Tài liệu Cẩm nang kiến thức toán cấp 3 ( www.sites.google.com/site/thuvientailieuvip )

CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH THPT:  ÔN THI HỌC KỲ  LUYỆN THI TÚ TÀI  LUYỆN THI CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC  TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC.  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.  CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CƠ BẢN. GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM LỚP 10 PHẦN I: ĐẠI SỐ I. HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT: Cho hàm số y = f(x) 1. Tập xác định: D  x / f x   R  Lưu ý:  y  f x  xác định khi f x   0 f x  g x   y  y xác định khi g x   0 f x  g x  xác định khi g x   0 2. Tính chẵn lẻ: Tập xác định D là Tập đối xứng x  D   x  D  f  x   f x   Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn trên tập xác định D   Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (oy) làm trục đối xứng x  D   x  D  f  x    f x   Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ trên tập xác định D   Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 3. Tính đơn điệu:  Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b) nếu x1 , x2   a; b  : x1  x2  f  x1   f  x2   Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b) nếu x1 , x2   a; b  : x1  x2  f  x1   f  x2  4. Phép tịnh tiến đồ thị: (C ) : y  f x  m, n  R  Đồ thị y = f(x) + m : tịnh tiến (C) lên m đơn vị  Đồ thị y = f(x) - m : tịnh tiến (C) xuống m đơn vị  Đồ thị y = f(x + n) : tịnh tiến (C) sang trái n đơn vị  Đồ thị y = f(x - n): tịnh tiến (C) sang phải n đơn vị II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Giải và biện luận phương trình ax + b =0 (*) ax  b  0 (*) Hệ số a=0 Kết luận b=0 (1) Nghiệm đúng với mọi x b≠0 (1) Vô nghiệm (1) Có nghiệm duy nhất x  a≠0 b a 2. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Điều kiện Kết quả tập nghiệm a>0 S =  ;   a<0 S =   ;   a=0 3. Dấu nhị thức bậc nhất f x   ax  b    b  a b0 b<0 a  0 b a   S= S=R   b/a  f x   ax  b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a  Dễ nhớ khi xét dấu: PHẢI CÙNG (Cùng dấu với a), TRÁI TRÁI (Trái dấu với a) x Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 1 4. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx +c =0 (*)  a = 0 xét nghiệm phương trình bx + c = 0 (Như phương trình ax + b = 0)  a  0 ta có:   b 2  4ac Δ<0 Δ=0 Δ>0 '  b'2 ac Kết luận Δ’ < 0 (*) Vô nghiệm b 2a Δ’ = 0 (*) Có hai nghiệm phân biệt Δ’ > 0 (*) Có nghiệm kép x  x1, 2  Kết luận (*) Vô nghiệm (*) Có nghiệm kép x   b' a (*) Có hai nghiệm phân biệt b  2a x1, 2   b' ' a  Lưu ý: c . a c  Nếu a – b + c = 0 thì (*) có hai nghiệm là x = –1 và x =  . a b  Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b  . 2 2 5. Định lý vi-et: Phương trình ax + bx +c = 0 (*) có hai nghiệm x1 , x2   Nếu a + b + c = 0 thì (*) có hai nghiệm là x = 1 và x = ax 2  bx  c  ax  x1 x  x2  c b S  x1  x2   P  x1 .x2  a a Các biểu thức đối xứng hai nghiệm x1 , x2 : x1  x2  S 2  2P 2 2  x1  x2  S S 2  3P 3 3  x1  x2  S 2  2 P   2 P 2 4 4 2 x1  x2 2  S 2  4 P   a2  Lưu ý:  Nếu S = u + v và P = uv thì u và v là nghiệm của phương trình bậc hai có dạng: x2  Sx  P  0 ĐK S 2  4P  0  Phương trình ax2 + bx +c = 0 (*) khi (*) có hai nghiệm trái dấu ( x1  0  x2 )  P < 0   0  (*) có hai nghiệm dương x2  x1  0   P  0  S  0 0  x1  x 2 )  x2  x1  0 (*) có hai nghiệm cùng dấu(    0  P  0   0  (*) có hai nghiệm âm x2  x1  0   P  0  S  0 Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  > 0 6. Dấu tam thức bậc hai <0 =0 >0 f(x) = ax 2  bx  c (a  0) a.f(x) > 0, x  R  b   2a  a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2; +∞) a.f(x) < 0, x  (x1; x2) a.f(x) > 0, x  R \  Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 2  Lưu ý:  Khi giải nhớ xét trường hợp hệ số a = 0   a  0 ax 2  bx  c  0, x  R     0  a  0   b  0 2 ax  bx  c  0, x  R    c  0   a  0   0 a  0 ax 2  bx  c  0, x  R     0  a  0   b  0 2 ax  bx  c  0, x  R    c  0   a  0   0   7. Các phương trình khác đưa về phương trình bậc hai: Phương trình Phương pháp Đặt t  x  0 Đặt t  x  a x  b ax  bx  c  0 x  ax  bx  cx  d   m Với a  b  c  d x  a4  x  b4  m 4 2 2 ab 2 1 Đặt t  x  , điều kiện x Đặt t  x  1   1  a x 2  2   b x    c  0 x x    4 3 2 ax  bx  cx  bx  a  0 Thử x = 0 là nghiệm không 2 Khi x  0 chia cho x và đặt t  x  1 , điều kiện x 8. Phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với A, B, C là các biểu thức chứa biến x  A0 B0 C1   C2  A  B   A  B    A  B  A  0    A  B   A   B   B0 A B  B  A  B  Lưu ý:  C1 C2  A B 2 2 A  B  A  B     A  B  B  0  A có nghia A  B     B0  A 2  B 2   mA nB C Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. A  B   A  B  2 2 A  A  A  0 ; A  A  A  0 Với B > 0 ta có:  A  B  A  B  AB  0 ; 9. Phương trình và bất phương trình chứa căn:  B0 AB 2 A  B A B C u  A Đặt  ; u, v  0 . Đưa về hệ u,v v  B   A  B . A B A  B A  B  A  B  AB  0 A  B  B  A  B ;  A  0 hay B  0 A B  A B   A0  AB B0 A  B2   t  A, t  0 m. A  n. A  p  0   2 mt  nt  p  0  B  0  A0 AB   B  0  A  B 2  Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 3 a x  b1y  c1 10. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:  1 a2 x  b2 y  c2 a Tính các định thức: D  1 a2 b1 b2 c , Dx  1 c2 b1 b2 a , Dy  1 a2 c1 c2 Xét D . Kết quả D0 Dx  0 hoặc Dy  0 D=0 (a12  b12  0, a22  b22  0) Dx = Dy = 0  D D  S   X ; Y   D D  S   c  ax  S   x  R, y  , b  0 b   11. Hệ phương trình đối xứng loại I:  f ( x, y)  0 (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). g( x, y)  0 Hệ có dạng: (I)  (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).  Đặt S = x + y, P = xy. 2  Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2  SX  P  0 ; ĐK S  4 P  0 12. Hệ phương trình đối xứng loại II:  f ( x, y)  0  f ( y, x )  0 (1) (2) Hệ có dạng: (I)  (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).  Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:  f ( x , y )  f ( y, x )  0  f ( x, y)  0 (I)   (3) (1)  Biến đổi (3) về phương trình tích: x  y (3)  ( x  y ).g( x , y )  0   .  g( x, y)  0   f ( x, y)  0  x  y  Như vậy, (I)    .   f ( x, y)  0   g( x, y)  0  Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).  Lưu ý: Đối vệ hệ đối xứng loại I và II  Nếu  x0 ; y0  là nghiệm thì  y0 ; x0  cũng là nghiệm  Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0  y 0 13. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:  Hệ có dạng: 2 2 a x  b xy  c1y  d1 (I)  1 2 1 . 2 a x  b xy  c y  d   2 2 2 2  Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).  Khi x  0, đặt y  kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). III. BẤT ĐẲNG THỨC 1. Tính chất Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 4 Điều kiện Nội dung a bc a < b và c < d  a + c < b + d a < b và c < d  ac < bd a < b  a2n+1 < b2n+1 0 < a < b  a2n < b2n c>0 c<0 a > 0, c > 0 n nguyên dương a0 a 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x  0, x  x, x   x x  a  a  x  a a>0  x  a x a   x  a a  b  ab  a  b d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + ab c  ab ; e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki bc  a  bc; ca  b  ca. Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by )2  (a2  b2 )( x 2  y 2 ) . Dấu "=" xảy ra  ay = bx.  Lưu ý: Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki phải chứng minh mới được sử dụng IV. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Công thức đổi rad thành độ và độ dài cung tròn:  (rad ) a0  ; l  R  3600 2. Bảng giá trị lượng giác đặc biệt: “ Sin 3 cos 6 nửa phần, cos 3 sin 6 nửa phần căn 3” Hoặc nhanh nhất là dùng máy tính. Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 5 Góc lượng giác: “ dòng trên tính bằng đơn vị độ, dòng dưới tính bằng đơn vị radian” Giá trị lượng giác 0 0 Sin 0 Cos 1 Tan 0 Cot || 0 300  6 1 2 3 2 1 3 3 450  4 2 2 2 2 600  3 3 2 1 2 900  2 1 0 1200 2 3 3 2 1  2 1 3 ||  3 1 1 3 0  1 3 1500 5 6 1 2 1800  0 3 2 1  3   3 -1 0 || 3. Hệ thức lượng giác cơ bản: sin 2   cos2   1 1  tan 2   1 cos2  sin  cos 1 1  cot2   sin 2  tan   cos sin  tan . cot  1 cot    Hệ quả: Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 6 cos2   1  sin 2  sin 2   1  cos2  sin 4   cos4   1  2sin 2 .cos2  cot   1 tan  sin 6   cos6   1  3sin 2  cos2  4. Cung liên kết a. Công thức góc đối: “ là góc giữa  và  ” cos    cos tan      tan  sin      sin  cot      cot  b. Công thức góc bù: “ góc bù là góc 180 hoặc  ” 0 sin     sin  c. Công thức góc phụ: “ góc phụ là góc cot        cot  tan        tan  cos        cos  900 hoặc  ” 2   cot     tan  2    tan     cot 2    sin     cos 2    cos     sin  2  d. Công thức hơn kém pi: “ pi =  ” cot     cot tan     tan  cos      cos sin        sin   Quy tắc học thuộc: “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan, cot” Giải nghĩa: Trong công thức góc đối thì có công thức “cos” mang giá trị dương; trong công thức góc bù có công thức “Sin” mang giá trị dương; trong công thức góc phụ thì giá trị nào cũng dương nhưng lúc này Sin  Cos , Cos  Sin , tan  cot , cot  tan ; trong công thức hơn kém pi thì có “tan, cot ” mang giá trị dương. 5. Công thức cộng: Công thức Quy tắc học thuộc Cos thì cos cos sin sin đổi dấu cos     cos . cos   sin . sin  sin     sin  . cos   cos . sin  tan   tan  tan      1  tan  . tan  cot  . cot   1 cot     cot   cot  Sin thì sin cos cos sin Tan tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) tan trên 1 trừ (cộng) tích tan Cot tổng (hiệu) bằng tích cot trừ (cộng) 1 trên tổng (hiệu) cot 6. Công thức nhân đôi, nhân ba: Công thức cos2  cos   sin   2cos   1  1  2sin  2 2 2 2 Sin2  2Sin.Cos  Sin.Cos  Sin2 2 2 tan  1  tan 2  sin3  3sin   4sin 3  cos3  4cos3   3cos  Quy tắc học thuộc Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ 1 cộng hai bình cos = cộng 1 trừ hai bình sin Sin gấp đôi = 2 sin cos Từ công thức cộng suy ra tan 2  Sin 3 là 3 sin 4 xỉn cos 3 là 4 cổ 3 cô 7. Công thức hạ bậc: “dùng công thức góc nhân đôi hoặc nhân ba để suy ra công thức hạ bậc ” sin 2   1  cos 2 2 cos2   1  cos 2 2 tan 2   sin 2  1  cos 2  cos 2  1  cos 2 Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 7 sin 3   3sin   sin 3 4 cos3   3cos   cos3 4 tan 3   sin 3  3sin   sin 3  cos3  3cos   cos3 8. Công thức biến đổi tích thành tổng: cos  cos   2 cos   Công thức Quy tắc học thuộc cos cộng cos bằng 2 cos cos   . cos 2 2     cos  cos   2 sin . sin 2 2     sin   sin   2 sin . cos 2 2     sin   sin   2 cos . sin 2 2 cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin sin cộng sin bằng 2 sin cos sin trừ sin bằng 2 cos sin 9. Công thức biến đổi tổng thành tích: 1 cosa  b   cosa  b  2 1 sin  . cos   sina  b   sina  b  2 sin  . sin    cos . cos   10. Công thức vạn năng: sin  ;cos  ; tan  theo t  tan sin   2t 1 t2 cos   1 cosa  b   cosa  b  2  : 2 1 t2 1 t2 tan   2t 1 t2  Lưu ý: Công thức vạn năng và công thức nhân ba phải chứng minh mới được sử dụng PHẦN II: HÌNH HỌC I. VÉC TƠ 1. Các định nghĩa   Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB . Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.  Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .     Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.  Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a, b,... để biểu diễn vectơ. + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Mọi vectơ 0 đều bằng nhau. 2. Các phép toán trên vectơ a. Tổng của hai vectơ  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB  BC  AC .  Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB  AD  AC .  Tính chất: a  b  b  a ; b. Hiệu của hai vectơ  a  b   c  a  b  c  ; a0 a Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a  b  0 . Kí hiệu vectơ đối của a là a . Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 8   Vectơ đối của 0 là 0 . a  b  a   b  .  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB  OA  AB . c. Tích của một vectơ với một số  Cho vectơ a và số k  R. ka là một vectơ được xác định như sau: + ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. + ka  k . a .  k  a  b   ka  kb ; (k  l)a  ka  la ; k  la   (kl)a ka  0  k = 0 hoặc a  0 .  Tính chất:  Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b  a  0 cuø ng phöông  k  R : b  ka  Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB  k AC .  Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương a, b và x tuỳ ý. Khi đó ! m, n  R: x  ma  nb .  Chú ý: Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA  MB  0  OA  OB  2OM (O tuỳ ý).  II. Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC  GA  GB  GC  0  OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý). HỆ THỨC LƯỢNG Cho ABC có:  Độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c  Độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc  Độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc  Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r  Nửa chu vi tam giác: p  Diện tích tam giác: S 1. Định lí côsin: c2  a2  b2  2ab.cos C a2  b2  c2  2bc.cos A b2  c2  a2  2ca.cos B a b c    2R 2. Định lí sin: sin A sin B sin C 3. Độ dài đường trung tuyến ma2  2(b2  c2 )  a2 4 mb2  2(a2  c2 )  b2 4 mc2  2(a2  b2 )  c2 4 4. Diện tích tam giác S= S= 1 1 1 1 1 1 abc aha  bhb  chc = bc sin A  ca sin B  ab sin C = = pr 2 2 2 2 2 2 4R p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê–rông) 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.  BC 2  AB2  AC 2 (định lí Pi–ta–go) A  AB2  BC.BH , AC2  BC.CH  AH 2  BH .CH , 1  1  1 B H C AH 2 AB2 AC 2  AH .BC  AB. AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 9 6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. T PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO2  R2  Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. PM/(O) = MT 2  MO2  R2 III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ   1. Định nghĩa: Trong hệ: O; i ; j  B A R O M C D       a  a1 ; a2   a  a1i  a2 j , i  1;0, j  0;1 2. Tọa độ điểm: Cho điểm Ax A ; y A  , Bx B ; y B  AB  x B  x A ; y B  y A  x A  xB   xI  2 Tọa độ trung điểm I x I ; y I  của AB:  y A  yB  yI  2  2 2 x A  x B  xC  AB  x B  x A    y B  y A   xG  3 Tọa độ trọng tâm GxG ; yG  của ΔABC:  y A  y B  yC  yG  3  x A  k .x B   xI  1  k Tọa độ điểm M xM ; yM  chia đoạn AB theo tỉ số k  1 :  y  k. y B  yI  A 1 k  Cho ΔABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE D, E  BC  khi đó ta có: AB AB DB   .DC ; EB  .EC AC AC   3. Tọa độ véc tơ: Cho a  a1; a2 , b  b1 ;b2  và số thực k  R    k.a  k.a1 ; k.a2   a1  b1 a  b  a1  b1 ; a2  b2    a b  a 2  b2       2 2 a  b  a.b  a1.b1  a2 .b2  0 a.b  a1.b1  a2 .b2 a  a1  a2   a1.b1  a2 .b2 a  b  a1.b2  a2 .b1 cos a, b  a12  a2 2 . b12  b2 2   IV. ĐƯỜNG THẲNG 1. Các định nghĩa:    Nếu n   thì véc tơ n được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng Δ n u    Nếu u //  thì véc tơ u được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng Δ   Đường thẳng Δ được xác định khi biết M   và M   Biết một trong hai