CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
PhÇn 1.
ThÓ tÝch khèi ®a diÖn
A. Lý thuyÕt
1. Kh¸i niÖm thÓ tÝch cña 1 khèi ®a diÖn (Sgk hh 12)
2. C¸c c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn
a) ThÓ tÝch khèi hép ch÷ nhËt
V = abc víi a, b, c lµ 3 kÝch thíc cña khèi hộp ch÷ nhËt
b) ThÓ tÝch cña khèi chãp
V= 1 S®¸y . h ; h: ChiÒu cao cña khèi chãp
3
c) ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô
V= S®¸y . h ; h: ChiÒu cao cña khèi l¨ng trô
B. C¸c d¹ng bµi tËp
D¹ng 1. TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn
*Ph¬ng ph¸p: §Ó tÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn ta cã thÓ:
+¸p dông trùc tiÕp c¸c c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch
+Chia khèi ®a diÖn thµnh c¸c khèi nhá h¬n mµ thÓ tÝch cña c¸c khèi ®ã
tÝnh ®îc
+Bæ sung thªm bªn ngoµi c¸c khèi ®a diÖn ®Ó ®îc 1 khèi ®a diÖn cã thÓ
tÝnh thÓ tÝch b»ng c«ng thøc vµ phÇn bï vµo còng tÝnh ®îc thÓ tÝch.
*C¸c bµi tËp
1)VÒ thÓ tÝch cña khèi chãp
+NÕu khèi chãp ®· cã chiÒu cao vµ ®¸y th× ta tÝnh to¸n chiÒu cao, diÖn tÝch
®¸y vµ ¸p dông c«ng thøc :V= 1 S®¸y . h
3
Bµi 1: TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp tam gi¸c ®Òu SABC trong c¸c trêng hîp sau:
a) C¹nh ®¸y b»ng a, gãc ABC = 60o
b) AB = a, SA = l
c) SA = l, gãc gi÷a mÆt bªn vµ mÆt ®¸y b»ng α
gi¶i:
a) Gäi O lµ t©m ∆ABC ®Òu
S
⇒ SO ⊥(ABC)
SABC = 1 a a
2
3
2
=a
2
3
4
∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o
⇒ SA = AB = SB = a
C
A
O
a
B
http://violet.v/nvbinh198
1
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
SO ⊥ OA ( v× SO ⊥ (ABC) ) Tam gi¸c vu«ng SOA cã:
SO2 = SA2 - OA2 = a2 - ( 2 a
3
2
3
⇒ SO = a
)2 =
a2
a2 2 2
a
3
3
2
3
VËy VSABC = S∆ABC . SO =
b) T¬ng tù c©u a ®¸p sè:
VSABC =
1 . a2 3 .
3
4
l2
1 .
3
a2 3 .
4
a
2 .
3
l2
a2
3
a2
3
c)
Gäi O lµ t©m ∆ABC
Gäi A’ lµ trung ®iÓm BC
DÔ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α
Tam gi¸c vu«ng SOA cã:
SO2 = l2 - OA2 = l2 - 94 AA’2
Tam gi¸c vu«ng SOA’ cã:
A
sin 1SOAA' SO 13 AA'.sin (2)
C
3
Tõ (1) (2) ta cã:
1
9
a
AA' sin 2 94 AA'. sin l 2
O
A'
B
� AA’2(sin2 α + 4) = 9l2
3l
� AA' 2
sin 4
S∆ABC =
SO 13 .
AA'.BC 12 .
1
2
3l
sin 2 4
⇒VSABC =
1
3
. sin
3l
sin 2 4
l . sin
.
3l
3 sin 2 4
2
2(sin3 23l 4)
sin 2 4
S∆ABC . SO =
3
3
.
l 2 sin
2
(sin 4 ). sin 2 4
Bµi 2. Cho l¨ng trô ABCA’B’C’ cã ®é dµi c¹nh bªn = 2a, ∆ABC vu«ng t¹i A, AB
= a, AC = a 3 . H×nh chiÕu vu«ng gãc cña A’ trªn (ABC) lµ trung ®iÓm BC.
