CÁC CHỦ ĐỀ TOÁN GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I
Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.
1.Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến trên D nếu ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
2.Hàm số y = f ( x) được gọi là nghịch biến trên D nếu ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng D
1.Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến trên D thì f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ D
2.Nếu hàm số y = f ( x) nghịch biến trên D thì f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ D
III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
1.Định lý 1. Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a, b ] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn
tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho: f (b) − f (a )= f '(c)(b − a )
2.Định lý 2. Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng D
1.Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ D và f '( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến
trên D
2.Nếu f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ D và f '( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến
trên D
3.Nếu f '( x) = 0, ∀x ∈ D thì hàm số không đổi trên D
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1.Xét chiều biến thiên của hàm số y = f ( x)
*Phương pháp : Xét chiều biến thiên của hàm số y = f ( x)
1.Tìm tập xác định của hàm số y = f ( x)
2.Tính y ' = f '( x) và xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = 0 )
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Ví dụ : Xét tính biến thiên của các hàm số sau:
−3 x + 2
1.y = -x3+3x2-3x+1
4. y=
2x −1
x2 + 2x + 2
2. y= 2x4 +5x2 -2
5. y =
x +1
2
x − 2x − 3
3. y= (x+2)2(x-2)2
6. y =
x 2 − 10
7. y =
x 2 − 6 x + 10
9.y= 2 x + 1 + 3 − x
8. y =
x2 − x + 3
2x +1
10.y=2x + x 2 − 1
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước .
Ví dụ:
1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến trên R
x2 + x + m
2.Tìm m để hàm số y=
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
mx + 1
3.Tìm m để hàm số y= 3mx+ x 2 + 2 đồng biến trên R
4.Tìm m để hàm số y = f ( x) = mx3 − 3 x 2 + (m − 2) x + 3 nghịch biến trên R
Trang 1
5. Tìm m để hàm số y =f ( x) =
− x3 + (m + 1) x 2 − (m 2 + 2) x + m nghịch biến trên R
1− m 3
2
6. Tìm m để hàm số y = f ( x) =
x − 2 ( 2 − m ) x + 2 ( 2 − m ) x + 5 nghịch biến trên R
3
1
7. Tìm m để hàm số y = f ( x) = ( m − 1) x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x tăng trên R
3
8.Tìm m để hàm số y= 3x3-2x2+mx-4 tăng trên (-1; +∞ )
9.Tìm m để hàm số y= 4mx3-6x2+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2)
mx 2 + 6 x − 2
10.Tìm m để hàm số y=
giảm trên (1; +∞ )
x+2
11.Tìm m để hàm số y=mx4 -4x2+2m-1 giảm trên (0;3)
12.Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1)
−2 x 2 − 3 x + m
1
13.Tìm m để hàm số y=
giảm trên ( − ; +∞ )
2x +1
2
2
x − mx + 2m − 1
14.Cho hàm số y=
x+2
Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
15.Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1
y = f ( x) = x3 + 3 x 2 + mx + m
1
16. Tìm m để hàm số y =
f ( x) =
− x3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4 tăng trên ( 0,3)
3
3
17. Tìm m để hàm số y = f ( x) = x + 3 x 2 + ( m + 1) x + 4m giảm trên ( −1,1)
mx + 4
giảm trên khoảng ( −∞,1)
x+m
1 3
1
19. Tìm m để hàm số y= f ( x)=
mx − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + tăng trên ( 2, +∞ )
3
3
2
2
x + ( m + 1) x + 4m − 4m − 2
=
y f=
( x)
20. Tìm m để hàm số
đồng biến trên ( 0, +∞ )
x − ( m − 1)
18. Tìm m để hàm số
=
y f=
( x)
Dạng 3. Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT
Ví dụ:
1.Giải phương trình x3 + 3 x =
− x 2 − 4 x + 7 ( ĐK x3+3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 )
2.Giải phương trình x5+x3- 1 − 3x +4=0
3.Giải phương trình 2 x −1 − 2 x − x =
( x − 1) 2
4. Giải phương trình sinx =x
5.Tìm m để phương trình có nghiệm x + x + 1 =
m
2
6.Tìm để phương trình có nghiệm m x 2 + 1 - x = 0
x2
x2
7.Chứng minh rằng ∀x > 0 :1 − < cos x (HD xét hàm số y =f ( x) =−
1
− cos x )
2
2
x2
x2
8.Chứng minh rằng ∀x > 0 : e x > + x + 1 (HD xét hàm số y = f ( x) = e x − − x − 1 )
2
2
3
π
x
9.Chứng minh rằng ∀x ∈ (0; ) : tan x > x +
2
3
1
10.Chứng minh rằng : Nếu x + y =
1 thì x 4 + y 4 ≥ ( HD xét hàm số y = f ( x) = x 4 + (1 − x) 4 )
8
Trang 2
2 x + 1 = y 3 + y 2 + y
11.Giải hệ phương trình 2 y + 1 = z 3 + z 2 + z
2 z + 1 = x3 + x 2 + x
HD. Xét hàm đặc trưng y = f ( x) = t 3 + t 2 + t , t ∈ . Chứng minh hàm số tăng trên R
x= y= z= 1
.ĐS
x = y = z = −1
x
=
12.Giải hệ phương trình =
y
z
=
y3
+ sin y
6
z3
+ sin z
6
x3
+ sin x
6
Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D ⊂ R và x0 ∈ D
1. x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f ( x) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm x0 sao
cho (a, b) ⊂ D và f ( x) < f ( x0 ), ∀x ∈ (a, b) \ { x0 } . Khi đó f ( x0 ) được gọi là già trị cực đại của hàm số và
M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại của hàm số .
