Tài liệu Chuyên đề giới hạn hàm số

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG (Huế) CHUYÊN ĐỀ: Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế) GIỚI HẠN Chủ đề 1: I- LÝ THUYẾT: *   u  vn ; n   1. ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số  un  ,  vn  . Nếu  n thì lim un  0 . lim v  0  n  2. CÁC PHÉP TOÁN: Giả sử lim un  L  , lim vn  M   và c là một hằng số. Khi đó: * lim  un  vn   L  M * lim  un .vn   L.M * lim  c.un   c.L * lim un L  ; M  0  vn M Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS Một dãy số tăng và bị chặn trên ( hoặc giảm và bị chặn dưới ) thì có giới hạn. Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA) Cho 3 dãy số (un ), (vn ), (wn ) với: vn  un  wn ; n  * . Lúc đó: lim vn  A    lim un  A  lim w  A   n  Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN *CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:  lim un  L * lim un  L   3 3  lim un  L * lim c  c ,  c    lim un  L *   L  0 vµ lim un  L u  0  n  n   S  u1  u1q  u1q 2  ...  * Tổng cấp số nhân lùi vô hạn q  1 : lim un    lim * * lim 1 1  0; lim  0; n n 1 0 un lim 1 3 n * lim n  ; lim n  ; lim 3 n    0; * lim qn   nếu q  1 * lim qn  0 nếu q  1 * lim  u1 1 q  * lim nk  , k  *   1 c  0 k  * Mở rộng: lim k  0 k n n 3. MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ: lim un  , lim vn   lim un lim vn      lim un .vn lim un  , lim vn  L  0 lim un  L  0, lim vn  0 lim un Dấu L lim un .vn Dấu L Dấu vn                                lim un vn II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA: Câu 1. Với k là số nguyên dương thì lim A.  . Hướng dẫn: lim B.  . 1 bằng nk C. 0 . D. 1 . 1  0,  k  *  . k n Lựa chọn đáp án C. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Câu 2. Chuyên đề: GIỚI HẠN Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 A. lim  lim k ;  k   . B. lim qn  0 nếu q  1 . n n C. lim c  c ( c là hằng số). D. lim 3 un  3 lim un . Hướng dẫn: lim qn  0 nếu q  1 . Lựa chọn đáp án B. Câu 3. Cho dãy số un  thỏa mãn un  2  B. 2 . A. 2 . Hướng dẫn: Vì un  2  1 với mọi n . Khi đó, lim un có giá trị bằng n2 C. 0 . D. 1 . 1 1 và lim 2  0 nên lim un  2  0 . Vậy lim un  2 . 2 n n Lựa chọn đáp án A. Câu 4. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 1 1 n1 A. . B. . C. . n1 n n D. cos n n . Hướng dẫn: lim  1 n 1  lim 1    1  0 .  n  n Lựa chọn đáp án C. Câu 5. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n n  3   5    A.   . B.   . C.  4   2   2    .  3   4 D.   .  3  n n Hướng dẫn: 2 2 Vì 1   1 nên lim    0 .  3  3 n Lựa chọn đáp án C. Câu 6. Dãy nào sau đây không có giới hạn? 2 A.   .  3  n  2 B.   .  3  n C. 0,99 . n D. 1 . n Hướng dẫn: Nếu n chẵn thì 1  1 , n lẻ thì 1  1 . Do đó dãy số 1 không có giới hạn. n n n Lựa chọn đáp án D. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN 1 n Câu 7. có giá trị bằng n2 1 A. . B. 0 . 2 Hướng dẫn: lim C. 1 . 1 1 D.  . 2 1 1 1  . Do lim  0  lim 0. n2 n n n2 n n Lựa chọn đáp án B. Câu 8. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 1 n 1 . A. 3n B. n  5 C.   .  4  n . D. 2 . n2 Hướng dẫn:  5 5 Vì  1 nên lim    .  4  4 n Lựa chọn đáp án C. Câu 9. 1  2n có giá trị bằng 4n 1 1 A. . B.  . 4 4 Hướng dẫn: lim C. 1 . 2 1 D.  . 2 C. 3 . 5 D. 1 2 1  2n 1 lim  lim n  . 4n 4 2 Lựa chọn đáp án D. Câu 10. lim 3n  5n có giá trị bằng 5n B. 0 . A. 1 . 8 . 5 Hướng dẫn:  3     1  5  n lim 3n  5n  lim 5n Lựa chọn đáp án A. 1  1. