Tài liệu Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.

Fly Education Thầy Hải Toán K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng SĐT: 0905958921 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2021 MỤC LỤC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 §0 – Công thức lượng giác cần nhớ 1 §1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3 §2 – §3 – §4 – A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 | Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 | Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 | Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 | Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 | Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 | Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 | Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 29 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 | Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 | Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 | Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 | Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 | Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC A i/63 17 48 PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 | Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 | Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương 1. ii MỤC LỤC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH | Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 | Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 B §5 – ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 57 A Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 63 Gv Ths: Phạm Hùng Hải §6 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ii/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Chươ ng HÀM SỐ SỐ LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC VÀ VÀ HÀM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIÁC PHƯƠNG LƯỢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCTRÌNH VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1) Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác sin x Góc (I) (II) (III) (IV ) GTLG sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + − (Nhất cả - Nhị sin - Tam tan - Tứ cos) y + 1 π 2 (II) (I) cos x 0 x 2π 1 π −1 O (III) (IV ) 3π 2 −1 − 2) Công thức lượng giác cơ bản sin α cos α 1 1 + tan2 α = cos2 α cos α sin α 1 1 + cot2 α = 2 sin α Cung (góc) đối nhau Cung (góc) bù nhau cos(−α) = cos α sin(π − α) = sin α sin(−α) = − sin α cos(π − α) = − cos α tan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α Cung (góc) phụ nhau π  sin − α = cos α 2π  cos − α = sin α  π2  tan − α = cot α  π2  cot − α = tan α 2 sin2 α + cos2 α = 1 tan α · cot α = 1 tan α = cot α = 3) Cung góc liên kết 1/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường BÀI 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ 2 0. Công thức lượng giác cần nhớ Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Cung (góc) hơn kém π cos(π + α) = − cos α sin(π + α) = − sin α tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α π Cung (góc) hơn kém 2 π  sin + α = cos α  π2  cos + α = − sin α  π2  tan + α = − cot α   π2 + α = − tan α cot 2 4) Công thức cộng Gv Ths: Phạm Hùng Hải sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b cos (a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b tan a + tan b tan a − tan b tan (a + b) = tan (a − b) = 1 − tan + tan a · tan b π  11−  πa · tanb 1 + tan x tan x +x = và tan −x = Hệ quả: tan 4 1 − tan x 4 1 + tan x 5) Công thức nhân đôi - hạ bậc - nhân ba Nhân đôi sin 2α = 2 sin α · cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α 2 tan α tan 2α = 1 − tan2 α cot2 α − 1 cot 2α = 2 cot α Hạ bậc 1 − cos 2α sin2 α = 2 sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α 1 + cos 2α 2 cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α cos2 α = 1 − cos 2α 1 + cos 2α 1 + cos 2α cot2 α = 1 − cos 2α tan2 α = Nhân ba tan 3α = 3 tan α − tan3 α 1 − 3 tan2 α 6) Công thức biến đổi tổng thành tích a−b a−b a+b a+b cos a + cos b = 2 cos · cos cos a − cos b = −2 sin · sin 2 2 2 2 a+b a−b a+b a−b sin a + sin b = 2 sin · cos sin a − sin b = 2 cos · sin 2 2 2 2 sin(a + b) sin(a − b) tan a + tan b = tan a − tan b = cos a · cos b cos a · cos b sin(a + b) sin(b − a) cot a + cot b = cot a − cot b = sin a · sin b sin a · sin b Đặc biệt   √ √ π π sin x + cos x = 2 sin x + sin x − cos x = 2 sin x − 4   4 π √ √ π 2 cos x − = = − 2 cos x + 4 4 7) Công thức biến tích thành tổng cos a · cos b = 2/63 1 1 [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 2 1 sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] 2 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 3 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = sin x ○ Tập xác định: D = R. y ○ Tập giá trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R. ○ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. − π2 −π π x Đồ thị hàm số y = sin x ○ Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z. 2. π 2 Hàm số y = cos x ○ Tập xác định: D = R. ○ Tập giá trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R. y − π2 −π π ○ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. ○ Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z. 3. x π 2 Đồ thị hàm số y = cos x Hàm số y = tan x π ○ Điều kiện cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ, k ∈ Z. nπ 2 o Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 y ○ Tập giá trị: R. ○ Là hàm số lẻ. ○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z. 4. 