2. x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm x0 sao
cho (a, b) ⊂ D và f ( x) > f ( x0 ), ∀x ∈ (a, b) \ { x0 } . Khi đó f ( x0 ) được gọi là già trị cực tiểu của hàm số và
M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số .
3.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số
II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y = f ( x) có cực trị tại x0 .Khi đó, nếu y = f ( x)
có đạo hàm tại điểm x0 thì f '( x0 ) = 0 .
III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :
1.Định lý 1. (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng
(a, x0 ) và ( x0 , b) . Khi đó :
+ Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
+ Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
2.Định lý 2. (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) = 0 và f(x) có đạo hàm
cấp hai khác 0 tại điểm x0 . Khi đó:
+ Nếu f ''( x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0
+ Nếu f ''( x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
*Phương pháp1. (Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số y = f ( x)
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) = 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định
Trang 3
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Ví dụ1: Dùng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1
1. y = x3+x2-3x+2
3
3x − 1
2. y =
2x + 4
3. y=
2x2 − 4 x + 5
7. y = 3 + x + 1 − x
2.y = x4+2x2-3
4.y =
x 2 − 3x + 3
x −1
6. y=(2x+1) 9 − x 2
2x + 3
8. y=
x2 + x + 1
−2 x 2 + x + 2
9. y =
10. y = x 4 − 6 x 2 + 8 x + 25
2x +1
12. y = 15 x5 − 15 x3 + 2
11. y =+
( x 2) 2 ( x − 2) 2
*Phương pháp 2. (Quy tắc 2)Tìm cực trị của hàm số y = f ( x)
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) = 0 tìm nghiệm xi (i = 1, 2,3...) thuộc tập xác định
3.Tính f ''( x) và f ''( xi )
4.Kết luận
+Nếu f ''( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi
+Nếu f ''( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi
Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị của hàm số
1.y= 3x5-20x3+1
3.y = cos23x
5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx
7.
=
y x 9 − x2
9. =
y x3 − 3x
2. y = 5 x − 6 x 2 + 4
x
x
4. y = sin − cos
2
2
6. y= sin3x + cos3x ( 0 ≤ x ≤ 2π )
x3
8. y =
x2 − 9
y s inx + cos x, x ∈ [ −π , π ]
10.=
Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước
VD1: Tìm điều kiện của m sao cho :
1. y= x3-mx2+2(m+1)x-1 đạt cực đại tại x= -1
x 2 + mx + 1
2. y=
đạt cực tiểu tại x=2
x+m
3. y= − 2 x 4 − mx 2 − 2m 2 đạt cực đại tại x= 2
1
VD2:Cho hàm số y= x3-(7m+1)x2+16x-m .Tìm m để
3
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu
b. Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tại x1,x2 ∈ (1; +∞)
VD3:Cho hàm số y= x3-mx2+(m+36)x-5 .Tìm m để
a. Hàm số không có cực trị
b. Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu tại các điểm x1,x2 và x1 − x2 =
4 2
Trang 4
2 x 2 + mx + 2m − 1
.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
x +1
VD4:Cho hàm số y= 2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1
Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2
VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 .Tìm m để
a. Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)
b. Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1
x 2 − (3m + 1) x + 4m
VD6:Cho hàm số y =
.Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường
2x −1
thẳng ∆ : x + y + 1 =
0.
VD1: Cho hàm số y= x3+mx2-x
a. CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m
b. Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường
thẳng (d) y=-2x
x 2 − (3m + 2) x + m + 4
VD2:Cho hàm số y=
x −1
a. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và CĐ,CT và điểm M(-2;1) thẳng hàng
b. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và trung điểm của đoạn nối 2 điểm CĐ,CT cách gốc O một
khoảng bằng 3
VD3.Cho hàm số y =x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để điểm cực đại và điểm cực
tiểu của (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn : x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m 2 − 1 =0 .
VD4.Cho hàm số y =x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 .Tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu,
đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều .
x 2 + mx + 2
VD5.Cho hàm số y =
.Tìm để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P)
x −1
y = x2 + x − 4
VD3:Cho hàm số y=
x 2 + (m + 2) x + 3m + 2
VD6.Cho hàm số y =
x +1
a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2
2
b. Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ , yCT . Chứng minh rằng : yCD
+ yCT
>
1
.
2
VD7.Cho hàm số y = x 3 − (2m + 1) x 2 + (m 2 − 3m + 2) x + 4
a. Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu
VD8.Cho hàm số y = 2 x3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1
a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại x1 , x2 và
x2 − x1 không phụ thuộc vào tham số m.
b.Tìm m để yCD > 1
1 3
VD9.Cho hàm số y= f ( x=
)
x − mx 2 − x + m + 1 .Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có
3
cực đại cực tiểu .Hãy xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất .
x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m
VD10.Cho hàm số
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời
=
y f=
( x)
x+2
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ( A – 2007)
Trang 5
1
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực
x
1
tiểu của đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên bằng
.(A – 2005)
2
VD12.Cho hàm số y =f ( x) =
− x3 + 3 x 2 + 3(m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O. ( B – 2007)
x 2 + (m + 1) x + m + 1
VD13.Cho hàm số
(Cm) . CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu
=
y f=
( x)
x +1
và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 20 . ( B – 2005)
VD14.Cho hàm số y = f ( x) = x3 − (2m − 1) x 2 + (2 − m) x + 2 .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị có hoành độ dương . ( CĐ – D – 2009)
VD15. Cho hàm số y =x 4 − 2(m + 1) x 2 + m (1) m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa
độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại .
