Bài tập Đại số
I-Bất đẳng thức cô si
2
2
a
b
c2
abc
1.Chứng minh rằng
với a,b,c>0
bc ca ab
2
1
1
1
3
3
3
2.Chứng minh rằng 3
với a,b,c>0 và abc =1
a b c b c a c a b 2
a3
b3
c3
3
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4
4.Cho k số không âm a1, a2 ,..., ak thoả a1a2 ...ak 1
m
m
m
n
n
n
Cm: a1 a2 ... ak a1 a2 ... ak với m n; m, n N
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: x
2004
y 2004 z 2004 3 .Tìm GTLN của biểu thức
A x3 y 3 z 3
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8a 8b 8c 2a 2b 2c
7.Cho số tự nhiên k 2 . a1, a2 ,..., ak là các số thực dương
a1m a2 m
ak m
n ... n a1m n a2m n ... an m n
Cmr:
n
a2
a3
a1
1 1 1
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn 1 .Tìm GTNN của biểu thức
x y z
x 2006 y 2006 z 2006
A 2007 2007 2007
y
z
x
x 20 y 20 z 20
y
z
x
10.Cho n số thực x1, x2 ,..., xn thuộc đoạn a, b , a 0
9.Tìm GTNN của A 11 11 11 với x y z 1
1 1
1 n a b
Cmr: x1 x2 ... xn
...
xn
4ab
x1 x2
11.Cho n là số nguyên dương;lấy xi 2000;2001 với mọi i=1,2…,n
2
Tìm GTLN của F 2
x1
2 x2 ... 2 xn
12.Xét các số thực x1, x2 ,..., x2006 thoả
2
x1
2 x2 ... 2 xn
x1, x2 ,..., x2006
6
2
Tìm GTLN của biểu thức
1
1
1
A sin x1 sin x2 ... sin x2006
...
sin x2006
sin x1 sin x2
13.Cho n số dương a1 , a2 ,..., an Đặt : m min a1 , a2 ,..., an , M Max a1 , a2 ,..., an
n
n
i 1
i 1
A ai , B
1
1
n m M A
.Cmr: B
ai
mM
Bài tập Đại số
14.Cho ai 0, bi 0, i 1, n .Chứng minh rằng:
n
a1 b1 a2 b2 ... an bn
n a1a2 ...an n b1b2 ...bn
15.Cho ai 0, i 1, n .Chứng minh rằng: 1 a1 1 a2 ... 1 an 1 n a1a2 ...an
n
16.Chứng minh n 1.2... n 1 1 n 1.2...n với n 2, n N
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
3
1
1
1
2
1/ 1
1
1
1
3
sin A sin B sin C
1
1
1
1
1
2/ 1
A
B
C
cos cos cos
2
2
2
1
1
1
3/ 1
1
1
ma mb mc
3
2
1
3
3
2
1
3R
4
4
4
b
b
c
4
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: a a a 3 a 3b
x
y
z
n
19.Cho a, b 0, xi 0i 1,..n; xi 1 . Cmr:
i 1
m
m
m
b
b
b
m
a a ... a n a nb với m > 0
x1
x2
xn
20.Cho a, b, c 0, a b c 1 .Chứng minh rằng:
3
1
1
1
1 1 1 8
ab bc ca
m
n
21.Cho x a; b .Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = ( x - a ) ( b - x) với m,Ν
n�
�π�
0; �
22.Cho x ��
.Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = sin q x.cos p x với p,Ν
q� *
�
�
2
� �
*
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức F ( a, b, c ) = a 30b 4c 2004
24.Cho x, y �0, x + y �6 .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 6 - x - y )
2/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 4 - x - y )
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
1
1
1
1
P= 2
+ + +
2
2
ab bc ca
a +b + c
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
1
1
1
1
1
P= 2
+
+
+
+
2
2
2
acd abd abc bcd
a +b + c + d
n
n
1
xi
xi �
�
=
1
x
,
x
,...,
x
�
27.Giả sử 1 2
. Cmr:
n
n >0 thỏa mãn điều kiện
i=1
( n - 1)
i=1 1 + xi
