www.vntoanhoc.com
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
1. Chuyªn ®Ò : §a thøc
Baøi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
a. A = x 4 − 17 x 3 + 17 x 2 − 17 x + 20 taïi x = 16.
b. B = x 5 − 15x 4 + 16 x 3 − 29 x 2 + 13x taïi x = 14.
c. C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + ... + 10 x 2 − 10 x + 10 taïi x = 9
d. D = x15 − 8x14 + 8x13 − 8x12 + ... − 8 x 2 + 8x − 5 taïi x = 7.
Baøi 2: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
1
1
1
650
4
4
.
−
.3
−
+
315 651 105 651 315.651 105
1
3 546 1
4
b. N = 2
.
−
.
−
547 211 547 211 547.211
a. M = 2
Baøi 3: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
a. A = x 3 ( x 2 − y 2 ) + y 2 ( x 3 − y 3 ) vôùi x = 2; y = 1 .
b. M.N vôùi x = 2 .Bieát raèng:M = −2 x 2 + 3x + 5 ; N = x 2 − x + 3 .
Baøi 4: Tính giaù trò cuûa ña thöùc, bieát x = y + 5:
a. x ( x + 2 ) + y ( y − 2 ) − 2 xy + 65
b. x 2 + y ( y − 2 x ) + 75
Baøi 5: Tính giaù trò cuûa ña thöùc:
x (1 + y ) − y ( xy − 1) − x 2 y
bieát x+ y = -p, xy = q
Baøi 6: Chöùng minh ñaúng thöùc:
a. ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = ab + bc + ca − x 2 ; bieát raèng 2x = a + b
+c
b. 2bc + b2 + c2 − a2 = 4 p ( p − a ) ; bieát raèng a + b + c = 2p
Baøi 7:
a. Soá a goàm 31 chöõ soá 1, soá b goàm 38 chöõ soá 1. Chöùng minh raèng ab – 2 chia
heát cho 3.
b. Cho 2 soá töï nhieân a vaø b trong ñoù soá a goàm 52 soá 1, soá b goàm 104 soá 1. Hoûi
tích ab coù chia heát cho 3 khoâng? Vì sao?
Baøi 8: Cho a + b + c = 0. Chöùng minh raèng M = N = P vôùi:
M = a ( a + b )( a + c ) ;
N = b ( b + c )( b + a ) ;
P = c ( c + a )( c + b )
Baøi 9: Cho bieåu thöùc: M = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) + x 2 . Tính M
1
2
1
2
1
2
theo a, b, c, bieát raèng x = a + b + c .
Baøi 10: Cho caùc bieåu thöùc: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chöùng minh raèng neáu x,
y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13. Ngöôïc laïi neáu B
chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13.
Baøi 11: Cho caùc bieåu thöùc: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
a. Ruùt goïn bieåu thöùc 7A – 2B.
1
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
b. Chöùng minh raèng: Neáu caùc soá nguyeân x, y thoûa maõn 5x + 2y chia heát cho
17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17.
Baøi 12: Chöùng minh raèng:
a. 817 − 279 − 913 chia heát cho 405.
b. 122 n+1 + 11n+2 chia heát cho 133.
Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, 6 , 10, 15,…,
n ( n + 1)
,…
2
Chöùng minh raèng toång hai soá haïng lieân tieáp cuûa daõy bao giôø cuõng laø soá
chính phöông.
2. Chuyªn ®Ò
®Ò: BiÓn ®æi biÓu thøc nguyªn
I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n
1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
(a1 + a 2 + ... + a n )2 =
= a12 + a 22 + ... + a 2n + 2(a1a 2 + a1a 3 + ... + a1a n + a 2 a 3 + ... + a 2 a n + ... + a n −1a n );
2. (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b);
(a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ;
3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;
4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;
II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal
§Ønh
1
Dßng 1 (n = 1)
1
1
Dßng 2 (n = 2)
1
2
1
Dßng 3 (n = 3)
1
3
3
1
Dßng 4 (n = 4)
1
4
6
4
1
Dßng 5 (n = 5)
1
5
10
10
5
1
Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®−îc thµnh lËp tõ
dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 +
2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th×
c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè trong dßng thø n cña b¶ng trªn. Ng−êi ta gäi b¶ng
trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th−êng ®−îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi
n = 4 th× :
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
vµ víi n = 5 th× :
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5
2
www.vntoanhoc.com
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
II. C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau :
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.