(B – 2011)
VD11.Cho hàm số =
) mx +
y f ( x=
Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D ⊆ R
1.Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho f ( x) ≤ f ( x0 ), ∀x ∈ D thì số M = f ( x0 ) được gọi là giá trị
lớn nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu M = Max f ( x)
x∈D
∀x ∈ D, f ( x) ≤ M
Như=
vậy M Max f ( x) ⇔
x∈D
M
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) =
2. Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho f ( x) ≥ f ( x0 ), ∀x ∈ D thì số m = f ( x0 ) được gọi là giá trị
nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu m = Min f ( x)
x∈D
∀x ∈ D, f ( x) ≥ m
Như
vậy m Min f ( x) ⇔
=
x∈D
m
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) =
II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số : Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D ⊆ R
Bài toán 1.Nếu D = (a, b) thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) = 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Bài toán 2. Nếu D = [ a, b ] thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) = 0 tìm nghiệm x1 , x2 ... thuộc tập xác định
3.Tính f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ).... f (b)
4.Kết luận: Số lớn nhất là M = Max f ( x) và số nhỏ nhất là m = Min f ( x)
x∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
Bài toán 3.Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Cauchy, Bunhiacốpxki, …..
Bài toán 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình, tập giá trị của hàm số
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Trang 6
Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:
3. y =f ( x) =x + 4 − x 2 (B-2003)
5. y f=
=
( x)
x +1
x2 + 1
3x − 1
trên [ 0; 2]
x −3
ln 2 x
4. y f=
trên 1, e3 (B-2004)
=
( x)
x
3 x 2 + 10 x + 20
6. y f=
=
( x)
x2 + 2x + 3
2. y f=
=
( x)
1. =
y f ( x=
) x4 − 2 x2
trên [ −1, 2] (D-2003)
(SPTPHCM2000)
π π
7. y f=
( x) 5cos x − cos5x trên − ,
=
4 4
9. y = f ( x) = 1 + s inx + 1 + cosx
11. y =
2 − x + 1 + x − − x2 + x + 2
2x + x +1
trên (−1, +∞)
x +1
1 3
15.
=
y
x − 3 x 2 trên [ −2, 4]
4
13. y =
2
8. y = f ( x) = 1 +
3sin x
2 + cos x
10. y =
f ( x) =
−2 cos 2 x + cosx-3
12. y 2sin x.cos x + sin x − cos x
=
13
14. y = x 2 − 4 x + 3 + 3 x − 1 trên đoạn 0,
4
16. y = sin 3 x + cos3 x + 3sin 2 x
Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN của hàm số có chứa tham số
VD1 .Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 .Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −2,1] đạt GTLN.
VD2. Cho hàm số y = f ( x) =sin 4 x + cos 4 x + m sin x.cos x .Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
bằng 2.
k cos x + 1
VD3. Cho hàm số y =
.Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1.
cos x + 2
ax +b
VD4. Tìm các giá trị của tham số a,b sao cho hàm số
có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị
( x)
=
y f=
x2 + 1
nhỏ nhất bằng -1.
VD5.Cho hàm số y = f ( x) = 2 x 2 + 4 x − 2a + 1 với −3 ≤ x ≤ 4 .Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất .
Dạng 3.Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
VD1. Một tấm tôn hình vuông cạnh bằng a. Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc để
gò thành một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt đi bằng bao nhiêu thì bể có thể
a
tích lớn nhất .
ĐS. Cạnh hình vuông cắt đi bằng
6
VD2. Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn bán kính R cho
trước.
ĐS.Các kích thước của hình chữ nhật là R 2 (hình vuông)
VD3. Trong các khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định khối trụ có thể tích lớn nhất .
h2
2R
bán kính đáy
=
r
R2 −
4
3
2
2
2
VD4. Cho đường (C) có phương trình x + y =.Hãy
tìm các điểm H trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó
R
cắt hai trục tọa độ tại A và B có độ dài đoạn AB nhỏ nhất .
VD5. Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước .
ĐS.Hình trụ có chiều cao h =
Trang 7
VD6. Cho x 2 + y 2 =
1 . Tìm Max, Min của biểu thức P =
2( xy + y 2 )
.
2 xy + 2 x 2 + 1
2+ 6
2− 6
=
, MinP
2
2
x
y
VD7.Cho x, y > 0 và x + y =
=
P
+
1 .Tìm Min của biểu thức
1− x
1− y
ĐS. MaxP
=
VD8.Cho hai số thực thay đổi x, y thõa mãn x 2 + y 2 =
2 .Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
3
3
P = 2( x + y ) − 3 xy
( CĐ Khối A – 2008)
VD9. Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn x 2 + y 2 =
1 .Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
P=
2( x 2 + 6 xy )
1 + 2 xy + 2 y 2
( ĐH Khối B – 2008)
VD10.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thõa điều kiện x + y = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của biểu thức P = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3 x) + 25 xy
( ĐH Khối D – 2009)
Chủ đề 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đường tiệm cận đứng .
