 𝑆𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 Trong ABC có: 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 ̂ = 30𝑜 . Nên góc giữa (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) là góc 𝑆𝐵𝐴 Rất mất thời gian, nếu rành rồi thì nhìn cái thấy luôn. Tính nhanh như sau: Chúng ta có thể tính thể tích khối chóp SABM bằng cách: Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 5 Thầy: Nguyễn Hà Bắc 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑴 = 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑪 − 𝑽𝑴𝑨𝑩𝑪 Tuy nhiên nếu xử lý theo cách này khá lôi thôi và mất thời gian với các bạn học sinh trung bình thì có thể làm theo tỷ số thể tích như sau: 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑴 𝑺𝑨 𝑺𝑩 𝑺𝑴 1 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑪 = . . = ⇒ 𝑽𝑨𝑴𝑩 = 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑪 𝑺𝑨 𝑺𝑩 𝑺𝑪 2 𝟐 Để tính thể tích của S.ABC rất đơn giản: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 ⟹ 𝑉𝐴𝑀𝐵 1 1 1 𝑎 3 √3 𝑜 = 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = (𝑎. tan 30 ). . 𝑎. 𝑎 = 3 3 2 18 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 𝒂𝟑 √𝟑 = = 2 𝟑𝟔 Bài 4: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, có đáy là tam giác vuông cân tại B. 𝐴𝐵 = 𝑎. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Thể tích khối chóp S.BCMN. A. 𝑎 3 √3 3 B. 𝑎 3 √3 C. 12 𝑎 3 √3 24 D. 𝑎 3 √3 8 Hướng dẫn giải Ở bài này, đọc đề các bạn phải chú ý đến giả thiết, (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) ta sẽ thu được kết quả là SA vuông góc với mặt phẳng đáy. (Chúng ta có thể chứng minh điều này như sau: (SAB) và (SAC) có giao tuyến là SA. (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Nên ta thu được SA vuông góc với đáy). Sau đó chúng ta mới tiến hành phác họa hình ảnh. Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 6 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Giả thiết mặt phẳng đi qua M và song song với BC cắt AC tại N chúng ta có thể hiểu là mặt phẳng (SMN) song song với BC. Do đó chúng ta có hình vẽ 𝑴𝑵//𝑩𝑪 như sau: ̂. Góc giữa (SBC) và (ABC) như bài trên chính là góc 𝑺𝑩𝑨 Như vậy để tính được khối chốp S.BCMN chúng ta có thể tính như sau: 𝑉𝑆𝐵𝐶𝑀𝑁 = 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 − 𝑉𝑆𝐴𝑀𝑁 Ngoài ra, các bạn còn có thể tính bằng công thức sau: Chiều cao là SA, đáy là BCMN nên chúng ta có: 1 𝑉𝑆𝐵𝐶𝑀𝑁 = . 𝑆𝐴. 𝑆𝐵𝐶𝑀𝑁 3 𝑎 1 𝑀𝐵 1 𝑎 𝑎 3 √3 2 𝑜 (𝐵𝐶 = (𝐴𝐵. tan 60 ) . + 𝑀𝑁). = . 𝑎. √3. (𝑎 + ) . = 3 2 3 2 2 8 Một hàng duy nhất nhé! Chọn D. Bài 5: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷, có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh a, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 45o. Thể tính khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có giá trị nào sau đây? A. 𝑎 3 √2 3 B. 𝑎 3 √3 C. 3 𝑎 3 √6 3 D. 