3/63 −π − π2 O π 2 π x Hàm số y = cot x p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 1. 4 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ○ Điều kiện sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z. Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} . y ○ Tập giá trị: R. ○ Là hàm số lẻ. ○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z. 5. −π 3π 2 − π2 O x π π 2 Một số trường hợp đặc biệt  Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x Gv Ths: Phạm Hùng Hải sin sin sin B cos O sin x = 1 ⇔ x = π 2 + k2π A0 cos O A cos O B0 sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π sin x = 0 ⇔ x = kπ  Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x B A0 A O sin sin sin cos cos x = 1 ⇔ x = k2π O O cos B0 cos x = 0 ⇔ x = cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos π 2 + kπ B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN | Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ: ○ y = tan f (x) = π sin f (x) ĐKXĐ −−−−−−−−−−−−−→ cos f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6= + kπ, k ∈ Z. cos f (x) 2 ○ y = cot f (x) = cos f (x) ĐKXĐ −−−−−−−−−−−−−→ sin f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6= kπ, k ∈ Z. sin f (x) ○ Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: ○ y= 4/63 1 ĐKXĐ −−−−−−−−→ P(x) 6= 0. P(x) ○ y= p ĐKXĐ P(x) −−−−−−−−→ P(x) ≥ 0. 2n p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 5 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 1 ĐKXĐ p ○ y = 2n −−−−−−−−→ P(x) > 0. P(x) ○ Với k ∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:   + sin x = 1 ⇔ x = π + k2π.  2   ○  + sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π.  2   + sin x = 0 ⇔ x = kπ.   + tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.  4   ○  + tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.  4   + tan x = 0 ⇔ x = kπ.   + cos x = 1 ⇔ x = k2π.   ○  + cos x = −1 ⇔ x = π + k2π. π   + cos x = 0 ⇔ x = + kπ. 2  π   + cot x = 1 ⇔ x = + kπ.  4  π  ○  + cot x = −1 ⇔ x = − + kπ.  4  π  + cot x = 0 ⇔ x = + kπ.  2 c Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: a) y = 2 sin x + 3 cos x b) y = 1 + cos x 1 − cos x c) y = 2 + 3 cos 2x sin x d) y = 1 + cos x 1 + sin x e) y = sin x − 3 cos x + 1 f) y = 2 sin x + 3 cos x + 2 g) y = 2 sin x + 3 sin x − 1 h) y = √ j) y = 3 − 2 cos x. 2 sin x − 3 2 sin x + 3 √ cos x − 2 k) y = 1 + cos x i) y = sin … l) y = x−1 . x+2 1 + cos x 1 − cos x Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 5/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường o Khi tìm tập xác định, ta xem nó có mẫu không? có tan, cot không? có căn không? 6 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. c Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: a) y = 2 tan x + 3 b) y = 2 tan 2x − 4 sin x  π c) y = cot x + +1 4 Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. c Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R. a) y = √ m − cos x b) y = √ 2 sin x − m c) y = sin x − 1 cos x + m Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. p c Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = cos2 x − (2 + m) · cos x + 2m có tập xác định R. Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 6/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 7 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. | Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác. Nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D, suy ra D là tập đối xứng và chuyển sang bước tiếp theo. Bước 2. Tính f (−x), nghĩa là ta sẽ thay x bằng −x, sẽ có hai kết quả thường gặp sau: ○ Nếu f (−x) = f (x) thì f (x) là hàm số chẵn. ○ Nếu f (−x) = − f (x) thì f (x) là hàm số lẻ. o ○ Nếu D không là tập đối xứng (∃x ∈ D ⇒ −x 6∈ D) hoặc ( f (−x) 6= f (x) và f (−x) 6= − f (x)) ta sẽ kết luận hàm số f (x) không chẵn, không lẻ. ○ Ta thường sử dụng cung góc liên kết trong dạng toán này, cụ thể cos(−a) = cos a, sin(−a) = − sin a, tan(−a) = − tan a, cot(−a) = − cot a. ○ Lũy thừa: sin2n (−α) = sin2n α, cos2n (−α) = cos2n α, tan2n (−α) = tan2n α, . . . ○ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. c Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số Å ã 9π a) y = f (x) = sin 2x + ; 2 b) y = f (x) = tan x + cot x. Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 7/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 8 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Gv Ths: Phạm Hùng Hải c Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x. Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. | Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác. Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:   0 ≤ | sin x| ≤ 1 0 ≤ | cos x| ≤ 1   ○ −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒  hoặc −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒  0 ≤ sin2 x ≤ 1 0 ≤ cos2 x ≤ 1. ○ Biến đổi về dạng: m ≤ y ≤ M. Kết luận: max y = M và min y = m. ­ Phương pháp: Khảo sát parabol. Trong trường hợp hàm số có dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác, ta có thể dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm bậc hai, sau đó khảo sát hàm này và kết luận. Kiến thức cơ bản về parabol: ã Å ∆ b 2 . ○ Đỉnh parabol (P) : y = ax + bx + c là I − ; − 2a 4a ○ Bảng biến thiên: ○ a>0: 8/63 ○ a<0: x 00 −∞ 10 b −20 2a +∞ 30 x 00 −∞ 10 01 y 02 11 21 31 11 12 ∆ −22 4a 32 01 y 02 12 b −20 2a ∆ −21 4a 22 +∞ 30 31 32 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 9 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ­ Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức. ○ Bất đẳng thức Cauchy: a+b √ ≥ ab. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0. 2 a+b+c √ ≥ 3 abc. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ≥ 0. ○ ∀a, b, c ≥ 0 thì 3 ○ ∀a, b ≥ 0 thì ○ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: p x y (a2 + b2 ) (x2 + y2 ). Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi = . a b 2 2 2 x y (x + y) x y ○ ∀x, y ∈ R, a, b > 0 thì + ≥ . Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi = . a b a+b a b o Trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên đoạn cho trước, ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác để giới hạn miền của sin hoặc cos. Sau đó thêm bớt giống phương pháp 1 hoặc bậc 2 thì sử dụng parabol. ○ m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x). x∈D ○ m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min f (x). x∈D c Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau 1 − 2sin2 x . 3 a) y = 2 sin x + 3. b) y = d) y = 4 sin x cos x + 1. e) y = 4 − 3 sin2 2x. g) y = sin4 x + cos4 x. h) y = sin6 x + cos6 x. c) y = √ 2 + cos x − 1. f) y = (3 − sin x)2 + 1. Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 9/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ○ ∀x, y, a, b ∈ R thì |ax + by| ≤ 10 Gv Ths: Phạm Hùng Hải 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 10/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 11 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. √ c Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất. Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. c Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau √ a) y = 3 sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = 3 sin x + 4 cos x Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 11/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Ê Lời giải. 12 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. c Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau a) y = 2sin2 x − 3 sin x + 1 b) y = 2cos2 x + 3 cos x − 2 c) y = cos 2x − sin x + 3 Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ê Lời giải. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 12/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 13 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. c Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = Ê Lời giải. sin x + 3 cos x + 1 . sin x − cos x + 2 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm tập n πxác định D của o hàm số y = − tan x. A D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 C D = R \ {k2π, k ∈ Z}. 13/63 B D = R \ {kπ, k ∈ Z}. nπ o + k2π, k ∈ Z . D D = R\ 2 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường √ c Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1. Ê Lời giải. 14 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Câu 2. Tìm tập địnhocủa hàm số y = cot x. n xác π A D = R\ k |k ∈ Z . 2 C D = R\{k2π|k ∈ Z}. B D = R\{kπ|k ∈ Z}. nπ o D D = R\ + kπ|k ∈ Z . 2 Gv Ths: Phạm Hùng Hải 1 − 3 cos x là Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y = sin x π kπ A x 6= + kπ, k ∈ Z. B x 6= k2π, k ∈ Z. C x 6= , k ∈ Z. 2 2 2 sin x + 1 là Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = 1 − cos x π A x 6= k2π. B x 6= kπ. C x 6= + kπ. 2  π Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − là 3 π π 5π π A x 6= + k . B x 6= + kπ. C x 6= + kπ. 6 2 12 2 Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A R. B (−∞; 0]. C [0; +∞]. D x 6= kπ, k ∈ Z. D x 6= π + k2π. 2 D x 6= 5π π +k . 12 2 D [−1; 1]. Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A [−2; 2]. B [0; 2]. C [−1; 1]. Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. B Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn. Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A y = sin2 x. B y = x cos 2x. C y = x sin x. D [0; 1]. D y = cos x. Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x. π kπ A x 6= kπ, k ∈ Z. B x 6= + kπ, k ∈ Z. C x 6= , k ∈ Z. D x ∈ R. 2 2 2 cos 3x − 1 Câu 11. Tập xác định của hàm số y = là cos x + 1 A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}. B D = R \ {k2π; k ∈ Z}. π C D = R \ { + kπ; k ∈ Z}. D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}. 2 Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai? A Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π. B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π. C Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π. D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π. Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là π A T = 2π. B T= . C T = π. D T = 4π. 2 Câu 14. Hàm là hàm số chẵn?   số nào π π A y = sin x + . B y = cos x + . C y = sin 2x. D y = tan x − sin 2x. 2 2 Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 −π π O 2π x −1 14/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 15 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A y = 1 + sin x. B y = 1 − sin x. Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH C y = sin x. D y = cos x. Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? y 2 1 −π − π O 2 π 2 π x C y = 2 cos x. D y = cos2 x + 1. √ Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2. A max y = 3 và min y = 1. B max y = 3 và min y = 2. C max y = 3 và min y = −2. D max y = 3 và min y = −1. √ Câu 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin x + 3. √ √ √ A max y = 5, min y = 1. B max y = 5, min y = 2 5. √ √ C max y = 5, min y = 2. D max y = 5, min y = 3.  π Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x − . 4 A min y = −2, max y = 4. B min y = 2, max y = 4. C min y = −2, max y = 3. D min y = −1, max y = 4. B y = 2 − sin x. Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x. A min y = 1, max y = 2. B min y = 1, max y = 3. C min y = 2, max y = 3. D min y = −1, max y = 3. √ Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + sin 2x. √ √ A min y = 2, max y = 1 + 3. B min y = 2, max y = 2 + 3. √ C min y = 1, max y = 1 + 3. D min y = 1, max y = 2. 4 . Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2sin2 x 4 4 A min y = , max y = 4. B min y = , max y = 3. 3 3 4 1 C min y = , max y = 2. D min y = , max y = 4. 3 2 Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x. 3 A max y = 4, min y = . B max y = 3, min y = 2. 4 3 C max y = 4, min y = 2. D max y = 3, min y = . 4 Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1. A max y = 6, min y = −2. B max y = 4, min y = −4. C max y = 6, min y = −4. D max y = 6, min y = −1. Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A min y = −6; max y = 4. B min y = −6; max y = 5. C min y = −3; max y = 4. D min y = −6; max y = 6. Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A max y = 4, min y = −6. B max y = 6, min y = −8. C max y = 6, min y = −4. D max y = 8, min y = −6. 15/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A y = cos x + 1. 16 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y = A 4. B 6. 1 2 3 sin x − cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của T . 2 4 C 7. D 3. Câu 28. Hàm số y = cos2 x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng 9 9 A 3; 1. B 1; −1. C ; 0. D ; 2. 4 4 Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos2 x − sin 2x + 5 là √ √ √ √ A 6 + 2. B 6 − 2. C 2. D − 2. Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = A M = −2. B M = −3. sin x + 2 cos x + 1 . sin x + cos x + 2 C M = 3. D M = 1. Gv Ths: Phạm Hùng Hải —HẾT— 16/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 17 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương trình sin x = a.  Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. sin sin cos O sin x = 1 ⇔ x = π 2 + k2π A0 cos O A O B0 sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π cos sin x = 0 ⇔ x = kπ √ √ ´ 1 2 3  Trường hợp a ∈ ± ; ± ;± . Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc β ◦ tương 2 2 2 ứng. ® ¬ Công thức theo đơn vị rad: ñ x = α + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − α + k2π ­ Công thức theo đơn vị độ: ñ x = β ◦ + k360◦ sin x = a ⇔ ,k∈Z x = 180◦ − β ◦ + k360◦ sin N a M O  Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñ x = arcsin a + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − arcsin a + k2π  Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔ 2. f (x) = g(x) + k2π ,k∈Z f (x) = π − g(x) + k2π Phương trình cosx = a.  Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. 17/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường sin B