Đường thẳng (d): x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x) nếu
lim− f ( x) = +∞ hoặc lim+ f ( x) = +∞
x → x0
Hoặc
x → x0
lim f ( x) = −∞ hoặc lim+ f ( x) = −∞
x → x0−
x → x0
x →+∞
x →−∞
2.Đường tiệm cận ngang .
Đường thẳng (d): y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x) nếu
lim f ( x) = y0 hoặc lim f ( x) = y0
3.Đường tiệm cận xiên .
Đường thẳng (d) y =ax + b(a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thị hàm số
y = f ( x) nếu
0
lim [ f ( x) − (ax + b) ] =
0 hoặc lim [ f ( x) − (ax + b) ] =
x →+∞
x →−∞
Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f ( x)
Đường thẳng (d) y =ax + b(a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f ( x) khi và chỉ khi
f ( x)
f ( x)
; b lim [ f ( x) − ax=
; b lim [ f ( x) − ax ]
a lim=
=
=
] hoặc a xlim
x →+∞
x
→+∞
x →−∞
→−∞
x
x
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
x2 + 2x + 3
2x + 3
1. y f=
2. y f=
=
( x)
=
( x)
x2 − 4
x +1
3x
2
3. y f=
4. y f=
=
( x)
=
( x)
3
x + 27
5− x
Trang 8
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
2
1. y = f ( x)= 2 x + 1 +
x +1
3
2 x + 5x2 −1
3. y f=
=
( x)
x2 − x + 1
Ví dụ 3.Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
1. y f=
=
( x)
2x2 + 1
2x −1
−3 x 2 + 5 x − 2
3x + 1
−2 x 2 + 5 x − 1
4. y f=
=
( x)
2x − 3
2. y f=
( x)
=
2. y f=
=
( x)
−2 x − 1
x2 + x + 2
3. y = f ( x) = 2 x − 4 x 2 − x + 2
4. y= f ( x)= 3 x 2 − 2 x + 4
Ví dụ 1.Tìm giá trị của tham số m sao cho:
2 x + 2m − 1
1.Đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1)
y f=
( x)
=
x+m
2 x 2 + 3mx − m + 2
2.Đồ thị hàm số
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam
=
y f=
( x)
x −1
giác có diện tích bằng 4.
1
2
Ví dụ 2. Cho đường cong (Cm): y =f ( x) =− x + 3 +
và đường thẳng (dm) y = mx − m + 2 . Xác
mx − 1
2
định m biết rằng (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng (dm)một góc α có
1
.
cosα =
5
2x + m
Ví dụ 3. Cho hàm số
.Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
=
y f=
( x)
mx − 1
và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bắng 8.
3x − 5
Ví dụ 4. Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm M ∈ (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai
( x)
y f=
=
x−2
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất ?
x −1
Ví dụ 5. Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm M ∈ (C ) để khoảng cách từ M đến giao điểm hai
=
y f=
( x)
x +1
tiệm cận là nhỏ nhất ?
Chủ đề 5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Bài toán 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) tại một điểm .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có dang : y =
− y0 f '( x0 )( x − x0 ) .
Trong đó f '( x0 ) được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M ( x0 , y0 ) .
2.Bài toán 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước.
1.Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có M ∈ (C ) ⇒ y0 =
f ( x0 )
Phương trình tiếp tuyến có dạng y − f ( x0 )= f '( x0 )( x − x0 )
2.Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng k nên f '( x0 ) = k , giải PT f '( x0 ) = k tìm được x0 ⇒ y0
3.Kết luận .
Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau. Nếu hai đường thẳng vuông
góc thì tích hai hệ số góc bằng -1
3.Bài toán 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) đi qua một điểm A( x A , y A )
1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d: y = k ( x − x A ) + y A (1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
Trang 9
f ( x) = k ( x − x A ) + y A
(I)
f '( x) = k
3.Giải hệ (I) tìm k. Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến .
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) = 4 x3 − 6 x 2 + 4 x − 1 có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
4 x − y − 1 =0 .
c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
x−2
Ví dụ 2.Cho hàm số
có đồ thị (C).
( x)
y f=
=
x −1
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai.
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)
Ví dụ 3.Cho hàm số y =f ( x) =
− x 4 − x 2 + 6 .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
1
vuông góc với đường thẳng =
( Khối D – 2010)
y
x −1
6
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) = 4 x3 − 6 x 2 + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số đi qua điểm M(-1, -9).
( Khối B – 2008)
3x − 2
Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết :
( x)
y f=
=
x −1
5
b. Tung độ tiếp điểm bằng
2
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : x + y − 3 =
0
d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ : 4 x − y + 10 =
0
e. Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)
Dạng2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước
1
1
m
Ví dụ 1 Gọi (Cm ) là đồ thị hàm số y = f ( x) = x3 − x 2 + ( m là tham số ). Gọi M là điểm thuộc
3
2
3
(Cm ) có hoành độ bằng -1.Tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại M song song với đường thẳng 5 x − y =
0.
( Khối D – 2005)
3
2
Ví dụ 2.Cho hàm số y = f ( x) = x + 3 x + mx + 1 (Cm ) .
a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C
b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau .
Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x) = x3 + 3 x 2 − 9 x + 5 (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .
x +1
Ví dụ 4.Cho hàm số
(C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm
( x)
=
y f=
x −1
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
2x
Ví dụ 5.Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C)
( x)
=
y f=
x +1
1
tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam, giác OAB có diện tích bằng .
( Khối D – 2007)
4
Trang 10
x+2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt
2x + 3
trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B và tam giác OAB cân tại O.
( Khối A – 2009)
2
x + x −1
Ví dụ 7. Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
=
y f=
( x)
x+2
tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
( Khối B – 2006)
2
x +x+2
Ví dụ 8.Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị
=
y f=
( x)
x −1
hàm số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
( Đại học An Ninh – 2001)
x +1
Ví dụ 9.Cho hàm số
có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng d : =
=
y f=
( x)
y 2 x + m cắt đồ thị
x −1
(C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
(CĐ-SPTPHCM – 2005)
Ví dụ 10.Cho hàm số y =f ( x) =x 3 − 3 x 2 + 4 có đồ thị (C). Viết phương trình Parabol đi qua các điểm cực
trị của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y =
( Đại học An Ninh – 1999)
−2 x + 2
1
Ví dụ 11. Cho hàm số y =
f ( x) =
− x3 + x 2 + 3 x − 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết
3
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
4x − 3
Ví dụ 12. Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
=
y f=
( x)
x −1
tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 450 .
3x − 7
Ví dụ 13.Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
=
y f=
( x)
−2 x + 5
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x − 2 y + 2 =
0
0
b. Tiếp tuyến tạo với ∆ : y =
−2 x một góc 45
c. Tiếp tuyến tạo với ∆ : y =
− x một góc 600
2x −1
Ví dụ 14. Cho hàm số
có đồ thị (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm hai
=
y f=
( x)
x −1
tiệm cận của đồ thị (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB
b. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi
c. Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
−x +1
Ví dụ 15. Cho hàm số y =
2x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y= x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A
và B . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B .Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị
lớn nhất .
( Khối A – 2011)
Ví dụ 6.Cho hàm số
=
y f=
( x)
Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm
Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua A( x A , y A )
1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d: y = k ( x − x A ) + y A (1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
Trang 11
f ( x) = k ( x − x A ) + y A
(I)
f '( x) = k
3.Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A .
Ví dụ 1.Cho hàm số =
y f ( x=
) x3 − 3 x (C) .Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ
đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 2. Cho hàm số =
y f ( x=
) x3 − 3 x (C) .Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ
đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = 2 và hàm số y = f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 có đồ thị (C). Từ một điểm bất
kỳ trên (d) có thể được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C).
Ví dụ 4.Cho hàm số y =f ( x) =x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó
kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số =
y f ( x=
) x 4 − 2 x 2 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O.
b) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao
cho A là trung điểm của MB.
c) Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Ví dụ 6.Cho hàm số y =f ( x) =x 3 − 3 x 2 + 4 có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó có
thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 7.Cho hàm số y =f ( x) =
− x 3 + 3 x 2 + 2 x − 1 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng =
y 2 x − 1 các điểm
kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 8.Cho hàm số y =f ( x) =x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y =
−3 x + 2 các điểm kẻ
được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C).
x +1
Ví dụ 9. Cho hàm số=
có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách
y f=
( x)
x −1
từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất.
Ví dụ 10.Cho hàm số =
y f ( x=
) x 3 + 3 x 2 có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể kẻ
được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
x+m
Ví dụ 11. Cho hàm số
. Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến AB,AC đến đồ
=
y f=
( x)
x−2
thị hàm số sao cho ∆ABC đều ( Với B, C là hai tiếp điểm ).
Ví dụ 12.Cho hàm số y = f ( x) = x3 + 1 − m( x + 1) có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại giao điểm của (C) và trục Oy.
b.Tìm m để ∆ chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8.
Chủ đề 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giao điểm của hai đồ thị. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C1 ) và hàm số y = g ( x) có đồ thị (C2 )
+ Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại điểm M ( x0 ; y0 ) ⇔ ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình
y = f ( x)
y = g ( x)
+Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) là nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) (1)
+Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C2 )
+Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C1 ) và (C2 )
Trang 12
2.Sự tiếp xúc của hai đường cong. Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) có đồ thị lần lượt là (C1 )
và (C2 ) và có đạo hàm tại điểm x0 .
+Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với nhau tại một điểm chung M ( x0 , y0 ) nếu tại điểm đó
chúng có chung cùng một tiếp tuyến . Khi đó điểm M được gọi là tiếp điểm.
+Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
f ( x) = g ( x)
f '( x) = g '( x)
Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ của tiếp điểm.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
2x +1
Ví dụ 1.Cho hàm số
có đồ thị (C) và đường thẳng (d) : y =− x + m
y f=
( x)
=
x +1
a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
b) Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Ví dụ 2.Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 6 (C) .Định m để đường thẳng (d): y = mx − 2m − 4 cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 3.Cho hàm số y =f ( x) =
− x 4 + 2(m + 2) x 2 − 2m − 3 (Cm ) . Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục Ox tại
bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số y =f ( x) =
− x 3 + mx 2 − m − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt .
Ví dụ 5.Cho hàm số y =f ( x) =x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m có đồ thị (Cm ) .Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ
thị (Cm ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
( Khối D – 2009)
Ví dụ 6.Cho hàm số y =f ( x) =x 3 − 3 x 2 + 4 (C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2)
với hệ số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
AB.
