Tài liệu Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

 MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. 2. 3. 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định . . . . . . . . . . Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước . . . 10 10 11 11 11 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . . . . . . Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 16 16 17 17 18 19 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 A B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 24 25 BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 A Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Trang i  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R. y • Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R. − π2 −π • Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. π 2 π x Đồ thị hàm số y = sin x • Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z. 2 Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = R. y • Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R. • Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. − π2 −π π x π 2 Đồ thị hàm số y = cos x • Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z. y 3 Hàm số y = tan x π • Điều kiện cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ, k ∈ Z. nπ 2 o Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 • Tập giá trị: R. −π − π2 • Là hàm số lẻ. O • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z. Trang 1 π 2 π x  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4 Hàm số y = cot x y • Điều kiện sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z. Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} . • Tập giá trị: R. • Là hàm số lẻ. • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z. 3π 2 − π2 −π O π 2 x π 5 Một số trường hợp đặc biệt  Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x sin sin sin B cos O sin x = 1 ⇔ x = π 2 + k2π cos O B0 sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π A0 A cos O sin x = 0 ⇔ x = kπ  Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x A O sin sin sin cos cos x = 1 ⇔ x = k2π B A0 O cos cos x = −1 ⇔ x = π + k2π B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { DẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Phương pháp giải. Ta chú ý một số điều kiện sau: f (x) xác định ⇔ g(x) 6= 0. g(x) p 2. y = 2n f (x) xác định ⇔ f (x) > 0, trong đó n ∈ N∗ . 1. y = 3. y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= π + kπ, k ∈ Z. 2 4. y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= kπ, k ∈ Z. Trang 2 O B0 cos x = 0 ⇔ x = cos π 2 + kπ  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC # Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: a) y = 2 sin x + 3 cos x b) y = 1 + cos x 1 − cos x c) y = 2 + 3 cos 2x sin x d) y = 1 + cos x 1 + sin x e) y = sin x − 3 cos x + 1 f) y = 2 sin x + 3 cos x + 2 g) y = 2 sin x + 3 sin x − 1 √ j) y = 3 − 2 cos x. 2 sin x − 3 2 sin x + 3 √ cos x − 2 k) y = 1 + cos x h) y = i) y = sin … l) y = x−1 . x+2 1 + cos x 1 − cos x # Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: a) y = 2 tan x + 3 b) y = 2 tan 2x − 4 sin x  π c) y = cot x + +1 4 # Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R. a) y = √ m − cos x b) y = √ 2 sin x − m # Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = định R. c) y = sin x − 1 cos x + m p cos2 x − (2 + m) cos x + 2m có tập xác { DẠNG 2. Tính chẵn lẻ của hàm số Phương pháp giải. Ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định D của hàm số – Tập D phải đối xứng. 2. Tính f (−x) (chỗ nào có biến x, ta thay bởi −x) và thu gọn kết quả. Khi đó • Nếu f (−x) = f (x): hàm số đã cho là hàm chẵn. • Nếu f (−x) = − f (x): hàm số đã cho là hàm lẻ. • Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ. CHÚ Ý ¬ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. ­ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. ® Hàm số y = tan x là hàm số lẻ. ¯ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ. # Ví dụ 5. Xét tinh chẵn lẻ của hàm số Å ã 9π a) y = f (x) = sin 2x + ; 2 b) y = f (x) = tan x + cot x. # Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x. Trang 3  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất Phương pháp