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
a
2b
3c
1
+
+
= 1 . Cmr: ab 2c3 � 6
1+ a 1+ b 1+ c
5
Bài tập Đại số
n
n
xi
1
�
�
x
,
x
,...,
x
x
=
1
29. Giả sử 1 2
.Cmr:
n
n >0 thỏa mãn điều kiện � i
i=1 1- xi
( n - 1)
i=1
n
1
1
=
1998
i=1 xi +1998
30. (QG-98) Giả sử x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện �
Cmr:
n
x1.x2 ...xn
n- 1
�1998
n
31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện � ai <1
i=1
a1a2 ...an �
1- ( a1 + a2 + ... + an ) �
�
�
n+1
��
1�
�
�
Cmr:
�
�
��
n�
( a1 + a2 + ... + an ) (1- a1 )(1- a2 ) ...(1- an ) �
33.Cmr: " n γ N , n
2 ta có n 1-
(
n
n
n n
n
+ 1+
<2
n
n
) (
)
6
6
6
4 2
4 2
4 2
35. Cho x, y , z �[ 0; 2] .Cmr: 2 ( x + y + z ) - ( x y + y z + z x ) �192
3
3
3
2
2
2
34.Cho x, y , z �[ 0;1] .Cmr: 2 x + y + z - x y + y z + z x �3
2000
2000
3
36.Cho xi �[1; 2] với i=1,…,2000.Thỏa mãn � xi = 2005 Tìm GTLN của A = � xi
i=1
i=1
1
1
1
37.Chứng minh : a 2 b 2 c 2 3.2 Trong đó a, b, c, 0
ab
bc
ca
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
2
2
2
Tìm GTNN của biểu thức P a x y z
16
xy a 2 .Trong đó a là một số dương
25
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
1
2
2
2
2
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : a b c d 1
2
2
2
2
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : x y z
Tìm GTLN và GTNN của : P a 2b c b 2c d b 2a c 2d
2
2
2
41.Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn pt f ( tg 2 x ) = tg 4 x + cot g 4 x
Cmr: f ( s inx ) + f ( cosx ) �196
( OLP-30-4-99)
II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 b 2 4 và c+d=4 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd
96 2
2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 b 2 1 và c+d=3 Cmr: ac+bd+cd
4
2
2
3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn a b 1 và c-d=3
96 2
4
2
2
2
2
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : a b 40 8a 10b; c d 12 4c 6d ;3 x 2 y 13
Cmr: ac+bd-cd
Tìm GTNN của P
x a
2
y b
2
x c
2
yd
2
2
Bài tập Đại số
5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : a 2 b 2 6a 10b 34 a 2 b 2 10a 14b 74 6
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: a 2 b2 12a 8b 52 a 2 b2 c 2 d 2 2ac 2bd c 2 d 2 4c 8d 20 4 5
2
2
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : c d 6; a b 1
Cmr: c 2 d 2 2ac 2bd 18 6 2
2
2
2
2
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a b 2 a b ; c d 4 c d 1
Cmr: 4 2 2 a b c d 2 4 2 2
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a 2 b 2 c 2 d 2 5
3 30
Cmr: 5 a 2b 5 c 2d 5 ac bd
.Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
2
10.Cmr với mọi x,y ta đều có: x 2 4 y 2 6 x 9 x 2 4 y 2 2 x 12 y 10 5
2
2
2
2
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn a b 1 2 a b ; c d 36 12 c d
Cm:
6
2 1 a c b d
2
2
2 1
6
2x 3 y 2
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : x 3 y 9
