Tài liệu [cao tuấn] công thức tính diện tích, thể tích của một số hình thường gặp

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán 1. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Sưu tầm & biên soạn: CAO VĂN TUẤN Số điện thoại: 0975 306 275 Công thức Sxq  4 R2   4 3 V   R 3  R  Chỏm cầu Hình nón Hình nón cụt Hình trụ  Sxq  2 Rh   r 2  h 2   h  h 2 2 h  3r 2 V   h  R    3 6    h  R Sđáy   R2  Sxq   Rl  S   R  R  l   tp 1  2 V  3  R h Sxq   l  R  r    1 2 2 V   h R  r  Rr 3   r https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Hình cầu Hình vẽ l h R r h  R Sxq  2 Rh  2 V   R h h R Hình trụ cụt Sxq   R  h1  h2    2  h1  h2   V   R   2   h2 h1 R 1 Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275 V 2 3 R tan  3 Hình nêm https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  2 V     R3 tan   2 3 R R Diện tích Parabol và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Parabol Sparabol  4 Rh 3 h R R 1 1 V   R2 h  Vtru 2 2 Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip h  Selip   ab  4  2 Vxoay quanh 2 a   ab 3  4 2  Vxoay quanh 2 b  3  a b b a a b VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 [Trích đề thi thử THPT Chuyên KHTN HN – lần 4]: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối  H  như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (hình vẽ). Tính thể tích của  H  . A. V H   192 . C. V H   704 . 2 B. V H   275 . D. V H   176 . 14 8 Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán Lời giải:  AB  8  Ta có:  AE  10  DE  CE  CD  14  8  6  E 8 D 14 A  AD  AE2  DE2  102  62  8  R  AD  4. 2 8 R Cách 1: Áp dụng trực tiếp công thức B C  AB  CE   8  14  Thể tích của  H  là: V H    R2    .42     176  Chọn đáp án D. 2    2  Cách 2: Lấy mặt phẳng  P  vuông góc với đường sinh của hình trụ và đi qua điểm A (điểm thuộc thiết  Khối 1: Khối trụ có chiều cao h  8 và bán kính r  4  V1   .42.8  128 .  Khối 2 (khối còn lại): Có thể tích bằng một nửa thể tích của khối trụ có chiều cao h  6 và 1 bán kính r  4  V2   .42.6  48 . 2 Thể tích của  H  là: V H   V1  V2  128  48  176  Chọn đáp án D. Ví dụ 2 [Trích đề thi thử THPT Tử Đà, Phú Ninh, Phú Thọ]: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh 10 cm bằng cách khoét bỏ đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB  5 cm, OH  4 cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. 40 140 A. B. cm2 . cm2 . 3 3 160 C. D. 50 cm2 . cm2 . 3 Lời giải: Gọi S, Shv , SP lần lượt là diện tích của bề mặt hoa văn, miếng bìa mỏng hình vuông và một phần hình có hình dạng parabol bị khoét đi. 2 2 140 2 Khi đó: S  Shv  4SP  Shv  4. .OH.AB  102  4. .4.5  cm  Chọn đáp án A. 3 3 3 Ví dụ 3 [Trích đề thi thử THPT Chuyên Ngoại Ngữ HN]: Học sinh A sử dụng một xô đựng nước có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm , miệng xô là đường tròn bán kính 30 cm , chiều cao xô là 80 cm . Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20 000 đồng/ 1m 30 cm 80 cm 3 (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)? A. 35 279 đồng. B. 38 905 đồng. C. 42 116 đồng. D. 31 835 đồng. 20 cm Lời giải: Thể tích của một xô nước là: 1 1 V   h R2  r 2  Rr   .80 302  202  30.20  159174,0278 cm3  0,1591740278 m3 . 3 3 3         https://www.facebook.com/ThayCaoTuan diện gần mặt đáy nhất). khi đó, ta chia khối  H  thành hai khối: Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275    Thể tích nước mỗi tháng A dùng hết là: 10V  1,591740278 m3 Vậy số tiền nước mà A phải trả mỗi tháng là: 1,591740278  20000  31 834 đồng.  