giải. Ta thường dùng một trong 3 phương pháp sau:  Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ¬ −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R; ­ −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R; ® 0 ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ R; ¯ 0 ≤ | sin x|, | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R. ° Cô – si: ± Bunhiacopxki: √ a + b ≥ 2 ab, với mọi a, b ≥ 0 Dấu bằng xảy ra khi a = b. (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d 2 ) Dấu bằng xảy ra khi a c = . b d  Sử dụng điều kiện có nghiệm ¬ sin x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1. ­ cos x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1. ® sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2 .  Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, kết luận. # Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) y = 2 sin x + 3 1 − 2sin2 x b) y = 3 c) y = d) y = 4 sin x cos x + 1; e) y = 4 − 3 sin2 2x. f) y = (3 − sin x)2 + 1 g) y = sin4 x + cos4 x h) y = sin6 x + cos6 x √ 2 + cos x − 1 # Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất. √ # Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất. # Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau √ a) y = 3 sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = 3 sin x + 4 cos x # Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau a) y = 2sin2 x − 3 sin x + 1 b) y = 2cos2 x + 3 cos x − 2 c) y = cos 2x − sin x + 3 √ # Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1. # Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + 3 cos x + 1 . sin x − cos x + 2 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm tậpnxác định D củao hàm số y = − tan x. π + kπ, k ∈ Z . B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}. A. D = R \ 2 Trang 4  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC C. D = R \ {k2π, k ∈ Z}. D. D = R \ nπ 2 o + k2π, k ∈ Z . Câu 2. Tìm tập định của n xác o hàm số y = cot x. π A. D = R\ k |k ∈ Z . 2 C. D = R\{k2π|k ∈ Z}. B. D = R\{kπ|k ∈ Z}. o nπ + kπ|k ∈ Z . D. D = R\ 2 1 − 3 cos x Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y = là sin x π A. x 6= + kπ, k ∈ Z. B. x 6= k2π, k ∈ Z. 2 kπ , k ∈ Z. D. x 6= kπ, k ∈ Z. C. x 6= 2 2 sin x + 1 là Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = 1 − cos x π A. x 6= k2π. B. x 6= kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= 2  π Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − là 3 π π 5π π A. x 6= + k . B. x 6= + kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= 6 2 12 2 π + k2π. 2 5π π +k . 12 2 Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A. R. B. (−∞; 0]. C. [0; +∞]. D. [−1; 1]. Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A. [−2; 2]. B. [0; 2]. C. [−1; 1]. D. [0; 1]. Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn. Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A. y = sin2 x. B. y = x cos 2x. C. y = x sin x. D. y = cos x. Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x. π kπ , k ∈ Z. D. x ∈ R. A. x 6= kπ, k ∈ Z. B. x 6= + kπ, k ∈ Z. C. x 6= 2 2 2 cos 3x − 1 Câu 11. Tập xác định của hàm số y = là cos x + 1 A. D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}. B. D = R \ {k2π; k ∈ Z}. π C. D = R \ { + kπ; k ∈ Z}. D. D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}. 2 Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π. C. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π. B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π. D. Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π. Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là π A. T = 2π. B. T = . 2 C. T = π. D. T = 4π. Câu 14. Hàmsố nàolà hàm số chẵn?  π π . B. y = cos x + . A. y = sin x + 2 2 C. y = sin 2x. D. y = tan x − sin 2x. Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Trang 5  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y 1 −π π x 2π O −1 A. y = 1 + sin x. B. y = 1 − sin x. C. y = sin x. D. y = cos x. Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? y 2 1 −π − π O 2 π 2 π x C. y = 2 cos x. D. y = cos2 x + 1. √ Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2. A. max y = 3 và min y = 1. B. max y = 3 và min y = 2. C. max y = 3 và min y = −2. D. max y = 3 và min y = −1. √ Câu 18. Tìm tập √ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau√y = 2 sin x +√3. A. max y = √5, min y = 1. B. max y = √5, min y = 2 5. D. max y = 5, min y = 3. C. max y = 5, min y = 2.  π Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x − . 4 A. min y = −2, max y = 4. B. min y = 2, max y = 4. C. min y = −2, max y = 3. D. min y = −1, max y = 4. A. y = cos x + 1. B. y = 2 − sin x. Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x. A. min y = 1, max y = 2. B. min y = 1, max y = 3. C. min y = 2, max y = 3. D. min y = −1, max y = 3. √ sin 2x. Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, √ giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + √ A. min y = 2, max y = 1 + √3. B. min y = 2, max y = 2 + 3. C. min y = 1, max y = 1 + 3. D. min y = 1, max y = 2. Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 4 A. min y = , max y = 4. 3 4 C. min y = , max y = 2. 3 4 . 1 + 2sin2 x 4 B. min y = , max y = 3. 3 1 D. min y = , max y = 4. 2 Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x. 3 A. max y = 4, min y = . B. max y = 3, min y = 2. 4 3 C. max y = 4, min y = 2. D. max y = 3, min y = . 4 Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1. A. max y = 6, min y = −2. B. max y = 4, min y = −4. C. max y = 6, min y = −4. D. max y = 6, min y = −1. Trang 6  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A. min y = −6; max y = 4. B. min y = −6; max y = 5. C. min y = −3; max y = 4. D. min y = −6; max y = 6. Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A. max y = 4, min y = −6. B. max y = 6, min y = −8. C. max y = 6, min y = −4. D. max y = 8, min y = −6. 3 1 Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y = sin2 x − cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của 2 4 T. A. 4. B. 6. C. 7. D. 3. Câu 28. Hàm số y = cos2 x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng 9 9 D. ; 2. A. 3; 1. B. 1; −1. C. ; 0. 4 4 2 Câu 29. Giá √ trị lớn nhất của hàm số √ y = 2 cos x − sin 2x√+ 5 là √ A. 6 + 2. B. 6 − 2. C. 2. D. − 2. sin x + 2 cos x + 1 Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = . sin x + cos x + 2 A. M = −2. B. M = −3. C. M = 3. D. M = 1. —HẾT— Trang 7  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Phương trình sin x = a.  Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. sin sin sin B cos O sin x = 1 ⇔ x = ®  Trường hợp a ∈ π 2 O + k2π A0 cos A O B0 sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π cos sin x = 0 ⇔ x = kπ √ √ ´ 1 2 3 ± ;± ;± . Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc 2 2 2 β ◦ tương ứng. ¬ Công thức theo đơn vị rad: ñ x = α + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − α + k2π ­ Công thức theo đơn vị độ: ñ x = β ◦ + k360◦ sin x = a ⇔ ,k∈Z x = 180◦ − β ◦ + k360◦ sin N a O  Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñ x = arcsin a + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − arcsin a + k2π  Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔ f (x) = g(x) + k2π ,k∈Z f (x) = π − g(x) + k2π 2 Phương trình cos x = a.  Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. Trang 8 M  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin B sin A A0 cos O ®  Trường hợp a ∈ B0 cos x = 0 ⇔ x = cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos x = 1 ⇔ x = k2π cos O cos O π 2 + kπ √ √ ´ 2 3 1 ;± . Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc ± ;± 2 2 2 β ◦ tương ứng. ¬ Công thức theo đơn vị rad: ñ x = α + k2π ,k∈Z cos x = a ⇔ x = −α + k2π M cos ­ Công thức theo đơn vị độ: ñ x = β ◦ + k360◦ cos x = a ⇔ ,k∈Z x = −β ◦ + k360◦ a O N  Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñ x = arccos a + k2π cos x = a ⇔ ,k∈Z x = − arccos a + k2π  Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ cos[ f (x)] = cos[g(x)] ⇔ f (x) = g(x) + k2π ,k∈Z f (x) = −g(x) + k2π 3 Phương trình tan x = a. ® ´ √ √ 3  Trường hợp a ∈ 0; ± ; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc 3 β ◦ tương ứng. tang ¬ Công thức theo đơn vị rad: N tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z O ­ Công thức theo đơn vị độ: ◦ ◦ tan x = a ⇔ x = β + k180 , k ∈ Z  Trường hợp a khác các số ở trên thì Trang 9 M a  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z. 