x 0, y 0
35
x 2 y 2 4 x 8 y 45
2
x 2 y 8 0
13.Cho các số x,y thỏa mãn : x y 2 0
y 2x 4 0
Cmr:
Cm:
16
x 2 y 2 20
5
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi ta có
17 cos 2 4cos +6 cos 2 2cos +3
2 11
2.Tìm GTNN của hàm số y x 2 4 x 12 x 2 2 x 3
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: tgt sin t 2t ; t 0;
2
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
A
B
C
1 cos
1 cos
1 cos
Chứng minh :
2
2
2 3 3 ( A,B,C đo bằng rađian)
A
B
C
4.Cho a, b 0;1 Chứng minh rằng
x
b
a
1 x 1 a 1 b 1 với x 0;1
a b 1 x a 1 x b 1
x 2cos -2x+cos
5.Cho hàm số y 2
với 0;
x 2 xcos +1
Chứng minh : 1 y 1; x
Bài tập Đại số
6.Chứng minh sin A sin B sin C tgA tgB tgC 2 .với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
sinx
tgx
x 1
7.Chứng minh 2 2 2 ;0 x
2
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện f x 0, x
Cmr: f x f
,
x
f ,, x ... f
n
x 0, x
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
1
1
1
cot gA cot gB cot gC 3 3 2
sin A sin B sin C
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
1
1
5
cos3A+cos3B cos2A+cos2B cosA+cosB= .Chứng minh tam giác ABC đều
3
2
6
11.Cho 0 a b .Chứng minh rằng : a.sina-bsinb>2 cosb-cosa
2
a 1
pq
1 p q a p aq
12.Cho
.Chứng minh rằng a
0 q p q+1
.Chứng minh rằng :
2
3
s inx
cosx
x
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: tgA tgB tgC 6 sin A sin B sin C 12 3
13.Cho 0 x
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa a 2 b 2 c 2 1 .
a
b
c
3 3
Chứng minh rằng: 2
2
b c 2 c2 a 2 a 2 b2
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
2
1
sin A sin B sin C tgA tgB tgC
3
3
3x
1
17.Cho 0 x .Cmr: 2 s inx
tgx
2
2 2 2
2
18Cho số nguyên lẻ n 3.Cmr: x 0 ta luôn có :
x 2 x3
x n
x 2 x3
xn
...
...
1 x
1 x
1
2!
3!
n
!
2!
3!
n
!
19.với giá trị nào của m thì sin 3 x cos3 x m, x
4 xy 2
3
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
2
x x 4y
1
8
21.Cho x 0, y 0 là hai số thực thay đổi thỏa mãn x y xy x 2 y 2 xy
1
1
Tìm GTLN của biểu thức A 3 3
x
y
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện a, b, c
Chứng minh ta có bất đẳng thức
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
a
1 a2
b
1 b2
3
4
c
1 c2
9
10
Bài tập Đại số
x 1
1/Tìm cực trị của hàm số y
x2 x 1
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của P x 2 x 1
y2 y 1 z2 z 1
2
2
2
24.Tìm GTNN của P 3 x 1 y 1 z 1 2 x y z
4
4
4
3
3
3
25. Cho a, b, c 0 và a b c 6 . Cmr: a b c 2(a b c )
1 1 1
) (a b c) 2 3
a b c
a
b
c
9
27Cho a,b,c>0 .Cmr :
(b c) 2 (c a ) 2 (a b) 2 4(a b c)
a(b c)
b( c a )
c ( a b)
6
28. (Olp -2006)Cho a, b, c 0 .Cmr: 2
a (b c)2 b 2 (c a) 2 c 2 (a b) 2 5
26. Cho a, b, c 0 và a 2 b 2 c 2 1 . Cmr: (
(b c a) 2
(c a b ) 2
(a b c ) 2 3
39.(Olp nhật 1997)Cho a, b, c 0 .Cmr:
(b c) 2 a 2 (c a ) 2 b 2 (a b) 2 c 2 5
x y z 4
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
.