𝑎 3 √5 3 Hướng dẫn giải Ở ví dụ này là một ví dụ rất đơn giản. Nếu bạn rành rồi thì có thể không cần vẽ hình. Chỉ cần tưởng tượng trong đầu hình ảnh là xong. Nhưng ở đây Thầy vẫn tiến hành vẽ hình cho các bạn nhé Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 7 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Như vậy, nhìn hình chúng ta biết ngay được góc giữa ̂ = 𝟒𝟓𝒐 . SC và mặt phẳng đáy là góc 𝑺𝑪𝑨 AC là đường chéo của hình vuông nên: 𝐴𝐶 = 𝑎√2. Nhận xét: Tam giác SAC vuông tại A và có góc ̂ = 𝟒𝟓𝒐 nên tam giác SAC vuông cân. Nên ta 𝑺𝑪𝑨 được 𝑺𝑨 = 𝑨𝑪 = 𝒂√𝟐 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 1 1 𝑎3 √2 2 = . 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = . (𝑎√2). 𝑎 = 3 3 3 Chọn A. Chú ý: Nếu bạn nào không phát hiện ra tính chất tam giác SAC vuông cân thì có thể tính tan45o bình thường cũng sẽ ra kết quả nhé. Bài 6: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thoi cạnh a. 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng ̂ = 120𝑜 , gọi M là trung điểm của 𝐵𝐶, góc 𝑆𝑀𝐴 ̂ = 45𝑜 . Thể tích khối đáy. Góc 𝐵𝐴𝐷 chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có giá trị nào sau đây? A. 3𝑎3 4 B. 5𝑎3 C. 6 𝑎3 3 D. 𝑎3 4 Hướng dẫn giải Sau một số ví dụ các bạn cũng đá nắm được phần nào cách giải nhanh. Bây giờ là cách mà chúng ta đi thi nhé! Ta lắp luôn công thức cho nhanh: 𝟏 . 𝑺𝑨. 𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫 𝟑 Tính từng cái rồi “thả” vào công thức là được nhé. 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫 = Trước tiên, chúng ta phải nhớ tính chất hình thoi “các đường chéo chính là các đường phân giác”. Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 8 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Vậy các bạn sẽ có ngay: góc ̂= 𝑩𝑨𝑪 𝟏 ̂ = 𝟔𝟎𝒐 𝑩𝑨𝑫 𝟐 Dẫn đến, tam giác ABC là tam giác đều. M lại là trung điểm của BC nên suy ra AM vuông góc với BC nên AM chính là đường cao của tam giác đều ABC. Suy ra: 𝐴𝑀 = 𝑎 √3 = 𝑆𝐴 (vì tam giác SAM vuông cân tại A). 2 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2. 𝑆𝐴𝐵𝐶 ⟹ 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫 1 𝑎 2 √3 = 2. . 𝐵𝐶. 𝐴𝑀 = 2 2 𝟏 𝟏 𝒂 √𝟑 𝒂 𝟐 √ 𝟑 𝒂 𝟑 = . 𝑺𝑨. 𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫 = . . = 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 Chọn D. Bài 7: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh a, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy, 𝑆𝐴 = 𝑎, gọi E là trung điểm của CD, H là hình chiếu vuông góc của S trên 𝐵𝐸. Thể tích khối chóp 𝑆𝐴𝐵𝐻. A. 7𝑎3 15 B. 4𝑎3 C. 15 𝑎3 15 D. 2𝑎3 15 Hướng dẫn giải Đến đây thì bạn đừng lăn tăn gì nữa, vẽ hình xong chúng ta thấy ngay: 𝟏 . 𝑺𝑨. 𝑺𝑨𝑩𝑯 𝟑 Chỉ còn diện tích tam giác ABH chưa có, chúng ta cùng đi tìm rồi thế vào công thức thể 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑯 = tích là xong! Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 9 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Chúng ta có nhận xét rất quan trọng là 𝑩𝑬 ⊥ 𝑨𝑯. (Để chứng minh điều này khá đơn giản. 𝐵𝐸 ⊥ 𝑆𝐻 và 𝐵𝐸 ⊥ 𝑆𝐴 nên 𝐵𝐸 ⊥ (𝑆𝐴𝐻) ⇒ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐻) Tam giác ABH vuông tại H nên nếu tính được AH thì sẽ tìm được diện tích tam giác này. Để tính được AH có thể làm bằng nhiều cách, nhưng đơn giản nhất các bạn làm theo nhé. Tính diện tích tam giác ABE. 𝑆𝐴𝐵𝐸 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆𝐴𝐷𝐸 − 𝑆𝐵𝐶𝐸 1 1 𝑎 1 𝑎 𝑎2 2 ⟺ . 𝐴𝐻. 𝐵𝐸 = 𝑎 − . . 𝑎 − . . 𝑎 = 2 2 2 2 2 2 1 𝑎2 2𝑎 2 2 √ ⟺ . 𝐴𝐻. 