4 Phương trình cot x = a. ´ ® √ √ 3  Trường hợp a ∈ ± ; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan 3 π tương ứng. Riêng a = 0 thì α = 2 1 a để đổi số a về góc α hoặc β ◦ a ¬ Công thức theo đơn vị rad: cotang N cot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z O ­ Công thức theo đơn vị độ: M cot x = a ⇔ x = β ◦ + k180◦ , k ∈ Z  Trường hợp a khác các số ở trên thì cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z. B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { DẠNG 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp giải. • Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hay xấu; • Chọn và ráp công thức nghiệm. # Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √ π  3 a) sin 3x = − b) 2 sin −x = 1 2 5 Å ã √ 2π d) cos x − =1 e) 2 cos 2x − 1 = 0 3 # Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: √ π  √ 3 a) tan 3x = − b) 3 tan −x = 1 3 6 √ √ d) sin x − 3 cos x = 0 e) 3 cot x − 1 = 0 c) 2 sin (x − 45◦ ) − 1 = 0 f) 3 cos x − 1 = 0. c) tan (x − 45◦ ) − 1 = 0 f) (tan x − 2)(cot x + 1) = 0. # Ví dụ 3. (A.2014). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x Trang 10  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng Phương pháp giải. • Biến đổi về một trong các cấu trúc sau ¬ sin u = sin v ­ cos u = cos v ® tan u = tan v ¯ cot u = cot v • Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau: ¬ − sin x = sin(−x). π  ® sin x = cos −x . 2 ­ − cos x = cos (π − x). π  ¯ cos x = sin −x . 2 # Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) sin 3x = sin 2x b) sin 2x − sin x = 0 c) sin 5x + sin x = 0 d) cos 2x − cos x = 0 e) cos 8x + cos x = 0 f) cos 4x − sin x = 0 # Ví dụ 5. (B.2013). Giải phương trình sin 5x + 2 cos2 x = 1 { DẠNG 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định Phương pháp giải. # Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: cos2 x − sin2 x √ =0 c) tan x(1 − 2 sin2 x) = 0 2 − sin x  π  π # Ví dụ 7. Giải phương trình tan 2x + + tan − x = 0. 6 3 −π + kπ, k ∈ Z. • Đáp số x = 2  x   x # Ví dụ 8. Giải phương trình cot − 1 cot + 1 = 0. 3 2 3π π • Đáp số x = + k3π, x = − + k2π, (k ∈ Z). 4 2 a) cos x =0 1 − sin x # Ví dụ 9. Giải phương trình b) sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 √ =0 3 + tan x π • Đáp số x = + k2π. 3 { DẠNG 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước Phương pháp giải. ¬ Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ ­ Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k. ® Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được. ¯ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng. Trang 11  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC # Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước √ √
π b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − 7π , a) 3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π). 2 2 .  √
π d) tan(3x + 2) − 3 = 0 trên − π2 , π2 . c) 2 cos 3x − − 1 = 0 trên (−π, π). 3  √ π −π 2π # Ví dụ 11. Giải phương trình 3 − 3 tan 2x − = 0 với 0. Câu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm? √ 1 B. tan x = 3. A. sin x = . 2 1 D. cos x = − . 2 C. sin x = 3. Câu 5. Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khi A. m > 1. B. m < −1. C. −1 ≤ m ≤ 1. ñ m < −1 D. m > 1. Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = −1 là π A. x = − + kπ, k ∈ Z. B. x = kπ, k ∈ Z. 2 3π π C. x = + kπ, k ∈ Z. D. x = − + k2π, k ∈ Z. 2 2 √  π 3 Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình cot x − = . 3 3 π 2π A. x = + kπ, k ∈ Z. B. x = + kπ, k ∈ Z. 3 3 π C. x = + k2π, k ∈ Z. D. x = kπ, k ∈ Z. 3 √ 3 Câu 8. Phương trình cos x = − có tập nghiệm là ß ™2 n o 5π π A. x = ± + k2π; k ∈ Z . B. x = ± + kπ; k ∈ Z . 6 3 n o n o π π C. x = ± + k2π; k ∈ Z . D. x = ± + kπ; k ∈ Z . 3 6 √ 3 Câu 9. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x = . 2 Trang 12  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  x=  A.  x=  x=  C.  x= π k2π + , k∈Z 9 3 . 2π k2π + , k∈Z 9 3 π kπ + , k∈Z 9 3 . 2π kπ + , k∈Z 9 3  x=  B.  x=  x=  D.  x= π + k2π, k ∈ Z 9 . 2π + k2π, k ∈ Z 9 π k2π + , k∈Z 3 3 . 2π k2π + , k∈Z 3 3 Câu 10. Nghiệm của phương trình 2 sin x + 1 = 0 là 11π −π π −7π A. x = + k2π và x = + k2π. B. x = + k2π và x = + k2π. 6 6 6 6 7π −π 7π −π C. x = + kπ và x = + kπ. D. x = + k2π và x = + k2π. 6 6 6 6 Câu 11. Phương trình sin x − cos x = 1 có một nghiệm là π π 2π A. − . B. . C. . 