xyz 2
Tìm GTLN và NN của biểu thức P x 4 y 4 z 4 (QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x y z 3 32 xyz
Tìm GTLN và GTNN của P
x4 y 4 z4
x y z 4
(QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d và bc ad .Chứng minh rằng
a b bc c d d a a d b a cb d c
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x 3 x 1 3 y 2 y
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y
( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x ,
(
) (
x �( 0;π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f sin 2 x f cos2 x
)
QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x ,
x �( 0;π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f ( x ) f (1 - x ) , x �[ 1;1]
� π�
0; �
;a
�
46.Cho x>0 và a, b ι �
�
�
�
� 2�
x +sin b
�x + s ina �
�
b Cmr: �
�
�
�
�x + sin b �
�
sin b
�
sin a �
�
>�
�
�
�
�
�
sin b �
IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
a b
a a b
ln
a
b
b
ba
ba
tgb tga
2.Chứng minh rằng nếu 0 a b thì
2
2
cos a
cos2b
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì
( QG –A-2003)
Bài tập Đại số
1
; x 0;1
2ne
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
a
b
c
0 .Chưng minh pt ax 2 bx c 0 có ít nhất một nghiệm
m 2 m 1 m
thuộc khoảng 0;1
3.Chứng minh x
n
1 x
5.Cho pt bậc n: an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 0 trong đó an 0,an1,...,a1,a0
a
a
a
là số thực thỏa mãn : n n1 ... 1 a0 0.Chứng minh pt đã cho có
n 1 n
2
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang 0;1
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn 5c n 2 6 a b 0
Chứng minh pt : a sin n x b cos n x c sin x c 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;
2
7.Cho hàm số liên tục : f : 0;1 0;1 có đạo hàm trên khoảng 0;1 Thỏa mãn
f 0 0,f 1 1.Chứng minh tồn tại a,b 0;1 sao cho a b và f , a f , b 1
8.Giải các pt sau :
a) 3x 5 x 2.4 x
b) 3cosx 2cosx cosx
cosx
3.4cosx
c) 1 cosx 2 4
d) 2003x 2005 x 4006 x 2
1
1
1
1
1
...
...
9.Xét phương trình :
x 1 4x 1
k2x 1
n2 x 1 2
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là xn
b)Cmr dãy số xn có giới hạn bằng 4 khi n
(QG-A-2002)
10.Cho hàm số f ( x ) và f , ( x ) đồng biến trên đoạn [a;b] ,với
1
1
f ( a ) = ( a - b) , f , ( b) = ( b - a )
2
2
Chứng minh rằng tồn tại α, β ,δ phân biệt trong ( a;b) sao cho f , ( α ) f , ( β ) f , ( δ ) = 1
11.Cho f :[0;1] � [ 0;1] thoả mãn các điều kiện f , ( x ) > 0;" x �[0;1] và f ( 0) = 0,f (1) = 1
n
,
Cm:tồn tại dãy số 0 �a1 < a2 < ... < an �1 sao cho � f ( ai ) �1
i =1
(n là số nguyên dương n �2 )
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
abc + abd + bcd + acd
ab + ac + ad + bd + cd
�
CMR: 3
4
6
Bài tập Đại số
V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
1 cosxcos2x...cosnx
khi x 0
a) f x
tại x=0
x2
0 khi x=0
ln cosx
khi x 0
b) f x x
tại x=0
0 khi x 0
x a e bx khi x 0
2.Xác định a,b để hàm số : f x
có đạo hàm tại x=0
ax 2 bx 1 khi x 0
p cosx +qsinx khi x 0
3.Cho hàm số f x
px+q+1 khi x 0
Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Giải bpt : 2 x3 3 x 2 6 x 16 2 3 4 x
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
log a 11 log 1 ax 2 2 x 3.log a ax 2 2 x 1 1 0
2