( Khối D – 2008)
Ví dụ 7. Cho hàm số y =f ( x) =x 3 − 3 x + 2 (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ số
góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
( Khối D – 2006)
2x +1
Ví dụ 8. Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y =
=
y f=
( x)
−2 x + m cắt đồ thị (C)
x +1
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 ( O là gốc tọa độ )
( Khối B – 2010)
3
2
Ví dụ 9. Cho hàm số y = f ( x) = x − 2 x + (1 − m) x + m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4 . ( Khối A – 2010)
1 3
2
Ví dụ 10.Cho hàm số y= f ( x=
)
x − mx 2 − x + m + . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
3
3
điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 > 15
1
Ví dụ 11.Cho hàm số y= f ( x)= x −
có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y =
x +1
m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB. (Với O là gốc tọa độ )
Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số y = f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c (C) cắt trục hoành tại ba điểm
cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
2x +1
Ví dụ 13. Cho hàm số y =
x +1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho
b. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng
cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
( Khối D – 2011)
Trang 13
Chủ đề 7. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. PHƯƠNG PHÁP
Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = f ( x)
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
+ Tính các giới hạn và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
+ Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên
+ Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số
3. Đồ thị
+ Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số (như giao với trục tung, trục hoành (nếu có)
và lấy thêm một số điểm đặc biệt khác)
+ Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét
Lưu ý: Để vẽ tốt đồ thị hàm số ta cần nắm được hình dạng của nó từ bảng biến thiên và các điểm đặc biệt.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a. y =f ( x) =x 3 − 3 x 2 + 1
c. y =f ( x) =
− x3 + 3x
e. y =f ( x) =
− x3 + 3x 2 − 5 x + 2
g. y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 3
Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a. y = f ( x) = 3 x 4 − 6 x 2 + 2
c. y =f ( x) =x 4 + 2 x 2 − 3
1 4 1 2
e.=
y f=
( x)
x − x
2
2
Ví dụ 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
2x +1
a.
=
y f=
( x)
x+2
x
c.
( x)
=
y f=
x +1
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
x2 + x −1
a.
=
y f=
( x)
x+2
2
x −x−2
c.
=
y f=
( x)
x −1
− x2 + x + 1
e.
=
y f=
( x)
x +1
b. y = f ( x) = 2 x3 + 3 x 2 − 12 x − 13
d. y = f ( x) = x3 + 3 x 2 + 3 x + 2
f.=
y f (=
x) x( x − 3) 2
h. y = f ( x) = x3 + 6 x 2 + 9 x + 8
b.=
y f (=
x) 2 x 2 − x 4
d. y =f ( x) =
− x4 + 2 x2 + 3
f. y =f ( x) =x 4 − 5 x 2 + 4
x +1
x −1
x +1
d.
=
y f=
( x)
x−2
b.
=
y f=
( x)
− x2 + 2x − 5
x −1
2
x − 3x + 3
d.
=
y f=
( x)
x−2
2
x − 2x + 6
f. y f=
=
( x)
2x + 2
b.
=
y f=
( x)
Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1.Cho hàm số y = f ( x) = x3 − 3 x + 1 có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 − 3 x − k + 1 =
0
1
Ví dụ 2. Cho hàm số =
y f ( x=
) mx + có đồ thị (Cm)
x
Trang 14
1
4
b. Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của
1
(Khối A – Năm 2005)
(Cm) bằng
2
Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x) = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =
b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phận biệt : 2 x − 9 x 2 + 12 x =
m
3
(Khối A – Năm 2006)
x−2
có đồ thị (C).
Ví dụ 4. Cho hàm số
( x)
y f=
=
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm điểm trên đồ thị (C) thõa :
1. Có tọa độ nguyên
2. Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số
3. Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)
4. Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Ví dụ 5.Cho hàm số y =f ( x) =x 3 − 3 x 2 − 6
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình: x3 − 3 x 2 − 6 =
a
Ví dụ 6.Cho hàm số y =f ( x) =
− x3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)
b. Tìm k để phương trình − x3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 =
0 có ba nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)
MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I
TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ 02
KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
Năm học: 2011 – 2012
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
1
Câu 1(4,0 điểm): Cho hàm số y =
− x4 + 2 x2 − 1
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) hãy tìm tất cả các số thực m để phương trình sau − x 4 + 8 x 2 − 4m =
0 có 4
nghiệm thực phân biệt.
Câu 2(3,0 điểm):
2x − 1
a) Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị (H): y =
.
x+2
b) Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 − (m + 1)x + 1 (Cm).Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đường thẳng (d): y = 1 − 3 x cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt A, B và C(0; 1) sao cho
AB = 10 .
Câu 3(3,0 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x ) = x 4 − 2 x 2 + 3 trên đoạn [0; 2].
Trang 15
a) Tìm m để hàm số y = (m 2 + 5m) x3 − 6mx 2 − 6 x + 5 đạt cực tiểu tại x = 1
----------------------HẾT---------------------SỞ GDĐT ĐĂK LĂK
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ
Câu 1(6,5điểm)
KIỂM TRA 1 TIẾT GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I (CB)
Năm học: 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 01
2x +1
x+2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung.
c) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d): y = m – x luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =
− x3 + 3 x 2 + 9 x − 5 trên [1; 4] .
Cho hàm số y =
Câu 3 (1,5 điểm)
x − 4mx − 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành một
Cho hàm số y =
tam giác vuông.