2 4 3 D. π. Câu 12. n π Tập nghiệm của o phương trình sin 2x = 1 là nπ o A. + 2kπ, k ∈ Z . B. + kπ, k ∈ Z . 4 o n π4 + 2kπ, k ∈ Z . C. {kπ, k ∈ Z}. D. 2 2 Câu 13. Phương trình sin x = có số nghiệm thuộc (−π; π) 3 A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. √ 3 Câu 14. Cho phương trình sin 2x = . Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; 3π] 2 thì giá trị của n là A. n = 8. B. n = 5. C. n = 6. D. n = 2. Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x − cos x = 0. π 5π π B. x = + k2π; x = + k2π (k ∈ Z). A. x = ± + k2π (k ∈ Z). 4 4 4 π 5π C. x = + k2π (k ∈ Z). D. x = + k2π (k ∈ Z). 4 4 Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương 1 trình cos 2x = − . 2 n nπ π π o n π π π o ß 2π π π ™ π π πo A. , , ; , , . B. , , ; , , . 3 3 3 3 6 6 ß3 3 3 ™ 4 4 2 nπ π π o 2π π π . C. , , . D. , , 3 6 6 3 3 3 m Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x = . 2 A. m ≤ 1. B. −1 ≤ m ≤ 1. C. −2 ≤ m ≤ 2. D. m ≤ −1 hoặc m ≥ 1.   π Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x − = 1 trong khoảng (0; π) là 2 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 19. Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có nghiệm là π π A. x = ± + k2π, k ∈ Z. B. x = ± + kπ, k ∈ Z. 6 3 π π C. x = ± + 2π, k ∈ Z. D. x = ± + k2π, k ∈ Z. 6 3 Trang 13  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 20. Tập nghiệm của phương trình cos 2x = −1 là n o π A. −kπ, k ∈ Z. B. − + kπ, k ∈ Z . 4 o n π D. {90◦ + k180◦ , k ∈ Z}. C. − + k2π, k ∈ Z . 2  π 1 Câu 21. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x + = trên đường tròn lượng 3 2 giác là A. 4. B. 6. C. 1. D. 2. x Câu 22. Phương trình cos = −1 có tập nghiệm là 2 A. {2π + k4π|k ∈ Z}. B. {π + k2π|k ∈ Z}. C. {k4π|k ∈ Z}. D. {k2π|k ∈ Z}. Câu 23. Nghiệm của phương trình sin4 x − cos4 x = 0 là π π π A. x = π + k2π. B. x = kπ. C. x = + kπ. D. x = + k . 2 4 2 Câu 24. Tìm tất cả nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2x = 0. π π π A. k (k ∈ Z). B. kπ (k ∈ Z). C. k (k ∈ Z). D. k (k ∈ Z). 2 4 8 Câu 25. Tính tổng các nghiệm x ∈ [0; 2018π] của phương trình sin 2x = 1. 4071315π 4071315π 8141621π 8141621π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 4 2 4 Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình cos x + sin 2x = 0 A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Câu 27. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]? A. 16145. B. 20181. C. 20179. D. 16144. Câu 28. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos2 πx = m2 −9 có nghiệm. A. 5. B. 2. C. 1 . D. 3 . —HẾT— Trang 14  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình ¬ a · sin x + b = 0 ­ a · cos x + b = 0 ® a · tan x + b = 0 ¯ a · cot x + b = 0 L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản. ¬ a · sin x + b = 0 ⇔ sin x = − b a ­ a · cos x + b = 0 ⇔ cos x = − b a ¯ a · cot x + b = 0 ⇔ cot x = − ® a · tan x + b = 0 ⇔ tan x = − b a b a 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx L Dạng phương trình • a sin x ± b cos x = c (1). • Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 . L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho √ a2 + b2 . Khi đó a b c (1) ⇔ √ sin x ± √ cos x = √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 c ⇔ cos φ · sin x ± sin φ · cos x = √ a2 + b2 c a b ⇔ sin (x ± φ ) = √ (2), với cos φ = √ và sin φ = √ . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước. Chú ý hai công thức sau: • sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b). • cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b). 3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình ¬ a · sin2 x + b · sin x + c = 0 ­ a · cos2 x + b · cos x + c = 0 ® a · tan2 x + b · tan x + c = 0 ¯ a · cot2 x + b · cot x + c = 0 Trang 15  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC L Phương pháp giải • Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t. • Bấm máy, tìm nghiệm t. Sau đó, giải tìm x. • Chú ý với phương trình số ¬ và ­ thì −1 ≤ t ≤ 1. B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { DẠNG 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải. # Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √ 2 cos x − 1 = 0; √ d) 3 cot x − 1 = 0. a) 2 sin x + 1 = 0; √ c) tan x + 3 = 0; b) # Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:  π a) 2 sin x − + 1 = 0. 