3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
log a 3 log 1 x 2 ax+5 1.log5 x 2 ax+6 0
a
4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
4
xa
2
log 3 x 2 2 x 3 2 x 2 x log 1 2 x a 2 0
3
2
2
2
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: 3 x a 1 9a 2 x
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
1
2
x 3a 2 .3x 8a 4 log 3 3a 3 x3
2
2
2
4
2
6. Tìm những giá trị của a để pt: 15 x 2 6m 1 x 3m 2m 0 có số nghiệm không nhiều
2
x
3
6m
hơn số nghiệm của pt : 3a 1 .12 2 x 6 x 3 9
3
7.Giải pt : 3log3 1 x x 2 log 2 x
tgx tgy y x
8.Giải hệ
5
2 x 3 y 4
9.Giải bất pt log7 x log3 2 x
28m 0, 25
Bài tập Đại số
x
x
1 a2 1 a2
10.Giải pt :
1 với tham số a 0;1
2a 2a
tgx tgy y x
11. Giải hệ:
y 1 1 x y 8
(1)
(2)
2
12 Giải pt: etg x cosx=2 với x ;
2 2
13 Giải pt: 3 x(2 9 x 2 3) (4 x 2)( 1 x x 2 1) 0
x
14.Giải pt: 3 1 x log3 (1 2 x )
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :
x 2 x 1 x2 x 1 m
2
2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax 2 1 cos x có đúng một nghiêm x 0;
3.Cho hàm số y x
( x a)( x b) với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr
1
s s
s
với mọi s 0;1 đều tồn tại duy nhất số thực 0 : f ( ) a b
2
(QG-A-2006)
4.Cho pt : cos2x= m+1 cos 2 x 1 tgx
a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 0;
3
5.Tìm m để pt sau có nghiệm: 4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
4m 3
x 3m 4 y m 1 x 2 y 2 0
7.Tìm m để pt :
1 cos8 x
m có nghiệm.
6 2 cos 4 x
�π�
0; �
8.Tìm a đ pt : ax 2 + 2 cos x = 2 đúng 2 nghiệm thuộc �
�
� 2�
�
2
x
9.Cho hàm số: f ( x ) = e x - sinx+
2
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt f ( x ) = 3 có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt x x +1 = ( x +1) x có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c = 0; ( a �0) có 3 nghiệm phân biêt
2
a)Hỏi pt: 2 f ( x ) f ,, ( x ) - �
f , ( x ) �= 0 có bao nhiêu nghiệm
�
�
Bài tập Đại số
b)Chứng minh rằng: 27c + 2a3 - 9ab < 2
( a2 - 3b)
3
� π�
� π�
� π�
�
�
�
x+ �
+
tg
x
+
+
...
+
tg
x+ �
�
�
�
�
�
12.Cho pt : tg �
�
�
�= 0 ( n là tham số)
�
�
�
2
�
�
�
� 2� � 2 �
� 2n �
a) Cmr v ới mối số nguy ên n �2 ,pt c ó một nghiệm duy nhất trong khoảng
� π�
�
0; �
�
�
�.k í hiêụ ng đó là xn
�
� 4�
b)Cm dãy số ( xn ) có giới hạn
13.Chứng minh pt f ( x) = x 4 + 4 x3 - 2 x 2 - 12 x +1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt xi ;i = 1,4
4
và hãy tính tổng S = �
2 xi 2 +1
i =1 ( xi
- 1)
2
VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
y 2 x3 4 x 2 ax
1.Tìm a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát: 2
x y3 4 y 2 ay
2x+ y-1 m
2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm
2y x 1 m
2y
x
1 y 2
3.Giải hệ
y 2x
1 x 2
4.Chứng tỏ rằng với mọi a 0 thì hệ sau có nghiệm duy nhất
2
a2
2x y
y
2
a2
2
y
x
x
x
y sinx=a
5.Tìm a để hệ
có nghiệm duy nhất 0 x 2 ,0 y 2
y
sin y a
x
x 3 3x 3 ln( x 2 x 1) y
3
2
6.Giải hệ: y 3y 3 ln( y y 1) z
3
2
z 3z 3 ln(z z 1) x
x 2 2 x 6 log (6 y ) x
3
2
7.Giải hệ: y 2 y 6 log 3 (6 z ) y ( QG – A- 2006)
2
z 2 z 6 log3 (6 x) z
Bài tập Đại số
8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)
x12 x23 4 x22 ax 2
2
x2 x33 4 x32 ax 3
............................