TÝnh VA’ABC theo a?
Gi¶i.
http://violet.v/nvbinh198
2
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
-Gäi H lµ trung ®iÓm BC
⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)
-Ta cã S∆ABC = 12 AB. AC 12 a 2 3
C'
2a
-V× A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH
Tam gi¸c vu«ng A’HA cã:
A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - 14 .(a2 + 3a2)
hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3
⇒VA’ABC =
1
3
A'
B
C
H
a3
a
2
S∆ABC .A’H = 13 . 12 a 2 3.a 3 a2
Bµi 3. H×nh chãp SABCD cã SA ⊥ (ABC), SA = a. ∆ABC vu«ng c©n cã
AB = BC =a. B’ lµ trung ®iÓm SB. C’ lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ A cña ∆SAC
a) tÝnh VSABC
b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’). TÝnh VSAB’C’
Gi¶i
a)
S∆ABC = 12 BA.BC 12 a 2 ; SA =a
⇒ VSABC =
1
3
S∆ABC .SA =
1
6
a3
C'
a
B'
A
C
a
a
B
b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB c©n t¹i A ⇒ AB’ ⊥ SB
B’S = B’B
BC⊥ AB
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒
AB’ ⊥ SA
⇒SC ⊥ (AB’C’)
AC’ ⊥ SC
C¸ch 1
AB ' 12 SB 12
2a 2
a
2
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
http://violet.v/nvbinh198
SA 2 AC 2 3a
3
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
2
SC ' SASC a3
B’C’2 = SB’2 - SC’2 =
⇒S∆AB’C’ =
⇒V∆AB’C’ =
C¸ch 2
SB '
SB
VSAB ' C '
VSABC
1
2
B' C ' a6
AB'.B' C ' 12 .
1 a2 a
3 24 3
a
2
.
a
6
2
4a 3
3
a
. . 36
1 SC '
2 SC
a2
6
a
3
a 3
SA ' SB ' SC '
SA SB SC
1
3
a
3
a 3
1
6
� VSA ' B ' C '
1 1
6 6
a3
a3
36
Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC,
AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC.
Gi¶i
DÔ thÊy
S
(SB, (ABC)) = α = SBA
(SB, (SAD)) = β = BSD
∆ABC c©n
⇒ AD ⊥ BC
DB = DC
∆SAB cã cos α = AB
SB (1)
BC ⊥ AD
BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC)
⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD
A
C
a
D
B
Tam gi¸c vu«ng SB cã sinβ =
Tõ (1) (2) ⇒
AB
cos
sinBD
BD
SB
AB 2 a 2
sin
(2)
⇒
AB 2
cos 2
2
ABsina
1
cos 2 sin 2
⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB =
S∆SAB =BD.AD =
SA = AB. tan α =
⇒ VSABC =
1
3
Sin
cos
sin
. AD. AB cos
a 2 cos
cos 2 sin 2
2
a 2 cos
a 2 sin
cos2 sin 2
a sin
cos 2 sin 2
1
SA.S∆ABC = 3
http://violet.v/nvbinh198
a sin
cos 2 sin 2
a 2 sin
2
2
cos sin
4
=
a 3 sin cos
3
cos 2 sin 2
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Bµi 5 Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. c¸c nöa ®êng th¼ng Ax, Cy ⊥ (ABCD) vµ
ë cïng mét phÝa víi mÆt ph¼ng ®ã. §iÓm M kh«ng trïng víi víi A trªn Ax, ®iÓm
N kh«ng trïng víi C trªn Cy. §Æt AM = m, CN = n. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp
BAMNC.