véc tơ n hoặc u 2. Các phương trình đường thẳng   Phương trình tổng quát: Δ đi qua M x0 ; y0  và có véc tơ pháp tuyến n   A; B có phương trình: Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 10 A Ax  x0   B y  y0   0 ;   Ax  By  C  0 ; A 2  B2  0  t  R, u12  u 22  0  Phương trình chính tắc: Δ đi qua M x0 ; y0  và có véc tơ chỉ phương u  u1 ;u 2  có phương trình: x  x0 y  y 0  u1 u2   B2  0  Phương trình tham số: Δ đi qua M x0 ; y0  và có véc tơ chỉ phương u  u1 ;u 2  có phương trình:  x  x0  t.u1   y  y 0  t.u 2  2 u1 , u2  0 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Ax A ; y A  , Bx B ; y B  Qua A x A ; y A    vtcp u  AB   x B  x A ; y B  y A   Cách 1: Viết phương trình tham số:  Qua Ax A ; y A     vtpt n   y A  y B ; x B  x A  hay n   y B  y A ; x A  x B   Cách 2: Viết phương trình tổng quát:   Cách 3: Viết phương trình chính tắc:   x  xA y  yA  xB  x A y B  y A Phương trình đường thẳng đi qua M x0 ; y0  có hệ số góc k cho trước: y  k x  x0   y 0  Phương trình đoạn chắn: Δ qua A(a;0), B(0;b) với a , b  0 Lưu ý:   Đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương u  a; b thì có thể suy ra véc tơ pháp tuyến của Δ là   n   b; a  hoặc n  b;a  .   Đường thẳng Δ có véc tơ pháp tuyến n  a; b  thì có thể suy ra véc tơchỉ phương của Δ là   u   b; a  hoặc u  b;a  .  Kỹ năng viết ptđt:  : ax  by  c  0  : ax  by  c  0 *PT đt d   có dạng: bx  ay  m  0 (trong đó m là tham số). * PT đt d //  có dạng: ax  by  m  0 .  Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số c=0 a=0 b=0 Phương trình đường thẳng  ax  by  0 by  c  0 ax  c  0 Tính chất đường thẳng   đi qua gốc toạ độ O  // Ox hoặc   Ox  // Oy hoặc   Oy 3. Khoảng cách: Cho điểm M x0 ; y0  và đt (Δ): Ax  By  C  0 . Khi đó: d M /    Ax  By  C A2  B 2 4. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) ) và 2: a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ). Gọi α là góc giữa Δ1 và Δ2    n1 ; n2      0  180  n1 ; n2    khi n1 ; n2   900   khi n1 ; n2   900 Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 11    n1 .n2   cos  cosn1 ; n2      n1 . n2 a1b1  a2 b2 a1  b1 . a2  b2 2 2 2 2  Lưu ý:  1  2  a1a2  b1b2  0 .  Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: 1 // 2  k1 = k2 1  2  k1. k2 = –1 tan   k1  k 2 1  k1 .k 2 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 . Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:  a1 x  b1y  c1  0 (1)  a2 x  b2 y  c2  0 a b 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm 1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 c2  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  1  2  hệ (1) có vô số nghiệm a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 c2 6. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN )  .  M, N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c)(ax N  byN  c)  0 .  M, N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c)(ax N  byN  c)  0 . 7. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là: a1x  b1y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22  Lưu ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau:  Viết phương trình các đường phân giác 1, 2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC.  Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với 1 (hoặc 2).  Nếu B, C nằm khác phía đối với 1 thì 1 là đường phân giác trong.  Nếu B, C nằm cùng phía đối với 1 thì 1 là đường phân giác ngoài. 8. Phương trình chùm đường thẳng đi qua I  1  2 (1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 ): ma1 x  b1 y  c1   na2 x  b2 y  c2   0, m2  n 2  0 V. ĐƯỜNG TRÒN 1. Phương trình đường tròn 2 2 2  Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x  a)  ( y  b)  R .  Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (điều kiện a2  b2  c  0 ) là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c . Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 12 2. Lập phương trình đường tròn: Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là: ( x  a)2  ( y  b)2  R 2 Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A – Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . – Bán kính R = d ( I , ) . Dạng 3: (C) có đường kính AB. – Tâm I là trung điểm của AB. – Bán kính R = AB . 2 Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. I  d . d (I , )  IA – Tâm I của (C) thoả mãn:  – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2. d (I , 1 )  d (I , 2 ) d (I , 1 )  IA – Tâm I của (C) thoả mãn:  (1) (2) – Bán kính R = IA. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2. – Nếu 1 // 2, ta tính R = 1 d (1, 2 ) , và (2) được thay thế bới IA = R. 2 Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d. d (I , 1 )  d (I , 2 ) . I  d – Tâm I của (C) thoả mãn:  – Bán kính R = d ( I , 1 ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác). Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).  IA  IB .  IA  IC Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:  – Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. – Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d ( I , AB ) . 3. Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và điểm M:  IM  R  M nằm trong (C) Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 13  IM  R  M nằm trên (C)  IM  R  M nằm ngoài (C) 4. Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường thẳng Δ Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax  By  C  0 và đường tròn (C): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , ta có thể thực hiện như sau:.  Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. – Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d nếu: + d ( I , d )  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d ( I , d )  R  d tiếp xúc với (C). + d ( I , d )  R  d và (C) không có điểm chung.  Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:  Ax  By  C  0 (*)  2 2  x  y  2ax  2by  c  0 + Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung. 5. Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C’) Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn 2 2 2 2 (C1): x  y  2a1x  2b1y  c1  0 , (C2): x  y  2a2 x  2b2 y  c2  0 .ta có thể thực hiện như sau:  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2. + R1  R2  I1I 2  R1  R2  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + I1I 2  R1  R2  (C1) tiếp xúc ngoài với (C2). + I1I 2  R1  R2  (C1) tiếp xúc trong với (C2). + I1I 2  R1  R2  (C1) và (C2) ở ngoài nhau. + I1I 2  R1  R2  (C1) và (C2) ở trong nhau.  Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2   x  y  2a1x  2b1y  c1  0  2 2   x  y  2a2 x  2b2 y  c2  0 (*) + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + Hệ (*) có một nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2). + Hệ (*) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung. 6. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .  tiếp xúc với (C)  d ( I , )  R  Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M0 ( x0 ; y0 )  (C). –  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT IM 0 .  Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước. – Viết phương trình của  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t). – Dựa vào điều kiện: d ( I , )  R , ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của .  Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A( x A ; y A ) ở ngoài đường tròn (C). Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 14 – Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số). – Dựa vào điều kiện: d ( I , )  R , ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình của . VI. ELIP 1. Kiến thức cơ bản: x2 y2  1 a2 b2 a2  b2 x2 y2  1 a2 b2 a2  b2 Ox, 2a Oy, 2b Oy, 2b Ox, 2a c2  a2  b2 F1  c;0, F2 c;0 c2  b2  a2 F1 0;c , F2 0; c  A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) PT chính tắc  Lý thuyết Trục lớn, độ dài Trục nhỏ, độ dài Liên hệ a, b, c Tiêu điểm Đỉnh   c (0 < e < 1) a a x e MF1  a  exM Tâm sai c (0 < e < 1) b b y e MF1  b  eyM e e Đường chuẩn Bán kính qua tiêu  Phương trình tiếp tuyến tại M x0 ; y0  Phương trình hình chữ nhật cơ sở MF2  a  exM x0 .x y 0 . y  2 1 a2 b x  a   y  b MF2  b  eyM x0 .x y 0 . y  2 1 a2 b x  a   y  b Điều kiện tiếp xúc với Ax  By  C  0 A 2 .a 2  B 2 .b 2  C 2 A 2 .a 2  B 2 .b 2  C 2     x2 y2 x2 y2 2 2 a  b 2. Các dạng toán cơ bản của (E): 2  2  1 (Gần tương tự với 2  2  1 a 2  b 2 ) a a b b Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (E): Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): c + b2  a2  c2 + e  + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) a A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) + Các đỉnh: Vấn đề 2: Tìm điểm trên (E) thỏa mãn điều kiện cho trước: Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E): MF1  a  c c x , MF2  a  x a a Vấn đề 3: Tập hợp điểm: Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a. Dạng 2: x2 a2  y2 b2  1 (a > b)  Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. VII. HYPEBOL 1. Kiến thức cơ bản Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 15 PT chính tắc Lý thuyết Trục thực, độ dài Trục ảo, độ dài Liên hệ a, b, c Tiêu điểm Đỉnh x2 y2  1 a2 b2 y2 x2  1 b2 a2 Ox, 2a Oy, 2b Oy, 2b Ox, 2a c2  a2  b2 F1  c;0, F2 c;0 A1  a;0, A2 a;0 c2  a2  b2 F1 0;c , F2 0; c  B1 0; b, B2 0;b c e b b y e b y x a Tâm sai e Đường chuẩn c a a e b y x a x Tiệm cận Bán kính qua tiêu M thuộc nhánh phải M thuộc nhánh phải MF1  exM  a MF1  eyM  a MF2  exM  a MF2  eyM  a M thuộc nhánh trái MF1  exM  a  Phương trình tiếp tuyến tại M x0 ; y0  Điều kiện tiếp xúc với Ax  By  C  0 2. Các dạng toán cơ bản của (H): M thuộc nhánh trái MF2  exM  a  x0 .x y 0 . y  2 1 a2 b 2 2 A .a  B 2 .b 2  C 2 MF1  eyM  a  MF2  eyM  a  y 0 . y x0 .x  2 1 b2 a 2 2 2 A .a  B .b 2  C 2 x2 y2 y2 x2 (Gần tương tự với     1) 1 a2 b2 b2 a2 Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (H): Để lập phương trình chính tắc của (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (H). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (H): c + b2  c2  a2 + e  + Các đỉnh: a A1(a; 0), A2 (a; 0) + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) Vấn đề 2: Tìm điểm trên (H) thỏa mãn điều kiện cho trước: Chú ý:  Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (H): c c x , MF2  a  x a a  Nếu M thuộc nhánh phải thì x  a c c  MF1  x  a , MF2  x  a (MF1 > MF2) a a  Nếu M thuộc nhánh trái thì x  – a c  c   MF1    x  a  , MF2    x  a  (MF1 < MF2) a  a  MF1  a  Vấn đề 3: Tập hợp điểm: Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp là hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2, trục thực Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 16 2a. Dạng 2: x2 a2  y2 b2  1  Tập hợp là hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b. VIII. PARABOL 1. Kiến thức cơ bản: y 2  2 px y 2  2 px x 2  2 py x 2  2 py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) p  F  ;0  2  O0;0 p x 2 2 B . p  2 A.C  p  F   ;0   2  O0;0 p x 2 2 B . p  2 A.C  p F  0;   2 O0;0 p y 2 2 A . p  2 B.C p  F  0;  2  O0;0 p y 2 2 A . p  2 B.C PT chính tắc Lý thuyết Tiêu điểm Đỉnh Đường chuẩn Điều kiện tiếp xúc với Ax  By  C  0 2. Các dạng toán cơ bản của (P0: y 2  2 px (Gần tương tự với các (P) còn lại) Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (P): Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham số tiêu p của (P). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P): p  ;0 2  – Toạ độ tiêu điểm F  – Phương trình đường chuẩn : x  p  0. 2 Vấn đề 2: Tìm điểm trên (P) thỏa mãn điều kiện cho trước: Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (P): MF  x  p 2 Vấn đề 3: Tập hợp điểm: Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: MF  d ( M , )  Tập hợp là (P) có tiêu điểm F. Dạng 1: Dạng 2: IX. p  y 2  2 px  Tập hợp là (P) có tiêu điểm F  ; 0  . 2  TÂM SAI ĐƯỜNG COCNIC Cho conic (C) có tiêu điểm F, đường chuẩn Δ, tâm sai e: M  x; y   C  : conic     Nếu e  1  C  : Elip MF  e : tâm sai d M /   Nếu e  1  C  : Parabol Nếu e  1  C  : Hypebol LỚP 11 PHẦN I: GIẢI TÍCH I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản a. Phương trình sinx = sin  x    k 2 sin x  sin    (k  Z )  x      k 2 sin x  a. Ñieà u kieä n :  1  a  1.  x  arcsin a  k 2 sin x  a   (k  Z )  x    arcsin a  k 2 Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 17 sin u   sin v  sin u  sin(v)   sin u  cos v  sin u  sin   v  2    sin u   cos v  sin u  sin  v    2  Các trường hợp đặc biệt: sin x  0  x  k (k  Z ) sin x  1  x   2  k 2 (k  Z ) sin x   1  x   sin x   1  sin 2 x  1  cos2 x  0  cos x  0  x   2  2  k 2 (k  Z )  k (k  Z ) b. Phương trình cosx = cos cos x  cos   x     k 2 (k  Z ) cos x  a. Ñieà u kieä n :  1  a  1. cos x  a  x   arccos a  k 2 (k  Z ) cos u   cos v  cos u  cos(  v)   cos u  sin v  cos u  cos   v  2    cos u   sin v  cos u  cos   v  2   Các trường hợp đặc biệt: cos x  0  x   2  k (k  Z ) cos x  1  x  k 2 (k  Z ) cos x   1  x    k 2 (k  Z ) cos x   1  cos2 x  1  sin 2 x  0  sin x  0  x  k (k  Z ) c. Phương trình tanx = tan tan x  tan   x    k (k  Z ) tan x  a  x  arctan a  k (k  Z ) tan u   tan v  tan u  tan(v)   tan u  cot v  tan u  tan   v  2    tan u   cot v  tan u  tan   v  2   Các trường hợp đặc biệt: tan x  0  x  k (k  Z ) tan x   1  x    4  k (k  Z ) d. Phương trình cotx = cot cot x  cot   x    k (k  Z ) cot x  a  x  arccot a  k (k  Z )  Các trường hợp đặc biệt: cot x  0  x   2  k (k  Z ) cot x   1  x    4  k (k  Z ) e. Một số điều cần chú ý:  Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan, cot, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.  Phương trình chứa tanx thì điều kiện là: x   2  k (k  Z ). Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 18  Phương trình chứa cotx thì điều kiện là: x  k (k  Z )  Phương trình chứa tanx và cotx thì điều kiện là x  k  (k  Z ) 2  Phương trình có mẫu số: sin x  0  x  k (k  Z ) tan x  0  x  k  2 cos x  0  x   2 cot x  0  x  k (k  Z )  k (k  Z )  2 (k  Z )  Khi tìm được nghiệm của phương trình phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dung một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện.  Dùng đường tròn lượng giác.  Giải các phương trình vô định. 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Đặt Dạng Điều kiện asin2 x  b sin x  c  0 t = sinx 1  t  1 a cos2 x  b cos x  c  0 t = cosx 1  t  1 a tan2 x  b tan x  c  0 t = tanx x a cot 2 x  b cot x  c  0 t = cotx x  k (k  Z )  2  k (k  Z )  Lưu ý: Nếu đặt: t  sin x hoaëc t  sin x thì ñieàu kieän : 0  t  1. 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a.sin x  b.cos x  c  Cách 1:  Chia hai vế của phương trình cho a2  b2 ta được: (1)   Đặt: sin   a 2 a b 2 a a2  b2 , cos   b sin x  b 2 a b a2  b2    Điều kiện để phương trình có nghiệm là: (2)  x      k 2 Cách 2: c a2  b2   0, 2  2 Phương trình trở thành: sin  .sin x  cos  .cos x   cos( x   )  cos x  c 2 a b c 2 a b 2 2 c a2  b2  cos  (2)  1  a2  b2  c 2 . (k  Z ) Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 19