2
3
2
xn x1 4 x1 ax1
1 42x y .51 2x y 1 22x y 1
6.Giải hệ:
( HSGQG 1999)
y 2 4x 1 ln y 2 2x 0
log2 1 3cosx log3 sin y 2
7.Giải hệ:
(THTT)
log2 1 3sin y log3 cosx 2
�x - my = 2 - 4m
8.Gọi ( x;y ) là nghiệm của hệ pt: �
( m là tham số)
�
�
�mx + y = 3m+1
Tìm GTLN của biểu thức A = x 2 + y 2 - 2x ,khi m thay đổi
HƯỚNG DẤN GIẢI
I.Bất đẳng thức
Bài tập Đại số
4. nai m m n mai n , i 1,.., k
7.
am
*m n : m n 1 na2m n ma1m n
a2n
...
*m n : csi
am
*m n : n m 1 ma1m n na2m n
a2n
...
1
1
1
1 ab 1 bc 1 ca
A
1
1
1
20.
ab bc ca
abc 2
Ta có:
1 ab 1
a b 2
4
2 a b 2 a b
4
1
1 a 1 b 1 c 1 c
4
1 a 1 b
2
2
1
Tương tự suy ra: A 1
1 1
8
a
b
c
1
1
3
1
1 1
1
3
3
Mà: 1
4 Vậy: A 8 dpcm
1 1 1 3
a b c
abc
1
1
1
1
1
1 a
b
c
d
1
26. P 2 2 2 2 2 ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bca
a b c d
A B C
1
1
1
1
1
1
1
*A
2
2 ab ac ad bc bd cd
a ... d
1
1
1
1
1
1
*B
ab ac ad bc bd cd
a
b
c
d
*C
bcd acd dab abc
A
100,
B 96, C 64
P 260
Ta cm:
xi
Xn
X1
29.Đặt: X i 1 x , i 1,..., n ta có 1 X ... 1 X x1 ... xn 1
i
1
n
1
1
1
ra:
...
n 1 X1. X 2 ... X n
Từ đó suy
(đpcm)
1 X1
1 Xn
n 1 n
30. Đặt: X i
1
1
xi
...
1
,i 1,n .Ta có:
1 X 1
1 X n
1998
Từ đó suy ra: X1... X n n 1 n .vậy có (đpcm)
31.Đăt: X i
1 a1 ... an
a1
; i 1,..., n; X n 1
1 ai
a1 ... an
n 1
1
1
1
1
...
n
Ta có: 1 X
.vậy X1...X n X n 1
1 X n 1 X n 1
1
n
Bài tập Đại số
38.
z2 2 z2
P a x 2 y 2 z 2 x 2
y
a x2 y 2
2
2
xz yz 2 1 xy
2
a
Chọn
2
2
39.