Gi¶i
Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD
x
Ta cã BD ⊥ AC
N
(v× ABCD lµ h×nh vu«ng)
M
n
(Ax, Cy) ⊥ (ABCD)
⇒ BD ⊥ (AMNC)
D
C
m
⇒ BI ⊥ (AMNC)
BI = BD2 a 2 2
A
DiÖn tÝch h×nh thang AMNC lµ S = ( AM 2CN ) . AC ( m n2) a
B
2
VAMNC = 13 .S AMNC .BI 13 ( mn2) a 2 . a 2 2 a62 (m n)
*NÕu khèi chãp cÇn tÝnh thÓ tÝch cha bÝÕt chiÒu cao th× ta ph¶i x¸c ®Þnh ®ù¬c
vÞ trÝ ch©n ®êng cao trªn ®¸y.
Ta cã mét sè nhËn xÐt sau:
-NÕu h×nh chãp cã c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y hoÆc c¸c c¹nh bªn b»ng
nhau th× ch©n ®êng cao lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ®¸y.
-NÕu h×nh chãp cã c¸c mÆt bªn nghiªng ®Òu trªn đ¸y hoÆc cã c¸c ®êng cao
cña c¸c mÆt bªn xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh b»ng nhau th× ch©n ®êng cao lµ t©m ®êng
trßn néi tiÕp ®¸y
-H×nh chãp cã mÆt bªn hoÆc mÆt mÆt chÐo vu«ng gãc víi ®¸y th× ®êng cao
cña h×nh chãp lµ ®êng cao cña mÆt bªn hoÆc mÆt chÐo ®ã.
-NÕu cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ®¸y cña khèi chãp th× ®êng
cao cña khèi chãp sÏ song song hoặc nằm trên víi ®êng th¼ng ®ã.
-NÕu mét ®êng th¼ng n»m trong ®¸y cña khèi chãp vu«ng gãc vu«ng gãc
víi mét mÆt ph¼ng chøa ®Ønh cña khèi chãp th× ®êng cao cña khèi chãp lµ ®êng
th¼ng kÎ tõ ®Ønh vu«ng gãc víi giao tuyÕn cña mÆt ®¸y vµ mÆt ph¼ng chøa ®Ønh
®· nãi ë trªn.
*NÕu khèi chãp lµ khèi tø diÖn th× ta cÇn khÐo chän mÆt ®¸y thÝch hîp.
Bµi 6: SABCD cã ®¸y lµ t©m gi¸c c©n t¹i A, BC =a, ABC = α, c¸c c¹nh bªn
nghiªng trªn ®¸y mét gãc α. TÝnh VSABC
Gi¶i
http://violet.v/nvbinh198
5
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
S
C
B
a
H
A
- Gäi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn (ABC)
- V× c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.
- Ta cã: ∆ABC = 12 AB. AC. sin
mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = a
⇒ S∆ABC = 12 AB 2 sin
HA = R =
BC
2 sin
2
12 a2
1
3
2
a4 cos 2
2 sina
Tan gi¸c vu«ng cã tan α =
⇒VSABC =
sin
1 cos
1 cos
2
SH
AH
⇒ SH = 2 sina tan 2 cosa
a 3 cot
2
S ABC .SH 13 . a4 cot 2 . 2 cosa 24 cos 2
Bµi 7: SABC cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ S ABCD = 3 vµ gãc gi÷a 2 ®êng
chÐo = 60o. c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y 1 gãc 45o. TÝnh VSABCD
Gi¶i
D
C
O
A
B
-H¹ SO ⊥ (ABCD)
- V× khèi chãp cã c¸c bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y. ⇒ O lµ t©m ®êng trßn ®i qua 4
®Ønh A, B, C, D ⇒ tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt vµ {O} = AC ∩ BD
- §Æt AC = BD =x.
http://violet.v/nvbinh198
6
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Ta cã ShcnABCD = 12 AC.BD.sin60o = 12 x 2 . 23 43 x 2 3 ⇒ x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45 o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC
vu«ng c©n t¹i S ⇒ SO = 12 AC 1 ⇒ VSABCD = 13 3.1 33
Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o.