Chọn đáp án D. Ví dụ 4: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đ y). Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Khi đó, giá trị của V là 225 A. V  2250 cm3 . B. V  cm3 . 4   C. V  1250  cm  . 3   D. V  1350  cm  . Hình 1 3 Hình 2 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Lời giải: Cách 1: Giải theo hướng tự luận Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình: y  225  x2 , x    15;15 . Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm  có hoành độ x , x    15;15  cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S  x  (hình vẽ). MN  NP tan 450  NP Dễ thấy: NP  y   y  225  x2 . Khi đó: S  x     1 1 MN.NP  225  x2 suy ra thể tích hình nêm là: 2 2 15 15     1 V   S  x  dx   225  x2 dx  2250 cm3  Chọn đáp án A. 2 15 15 Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh  30  15 cm R  . Hình nêm có dạng như hình vẽ bên với  2   450  Vậy thể tích hình nêm là: 2 2 V  R3 tan   .153 tan 450  2250 cm3  Chọn đáp án A. 3 3   Ví dụ 5: Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính 4 dm, người ta muốn cắt bỏ một chỏm cầu có diện   tích mặt cắt là 15 dm2 để lấy phần còn lại làm bể nuôi cá. Hỏi thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa là bao nhiêu? A. 4   175  dm3 . 4 B.   175  dm3 . 3 C.   125  dm3 . 4 D.   125  dm3 . 3 Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán Gọi V , VC , VCh Lời giải: lần lượt là thể tích tối đa của bể nuôi cá có thể chứa, thể tích khối cầu bằng thủy tinh và thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ. 4  h Khi đó: V  VC  VCh   R3   h2  R   . 3 3  h r h' R   R  4 dm . Ta có:  S  4 r 2  15 dm2  r 2  15     Khi đó: h  R2  r 2  42  15  1  h  R  h  3 dm. Vậy thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa là: 4  3  175 V   .43   .32  4     dm3  Chọn đáp án C. 3 3 3    Ví dụ 6 [Trích đề thi thử THPT Hà Huy Tập, Hà Tĩnh]: 100 m Một s n chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 2m m và có chiều rộng 60 m. Người ta dự định làm một con đường nằm trong s n như hình vẽ. Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip. 60 m Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2 m. Kinh phí cho mỗi m2 làm đường là 600 000 đồng. Số tiền làm con đường đó là A. 293 904 000 đồng. C. 293 804 000 đồng. B. 283 904 000 đồng. D. 283 604 000 đồng. Lời giải: Cách 1: Sử dụng ứng dụng của tích phân Elip của đường viền ngoài có độ dài trục lớn là a  50 m . 100 m và độ dài trục bé là 60 m   b  30 m y 30 28 - 50 - 48 48 O - 28 - 30 50 x y2 x2 x2   1  y   30 1  . 502 302 502 Elip của đường viền trong có độ dài trục lớn là a  48 m . 96 m và độ dài trục bé là 56 m   b  28 m   E1  : y2 x2 x2   1  y   28 1  . 482 282 482 Do tính đối xứng của elip, nên diện tích của mặt đường cần làm là: 48  50  MTBT x2 x2  S  4  30 1  2 dx   28 1  2 dx   156  489,84 m2 . 0  50 48 0     E2  :      Diện tích của mặt đường cần làm là: S  S1  S2  1500  1344  156  489,84 m2 . Vậy số tiền làm con đường đó là: 489,84  600 000  293 904 000 đồng  Chọn đáp án A. 5 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275  Cách 2: Sử dụng công thức tính diện tích của elip Selip   ab a  50 m  S1   .50.30  1500 m2 .  Elip của đường viền ngoài có  b  30 m    a  48 m  S2   .48.28  1344 m2 .  Elip của đường viền trong có  b  28 m      Diện tích của mặt đường cần làm là: S  S1  S2  1500  1344  156  489,84 m2 . https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Vậy số tiền làm con đường đó là: 489,84  600 000  293 904 000 đồng  Chọn đáp án A. 6