-----------------------HẾT-----------------------SỞ GDĐT ĐĂK LĂK
KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
ĐỀ CHÍNH THỨC
Năm học: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)
Câu 1(4,0 điểm)
Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 3
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dùng đồ thị (C) để tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
x4 - 2x2 + 3m – 5 = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt.
−2 x
Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số y =
có đồ thị (H).
x−2
1/ Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (H).
2/ Tìm k để đường thẳng d có phương trình y = kx – 2k – 2 cắt đồ thị (H) tại hai
điểm A, B phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn AB.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Học sinh được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 3a (3,0 điểm)
1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =
x − 4 x − 1 với x ∈ [1;10] .
3
2
2/ Tìm tất cả các số thực m để hàm số y = x – (m + 1)x + 3mx + 1 có điểm cực đại, điểm cực
tiểu. Xác định m sao cho I(0;1) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
2. Theo chương trình nâng cao
4
2
Câu 3b (3,0 điểm)
x2 + x
vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị.
x −1
2/ Tìm tất cả các số thực m để bất phương trình x + 2 ≤ m x − 1 + m vô nghiệm.
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
-------------------------------HẾT------------------------------Trang 16
SỞ GDĐT ĐĂK LĂK
ĐỀ CHÍNH THỨC
KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
Năm học: 2009 – 2010
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)
Câu 1(4,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 – m = 0.
2x + 3
Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số y =
x −1
1/ Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
2/ Xác định tọa độ điểm A ở trên đồ thị hàm số cách giao điểm của hai đường tiệm cận một đoạn
bằng 26 .
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Học sinh được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 3a (3,0 điểm)
1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =+
x 2 5 − x với x ∈ [ −4;5] .
4
2
2/ Tìm m để hàm số y = x – 2mx nhận điểm x = 1 làm điểm cực tiểu.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 3b (3,0 điểm) Cho hàm số f ( x) =+
x 2 5− x
1/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol
=
y g=
( x)
2/ Tìm m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt.
x 2 − x + 10
tại điểm A(1;5).
2
-------------------------------HẾT-------------------------------
Trang 17
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : a f ( x ) = a g ( x ) (1)
Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) ⇔ f ( x) =
g ( x)
a > 0
Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì (1) ⇔
(ít gặp)
0
(a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] =
Bài 1 : Giải các phương trình sau
2
ĐS : {−2; −3}
1.
2 x − x+8 = 41−3 x
2. 5 x
2
−5 x − 6
=1
3
ĐS:
2
3. 52 x = 125
x
4 7
4.
7 4
x 2 −6 x −
5
2
3 x−1
−
16
=
0
49
ĐS : {−1;7}
= 16 2
5.
2
6.
(3 − 2 2)3 x =
3+ 2 2
7.
5 x+1 + 6.5 x − 3.5 x−1 =
52
8.
32 x +3.52 x +3 = 35 x.55 x
x +1
1
ĐS : −
3
ĐS : {1}
x
9. 5 x −1 = 25 x −1
10. 3x −1.22 x − 2 = 129− x
11. 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 9.5 x + 5 x+1 + 5 x+2
ĐS : {0}
12. 3x.2 x+1 = 72
ĐS : {2}
13. 2 x.3x−1.5 x−2 = 12
ĐS : {2}
14. 3 x − 2 = 9 x −5
4 x −4
15. 3
= 81x−1
1
x
16. 2 ( x 2 + 4 − x − 2)
= 4 x2 + 4 − 4x − 8
17. 6 x − 4.3x − 2 x + 4 =
0
Bài 2 : Giải các phương trình sau
2
1. ( x 2 − 1) x +2 x =
( x 2 − 1)3
2. ( x + 1)
3. 2 + 2
x
x −3
x −1
+2
4. ( 10 + 3)
{
x −3
x −1
}
ĐS : ± 2; −3
ĐS : {3}
=
1
x −2
ĐS : x ≥ 1
1
ĐS :
2
ĐS : {0;2}
=3 − 3
x
x −1
= ( 10 − 3)
+3
x +1
x +3
x −2
ĐS : 2
ĐS : ± 5
Trang 18
ĐS : {1;3}
(ĐH Quốc Gia HN-2000)
5. 8.3x + 3.2 x =24 + 6 x
6. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 =
(ĐH D-2006)
ĐS : {0;1}
0
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt t a f ( x ) , t > 0 với a và f ( x) thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với
=
biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. 9 x − 4.3x − 45 =
ĐS : 2
0
2x
x
2. 2 + 2 − 6 =
0
x
x
3. 9 − 8.3 + 7 =
0
x2
x2
4. 4 − 6.2 + 8 =
0
x
x−1
5. 8 − 6.2 + 2 =
ĐS : 0
0
x +1
1− x
ĐS : 1; -1
6. 5 + 5 =
26
2
2
− 71−
x
7
8.
9sin x + 9cos x =
10
9.
4
2
2
x−2
+ 16 =
10.2
x2 +5 − x
10. 4
2
x
11. 8 − 2
x−2
x2 +5 − x + 2
−2
3 x +3
x
ĐS : 1
kπ
ĐS :
2
ĐS : 3; 11
+6=
0
x
7.