a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng
b) TÝnh VSABC
Gi¶i
a)
S
a
A
C
H
B
SA SB
o
ASB 60
⇒ AB = a
-Tam gi¸c vu«ng SBC cã BC2 = SB2 + SC2 = 2a2
-∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- 12 ) =3a2
-∆ABC cã AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vu«ng t¹i B
b) H¹ SH ⊥ (ABC)
V× SA = SB = SL � HA = HB = HC
⇒ H lµ trung ®iÓm AC
∆ABC vu«ng t¹i B
Tam gi¸c vu«ng SHB cã SB = a
BH =
AC
2
⇒ SH2 = SB2 - BH2 =
a2
4
SH a2
a 23
(HoÆc ∆SAC lµ nöa ®Òu tam gi¸c ®Òu ⇒ SH =
SA
2
a2 )
⇒VSABC = 13 S ABC .SH 13 . 12 AB.BC.SH 16 a.a 2 .
a
2
a12
3 2
Bµi 9: SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang víi ®¸y lín AB = 2, ACB = 90 o.
∆SAC vµ ∆SBD lµ c¸c tam gi¸c ®Òu cã c¹nh = 3 .
TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD.
§¸p sè: VSABCD = 46
Bµi 10: SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D, ∆SAD ®Òu c¹nh = 2a,
http://violet.v/nvbinh198
7
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
BC = 3a. C¸c mÆt bªn lËp víi ®¸y c¸c gãc b»ng nhau. TÝnh VSABCD
Gi¶i
D
C
K
2a
H
3a
- H¹ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)
- V× c¸c mÆt bªn lËp víi ®¸y c¸c gãc b»ng nhau nªn dÔ dµng chøng minh ®îc H
lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ®¸y
- Gäi K lµ h×nh chiÕu cña H lªn AD
- Ta cã HK = AD
2 a
- Tam gi¸c vu«ng SHK cã HK = a
SK = 2a 23 a 3 (v× ∆SAD ®Òu)
⇒SH = 3a 2 a 2 a 2
V× ⋄ABCD ngo¹i tiÕp nªn: AB + CD = AD + BC = 5a
( AB CD ). AD
5 a2.2 a 5a 2
⇒SABCD =
2
3 2
⇒VSABCD = 13 S ABCD .SH 13 5a 2 .a 2 5a3
Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a,
SB = a
3
, (SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung ®iÓm AB, BC. TÝnh VSBMDN
Gi¶i
S
D
A
H
M
B
N
C
∆SAB h¹ SH b AB
(SAB) b (ABCD)
http://violet.v/nvbinh198
8
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)
S∆CDN = S∆MDA = 14 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 12 S⋄ABCD = 12 2a.2a = 2a2
∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S
1
⇒ SH 2
SA1 2 SB1 2 a12 3a12 3a42
⇒VSBMDN =
1
3
⇒ SH =
a 3
2
3
S⋄BMDN.SH = 13 2a 2 . a 2 3 a 2 3
Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD = 12 AD. ∆SBD
vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a.
TÝnh VSABCD
Gi¶i
S
15a
8a
A
D
H
C
B
-Trong
∆SBD kÎ SH b BD
V× (SBD) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD)
-Tam gi¸c vu«ng SBD cã
hay
1
SH 2
1
SH 2
SH1 2 SD1 2
641a2 2251a2
120
hay SH 14400
289 .a 17 a
-V× h×nh thang cã AB = BC = CD = 12 AD ⇒ Aˆ Dˆ = 60o, B = C = 120o
-∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a
∆CBD cã BD2 =2BC2(1+ 12 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 173 a
2
S∆BCD = 12 BC 2 sin 120 o 12 . 289
3 a .
S⋄ABCD = 3S∆BCD =
3
2
289123a
2
289 3a 2
12
⇒VSABCD = 13 S⋄ABCD.SH =
http://violet.v/nvbinh198
2
1 289 3a 120 a
3
12
17
.
= 170
9
3 a3
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Bµi 13: h×nh chãp SACD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, ∆SCD c©n t¹i S vµ n»m
trong mÆt ph¼ng (ABCD). ∆SAB cã SA = a, ASB = 2 α vµ n»m trong mÆt
ph¼ng lËp víi (SCD) mét gãc α. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD
Gi¶i
S
A
D
K
H
B
C
Trong ∆SCD h¹ SH CD
V× ∆SCD c©n t¹i S
⇒ H lµ trung ®iÓm CD.