2
16
z2 2 z2
16
Px y z
xy qx 2
xy
qy
1 q x2 y 2
25
2
2
25
2
2
2
2
q
16
xz yz 2 1 q xy
2
25
q
16
18
2 1 q
q
2
25
25
a
xy
3
5a2
khi
PM ax
6
z 3a
5 3
Chọn 2
39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: a2 d 2,c2 d 2 .với p>0 xác định sau ta có
cộng theo vế :
P 5 5p a2 d 2
Vậy Pmax
5 10p 2 2
1 2p
1 5
b c Chọn p thỏa : 1 p
p
p
p
2
5 3 5
2
43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi M a;b ,N c;d Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn x 2 y 2 4 và đường
thẳng
x y 4 .Dễ thấy 2 ac bd cd a c 2 b d 2 20 MN 2 20
Mà MN 2 12 8 2 nên 2 ac bd cd 8 8 2 ac bd cd 4 4 2
Vậy maxP=4+4 2 khi a b 2;c d 2
2.và 3 tương tự
4.Gọi N a;b ,Q c,d ,M x;y Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
Bài tập Đại số
C1 : x 4 2 y 5 2 1, C 2 : x 2 2 y 3 2 1 và đường thẳng :
3x 2y 13 0
Khi đó P MQ MN
Gọi I ,R 1và J ,R2 lần lượt là tâm và bán kính của C1 , C 2
118 21
Lấy K u;v đối xứng với I qua thì K ;
13 13
P MQ MN MJ JQ MI IN MJ MK R1 R2
2 13 1
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M M 1,Q Q1,N N 1.Trong đó M 1,Q1là giao
Của JK với và C 2 còn N 1 M 1I C1
Vậy minP 2 3 1
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có
1 cost cost
A
B
C
cot gt .và vì cot g cogt cot g 3 3 nên có đpcm
2t
sint
2
2
2
x
b
a
1 x 1 a 1 b với x 0;1
4.Hàm số f x
a b 1 x a1 x b 1
có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
TH 1 : f , x 0 VN Thì f x M ax f 0 ;f 1 1
TH 2 : f , x 0 có nghiệm duy nhất x thì vì f , x đồng biến nên là điểm
axf x max f 0 ;f 1 1
cực tiểu vì vậy m
(đpcm)
0;1
8.Đặt F x f x f , x ... f n x thì
n
F , x f , x f , x ... f x F x f x (1)
vì f là đa thức bậc n nên f n 1 x 0 .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại x0 Thì
F , x0 0
vậy từ (1) suy ra F x0 F , x0 f x0 f x0 0 (đpcm)
pq
1 p+q a p a q a p q p q a p a q 1 0
12. a
pq
p q x p x q 1 đồng biến trên 1;
Hàm số: f x x
Và có f 1 0 nên từ a 1 ta có (đpcm)
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của f x sin2 x.tgx x 3
1
3
1
3
2
2
Chú ý: 2sin2 x tg 2x 2sinx+tgx 3x
*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị x
1
là
3
Bài tập Đại số
y x x 3 x 1 x 2
23. y
x 1
x2 x 1
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1
nên P x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.
2
P x 4 y 4 z 4 x2 y 2 z 2 2 x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2
2
2
2
x y z 2 xy yz zx 2 xy yz zx 2 xyz x y z
2
16 2t 2 t 2 16
với t=xy + yz +zx
t x y z yz x 4 x
Vì
yz
yz =
2
4x
2
2
x
2
x
2
4 x
2
x
3
5; 2
do (0 0 có f ( 4) = f ( 3) .Do đó tồn tại c �( 3;4)
�
α =0
α =1
�
�c +1 α- 1 - c α- 1 �
,
=0� �
(
)
Sao cho f ( c) = 0 � α �
�
�
�
�
d
b
Bài tập Đại số
Thử lại thấy x = 0 và x = 1 đều thỏa mãn (1)
Vậy pt có hai nghiệm x = 0 , x = 1
b) t=cosx � 3t - 2t = t � 3t - 3t = 2t - 2t . Giả sử pt có nghiệm x = α
Xét f ( t ) = t α - tα thì f ( 3) = f ( 2) suy ra pt f , ( t ) = 0 có nghiệm có
nghiệm c �( 2;3) .