𝐵𝐶 + 𝐶𝐸 = ⟺ 𝐴𝐻 = 2 2 √5 ⟹ 𝐵𝐻 = √𝐴𝐵2 − 𝐴𝐻2 = √𝑎2 4𝑎2 𝑎 − = 5 √5 Tính diện tích tam giác ABH. 1 1 𝑎 2𝑎 𝑎2 𝟏 𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝑆𝐴𝐵𝐻 = . 𝐵𝐻. 𝐴𝐻 = . . = ⟹ 𝑽𝑺𝑨𝑩𝑯 = . 𝑺𝑨. 𝑺𝑨𝑩𝑯 = . 𝒂. = 2 2 √5 √5 5 𝟑 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 Chọn C. Bài 8: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh a, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy, 𝑆𝐴 = 𝑎. Các điểm 𝐴′ , 𝐵′ , 𝐶 ′ , 𝐷′ lần lượt là trung điểm của SC, SD. SA. SB. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính thể tính khối chóp OA’B’C’D’. A. 7𝑎3 24 B. 9𝑎3 24 C. 𝑎3 24 D. 5𝑎3 24 Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 10 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Hướng dẫn giải Ở bài này. Nếu các bạn muốn làm nhanh thì phải tinh ý nhận ra thể tích khối chóp cần tính có đáy là mặ nào và chiều cao là cạnh nào. Ta có như sau: 𝟏 . 𝑶𝑨′ . 𝑺𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′ 𝟑 Tại sao lại có điều này, rất đơn giản, ta lấy 𝑽𝑶𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′ = 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’ là mặt phẳng đáy. Vì chúng ta nhận thấy ngay 𝑂𝐴’ ⊥ 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’. Chứng minh đơn giản như sau: Mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷)//(𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’). 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) nên 𝑺𝑨 ⊥ (𝑨’𝑩’𝑪’𝑫’) mặt khác lại có 𝑺𝑨//𝑶𝑨’ (đường trung bình) Suy ra: 𝑶𝑨’ ⊥ 𝑨’𝑩’𝑪’𝑫’. 1 𝑎 Chúng ta có ngay: 𝑂𝐴′ = 𝑆𝐴 = 2 2 A'B'C'D' là hình vuông cạnh a/2 nên diện tích A’B’C’D’ là: 𝑆𝐴′𝐵′𝐶 ′𝐷′ 𝑽𝑶𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′ 𝑎 2 𝑎2 =( ) = 2 4 𝟏 𝟏 𝒂 𝒂𝟐 𝒂𝟑 ′ = . 𝑶𝑨 . 𝑺𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′ = . . = 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐𝟒 Chọn C. Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 11 Thầy: Nguyễn Hà Bắc MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎√2, 𝑆𝐴 = 𝑎. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐷 và 𝑆𝐶. Gọi I là giao điểm của 𝐵𝑀 và 𝐴𝐶. Thể tích khối chóp 𝐴𝑁𝐼𝐵 có giá trị? A. 𝒂𝟑 √𝟐 𝟑𝟔 B. 𝑎 3 √2 24 C. 𝑎 3 √2 12 D. 𝑎 3 √2 6 Bài 2: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Góc giữa SA và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 60o. M là điểm thuộc cạnh 𝑆𝐴 sao cho 𝐴𝑀 = 𝑎√3/3. Mặt phẳng (𝐵𝐶𝑀) giao với 𝑆𝐷 tại M. Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐵𝐶𝑀𝑁 có giá trị? A. 10𝑎3 √3 21 B. 10𝑎3 √3 23 C. 𝟏𝟎𝒂𝟑 √𝟑 𝟐𝟕 D. 10𝑎3 √3 33 Bài 3: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm O, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐴 = 𝑎√2. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên 𝑆𝐵 và 𝑆𝐷. Thể tích khối chóp 𝑂𝐴𝐼𝐻𝐾 có giá trị nào sau đây? A. 𝑎 3 √2 21 B. 𝑎 3 √2 23 C. 𝒂𝟑 √𝟐 𝟐𝟕 D. 