SH CD
(SCD) (ABCD
⇒ SH (ABCD)
Gäi K lµ trung ®iÓm AB
Ta cã HK AB
AB SH (v× SH (ABD))
⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S
DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α
∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα
= 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = 3SH1 . S ABCD 23 a 3 sin 2 α
Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC). ACB =60o,
BC = a, SA = a 3 , M lµ trung ®iÓm SB. TÝnh thÓ tÝch MABC
Gi¶i
M
A
C
H
a
B
http://violet.v/nvbinh198
10
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
C¸ch 1.
SA b (ABC)
Tõ M kÎ MH // AS c¾t AB t¹i H ⇒ MH b (ABC)
V× M trung ®iÓm SB H- trung ®iÓm
MH= 12 SA a 2 3
S∆ABC = 12 AB.BC 12 a. tan 60 o.a 12 a 2 3
3
VMABC = 13 S ABC .MH 13 . 12 a 2 3. a 2 3 a4
C¸ch 2.
VMABC
1
VMABC = 12 VSABC
SM
V
SB 2
ASABC
mµ VSABC =
1
3
SA.S∆ABC = 13 a 3. 12 a 2 3 12 a 3 6
⇒Vmabc = 14 a 3
Bµi 15: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA (ABCD),
AB = a, SA = a 2 . H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SD.
Chøng minh r»ng: SC (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OAHK.
Gi¶i
S
a 2
F
E
K
H
N
a
A
B
a
x
O
C
D
y
AH SB (gt) (1)
BC AB (v× ABCD lµ h×nh vu«ng)
BC SA (v× SA (ABCD))
⇒BC (SAB) BC AH (2)
Tõ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3)
Chøng minh t¬ng tù ta cã: SC AK (4)
Tõ (3) (4) ⇒ SC (AKH)
Gäi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF
KÐo dµi AF c¾t SC t¹i N
Trong (SAC) kÎ ®êng th¼ng qua O//SC c¾t AN t¹i E ⇒ OE (AHK)
http://violet.v/nvbinh198
11
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
V× OA = OC; OE//CN OE =
Tam gi¸c vu«ng SAD cã
1
AK 2
1
2
CN
AS1 2 AD1 2
⇒ AK =
AS . AD
2
AS AD
2
a
DÔ thÊy AH = a
∆AKH c©n t¹i A
KH
SA2 AK 2 2a 2 23 a 2
DÔ thÊy ∆SBD cã SK
SD BD mµ SK =
SD = a 3
2a
SF
2
⇒ KH
BD 3a 3 3 SO
HK = 23 BD = 23 a 2
OF = 13 SO ⇒ OF
12
SF
∆SAC cã : OA = OC
2 .a
3a
2
a
2
3
2
3
OE
2a
3
OF 1
1
1
⇒OE
=
SN
=
a
SF
2
2
2
2
2
S∆AHK = 1 KH. AK 2 HK = 2a 2
2
9
4
3
1
2a 2
⇒ V = 3 OE.S AHK
27
⇒ SN
* Cã thÓ dïng PP to¹ ®é ®Ó tÝnh thÓ tÝch OAHK nh sau:
Chän hÖ to¹ ®é nh h×nh vÏ.Ta cã:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
SK
SA
SA SD
⇒
∆ABS cã AS 2 SB.SH ⇒ SH=
2a
3
∆SKA : ∆ SAD ⇒
SK=
2
a a
, 0)
2 2
) , O( ,
2a
3
2
a 2
⇒K(0, a ,
)
3
3
2
a 2
⇒H( a ,0,
)
3
Ta cã
3
2
a 2
AH ( a,0,
)
3
3
2 a 2
AK (0, a,
)
3
3
a a
AO ( , ,0)
2 2
2 2 a 2 2 2 a 2 4a 2
)
,
,
9
9
9
1
2 3
AH , AK ]. AO |=
a
|[
6
27
[ AH , AK ] =(
⇒ VOAHK=
Bµi 16: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = a, AD = a
http://violet.v/nvbinh198
12
2
,
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
SA = a, SA (ABCD). M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm AD vµ SC. {I} = BM ∩ AC.
TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp ANIB.
Gi¶i
a
K
N
a 2
A
a
I
D
O
B
C
SA (ABCD)
Gäi {O} = AC ∩ BD
Trong ∆SAC cã ON // SA
⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB)
1
Ta cã NO = 2 SA a2
TÝnh S∆AIB = ?
ABD sã I lµ träng t©m
⇒S∆ABI = 23 S∆ABO =
2
3
. 14 S⋄ABCD =
⇒ SANIB = 13 NO.S∆AIB =
2
1 a a 2
3 2
6
. .
2
3
a.a
2
a2 2
6
=
3
a 36 2
Bµi 17. H×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a,
(SAD) (ABCD), ∆SAD ®Òu. Gọi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm SB, BC, CD.
TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp CMNP
Gi¶i
z
S
M
A
E
D
B
F
N
a P
x
C
y
http://violet.v/nvbinh198
13
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
- Gäi E lµ trung ®iÓm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD
(SAD) (ABCD)
⇒SE (ABCD)
- Gäi F lµ h×nh chiÕu cña M lªn (ABCD) ⇒ MF // SE. DÔ thÊy F ∈ EB vµ F lµ
trung ®iÓm EB
Ta cã MF = 12 SE = 12 . a 2 3 a 4 3
S∆CNP = 14 S CBD 18 S ABCD 18 a 2
3
VCMNP = 12 S∆NCP.MF = 13 18 a 2 . a 4 3 a 96 3
NhËn xÐt: cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p to¹ ®é ®Ó gi¶i víi gèc to¹ ®é O .
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES
Bµi 18: Cho h×nh trô cã c¸c ®¸y lµ hai h×nh trßn t©m O vµ O’ b¸n kÝnh ®¸y b»ng
chiÒu cao b»ng a. Trªn ®êng trßn t©m O lÊy A, Trªn ®êng trßn t©m O’ lÊy B. sao
cho AB = 2a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OO’AB
Gi¶i
O'
A'
H
D
B
A
O
KÎ ®êng sinh AA’. Gäi D ®èi xøng víi A’ qua O’, H lµ h×nh chiÕu cña B trªn
A’D.
Ta cã BH A’D
BH A’A
⇒ BH (AOO’A’)
⇒BH lµ ®êng cao cña tø diÖn BAOO’
2
SAOO’ = a , A’B =
2
AB 2 AA' 2 a 3
∆A’BD vu«ng ë B ⇒ BD=a
∆O’BD ®Òu ⇒ BH= a
3
2
1
⇒VBAOO’ = 3 BH . SAOO’ =
a2 3
12
Bµi 19: Cho h×nh chãp cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt; AB = a.AD = 2a;
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. §iÓm M thuéc c¹nh SA, AM = a 3 3 .