Lêi gi¶i
A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 –
3
z ] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]
= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz
VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
a) x2 + y2 ;
b) x3 + y3 ;
c) x4 + y4 ;
d) x5 + y5
Lêi gi¶i
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
(x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
= (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)
VÝ dô 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc :
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lêi gi¶i
a)
b)
c)
d)
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0.
Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lêi gi¶i
V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3
Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
2
2
Mµ x + y = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T−¬ng tù :
y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 –
2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)
Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm)
3
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
Bµi tËp:
1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14.
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4.
2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.
3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2.
4. Chøng minh r»ng nÕu:
5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2
th× x = y = z.
a b
6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× = .
x y
2
2
2
2
2
2
2
b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz)
a b c
vµ x, y, z kh¸c 0 th× = = .
x y z
7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng :
a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
8. Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau :
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m`n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2.
Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1.
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945.
11. Hai sè a, b lÇn l−ît tháa m`n c¸c hÖ thøc sau :
a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H`y tÝnh : D = a + b.
12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H`y tÝnh : E = a2 + b2.
13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.
3. Chuyªn ®Ò: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
4
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
I- Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c:
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a, x2 − 5x + 6
d, x2 − 13x + 36
b, 3x2 − 8 x + 4
e, x 2 + 3 x − 18
c, x 2 + 8 x + 7
f, x 2 − 5 x − 2 4
g ,3x2 − 16 x + 5
h, 8x2 + 30 x + 7
i, 2 x 2 − 5 x − 1 2
k, 6x2 − 7 x − 20
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
1, x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4
2, x 3 + 2 x − 3
3, x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4
4, x 3 − 7 x + 6
5, x 3 − 9 x 2 + 6 x + 16
6, 4 x 3 − 13 x 2 + 9 x − 18
7, x 3 − 4 x 2 − 8 x + 8
8, − x 3 − 6 x 2 + 6 x + 1
9, 6 x 3 − x 2 − 486 x + 81
10, x 3 − 7 x − 6
11, x 3 − 3 x + 2
12, x 3 − 5 x 2 + 3 x + 9
13, x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10
14, x 3 + 3 x 2 + 6 x + 4
15, x 3 − 2 x − 4
16, 2 x 3 − 12 x 2 + 17 x − 2
17, x 3 + x 2 + 4
18, x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2
19, x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24
20, 2 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1
21, 3 x 3 − 14 x 2 + 4 x + 3
22, x 4 + 2 x 3 + x 2 + x + 1
(§a thøc ® cho cã nhiÖm nguyªn hoÆc nghiÖm h÷u tØ)
II- Ph−¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö
1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu cña hai
b×nh ph−¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
1, (1 + x2 )2 − 4x(1 − x2 ) 2, ( x2 − 8) + 36
2
3, x4 + 4
4, x4 + 64
5, 64x4 + 1
6, 81x4 + 4
7, 4x4 + 81
8, 64x4 + y 4
9, x4 + 4 y 4
10, x4 + x2 +1
2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
5
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
1, x7 + x2 +1
2, x7 + x5 +1
3, x5 + x4 +1
4, x5 + x +1
5, x8 + x7 +1
6, x5 − x4 −1
7, x5 + x −1
8, x10 + x5 +1
III- Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn
Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
1, x( x + 4)( x + 6)( x +10) +128
2, (x +1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24
3, ( x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2
4, ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x −12
5, x2 + 2xy + y2 + 2x + 2 y −15
6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a4
7, 6x4 −11x2 + 3
8, ( x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2
9, x2 − 2xy + y2 + 3x − 3 y −10
10, ( x2 + 2x)2 + 9x2 +18x + 20
11, x2 − 4xy + 4 y2 − 2x + 4 y − 35
12, (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) +16
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
1, x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 − 6 x + 1
2, ( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) 2 + ( xy + yz + zx ) 2
IV- Ph−¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng
Ph−¬ng ph¸p: Tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n
cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a, P = x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y)
b, Q =a(b + c − a)2 +b(c + a −b)2 + c(a +b −c)2 + (a +b −c) (b + c − a)(c + a −b)
Gi¶i
a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y 2 ( y − z ) + y 2 ( z − y ) = 0
Nh− vËy P chøa thõa sè x – y
Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®æi(ta nãi ®a thøc P
cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®` chóa thïa sè x – y th×
còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi
víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bËc ba ®èi víi tËp
hîp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc
x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y) = k(x − y)( y − z)(z − x)
®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2,
y = 1, z = 0
ta ®−îc k = -1
6
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)
C¸c bµi to¸n
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
M = a (b + c − a ) 2 + b(c + a − b) 2 + c(a + b − c) 2 + (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b)
N = a (m − a )2 + b(m − b)2 + c(m − c) 2 − abc , víi 2m = a+ b + c.
Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a ) A = (a + b + c)(ab + bc + ca ) − abc.
b) B = a (a + 2b)3 − b(2a + b)3 .
c)C = ab(a + b) − bc(b + c) + ac( a − c).
d ) D = (a + b)(a 2 − b 2 ) + (b + c)(b 2 − c 2 ) + (c + a )(c 2 − a 2 )
e) E = a 3 (c − b 2 ) + b3 ( a − c 2 ) + c 3 (b − a 2 ) + abc( abc − 1).
f ) f = a (b − c)3 + b(c − a )3 + c(a − b)3 .
g )G = a 2b 2 (a − b) + b 2 c 2 (b − c) + a 2 c 2 (c − a).
h) H = a 4 (b − c) + b 4 (c − a ) + c 4 ( a − b).
V-Ph−ong ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a ) A = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 14 x + 3
b) B = 4 x 4 + 4 x 3 + 5 x 2 + 2 x + 1
c)C = 3 x 2 + 22 xy + 11x + 37 y + 7 y 2 + 10
d ) D = x 4 − 7 x 3 + 14 x 2 − 7 x + 1
e) E = x 4 − 8 x + 63
Bµi tËp:
VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lêi gi¶i
§Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S 2 - 2P ; a3 + b3 = S 3 - 3SP . V× vËy :
A = x3 – 3( S 2 - 2P )x + 2( S 3 - 3SP ) = (x 3 - S 3 ) - (3S 2 x - 3S 3 ) + (6Px - 6SP)
= (x - S)(x 2 + Sx + S 2 ) - 3S 2 (x - S) + 6P(x - S)
= (x - S)(x 2 + Sx - 2S 2 + 6P)
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :
a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;
b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;
c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;
d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;
7
eBook.here.vn - Onbai.org
6
5
4
3
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
2
e) x + 3x + 4x + 4x + 4x + 3x + 1.
f) x8 + x4 + 1;
g) x10 + x5 + 1 ;
h) x12 + 1 ;
i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.
4. Chuyªn ®Ò: X¸c ®Þnh ®a thøc
* §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông:
1) §Þnh lÝ BªZu:
D− trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x
= a): f ( x) = ( x − a)q( x) + f (a)
(Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p)
HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a.
¸p dông: §Þnh lÝ BªZu cã thÓ dïng ®Ó ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö. Thùc hiÖn
nh− sau:
B−íc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a nµo ®ã vµ thö xem x = a cã ph¶i lµ nghiÖm cña
f(x) kh«ng.
B−íc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã: f ( x) = ( x − a) p( x)
§Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a.
B−íc 3: TiÕp tôc ph©n tÝch p(x) thµnh nh©n tö nÕu cßn ph©n tÝch ®−îc. Sau ®ã
viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ.
D¹ng 1: T×m ®a thøc th−¬ng b»ng ph−¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè(ph−¬ng ph¸p hÖ sè
bÊt ®Þnh), ph−¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc.
*Ph−¬ng ph¸p1: Ta dùa vµo mÖnh ®Ò sau ®©y :
NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai
®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau.
VÝ dô: P( x) = ax 2 + 2bx − 3 ; Q ( x) = x 2 − 4 x − p
NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:
a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2)
2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1)
- 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do)
*Ph−¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m`n deg P(x) > deg Q(x)
Gäi th−¬ng vµ d− trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l−ît lµ M(x) vµ N(x)
Khi ®ã ta cã: P( x ) = Q( x).M ( x) + N ( x) (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
V× ®¼ng thøc (I) ®óng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× : x = α
( α lµ h»ng sè). Sau ®ã ta ®i gi¶i ph−¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh ®Ó t×m c¸c hÖ sè
cña c¸c h¹ng tö trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th−¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè
d−).
VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông)
Gäi th−¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã:
a 2 x 3 + 3ax 2 − 6 x − 2a = ( x + 1).Q( x ) .
8
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
Vì ñẳng thức ñúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:
a = −2
− a 2 + 3a + 6 − 2a = 0 ⇒ −a 2 + a + 6 = 0 ⇒
a=3
3
2
Với a = -2 thì A = 4 x − 6 x − 6 x + 4, Q( x) = 4 x 2 − 10 x + 4
Với a = 3 thì A = 9 x 3 + 9 x 2 − 6 x − 6, Q( x) = 9 x 2 − 6
*Ph−¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh− SGK)
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Cho ña thức A( x) = a x + 3ax 2 − 6 x − 2a(a ∈ Q) . X¸c ñịnh a sao cho A(x) chia hết
cho x + 1.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) = x 4 − x 3 − 2 x − 4 thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã
d¹ng: x 2 + dx + 2
Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x 3 + ax 2 + 2 x + b chia hÕt cho ®a thøc:
x 2 + x + 1 . H`y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau.
Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ó ®a thøc: f ( x ) = x 4 − 9 x 3 + 21x 2 + x + k chia hÕt cho ®a thøc:
g ( x) = x 2 − x − 2 .
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k ñể cho ña thức: f (k ) = k 3 + 2k 2 + 15 chia hết cho nhị
thức: g (k ) = k + 3 .
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì ña thức: f ( x ) = x 4 − 3x 3 + 3x 2 + ax + b chia hết cho
ña thức: g ( x) = x 2 − 3x + 4 .
Bài 7: a) Xác ñịnh các giá trị của a, b và c ñể ña thức: P( x) = x 4 + ax 2 + bx + c
Chia hết cho ( x − 3)3 .
b) Xác ñịnh các giá trị của a, b ñể ña thức: Q ( x) = 6 x 4 − 7 x 3 + ax 2 + 3x + 2 chia hết
cho ña thức M ( x) = x 2 − x + b .
c) Xác ñịnh a, b ñể P( x) = x 3 + 5 x 2 − 8 x + a chia hết cho M ( x) = x 2 + x + b .
Bài 8: Hãy xác ñịnh các số a, b, c ñể có ñẳng thức:
2 3
x 3 − ax 2 + bx − c = ( x − a )( x − b )( x − c )
(ðể học tốt ðại số 8)
Bài 9: Xác ñịnh hằng số a sao cho:
a) 10 x 2 − 7 x + a chia hết cho 2 x − 3 .
b) 2 x 2 + ax + 1 chia cho x − 3 dư 4.
c) ax 5 + 5 x 4 − 9 chia hết cho x − 1 .
Bài 10: Xác ñịnh các hằng số a và b sao cho:
a) x 4 + ax 2 + b chia hết cho x 2 − x + 1 .
b) ax 3 + bx 2 + 5 x − 50 chia hết cho x 2 + 3x + 10 .
c) ax 4 + bx 2 + 1 chia hết cho ( x − 1) 2 .
d) x 4 + 4 chia hết cho x 2 + ax + b .
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho
x − 3 thì dư -5.
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2 , chia cho x 2 − 1
thì dư x + 5 .
(Một số vấn ñề phát triển ðại số 8)
9
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
Bài 13: Cho ña thức: P( x) = x 4 + x 3 − x 2 + ax + b và Q ( x) = x 2 + x − 2 . Xác ñịnh a, b ñể
P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác ñịnh a và b sao cho ña thức P( x) = ax 4 + bx 3 + 1 chia hết cho ña thức
Q ( x) = ( x − 1) 2
Bài 15: Cho các ña thức P( x) = x 4 − 7 x 3 + ax 2 + 3 x + 2 và Q ( x) = x 2 − x + b . Xác ñịnh a và
b ñể P(x) chia hết cho Q(x).
(23 chuyên ñề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
ðể tìm ña thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của ña thức tại n + 1 ñiểm
C1 , C 2 , C 3 , L , C n +1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
P ( x) = b0 + b1 ( x − C1 ) + b2 ( x − C1 )( x − C 2 ) + L + bn ( x − C1 )( x − C 2 ) L ( x − C n )
Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1 , C 2 , C3 , L, C n +1 vào biểu thức
P(x) ta lần lượt tính ñược các hệ số b0 , b1 , b2 , L, bn .