𝑎 3 √2 Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 12 33 Thầy: Nguyễn Hà Bắc GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM HÌNH KHÔNG GIAN PHẦN: THỂ TÍCH (Thành công là giúp người khác thành công hơn mình) Like page http://facebook.com/habacsgu để nhận thêm nhiều tài liệu hơn nữa. Video bài giảng được phát miễn phí tại http://youtube.com/habacsgu Phần 2: HÌNH CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Trước khi làm một bài hình có mặt bên vuông góc với mặt đáy các bạn nên nhớ, nếu mặt bên vuông góc với đáy, thì đường cao sẽ nằm trong mặt bên đó. Để xác định đường cao này, chỉ cần gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh, lên mặt phẳng đáy, hoặc cạnh đáy của mặt bên là xong nhé. Đường cao thường vẽ về bên trái hoặc phía trong cùng của hình chóp. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cho 𝐴𝐵 = 3𝑎, 𝐵𝐶 = 4𝑎. ̂ = Hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) vuông góc với nhau. Cho 𝑆𝐵 = 2𝑎√3, góc 𝑆𝐵𝐶 30𝑜 . Thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có giá trị nào sau đây? A. 2𝑎3 √3 B. 3𝑎3 √3 C. 4𝑎3 √3 D. 𝑎3 √3 Hướng dẫn giải Trước tiên, muốn xử lý tốt bài này chúng ta phác họa hình vẽ, và ghi nhớ rằng mặt vuông góc với đáy vẽ phía trong cùng hoặc bên trái của hình nhé. Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 1 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Và như chúng ta đã biết, mặt bên vuông với đáy thì chỉ cần một động tác là chúng ta xác định được ngay đường cao. Kẻ SH vuông góc với BC suy ra SH vuông với (ABC) nên SH là đường cao. ̂ = 𝟑𝟎𝒐 nên không cần mất công đi tính SH Do 𝑺𝑩𝑪 trước mà chúng ta thay hẳn vào công thức thể tích luôn. Ta có: 1 1 1 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = . 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = . 𝑆𝐵. 𝑠𝑖𝑛30𝑜 . . 𝐵𝐴. 𝐵𝐶 3 3 2 1 1 1 = . 2𝑎√3. . . 3𝑎. 4𝑎 = 𝟐𝒂𝟑 √𝟑 3 2 2 Chọn A. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A. Góc ABC=30^o, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC theo a có giá trị là bao nhiêu? A. 3𝑎3 /16 B. 𝑎3 /16 C. 3𝑎3 /8 D. 𝑎3 /8 Hướng dẫn giải Ở bài này nếu bạn nào rành rồi thì tưởng tượng ra hình rồi bấm máy luôn cũng xong nữa. Nhưng chúng ta vẫn vẽ hình cho dễ nói chuyện nhé. Để xác định đường cao chỉ việc vẽ SH vuông góc với BC, thì SH vuông với (ABC) và SH chính là đường cao. Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 2 Thầy: Nguyễn Hà Bắc Nhận thấy ngay, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a. SH chính là đường cao của tam giác đều nên 𝑆𝐻 = 𝑎√3/2. Lắp luôn công thức: 1 1 1 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = . 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = . 𝑆𝐻. . 𝐴𝐶. 𝐴𝐵 3 3 2 1 𝑎 √3 1 = . . . 𝐵𝐶. 𝑠𝑖𝑛30𝑜 . 𝐵𝐶. 𝑐𝑜𝑠30𝑜 3 2 2 1 𝑎 √3 1 𝒂𝟑 𝑜 𝑜 = . . . 𝑎. 𝑠𝑖𝑛30 . 𝑎. 𝑐𝑜𝑠30 = 3 2 2 𝟏𝟔 Chọn B. Ví dụ 3: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) là điểm H thuộc AB sao cho 𝐻𝐴 = 2𝐻𝐵, góc giữa đường thẳng 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) bằng 60o. Thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có giá trị là: A. 𝑎 3 √7 24 B. 𝑎 3 √3 C. 12 𝑎 3 √3 24 D. 𝑎 3 √7 Hướng dẫn giải Ở bài này, chú ý dữ kiện, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC), mà hình chiếu lại nằm trên AB nên bắt buộc SH vuông góc với (ABC). Từ đó ta vẽ hình. Một chú ý nữa là góc giữa 𝑆𝐶 và (𝐴𝐵𝐶) bằng 60o. ̂ = 60𝑜 . Chúng ta xác định ngay, góc đó là góc 𝑆𝐶𝐻 Diện tích đáy là diện tích tam giác đều nên: Luyện Thi Toán + Vật Lý offline tại Biên Hòa – Đồng Nai Liên hệ: 098.48.73.521 – 0937 606 146 3 12