f , ( tαt
)=
α- 1
α-
f� c , ( α) =c
(
α- 1
c)Đặt t = cosx,- 1 �t �1
�
α =0
- 1 =0� �
�
α =1
�
Ta có pt: (1 +t ) ( 2 + 4t ) = 3.4t � f (t ) =
6 ln4.4t
,
f (t ) =
(2+4 )
t 2
)
3.4t
2 + 4t
- t - 1= 0
(
- 1,f , ( t ) = 0 � 6 ln4.4t = 2 + 4t
)
2
.Đây là pt bậc hai theo 4t
nên có không quá hai nghiệm do đó pt f ( t ) = 0 có không quá 3 nghiệm
1
2
Ta thấy t = 0,t = ,t = 1 là 3 nghiệm của pt…
C) Xét f ( x ) = 2003x + 2005x - 4006x - 2 có đạo hàm cấp hai dương
Và f ( 0) = f (1) = 0 .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1
1
1
1
1
= 0 (1)
9)Viết lại pt dưới dạng f n ( x ) = - 2 + x - 1 + 4x - 1 + ...+ 2
n x- 1
Dễ thấy ,với mỗi n �Ν* hàm f n ( x ) liên tục và nghịch biến trên (1;+�)
1
Hơn nữa f n ( x ) � +� khi x � 1+ và f n ( x ) � - khi x � +� .Từ đó suy ra
2
*
Với mỗi n �Ν ,pt(1) có duy nhất nghiệm xn > 1
Với mỗi n �Ν* ,ta có
f ( 4) =-
1
1
1
1
+
+
+ ...+
2 22 - 1 42 - 1
( 2n) 2 - 1
1�
1 1 1
1
1
1
1 �
�
= �
- 1 +1- + - + ...+
+ ...+
�
�
�
�
�
2
3 3 5
2k - 1 2k - 1
2n - 1 2 n +1�
1
=< 0 = f ( xn )
2 ( 2n +1)
Từ đó, dohàm f n ( x ) trên (1;+�) nên xn < 4 với mọi n �Ν* (2)
Mặt khác hàm f n ( x ) có đạo hàm trên [ xn ,4] nên theo định lí Lagrange
Với mỗi n �Ν* tồn tại t �( xn;4) sao cho
f n ( 4) - f n ( xn )
-1
-4
- n2
1
,
= f (t) =
+
+ ...+
<- " n �Ν*
2
2
2
4 - xn
( t - 1) ( 4t - 1)
( n t - 1) 9
Hay
-1
1
9
<- " n �Ν* � xn > 4 " n �Ν* (3)
2 ( 2n +1)( 4 - xn )
9
2 ( 2n +1)
Bài tập Đại số
9
," n � * suy ra limxn = 4 (đpcm)
từ (2) và (3) : 4 - 2 ( 2n +1) < xn < 4Ν
III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
2
2. ax +1 = cosx � a =
cosx-1
x2
� π�
�
= f ( x ) ," x ��
0; �
�
�
� 2�
�
Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm
�
a +b �
�
ab;
�
3.Hàm số y = - x + ( x + a)( x +b) có miền giá trị trên ( 0;+�) là �
�
�
�
�
�
2
1
Do đó chỉ cần cm:
�
s
as + bs �
a + b ,với mọi s �( 0;1)
�
�
�
ab < �
<
�
�
�
�
2
�
� 2 �
4
( 4m- 3) x + 3 +( 3m- 4) 1- x + m- 1 = 0
.
� m=
3 x + 3 + 4 1- x +1
4 x + 3 + 3 1- x +1
2
2
� x +3 �
� 1- x �
α
�
�
�
�
t
=
tg
�
�
+
=
1
�
Chú ý: �
.Do
đó
lượng
giác
hóa
và
đưa
về
ẩn
phụ
�
�
�
�
2
� �
�
�
� 2 �
� 2 �
Rồi khảo sát hàm số thu được theo t
5.Tương tự 4
10. x x +1 = ( x +1) x � f ( x ) = x ln( x +1) - ( x +1) lnx = 0
� 1�
1
1
1 1
1
�
- < - < 0 với x>0 vậy f Nb
�
�
x � x x +1 x x x +1
Mà f (1) = ln2 > 0 và
�
�
� 1�
1+ �
- ln( x +1) �
(�x +1) ln�
�
lim f ( x ) = lim �
�
�
�
�
� x�
x �+�
x �+� �
�
,
1+
Ta có f ( x ) = ln�
�
�
�
x +1
��
�
1�
�
�
�
= lim �
ln
1
+
ln
x
+
1
=- �
(
)
�
��
�
�
�
�
�
x
x �+� �
�
�
�
Kết hợp f liên tục trong ( 0,+�) suy ra pt có nghiệm dương duy nhất .
- Xem thêm -
.DOC 
17 
140 
103 