(BCM) ∩ SD ={ N}. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCMN
http://violet.v/nvbinh198
14
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Gi¶i
S
H
M
N
A
D
B
Ta cã SAB=60
C
0
∆SAB vu«ng t¹i A cã AM =
a 3
3
, AB = a ⇒ ABM = 300
KÎ SH⊥ BM th× SH lµ ®¬ng cao cña h×nh chãp S.BCMN
ta cã SH=SB sin 300 = a
SM
MN
SA
AD
1
10a 2
⇒SBCMN = 2 ( MN BC ).BM
3 3
3
1
⇒VSBCMN = 3 SH . SBCMN = 10 273a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒
⇒MN =
AD.SM
4a
SA
3
Bµi 20: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh thang; BAD = ABC = 90o;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm SA vµ
SD. Chøng minh r»ng BCMN lµ h×nh ch÷ nhËt vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp
S.BCNM
Gi¶i
http://violet.v/nvbinh198
15
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
H
S
N
M
A
D
Ta cã BC//AD ,BC= 1 AD ,MN//AD , MN= 1 AD ⇒BC = MN , BC// MN (1)
2
BC ⊥AB
BC ⊥SA
⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã BCNM lµ h×nh ch÷ nhËt
KÎ SH ⊥BM thì SH⊥ (BCNM)
1
1
2
⇒Vsbcnm= 3 SBCNM.SH= 3 BC.NM.SH=
a3
3
Bµi 21: Cho l¨ng trô ®øng ABCA1B1C1 cã ABC vu«ng. AB = AC = a;
AA1 = a 2 . M lµ trung ®iÓm AA1. TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô MA1BC1
Híng dÉn:
3
+Chän mÆt ®¸y thÝch hîp ⇒ V = a 12 2
+Cã thÓ dïng c¶ ph¬ng ph¸p to¹ ®é
Bµi 22: Tø diÖn ABCD cã AB = x cã c¸c c¹nh cßn l¹i b»ng 1.
a.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn theo x.
b.tÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm B ®Õn mÆt ph¼ng ACD
c. T×m x ®Ó thÓ ABCD ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
Gi¶i
a.
http://violet.v/nvbinh198
16
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
C
H
D
B
C
C¸ch 1:
Gäi H lµ H×nh chiÕu cña D lªn (ABC) v× DA = DC = DB = 1 ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC mµ ∆ABC c©n H ∈ CC’ víi C’ lµ trung ®iÓm AB
S∆ABC = 12 CC '.AB 12 4 x42 .x 14 4 x 2 .x
HC = R∆ABC =
x
2 sin C
4 sin Cx cos C
2
2
x
4. 2x
1
x2
4
1
4 x 2
⇒Tam gi¸c vu«ng HCD cã HD2 = CD2- DC2 = 1
⇒ HD =
C¸ch 2:
3 x 2
4 x 2
⇒VABCD =
1
3
S ABC .HD 13 . 14 4 x 2 .x.
1
4 x 2
3 x 2
4 x
2
2
34 xx2
12x 3 x 2
A
C'
D
B
M
Gäi M lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD ABM
V× ∆ACD vµ ∆BCD ®Òu ⇒ AM = BM = 23
VABCD = 2VCBMA = 2. 13 CM.S∆ABC = 23 12 .S ABM
S∆ABM = 12 MC’.AB = 12 x. ( 23 ) 2 ( 2x ) 2 4x 3 x 2
VABCD = 13 4x 3 x 2 121 3 x 2 .x
b)
http://violet.v/nvbinh198
17
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
SACD=
c)
3
4
⇒ d(B,(ACD))=
3V ABCD
S ACD
=
1
3
3 x 2 .x
VABCD = 121 3 x 2 .x �121 . 3 x 2 x 18
2
2
1
DÊu “=” x¶y ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = 32 vµ thÓ tÝch lín nhÊt lµ 8
Bµi 23: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA vu«ng
gãc víi mÆt ®¸y ABCD vµ SA=h.§iÓm M thuéc c¹nh CD.§Æt CM=x.H¹
SH vu«ng gãc víi BM.TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SABH.T×m x ®Ó thÓ tÝch khèi
nµy lµ lín nhÊt.
GI¶I
S
A
B
H
D
C
M
Ta cã BM SH (gt)
BM SA (V× SA ( ABCD)
⇒BM AH
SABM = 1 SABCD = 1 a2
2
2
Mµ SABM = 1 AH.BM ⇒ AH=
2
∆SAH vu«ng ë A cã SH=
SA 2 AH 2 h 2
∆BAH vu«ng ë H cã BH=
SABH = 1 AH.BH = 1
2
VSABH =
a2
a2
BM
a2 x2
2
AB 2 AH 2 a 2
a2
a2 x2
a4
ax
2
2
2
a x
a x2
a3 x
a2 x2
a 3 xh
1
1
1 a 3 xh
1
S ABH .SA .