=
−4 (đặt t= 2
x2 +5 − x
)
ĐS : 2
ĐS : 3; log 6 8
+ 12 =
0
12. (7 + 4 3) x + (2 + 3) x − 2 =
0
ĐS : 0
13. (2 + 3) + (2 − 3) =
14
ĐS : 2
x
x
14. 15.25 − 34.15 + 15.9 =
0
x2
x2
1
x
1
x
x2
1
x
15. 6.9 − 13.6 + 6.4 =
0
2x
4x
x
16. 3.4 + 2.3 =
5.36
x
17. (3 + 5) + 16.(3 − 5) x =
23 + x
ĐS : 1; -1
ĐS : 0; 1/2
ĐS : log 3+
(
2 x 2 + 6 x −9
x 2 + 3 x −5
2 x 2 + 6 x −9
2
5
4
)
ĐS : 1; -4
18. 3
+ 4.15
=
3.5
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1. 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x =
0
(ĐH A-2006)
ĐS : 1
2.
3.
2 x − x − 2 2+ x − x =
3
x
( 2 − 1) + ( 2 + 1) x − 2 2 =
0
(ĐH D-2003)
(ĐH B-2007)
ĐS : -1; 2
ĐS : 1; -1
4.
5.
6.
7.
8.
4.3 − 9.2 =
5.6
2 x 2 +1
x2 + x
− 9.2 + 22 x+2 =
2
0
x
x
x
25 + 15 =
2.9
x
x
125 + 50 =
23 x+1
(ĐH Hàng Hải-1999)
(ĐH Thủy Lợi-2000)
(ĐHSP Hải Phòng-2000)
(ĐH Quốc Gia HN-1998)
(HV Quan Hệ Quốc Tế-1999)
ĐS : 4
ĐS : -1; 2
ĐS : 0
ĐS : 0
ĐS : ±1;2; −5
2
2
x
x
2
x
4 x −3 x + 2 + 4 x + 6 x + 5 = 4 2 x + 3 x + 7 + 1
2
2
2
(ĐH Luật HN-1998)
( 7 + 4 3 )cos x + ( 7 − 4 3 )cos x =
4
1
12
10. 23 x − 6.2 x − 3( x−1) + x =
(ĐH Y HN-2000)
1
2
2
Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :
• a f ( x) =
b ⇔ f ( x) =
log a b
9.
ĐS : kπ
ĐS : 1
Trang 19
•
a f ( x ) =b g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) log a b
• a f ( x ) .b g ( x ) =
c ⇔ f ( x) + g ( x) log a b =
log a c
Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số
mũ.
VD. Giải các phương trình sau
2
2
1. 3x .2 x = 1
ĐS : 0; − log 3 2
ĐS : 2;log 3 2 − 2
2. 2 x −4 = 3x−2
3. 5 x −5 x+6 = 2 x−3
2
5. 8
x
x+2
= 36.32− x
x −1
x
ĐS : 3;2 + log 5 2
4. 3x.4
ĐS : 4; −2 − log 3 2
6. 57 = 75
x
= 18
x
ĐS : 2; − log 3 2
ĐS : log 7 (log 5 7)
5
ĐS :
7. 53−log5 x = 25 x
5
8. x 4 .53 = 5log x 5
1
ĐS : ; 4 5
5
x −1
9. 9.x log9 x = x 2
ĐS : 9
ĐS : 3; − log 5 2
10. 5 x.8 x = 500
Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng f ( x) = g ( x) (*)
• Bước 1 : Chỉ ra x0 là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến hoặc f ( x) là hàm đồng
biến, g ( x) là hàm hằng hoặc f ( x) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất
nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng f (u ) = f (v) , rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn
nghịch biến trên D). Từ đó suy ra f (u=
) f (v ) ⇔ =
u v.
Ví dụ 1:
Giải phương trình 3x + x − 4 =
0
Cách 1 :
3x + x − 4 = 0 ⇔ 3x + x = 4 (*)
• Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (*)
f ( x=
) 3x + x
•
Đặt :
g ( x) = 4
Ta có : f '( x) = 3x.ln 3 + 1 >0 ∀x
Suy ra f ( x=
) 3x + x là hàm đồng biến trên R.
Mà g ( x) = 4 là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x = 1
Ví dụ 2:
x
2
Giải phương trình 2= 3 + 1
x
x
2
x
Ta có : 2= 3 + 1 ⇔ 2=
( 3) x + 1
x
Cách 2 : 3x + x − 4 = 0 ⇔ 3x + x = 4 (*)
Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (*)
3x > 31 =
3
• Nếu x > 1 , ta có
x > 1
⇒ 3x + x > 3 + 1 =4 (vô lý)
3x < 31 =
3
• Nếu x < 1 , ta có
x < 1
⇒ 3x + x < 3 + 1 =4 (vô lý).
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Ví dụ 3: Giải pt 3.9 x−1 + (3 x − 7).3x−1 + 2 − x =
0 (1)
x −1
Đặt
=
t 3 ,t > 0 .
Phương trình (1) ⇔ 3.t 2 + (3 x − 7).t + 2 − x =
0
3 x 1 x
=
∆ (3 x − 7) 2 − 12(2 − x=
) 9 x 2 − 30 x + 25
= (3 x − 5) 2
) + ( ) (*)
2
2
−3 x + 7 + 3 x − 5 1
=
• Ta thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
(*)
t =
6
3
⇒
t =−3 x + 7 − 3 x + 5 =− x + 2
6
1 (
⇔
=
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
67 
558 
132 