6  √ π c) tan − x + 3 = 0. 3  √ π 2 cos 3x − − 1 = 0. 4  √ π d) 3 cot x + + 3 = 0. 6 b) # Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin 2x − 1 = 0 trong đoạn [−2π; 2π]. # Ví dụ 4. Giải phương trình (2 cos x − 1) (sin x + cos x) = sin 2x − sin x. BÀI TẬP TỰ LUYỆN c Bài 1. Giải các phương trình sau √ a) 2 cos 2x + 3 = 0. √ c) 2 cos 2x − 2 = 0.  π e) 2 cos x − + 1 = 0. 6 g) 3 sin(x − 1) + 2 = 0. √ i) (cos 2x + 2)(cot 3x − 1) = 0. b) 2 sin 3x + 1 = 0  √ π d) 3 − 2 3 cos x + = 0. 4 Å ã √ √ 2π f) 2 2 sin x + = 6. 5   √ π h) 3 tan − 2x + 1 = 0. 6  √ π j) 2 − 2 3 tan x + = 0. 3 c Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước Å ã √ √ 7π π a) 3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π). b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − , . 2 2 c Bài 3. Giải phương trình 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x. c Bài 4. Giải phương trình (cos x − sin x) sin x cos x = cos x cos 2x. c Bài 5. Giải phương trình (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x. Trang 16  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải. # Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) 3 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0; b) 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0. √ √ d) 3 tan2 x − 2 tan x + 3 = 0. c) 3 sin2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0; # Ví dụ 6. Giải các phương trình sau a) cos 2x + cos x + 1 = 0; b) 6 sin2 3x + cos 12x = 14; c) cos 4x + 6 = 7 cos 2x; d) 7 tan x − 4 cot x = 12. # Ví dụ 7. Giải các phương trình sau √ Ä √ ä 2 2 a) 1 − 2 + 2 sin x + = 0; 1 + cot2 x b) tan2 x − 5 + 7 = 0. cos x # Ví dụ 8. Giải các phương trình sau a) cos 2x + 3 cot x + sin 4x = 2; cot 2x − cos 2x b) 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x = 0. cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN c Bài 6. Giải các phương trình sau a) cos2 x + cos x − 2 = 0; c) 6 cos2 x + 5 sin x − 7 = 0; b) 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0; √ d) 3 tan2 x − 2 3 tan x + 1 = 0. c Bài 7. Giải các phương trình sau: a) 2 tan x + cot x − 3 = 0 c) 2 cos 2x. cos x = 1 + cos 2x + cos 3x; b) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x ;   2 x d) cos 2x + cos x = 4 sin −1 2 c Bài 8. Tìm nghiệm x ∈ (0; 10π) của phương trình √  √ 3 x − tan x − 2 3 = sin x 1 + tan x. tan . cos2 x 2 { DẠNG 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương pháp giải. # Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: √ a) sin x + 3 cos x = 1; √ c) sin 2x − 3 cos 2x = 2; b) √ 3 sin 2x − cos 2x = 2; d) 3 sin x + cos x = 2. Trang 17  Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Å 2π 6π # Ví dụ 10. Tìm các nghiệm x ∈ ; 5 7 ã √ √ của phương trình cos 7x − 3 sin 7x = − 2. x 2 √ x + 3 cos x = 2. # Ví dụ 11. (D.2007). Giải phương trình sin + cos 2 2  # Ví dụ 12. Giải phương trình √ (1 − 2 sin x) cos x = 3. (1 + 2 sin x)(1 − sin x) BÀI TẬP TỰ LUYỆN c Bài 9. Giải các phương trình sau: √ a) cos x − 3 sin x = 1 √ c) 3 cos x − sin x = 0 √ √ 3 sin x + cos x = 2 √ d) sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 4x b) c Bài 10. Giải các phương trình sau  π √ = 2; a) cos(π − 2x) − cos 2x + 2  √ √ π = 2 2; b) 3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 2x − 6 √ √ √ c) sin x − 2 cos 3x = 3 cos x + 2 sin 3x; √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = − sin 5x sin 7x. c Bài 11. Giải các phương trình sau: √ a) sin x − 3 cos x = 2 sin 5x √ b) 3 sin 2x + 2sin2 x = 2 √ c) 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x √
e) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3 x Ä ä √ f) tan x − 3 cot x = 4 sin x + 3 cos x π c Bài 12. Giải phương trình 2 sin(x + ) + sin x + 2 cos x = 3. 6 c Bài 13. Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0. c Bài 14. Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. { DẠNG 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Phương pháp giải. L Dạng phương trình • a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 Trang 18