Tài liệu Các dạng toán về đường tròn và elip

www.VNMATH.com ĐƯỜNG TRÒN VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Cách 1: - Đưa phương trình về dạng : ( x  a)2  ( y  b)2  m . - Nếu m > 0 thì đó là phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R  m . Cách 2: - Phương trình có dạng : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 - Xét dấu biểu thức : m  a2  b2  c - Nếu m > 0 thì đó là phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R = a 2  b2  c . Baøi 61. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó: a) x 2  y 2  2 x  2 y  2  0 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 c) 16 x 2  16 y 2  16 x  8y  11 d) x 2  y 2  6 x  5  0 e) 2 x 2  2 y 2  4 x  12 y  11  0 f) 7 x 2  7 y 2  4 x  6 y  1  0 Baøi 62. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x 2  y 2  4mx  2my  2m  3  0 b) x 2  y 2  2(m  1) x  2my  3m 2  2  0 VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Cách 1 : - Tìm tọa độ tâm I(a; b) và bán kính R của đường tròn. - Viết phương trình đường tròn theo dạng : ( x  a)2  ( y  b)2  R 2 Cách 2 : - Gọi phương trình đường tròn là : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 - Từ điều kiện của đề bài đi dến hệ phương trình với các ẩn số a, b, c. - Giải hệ tìm a, b, c ta lập được phương trình đường tròn. Các dạng thường gặp : Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. – Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . – Bán kính R = d (I , ) . Dạng 3: (C) có đường kính AB. – Tâm I là trung điểm của AB. AB – Bán kính R = . 2 Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . NHĐ 13 www.VNMATH.com – Bán kính R = IA. Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. I  d – Tâm I của (C) thoả mãn:  .  d ( I ,  )  IA – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2.  d ( I , 1 )  d ( I , 2 ) (1) – Tâm I của (C) thoả mãn:  (2)  d ( I , 1 )  IA – Bán kính R = IA. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2. 1 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d (1, 2 ) , và (2) được thay thế bới IA = R. 2 Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.  d ( I , 1 )  d ( I , 2 ) – Tâm I của (C) thoả mãn:  . I  d – Bán kính R = d (I , 1 ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác). Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).  IA  IB Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:  .  IA  IC – Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. – Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d (I , AB) . Baøi 63. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Baøi 64. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2) a) I (3;4),  : 4 x  3y  15  0 b) I (2;3),  : 5 x  12 y  7  0 c) I (3;2),   Ox d) I (3; 5),   Oy Baøi 65. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Baøi 66. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với: (dạng 4) NHĐ 14 www.VNMATH.com a) A(2;3), B(1;1),  : x  3y  11  0 c) A(2;2), B(8;6),  : 5 x  3y  6  0 b) A(0;4), B(2;6),  : x  2 y  5  0 Baøi 67. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 5) a) A(1;2), B(3;4),  : 3 x  y  3  0 c) A(1; 2), B(2;1),  : 2 x  y  2  0 b) A(6;3), B(3;2),  : x  2 y  2  0 d) A(2;0), B(4;2),   Oy Baøi 68. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với: (dạng 6) a) A(2;6),  : 3x  4 y  15  0, B(1; 3) b) A(2;1),  : 3x  2 y  6  0, B(4;3) c) A(6; 2),   Ox, B(6; 0) d) A(4; 3),  : x  2 y  3  0, B(3;0) Baøi 69. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với: (dạng 7) a) A(2;3), 1 : 3 x  4 y  1  0, 2 : 4 x  3y  7  0 b) A(1;3), 1 : x  2 y  2  0, 2 : 2 x  y  9  0 c) A  O(0; 0), 1 : x  y  4  0, 2 : x  y  4  0 d) A(3; 6), 1  Ox , 2  Oy Baøi 70. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với: (dạng 8) a) 1 : 3 x  2 y  3  0, 2 : 2 x  3y  15  0, d : x  y  0 b) 1 : x  y  4  0, 2 : 7 x  y  4  0, d : 4 x  3y  2  0 Baøi 71. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0) e) AB : x  y  2  0, BC : 2 x  3y  1  0, CA : 4 x  y  17  0 Baøi 72. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : 2 x  3y  21  0, BC : 3 x  2 y  6  0, CA : 2 x  3y  9  0 VẤN ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM 1. Tập hợp các tâm đường tròn : Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực hiện như sau: a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.  x  f (m) b) Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I  .  y  g( m ) c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0. d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y. e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cùng với phần giới hạn ở d). 2. Tập hợp điểm là đường tròn : Thực hiện tương tự như trên. Baøi 73. Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (m là tham số): a) x 2  y 2  2(m  1) x  4my  3m  11  0 b) x 2  y 2  2mx  4(m  1) y  3m  14  0 NHĐ 15 www.VNMATH.com     Baøi 74. Cho đường cong (Cm) có phương trình : x 2  y 2  m  2 x  m  4 y  m  1  0 a) b) c) d) Chứng minh rằng (Cm) luôn là phương trình đường tròn Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) Chứng minh (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định Tìm những điểm mà họ đường tròn (Cm) không đi qua. VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax  By  C  0 và đường tròn (C): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , ta có thể thực hiện như sau:. Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. – Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d. + d (I , d )  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d (I , d )  R  d tiếp xúc với (C). + d (I , d )  R  d và (C) không có điểm chung. Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:  Ax  By  C  0 (*)  2 2  x  y  2ax  2by  c  0 + Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung. Baøi 75. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), với: a) d : mx  y  3m  2  0, (C ) : x 2  y 2  4 x  2 y  0 b) d : 2 x  y  m  0, (C ) : x 2  y 2  6 x  2 y  5  0 Baøi 76. Cho đường thẳng d và đường tròn (C): i) Chứng tỏ d cắt (C). ii) Tìm toạ độ các giao điểm của d và (C). 1 a) d đi qua M(–1; 5) và có hệ số góc k =  , (C ) : x 2  y 2  6 x  4 y  8  0 3 b) d : 3 x  y  10  0, (C ) : x 2  y 2  4 x  2 y  20  0 VẤN ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1): x 2  y 2  2a1x  2b1y  c1  0 , (C2): x 2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0 . ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2. R1  R2  I1I 2  R1  R2  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + + I1I 2  R1  R2  (C1) tiếp xúc ngoài với (C2). + I1I 2  R1  R2  (C1) tiếp xúc trong với (C2). + I1I 2  R1  R2  (C1) và (C2) ở ngoài nhau. NHĐ 16 www.VNMATH.com + I1I 2  R1  R2  (C1) và (C2) ở trong nhau. Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2  x  y  2a1x  2b1y  c1  0 (*)  2 2  x  y  2a2 x  2b2 y  c2  0 + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + Hệ (*) có một nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2). + Hệ (*) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung. Baøi 77. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2), tìm toạ độ giao điểm, nếu có, với: a) (C1 ) : x 2  y 2  6 x  10 y  24  0, (C2 ) : x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 b) (C1 ) : x 2  y 2  4 x  6 y  4  0, (C2 ) : x 2  y 2  10 x  14 y  70  0 Baøi 78. Biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2), với: a) (C1 ) : x 2  y 2  6 x  2my  m 2  4  0, (C2 ) : x 2  y 2  2mx  2(m  1) y  m 2  4  0 b) (C1 ) : x 2  y 2  4mx  2my  2m  3  0, (C2 ) : x 2  y 2  4(m  1) x  2my  6m  1  0 VẤN ĐỀ 6: TIẾP TUYẾN Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .  tiếp xúc với (C)  d (I , )  R  Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M0 ( x0 ; y0 )  (C).  –  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT IM 0 .  Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước. – Viết phương trình của  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t). – Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của .  Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A( x A ; y A ) ở ngoài đường tròn (C). – Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số). – Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm được các tham số.Từ đó suy ra phương trình của . Baøi 79. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ. ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2  y 2  6 x  2 y  5  0, d : 2 x  y  3  0 b) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  0, d : 2 x  3y  1  0 Baøi 80. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C). ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  12  0, A(7; 7), d : 3 x  4 y  6  0 b) (C ) : x 2  y 2  4 x  8y  10  0, A(2;2), d : x  2 y  6  0 NHĐ 17 www.VNMATH.com Baøi 81. Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng d : y  3  3 x . a) Viết phương trình các đường tròn (C1) và (C2) qua A, B và tiếp xúc với d. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường tròn đó. Baøi 82. Cho đường tròn (C): x 2  y 2  6 x  2my  m2  4  0 . a) Tìm m để từ A(2; 3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C). b) Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi m = 6. ĐƯỜNG ELIP VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP Các yếu tố: x2 y2  1 . Xác định a, b, c. a2 b 2 – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) . Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:  – Toạ độ các đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0;  b), B2 (0; b ) . – Tâm sai e  c . a Baøi 83. Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình: a) x 2 y2 1  4 9 b) e) 16 x 2  25y 2  400 x 2 y2 1  16 9 c) f) x 2  4 y 2  1 x 2 y2 1  25 9 g) 4 x 2  9 y 2  5 d) x 2 y2 1  1 4 h) 9 x 2  25y 2  1 VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): c a + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) + b 2  a2  c 2 + e  + Các đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0;  b), B2 (0; b ) Baøi 84. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M  15; 1 . e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M  2 5; 2  . e) Một tiêu điểm là F1(2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10. NHĐ 18 www.VNMATH.com  3 f) Một tiêu điểm là F1   3; 0  và đi qua điểm M  1; .  2   3  g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N  ;1  .  2  h) Đi qua hai điểm M  4;  3  , N  2 2;3 . Baøi 85. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: 3 a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng . 5 b) Một tiêu điểm là F1(8; 0) và tâm sai bằng c) Một đỉnh là A1 (8; 0) , tâm sai bằng 4 . 5 3 . 4  5 2 d) Đi qua điểm M  2;   và có tâm sai bằng .  3 3 VẤN ĐỀ 3: TÌM ĐIỂM TRÊN ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E): c c MF1  a  x , MF2  a  x a a Baøi 86. Cho elip (E) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) tại hai điểm M, N. i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính MF1, MF2 , MN . a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 Baøi 87. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) sao cho: ii) MF2  3MF1 i) MF1  MF2 c) 7 x 2  16 y 2  112 iii) MF1  4 MF2 a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 c) 7 x 2  16 y 2  112 Baøi 88. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với: a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 c) 7 x 2  16 y 2  112 Baøi 89. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60 0 , với: a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 c) 7 x 2  16 y 2  112 VẤN ĐỀ 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Baøi 90. Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau: a) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông. c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 60 0 . d) Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục nhỏ (k > 1). e) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục nhỏ bằng tiêu cự. Baøi 91. Cho elip (E): x2 a2  y2 b2  1 . Một góc vuông đỉnh O quay quanh O, có 2 cạnh cắt (E) lần lượt NHĐ 19 www.VNMATH.com tại A và B. 1 1 không đổi. OA OB2 b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. Suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn (C) cố định. Tìm phương trình của (C). 1 1 1 1 1 1 1 ab HD: a)  OH  b)      2 2 2 2 2 2 2 b OA OB a b a OH a2  b2 a) Chứng minh rằng 2  NHĐ 20 www.VNMATH.com NHĐ Chương 4 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐƯỜNG ELIP VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP Các yếu tố: x2 y2  1 . Xác định a, b, c. a2 b2 – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) . 1. Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:  – Toạ độ các đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0;  b), B2 (0; b ) . c . a 2. Trong trường hợp không có phương trình (E) khi đó ta đưa bài toán về xét các tam giác để xác định các yếu tố của (E). – Tâm sai e  Baøi 1. Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình: a) x 2 y2 1  9 4 b) x 2 y2 1  16 9 c) e) 16 x 2  25y 2  400 f) x 2  4 y 2  1 Baøi 2. Tìm tâm sai Elip biết : a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới 1 góc 2 x 2 y2 1  25 9 d) g) 4 x 2  9 y 2  5 b) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên 2 trục bằng k lần tiêu cự k  h) 9 x 2  25y 2  1 1 2 c) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc 2 HD: a) Tìm tan  theo b và c, từ đó tính được e  cos B1 b O c α F2 B2 b) Pitago trong tam giác vuông OA2B2, tìm b2 theo k, c. Kết quả : e  c) Tương tự câu a). Kết quả e  sin  HTTH x 2 y2 1  4 1 2 2 4k  1 www.VNMATH.com NHĐ VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): c + b 2  a2  c 2 + e  a + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) + Các đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0;  b), B2 (0; b ) Baøi 3. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M  15; 1 . e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M  2 5; 2  . e) Một tiêu điểm là F1(2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10.  3 f) Một tiêu điểm là F1   3; 0  và đi qua điểm M  1; .  2   3  g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N  ;1  .  2  h) Đi qua hai điểm M  4;  3  , N  2 2;3 . Baøi 4. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: 3 a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng . 5 b) Một tiêu điểm là F1(8; 0) và tâm sai bằng c) Một đỉnh là A1 (8; 0) , tâm sai bằng 4 . 5 3 . 4  5 2 d) Đi qua điểm M  2;   và có tâm sai bằng .  3 3 Baøi 5. Lập phương trình chính tắc của (E), biết : a) Tâm O tiêu điểm trên Ox, đi qua M(8, 12) và bán kính qua tiêu điểm trái của M bằng 20. b) Tâm O, một đỉnh trên trục nhỏ là A(0,3) và mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới 1 góc vuông. HD: a) Gọi (E): x2 a2  y2 b2 1 64 144  2  1 (1) . Gọi H là hình chiếu M xuống Ox. Ta luôn có MF1 = 20 và tam a2 b M giác MHF1 vuông ở H. Tính được HF1 = 16 nên H nằm trong đoạn F1O. Tính được c = HF1+8 (2) 12 Giải (1) và (2) tính được a2 và b2. M thuộc (E) nên : 8 H F1 O c HTTH 2 www.VNMATH.com NHĐ VẤN ĐỀ 3: TÌM ĐIỂM TRÊN ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E): c c MF1  a  x , MF2  a  x a a Nếu điểm phải tìm thỏa mãn điều kiện về góc ta đưa bài toán về hệ thức lượng trong tam giác. Nếu điểm phải tìm là giao của (E) với một đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm tọa độ giao điểm. Baøi 6. Cho elip (E) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) tại hai điểm M, N. i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính MF1, MF2 , MN . a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 Baøi 7. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) sao cho: ii) MF2  3MF1 i) MF1  MF2 c) 7 x 2  16 y 2  112 iii) MF1  4 MF2 a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 c) 7 x 2  16 y 2  112 Baøi 8. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với: a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 c) 7 x 2  16 y 2  112 HD : tương giao của (E) với đường tròn tâm là trung điểm F1F2, bán kính là một nửa F1F2 Baøi 9. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60 0 , với: a) 9 x 2  25y 2  225 b) 9 x 2  16 y 2  144 c) 7 x 2  16 y 2  112 x2 y2   2  8  1 . Tìm những điểm thuộc (E) sao cho : a) Có tọa độ nguyên thuộc (E). b) Có tổng hai tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất. HD: a) Do tính đối xứng của (E) qua các trục tọa độ nên nếu M(x,y) thuộc (E) thì các điểm N(-x,y), P(x,-y), K(-x,y) cũng thuộc (E). Xét phương trình với ẩn y : y 2  8  4 x 2 , phương trình có nghiệm Baøi 10. Cho E :  8  4 x 2  0 . Do x là số nguyên nên x = 1. b) Gọi M(x,y) là điểm thuộc (E). Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta có : 2  x  y 2  x 2 y2   x x   2  8    2  8     10 ( do M thuộc (E)) 8  2 8   2   10  x  y  10  x   2  2  8 Dấu bằng xảy ra  y  8  x2 y2 1   2 8 x2 y2  1 . Tìm các điểm trên (E) sao cho MF1 nhỏ nhất  a2 b2 HD: MF1 = exM+a và a  xM  a   Baøi 11. Cho E : HTTH 3 www.VNMATH.com NHĐ VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ (E) Baøi 12. Xét vị trí tương đối đường thẳng d và (E) biết : x2 y2  1 4 1 x2 y2  1 b) d: 2x + y – 3 = 0 và  E  : 9 4 Baøi 13. Cho  E  : 4 x 2  9 y 2  36 . Lập phương trình đường thẳng qua M(1,1) và cắt (E) tại A, B sao a) d: x – y – 3 = 0 và  E  : cho a) MA = MB. b) AB = 2 VẤN ĐỀ 5 : TAM GIÁC NỘI TIẾP (E) 2 Baøi 14. Cho E : 2 y x   1 . Xác định tọa độ B, C sao cho tam giác đều ABC nội tiếp (E) biết 3 9 A(3,0). x 2 y2  1 và đường thẳng d: 2x +15y -10 =0. Chứng minh rằng (E) luôn cắt d tại  25 4 2 điểm phân biệt A, B. Tìm tọa C thuộc (E) sao cho tam giác ABC cân.   Baøi 15. Cho E : VẤN ĐỀ 6 : QUĨ TÍCH Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a. Dạng 2: x2 a2  y2 b2  1 (a > b)  Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. Baøi 16. Cho A(6cost,0) và B(0,3sint), t là tham số . Lập phương trình quĩ tích M thỏa :    2 MA  5MB  0 Baøi 17. Cho hai đường tròn C1(F1,R1) và C2(F2,R2), C1 nằm trong C2 và F1 khác F2. Gọi M là tâm đường tròn C thay đổi nhưng luôn tiếp xúc ngoài C1 và tiếp xúc trong C2. Chứng tỏ M di động trên (E). Baøi 18. trong mặt phẳng toạ độ cho điểm M(x,y) thỏa mãn x = 5cost, y = 4sint, trong đó t là tham số. Chứng minh rằng M di động trên (E). Baøi 19. Cho đường tròn (C): x 2  y 2  6 x  55  0 và điểm F1(3; 0) : a) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C) di động luôn đi qua F1 và tiếp xúc với (C). b) Viết phương trình của tập hợp trên. Baøi 20. Cho hai đường tròn (C): x 2  y 2  4 x  32  0 và (C): x 2  y 2  4 x  0 : a) Chứng minh (C) và (C) tiếp xúc nhau. b) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (T) di động và tiếp xúc với hai đường tròn trên. c) Viết phương trình của tập hợp đó. Baøi 21. Tìm tập hợp các điểm M có tỉ số các khoảng cách từ đó đến điểm F và đến đường thẳng  bằng e, với: HTTH 4 www.VNMATH.com NHĐ 1 a) F (3;0),  : x  12  0, e  2 c) F (4; 0),  : 4 x  25  0, e  Baøi 22. Cho elip (E): x2 a2  y2 b2 1 b) F (2;0),  : x  8  0, e  2 4 5 d) F (3;0),  : 3 x  25  0, e  3 5  1 . Một góc vuông đỉnh O quay quanh O, có 2 cạnh cắt (E) lần lượt tại A và B. a) Chứng minh rằng 1 1 không đổi. OA2 OB 2 b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. Suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn (C) cố định. Tìm phương trình của (C). ab 1 1 1 1 1 1 1 b) HD: a)  OH       2 2 2 2 2 2 2 a OH b OA OB a b a2  b2  HTTH 5