a2h
3
6 a2 x2
6 2ax
12
DÊu b»ng x¶y ra khi a=x tøc M trïng D.
http://violet.v/nvbinh198
18
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Bµi 24: H×nh chãp SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA vu«ng gãc víi
®¸y ABC vµ SA = a.§iÓm M thuéc c¹nh AB. §Æt gãc ACM b»ng
H¹ SH vu«ng gãc víi CM
a)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña thÓ tÝch khèi tø diÖn SAHC
b)H¹ AI vu«ng gãc víi SC,AK vu«ng gãc víi SH TÝnh thÓ tÝch khèi tø
diÖn SAKI.
§¸p sè
a)Vmax=
a3
12
b)VSAKI =
a 3 sin 2
24(1 sin 2 )
Cã thÓ tÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn nhê viÖc chia thµnh
c¸c khèi nhá hoÆc bæ sung thªm
Bµi 25: Cho tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi ®«i mét b»ng nhau AB = CD =a,
AC = BD = b, AD = BC = c
TÝnh thÓ tÝch ABCD
Gi¶i
H
P
B
R
C
Q
+Dùng ∆PQR sao cho B, C, D lÇn lît lµ trung ®iÓm PQ, QR, PR.
+S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = 14 S∆PQR
⇒ S∆BCD = 14 S∆PQR
AD = BC = PR
D lµ trung ®iÓm PR
⇒AR AP
T¬ng tù AP b AQ, AQ b AR
VAPQR = 14 S∆PQRAR
Bµi 26: VABCD =
1
6
AD.BC.MN.Sin α. Trong ®ã ABCD lµ tø diÖn cã MN lµ ®é dµi
cña ®o¹n vu«ng gãc chung cña c¸c cÆp c¹nh ®èi AD vµ CB, α =(AD, BC)
Híng dÉn: Dïng h×nh hép ngo¹i tiÕp tứ diÖn nµy.
Bµi 27: Cho h×nh chãp SABC cã tÊt c¶ c¸c gãc ph¼ng ë ®Ønh A vµ B cña tam diÖn
®Òu b»ng α. AB = a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABC
http://violet.v/nvbinh198
19
GV: NguyÔn V¨n B×nh
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Gi¶i
S
F
C
A
a
E
B
-DÔ thÊy∆ SAB, ∆CAB lµ c¸c t©m gi¸c c©n t¹i S vµ C
-Gäi E lµ trung ®iÓm AB ⇒
AB b SE
AB b CE
⇒AB b (SCE)
⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 13 S∆SEC.(AE+BE) = 13 S∆SEC.AB
TÝnh S∆SEC = ?
∆SEC c©n t¹i E v× ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))
Gäi F lµ trung ®iÓm SC ⇒ EF b SC
∆SBC c©n t¹i B v× BC =BS (V× ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))
FS = FC
⇒FBC = 3
Tam gi¸c vu«ng EBC cã CE = 2 tan
Tam gi¸c vu«ng FBC cã BC =
CE 2 EB 2
Sin 2 = FC
⇒ FC = BC sin 2 =
BC
Tam gi¸c vu«ng EFC cã
EF2 = EC2 - FC2 =
S∆SEC =
=
a2
2 cos2
VSABC =
1
2
a2
4
a
2 cos
2
tan
EF.SC = EF.FC =
(
EB
cos
a
2
cos
)
a
2cos
. sin 2
a 2 sin 2 2
2
4 cos
2
a4
1
cos2
(sin 2 sin 2 2
a
sin 2 sin 2 2 . 2 cos
. sin 2
a
2 cos
.sin 2 . sin 2 sin 2 2
a3
12 cos2
.sin 2 . sin 2 sin 2 2
mét sè bµi tËp cã thÓ gi¶i b»ng PP to¹ ®é vỚi viÖc chän hÖ to¹ ®é dÔ dµng
http://violet.v/nvbinh198
20
GV: NguyÔn V¨n B×nh
- Xem thêm -
.DOC 
42 
185 
132 