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Câu 11. lim Chuyên đề: GIỚI HẠN 7 n1  5n  1 có giá trị bằng 3.4n  7 n A. 7 . B. 0 . C. 1 . D. 1 . 3 Hướng dẫn:  5  1 7      n1 n n n 7 5 1 7.7  5  1  7   7  lim  lim  lim  7 . n n n n n 3.4  7 3.4  7  4  3.   1  7  n n Lựa chọn đáp án A. πn  3n  22 n có giá trị bằng 3πn  3n  2 2 n2 1 1 A. . B. . 3 4 Hướng dẫn: Câu 12. lim D. 1 . C.  .  π   3        1 n n n π 3 4 1  4   4   lim n  lim  . n n n n 4 3π  3  4.4  π  3  3      4  4   4  n lim πn  3n  2 2 n 3πn  3n  2 2 n2 n Lựa chọn đáp án B. 2n3  n  5 có giá trị bằng n4  2 n  2 A.  . B. 2 . Hướng dẫn: Câu 13. lim C. 0 . D. 6 . 2 1 5  3 4 2n  n  5 n n 0. lim 4  lim n 2 2 n  2n  2 1 3  4 n n 3 Lựa chọn đáp án C. Câu 14. Gọi L  lim 4  A. 0. Hướng dẫn: sin 3n thì L bằng số nào sau đây? n B. 2. C. 2 . Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 5 D. 4. CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Ta có Chuyên đề: GIỚI HẠN sin 3n sin 3n sin 3n 1  0  L  lim 4   4 2.   lim n n n n Lựa chọn đáp án C. 2 n4  n  1 có giá trị bằng 3n4  2n 2 A. 0 . B. . 3 Hướng dẫn: Câu 15. lim 2n  n  1  lim 3n4  2n 4 lim 2 . 5 C.  . D. C.  . D. 2 . 1 1  4 3 n n 2. 2 3 3 3 n 2 Lựa chọn đáp án B. 2 n3  n2  4 có giá trị bằng n2  2n  3 A. 2 . B. 0 . Hướng dẫn: Câu 16. lim  1 4    2  1  4  n3 2   3  n n  2n  n  4   n n3    . lim 2  lim  lim n    2 3  2 3 n  2n  3 1    n2 1   2    n n2  n n  3 2 Lựa chọn đáp án C. Câu 17. n  2n2  3 lim 2 có giá trị bằng n  12n  5 A. 0 . B. 1 . 2 C. 1 . D.  . Hướng dẫn:     2  3 1  2 1  3  n 1   n2 1    n  2n  3 n   n n  n  1   lim 2  lim  lim  .     1   5  1 5 2 n  12n  5 1  2   2 n 1   n2      n   n n   n  2 Lựa chọn đáp án B. 1 1 1 Câu 18. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S   2  ...  n  ... có giá trị bằng 5 5 5 1 1 2 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 5 4 Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Hướng dẫn: 1 1 1 1 1 S   2  ...  n  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1  và q  . 5 5 5 5 5 1 1 Khi đó, S  5  . 1 4 1 5 Lựa chọn đáp án B. Câu 19. Cho các dãy số un  , vn  , wn  , αn  với un  2017 3n  1 2n , wn  n , , v  n 2 2n 4 1 n 1 2 4n  1 . Có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0 trong các dãy số trên? 2017  2n A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn: αn  Có 3 dãy có giới hạn bằng 0 gồm un  , vn  , wn  . Lựa chọn đáp án C. 4n  1  a . Hỏi a là nghiệm của phương trình nào sau đây? 2n x4 A. x2  4  0 . B. x2  5x  4  0 . C. x2  5x  4  0 . D. 0. 2 x  5x  4 Câu 20. Biết lim Hướng dẫn: lim 4n  1  a  a  4 . Lần lượt thế a  4 vào các phương trình ở các phương án. 2n Lựa chọn đáp ánB. Câu 21. lim 3n3  n2  1 có giá trị bằng A. 2 . Hướng dẫn: B. 1 . C.  . D.  .  1 1 lim 3n3  n2  1  lim n3 3   3    .  n n  Lựa chọn đáp án C. Câu 22. lim   n2  n  n2  2 có giá trị bằng A. 0 . B. 1 . C.  . D. 1 . 2 Hướng dẫn: Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 7 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] lim  n n  n 2 2 2  n  lim 2 Chuyên đề: GIỚI HẠN  nn2  2 n2  lim n n  n 2 n  n  n2  2 2 1 1 n  lim  . 2 1 2 1  1 2 n n 2 2 2 Lựa chọn đáp án D. Câu 23. lim   n2  n  n2  2 có giá trị bằng A. 1  2 . Hướng dẫn: lim C. 1 . B.  . D.  .   1 2  n2  n  n2  2  lim n  1   1  2    . n n       Lựa chọn đáp án D. n 2  2n  n Câu 24. lim 4 n2  n  2 n A. 4 . có giá trị bằng 1 C.  . 2 B. 2 . D. 1 . 2 Hướng dẫn: lim n  2n  n  4n  lim 4 n2  n  2 n 4n  n  4n  n 2 n2  2 n  n 2 2 2 2 2   2n  n  n  2n    1 1  2n  4   2 2  4   2  n n     lim = lim =4.     2 2  1   1 n  1   1    n n     Lựa chọn đáp án A. Câu 25. lim  3  n  1  3 n có giá trị bằng A. 0 . Hướng dẫn: lim  3  n  1  3 n  lim D.  . C.  . B. 1 . n  1 n  3  2 n  1  (n  1)n  3  n 3 2  lim 1  3  2 n  1  (n  1)n  3  n 3 2 0 Lựa chọn đáp án A. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 8 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Câu 26. lim Chuyên đề: GIỚI HẠN 1  3  5  ...  (2n  1) có giá trị bằng 3n2  2 A. 0 . B. 1 . C. 1 . 3 D.  . Hướng dẫn: 1  3  5  ...  (2n 1) là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có u1  1, un  2n  1 và công sai d  2 . n 1  2n  1  n2 .  2  1  3  5  ...  (2n  1) n2 Suy ra lim  lim  lim 3n2  2 3n2  2 Do đó 1  3  5  ...  (2n  1)  Lựa chọn đáp án C. 1 1  . 2 3 3 2 n  1 1 1 1   Câu 27. lim     ...   có giá trị bằng  1.2 2.3 3.4 nn  1 A. 0 . B. 2 . C. 1 . Hướng dẫn: 1  k  1  k 1 D. 1. 1 Ta có: k  k  1  k  k  1  k  k  1 . Do đó 1 1   1 1   1 1  1 1 1 1 1 1  1    ...               ...    .   1         1.2 2.3 3.4 n 1  n n  1 nn  1  1 2   2 3   3 4   1  1 1 1  1   Suy ra lim     ...    1.   lim 1   1.2 2.3 3.4  n  1 nn  1 Lựa chọn đáp án D. u1  1  Câu 28. Cho dãy  un  :  un . Lúc đó, lim un bằng un1  u  1 n  A. 0 . B. 2 . C. 1 . Hướng dẫn: D. 1. Dùng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được un  Lựa chọn đáp án A. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 9 1  lim un  0. n CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN: Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? A. Nếu lim un  0 thì lim un  0 . B. Nếu lim un   thì lim un   . C. Nếu lim un   thì lim un   . Câu 2. D. Nếu lim un  a thì lim un  a . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm. B. Nếu un  là dãy số tăng thì lim un   . C. Nếu lim un   và lim vn   thì lim un  vn   0 . D. Nếu un  an và 1  a  0 thì lim un  0 . Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. lim 3 f x  g x  3 lim  f x  g x .   B. lim 3 f x  g x  3 lim f x  3 lim g x . C. lim 3 f x  g x  lim 3 f x  lim 3 g x . Câu 4. D. lim 3 f x  g x  lim  3 f x  3 g x .   Với a là một số thực, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? u A. Nếu lim un  a và lim vn   thì lim n  0 . vn B. Nếu lim un  a và lim vn   thì lim un 0. vn C. Nếu lim un  a và lim vn   thì lim un vn    . D. Nếu lim un  a  0 và lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim Câu 5. Câu 6. Câu 7. un   . vn Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mọi dãy dương đều có giới hạn. B. Mọi dãy tăng đều có giới hạn. C. Mọi dãy giảm đều có giới hạn. D. Mọi dãy là dãy không đổi đều có giới hạn. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mọi dãy bị chặn đều có giới hạn. B. Mọi dãy tăng và bị chặn trên đều có giới hạn. C. Mọi dãy giảm và bị chặn trên có giới hạn. D. Mọi dãy tăng và bị chặn dưới đều có giới hạn. Cho un  là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. q  1 . Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 10 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] B. u1  u2  ...  un  u1 . 1 q C. u1  u1q  u2 q 2  ...  u1q n  ...  D. lim Sn  Câu 8. u1 . 1 q u1 . 