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Tìm ña thức bậc hai P(x), biết: P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = −9 .
Giải
ðặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) (1)
b0 = 25
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta ñược: 7 = 25 + b1 ⇔ b1 = −18
− 9 = 25 − 18.2 + b2 .2.1 ⇔ b2 = 1
Vậy, ña thức cần tìm có dạng:
P ( x) = 25 − 18 x + x( x − 1) ⇔ P ( x) = x 2 − 19 x + 25 .
Bài 2: Tìm ña thức bậc 3 P(x), biết: P(0) = 10, P (1) = 12, P (2) = 4, P(3) = 1
Hướng dẫn: ðặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) + b3 x ( x − 1)( x − 2) (1)
Bài 3: Tìm ña thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho ( x − 1), ( x − 2), ( x − 3) ñều ñược
dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: ðặt P( x) = b0 + b1 ( x − 1) + b2 ( x − 1)( x − 2) + b3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) (1)
Bài 4: Cho ña thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
P ( −1) = 0
P ( x) − P ( x − 1) = x( x + 1)( 2 x + 1), (1)
a) Xác ñịnh P(x).
b) Suy ra giá trị của tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + K + n(n + 1)(2n + 1), (n ∈ N * ) .
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta ñược :
P(−1) − P(−2) = 0 ⇔ P(−2) = 0,
P(0) − P(−1) = 0 ⇔ P(0) = 0
P(1) − P(0) = 1.2.3 ⇔ P (1) = 6
P(2) − P (1) = 2.3.5 ⇔ P(2) = 36
ðặt P( x) = b0 + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) x + b3 ( x + 1) x( x − 1) + b4 ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) (2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta ñược:
10
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
0 = b0
0 = b1 ⇔ b1 = 0,
6 = b2 .2.1 ⇔ b2 = 3,
36 = 3.3.2 + b3 .3.2.1 ⇔ b3 = 3
0 = 3.(−1)(−2) + 3.(−1)(−2)(−3) + b4 (−1)(−2)(−3)(−4) ⇔ b4 =
1
2
Vậy, ña thức cần tìm có dạng:
1
1
P( x) = 3( x + 1) x + 3( x + 1) x( x − 1) + ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) = x( x + 1) 2 ( x + 2)
2
2
(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)
Bài 5: cho ña thức P( x) = ax 2 + bx + c, (a, b, c ≠ 0) . Cho biết 2a + 3b + 6c = 0
1
1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) .
2
1
2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) không thể cùng âm hoặc cùng dương.
2
P(0) = 19
Bài 6: Tìm một ña thức bậc hai, cho biết: P(1) = 85
P(2) = 1985
5. Chuyªn ®Ò: BiÓn
BiÓn ®æi ph©n thøc h÷u tØ
VÝ dô 1.
a) Chøng minh r»ng ph©n sè
3n + 1
lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ;
5n + 2
n2 + 4
(n∈N). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao
n+ 5
cho ph©n sè A ch−a tèi gi¶n. TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã.
Lêi gi¶i
a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay 1 Μ d ⇒ d =
1.
3n + 1
VËy ph©n sè
lµ ph©n sè tèi gi¶n.
5n + 2
29
29
. §Ó A ch−a tèi gi¶n th× ph©n sè
ph¶i ch−a tèi
b) Ta cã A = n - 5 +
n+ 5
n+ 5
gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c −íc d−¬ng lín h¬n 1 cña 29.
V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5 Μ 29
⇒ n + 5 =29k (k ∈ N) hay n=29k – 5.
Theo ®iÒu kiÖn ®Ò bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009
⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69}
b) Cho ph©n sè A =
11
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m`n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi.
Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690.
1 1 1
1
.
+ + =
a b c a+ b+ c
Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng :
1
1
1
1
.
+ 2009 + 2009 = 2009
2009
2009
a
b
c
a + b + c2009
Lêi gi¶i
1 1 1
1
1 1 1
1
Ta cã : + + =
⇔ + + =0
a b c a+ b+ c
a b c a+ b+ c
a+ b
a+ b
c(a + b + c) + ab
⇔
+
= 0 ⇔ (a + b).