1 q 2.4n  5n  3n ta tiến hành 2n  5n1 A. Chia cả tử và mẫu cho 2 n . B. Chia cả tử và mẫu cho 3n . C. Chia cả tử và mẫu cho 4 n . D. Chia cả tử và mẫu cho 5n . Để tính lim  5  2 lim 5.2   5  n Câu 9. Chuyên đề: GIỚI HẠN n1 1 có giá trị bằng n1 n 3 1 A.  . 3 B. 1 5 . 2 C.  . 5 2n  3n có giá trị bằng 2n3  4 n2  1 3 A.  . B. 0 . C. 1 . 2 n  2n  3 Câu 11. lim có giá trị bằng n 1 1 A. 0 . B. . C. 1 . 3 n2  2n2n3  14n  5  Câu 12. lim có giá trị bằng n4  3n  13n2  7 2 1 D.  . 5 3 Câu 10. lim A. 0 . B. 3 . 2 D.  . . D.  . 3 C.  . 2 D.  . 1 C.  . 2 D. C. 1 2n  n 3n  1 có giá trị bằng lim 2n  1n  7  3 Câu 13. 8 . 3 D. 2 4 B. 3 . A. 1 . Câu 14. lim n3  3n  1 n  11 2n A. 0 . 2 có giá trị bằng B. 1 . Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 11 1 . 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN 1 1 1 Câu 15. Tổng S  1    ...  n  ... bằng 2 4 2 A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . n1 1 1  1 1  ... bằng Câu 16. Tổng S      +...+ 2  4  8 2n 3 1 A. 1 . B. . C. . 4 3 k Câu 17. Với k là số nguyên dương thì lim n bằng A.  . B.  . C. 0 . Câu 18. lim 2n  2n  3 có giá trị bằng 3 Câu 20. lim  C.  . D.  . B.  . C. 3 . D. 7 . C. 0 . D.  .    2 B. 1 .  n  2n  1  2n  n có giá trị bằng 2 A. 1  2 . Câu 22. lim 2 n  4  n  1 có giá trị bằng 2 A. 3 . Câu 21. lim D. n . B. 1 . Câu 19. lim 3n  4n  n  1 có giá trị bằng A.  . 2 . 3 2 A. 2 . 4 D. 2 B.  .  C. 1 . D.  . C.  . D. 1 . n2  2n  3  n có giá trị bằng A. 1 . B. 0 . 9 n2  n  n  2 có giá trị bằng 3n  2 A. 1 . B. 3 . C. 0 . 1 1 1 1 Câu 24. lim   2  3  ..  n  có giá trị bằng 3  3 3 3 1 1 . A. . B. C.  . 24 2 Câu 23. lim Câu 25. lim   1 A. 1 . D. 1 . 2n2  n  1  2n2  3n  2 có giá trị bằng . B. 0 . C.  . 2  1 1   có giá trị bằng Câu 26. lim    n  1 n  2  A. D.  . B. 0 . C. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 1 . 2 12 D.  . D.  . CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Câu 27. lim Chuyên đề: GIỚI HẠN n2017  n2016 có giá trị bằng 3n2017  n2015 B. 1 . A. 1 . C. 1 . 3 D.  .  1  1 1 1 Câu 28. lim     ...   có giá trị bằng  1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  3    1 1 A. . B. 1 . C. . 3 2   Câu 29. lim  n n  2  n  3  có giá trị bằng   5 A. 1 . B. 0 . C. . 2 3 Câu 30. Nếu lim un  L thì lim un  8 có giá trị bằng   A. L  2 . 1 L3 . 3 L8 . 1 B. Câu 32. Cho dãy số un  L 9 C. . 3 L 2 . 1 C. . D. 1 L 3 L9 2u  4 với lim un  3 . Khi đó, lim n có giá trị bằng un  1 A. 4 . C. 5 . B. 2 . Câu 33. Cho dãy số un  với lim un   . Khi đó, lim B.  . A. 1 . Câu 34. D.  . D. L  8 . 1 với un  0, n   và lim un  L thì lim có giá trị bằng un  9 B. Câu 31. Nếu dãy  un  A. D.  . Cho dãy số un  với un  2  D. . 1 . 2 un  2 có giá trị bằng un 2  1 C. 0 . D. 2 .  2   ...  2  . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề 2 n sau: A. lim un  2   2   ...  2   ...  1 2 2 . 2 n B. lim un   . C. lim un   . D. Dãy số un  không có giới hạn khi n   . Câu 35. lim 3 n 1 3 n8 A. 1 . có giá trị bằng B. 1 . 2 C. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 1 . 8 13 D.  . CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] 3 Câu 36. lim 8n3  2n2  1 2 n2  1 Chuyên đề: GIỚI HẠN có giá trị bằng B. 2 . C. 1 . D.  . 2.  1  1 1 1 Câu 37. lim     ...   có giá trị bằng  1.4 4.7 7.10  3 n  2 3 n  1      1 1 A. . B. 1 . C. . D.  . 3 2 1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1 Câu 38. lim có giá trị bằng 2016n3  2017 1 1 A. . B. . C.  . D.  . 2016 2017  3n  (1)n cos 3n   có giá trị bằng Câu 39. lim    n 1 A. 3 . B. 3 . 2 n  Câu 40. lim  3n  5  có giá trị bằng   A. 3 . B.  . A. Câu 41. lim n  n2  1 n2  n  2 A. 1 . Câu 42. lim  3  3 5 . D. 1 . C.  . D.  5 . C. 0 . D. 1 . C. 1 . D. 0 . có giá trị bằng  B. 2 . n3  2n  n có giá trị bằng 2 A.  . 3 Câu 43. lim C. B.  1 . 3 n2  n3  n có giá trị bằng 1 . B.  . C. 1 . 3 Câu 44. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 1  3n n2  1 A. un  B. un  . . 2 n  3n2 n  3n 1  2n 1  2n2 C. un  D. un  . . n5 n5 2  5  8  ...   3n  1 Câu 45. lim có giá trị bằng n2 1 A. . B. 0. C.  . 3 A. Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 14 D. 0 . D. 3 . CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Câu 46. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? 1  2n n2  2n A. un  B. un  . . 2 3n  3 3n  3n 2  n2 n2  2 C. un  D. un  . . 3n  3 n  5n3 Câu 47. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? 2018  2017 n n2  3n A. un  B. un  . . 2 n1 2n  n C. un  2017n  2016n2 . D. un  n2  1. Câu 48. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? 2 n3  3 3n2  1 A. lim B. lim . . 2n3  1 3n3  2 n3  3 3n2  1 C. lim D. lim 2 . . n  1 3n3  3n2 Câu 49. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? 5n2  2 2n  5n3 A. lim B. . lim . 5n3  4 2n2  1 3  5n3 2n2  n4 lim . C. lim 3 D. . n2  1 n  2n2 Câu 50. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ? n2  2 2n  n3 . . A. lim 3 B. lim 2 n  4 2n  1 3  2n4 3n2  2n3 C. lim D. lim 2 . . 2n  1 2n3  4n2 Câu 51. Dãy số nào sau đây không có giới hạn?  π  n A. lim 1 sin   nπ . B. lim sin nπ .   2     π  C. lim cos   nπ . D. lim cos nπ .  2  Câu 52. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ? A. lim sin nπ . B. lim cos nπ .  n  2  π . C. lim sin   2n  1  Câu 53. Biết lim A. 2 . D. lim n cos n  2 . n2 4n  1 4 n  3n  M và lim  m . Tích M.m bằng 1  2n 2  4n1 1 1 B. 2 . C. . D.  . 2 2 Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 15 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Câu 54. Câu 55. Câu 56. Câu 57. Câu 58. Câu 59. Chuyên đề: GIỚI HẠN 2017 sin 2017 n 2017 2017  0 và lim 2017  0 . Khi đó, lim bằng 2017 n2017 n n A. 2017 . B. 2017 . C. 1 . D. 0 . 1  2  3  ...  n Để tính lim , một học sinh làm như sau: n2 1  2  3  ...  n 1 2 3 n  2  2  2  ... 2 . Bước 1: Ta có 2 n n n n n   1  2  3  ...  n  1  2  3  ... n  Bước 2: Suy ra lim  lim  n2 n2 n2 n2 n2  1  2  3  ...  n 1 2 3 n  lim 2  lim 2  lim 2  ...  lim 2 Bước 3: Suy ra lim 2 n n n n n 1  2  3  ...  n  0  0  0  ...  0  0 . Bước 4: Suy ra lim n2 Bạn học sinh đã giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai thì bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bài giải đúng. 1  3  5  ...  (2n  1) lim có giá trị bằng 5n2  4 1 1 A. 0 . B.  . C. . D.  . 4 5 1  2  3  ...  n lim có giá trị bằng 2  n2 1 A. 1 . B.  . C. 1 . D.  . 2  2 2 2   lim    ...   có giá trị bằng nn  1  1.2 2.3 1 A. . B. 2 . C. 0 . D.  . 2 u1  2  Cho dãy  un  :  . Lúc đó, lim un bằng 1 * u  2  n   n  1  un  Biết lim   B. 2 . C. 1 . D. 1.  1 u1  2 Câu 60. Cho dãy  un  :  . Lúc đó, lim un bằng * un1  3un n    A.  . B. 2 . C.  . D. 1. 2 2 2 2 1  2  3  ...  n Câu 61. lim có giá trị bằng 4n3  2017 1 1 . A. . B. C.  . D. 3 . 24 3 A. 0 .   Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 16 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Câu 62. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Một dãy số có giới hạn thì luôn tăng hoặc luôn giảm. B. Nếu un  an và a  1 thì lim un  0 . C. Nếu lim un  0 và lim vn   thì lim(un .vn )  0 . D. Nếu lim un   thì lim 2017 0. un Câu 63. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. B. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. C. Nếu lim un   và lim vn   thì lim D. Nếu un  an và  2  un  1. vn  a  1 thì lim an  0 . Câu 64. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu lim un  a và lim vn  b thì lim(un  vn )  a  b . B. Nếu lim un   và lim vn   thì lim(un  vn )  0 . C. Nếu un  0 với mọi n và lim vn  a thì a  0 . D. Nếu lim un  2 và lim vn  2018 thì lim vn  1009 . un Câu 65. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu lim un  a và lim vn  b thì lim un a  . vn b B. Nếu lim un  a thì lim un  a . C. Nếu lim un  5 và lim vn  0 thì lim un   . vn D. Nếu un  an và a  2 thì lim un   . 2  4  6  ...  2n . Khẳng định nào sau đây đúng? n3  3n  1 B. lim un  2 . C. lim un  3 . D. lim un   . Câu 66. Cho dãy số  un  với un  A. lim un  0 . Câu 67. Cho dãy số  un  với un  A. lim un  1 . 2 1  2  2 2  ...  2n . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 n 1  3 B. lim un  1 . Câu 68. Cho dãy số  un  với un  2016  C. lim un   . D. lim un   . 5 . Khẳng định nào sau đây đúng? n7 Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 17 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] A. lim un  0 . Chuyên đề: GIỚI HẠN B. lim un  5 . C. lim un  7 . D. lim un  2016 . 1 1 1 Câu 69. Cho S  1    ...  n  ... . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 4 2 1 A. S  0 . B. S  1 . C. lim un  . 2 D. lim un   . Câu 70. Cho S  1  2  22  ...  2n  ... . Khẳng định nào sau đây sai? A. S   . B. S  lim(1  2  22  ...  2n ) . C. S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. D. S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân. Câu 71. Cho dãy số  un  có lim un   . Khẳng định nào sau đây sai? u B. lim u 2 1 A. lim n  . 2un 2 n  1 2 2u  1 C. lim  3un  6    . D. lim 2 n  1 . 2 un2  1 1  . 2un  3 2 ------- HẾT ------- Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 18 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án A D A C D B C D B A Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án D B C D B B A D B C Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Đáp án D A A A A B C A C B Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án D C C C A A C B B C Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Đáp án B A D B D C D B A C Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Đáp án D C C D C C D B D A Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Đáp án B D C B D A B D A C Câu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Đáp án D Trong tài liệu này, tác giả có sử dụng phần lí thuyết và một số câu hỏi của Thầy Lê Bá Bảo (CLB Giáo viên trẻ TP Huế), Thầy Đặng Ngọc Hiền (TP Bà Rịa_Vũng Tàu) và sách trắc nghiệm 2007, tài nguyên Page Toán học Bắc Trung Nam. Dù biên soạn rất kỹ, song chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Mong bạn đọc phản hồi để cùng tác giả hoàn thiện nội dung trên. Xin cảm ơn! Xin tặng các Thầy Cô và các em học sinh chuyên đề này! Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG Địa chỉ: Tản Đà_Hương Sơ, TP Huế SĐT: 0935.905.892 Facebook: Ái Hằng Huỳnh Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ Giáo viên: HUỲNH ÁI HẰNG…0935.905.892… 19 CLB Giáo viên trẻ TP Huế