=0
ab
c(a + b + c)
abc(a + b + c)
éa + b = 0
éa = - b
ê
ê
⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔ êb + c = 0 ⇔ êb = - c ⇒ ®pcm.
ê
ê
êc + a = 0
êc = - a
ë
ë
1
1
1
1
1
1
1
Tõ ®ã suy ra : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 +
+ 2009 = 2009
2009
a
b
c
a
(- c)
c
a
1
1
1
= 2009
= 2009
2009
2009
2009
2009
2009
a +b +c
a + (- c) + c
a
1
1
1
1
⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009
.
2009
a
b
c
a + b + c2009
VÝ dô 3. §¬n gi¶n biÓu thøc :
ö
ö
ö
1 æ
3 æ
6 æ
çç 1 + 1 ÷
çç 1 + 1 ÷
çç1 + 1 ÷
A=
+
+
÷
÷
÷
÷ (a + b)4 çèa 2 b 2 ø
÷ (a + b)5 çèa b ø
÷.
ça 3 b 3 ø
(a + b)3 è
Lêi gi¶i
2
§Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a + b2 = (a + b)2 – 2ab = S 2 - 2P
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S 3 - 3SP .
1 1 a+ b S 1
1
a 2 + b 2 S 2 - 2P
;
= ; 2+ 2=
=
Do ®ã : + =
a b
ab
P a
b
a2b2
P2
1
1 a 3 + b 3 S 3 - 3SP
.
+
=
=
a 3 b3
a 3b3
P3
1 S 3 - 3SP
3 S 2 - 2P 6 S
+ 4.
+ 5.
Ta cã : A = 3 .
S
P3
S
P2
S P
=
2
S - 3P 3(S 2 - 2P)
6
(S 4 - 3S 2 P) + (3S 2 P - 6P 2 ) + 6P 2
S4
+
+
=
=
S 2 P3
S4P2
S4P
S4P3
S 4P3
1
1
Hay A = 3 = 3 3 .
P
ab
VÝ dô 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m`n ®iÒu kiÖn
12
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
VÝ dô 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau
kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x :
(x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a)
S(x) =
+
+
.
(c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a)
Lêi gi¶i
C¸ch 1
x 2 - (a + b)x + ab x 2 - (b + c)x + bc x 2 - (c + a)x + ca
= Ax2 – Bx +
S(x) =
+
+
(c - a)(c - b)
(a - b)(a - c)
(b - c)(b - a)
C
1
1
1
+
+
;
víi : A =
(c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a)
a+ b
b+ c
c+ a
;
B=
+
+
(c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a)
ab
bc
ca
+
+
C=
(c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a)
b- a + c- b + a- c
Ta cã : A =
= 0;
(a - b)(b - c)(c - a)
(a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) b 2 - a 2 + c2 - a 2 + a 2 - c2
B=
=
=0
(a - b)(b - c)(c - a)
(a - b)(b - c)(c - a)
;
ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c)
=
(a - b)(b - c)(c - a)
(a - b)(b - c)(c - a)
(a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a)
=
=
= 1.
(a - b)(b - c)(c - a)
(a - b)(b - c)(c - a)
VËy S(x) = 1∀x (®pcm).
C¸ch 2
§Æt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng v−ît qu¸ 2. Do ®ã, P(x)
chØ cã tèi ®a hai nghiÖm.
NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x).
§iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 ∀x.
Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ ®pcm.
1
VÝ dô 9. Cho x + = 3 . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
x
1
1
1
1
a) A = x 2 + 2 ; b) B = x 3 + 3 ; c) C = x 4 + 4 ;
d) D = x 5 + 5 .
x
x
x
x
Lêi gi¶i
2
1 æ
1ö
2
÷
ç
a) A = x + 2 = çx + ÷
÷ - 2= 9- 2 = 7 ;
çè
x
xø
C=
13
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
3
æ 1ö
1 æ 1ö
ççx + ÷
b) B = x + 3 = ççx + ÷
3
÷
÷
÷
÷= 27 - 9 = 18 ;
ç
çè
è
x
xø
xø
2
1 æ
1ö
4
2
÷
ç
c) C = x + 4 = çx + 2 ÷
÷ - 2 = 49 - 2 = 47 ;
çè
x
x ø
æ
1 öæ
÷ççx 3 + 1 ö
÷= x 5 + 1 + x + 1 = D + 3 ⇒ D = 7.18 – 3 = 123.
d) A.B = ççx 2 + 2 ÷
÷
3
÷çè
÷
ç
è
x ø
x ø
x
x5
3
2
ax + b
c
.
= 2
+
(x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1
Lêi gi¶i
VÝ dô 5. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho :
2
Ta cã :
ax + b
c
(ax + b)(x - 1) + c(x 2 + 1) (a + c)x 2 + (b - a)x + (c - b)
+
=
=
x2 + 1 x - 1
(x 2 + 1)(x - 1)
(x 2 + 1)(x - 1)
2
§ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc 2
, ta ®−îc :
(x + 1)(x - 1)
ìï a + c = 0 ìï a = - 1
ï
ï
2
- x- 1
1
ïí b - a = 0 Û ïí b = - 1 . VËy
= 2
+
.
2
ïï
ïï
(x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1
ïîï c - b = 2 ïîï c = 1
6. Chuyªn ®Ò: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình ñưa về dạng (1)
*Cách giải: (Biến ñổi và ñưa hết về một vế sau ñó rút gọn thành dạng
ax+b=0)
TH1:a=0 nếu b ≠ 0 thì phương trình (1)vô nghiệm
nếu b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm
TH2:a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=
−b
a
14
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
*Ví dụ: a)3x+1=7x-11
b1: 3x+1-7x+11=0 (biến ñổi và chuyển về một vế)
b2: -4x+12=0
(rút gọn về dạng ax+b=0)
b3:
x=
−12
=3
−4
b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)
⇔ 1,2-x+0,8+1,8+2x=0
⇔ x+3,8=0
⇔ x= -3,8
*Các bài tập tương tự:
a)7x+21=0
c)5x-2=0
e)0.25x+1,5=0
4
3
5
6
g) x − =
b)12-6x=0
d)-2x+14=0
f)6,36-5,3x=0
1
2
h)
i)11-2x=x-1
l)2(x+1)=3+2x
n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x
−5
2
x + 1 = x − 10
9
3
k)5-3x=6x+7
m)2(1-1,5x)+3x=0
o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)
x −3
1 − 2x
= 6−
5
3
3x − 2
3 − 2( x + 7)
w)
−5 =
6
4
5( x − 1) + 2 7 x − 1 2(2 x + 1)
y)
−
=
−5
6
4
7
p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4)
q)
3
13
v) 2 x + = 5 − + x
5
5
7x
20 x + 1,5
s) − 5( x − 9) =
8
6
II/Phương trình tích:
A = 0
B = 0
*Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒
(A=0 (1) B=0 (2) )
Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương tự
phần trên
(Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta ñưa về dạng A.B=0 bằng cách phân
tích thành nhân tử )
*Ví dụ:
a)(4x-10)(24+5x)=0
4 x − 10 = 0 (1)
⇔
24 + 5 x = 0 (2)
10 5
Từ (1) x= =
4 2
(2) ⇒ x=
−24
5
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=
10 5
−24
= hoặc x=
4 2
5
b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)
15
eBook.here.vn - Onbai.org
Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
⇔ (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0
⇔ (x-1)(2x+11)=0
⇔ x =1
x −1 = 0
⇔
2 x + 11 = 0 ⇔ x = −11
2
*Các bài tập tương tự:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0
7 x + 2 2(1 − 3 x)
+
=0
3
5
2( x + 3) 4 x − 3
−
=0
5
7
b)(3x-2)
c)(3,3-11x)
d) ( 3 − x 5)(2 x 2 + 1) = 0
e) (2 x − 7 )( x 10 + 3) = 0
g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0
i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12)
l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4
n)x3+1=x(x+1)
p)x3+x2+x+1=0
r)4x2-12x+5=0
t)2x2+5x+3=0
f) (2 − 3x 5)(2,5 x + 2) = 0
h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0
m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0
0)x2+(x=2) (11x-7)=4
q)x2-3x+2=0
s)-x2+5x-6=0
y) ( x − 2 ) + 3( x 2 − 2) = 0
www.vntoanhoc.com
16
- Xem thêm -
.PDF 
16 
423 
117 
