Tài liệu Các bài toán về số phức

———————————————————————————————— Ôn thi Đại học − SỐ PHỨC ———————————————————————————————— HUỲNH ĐỨC KHÁNH Exercises COMPLEX NUMBER QUY NHƠN − 2014 MỤC LỤC Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 2. Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1. Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. Tính in và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. Tìm số phức thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 3. Tìm tập hợp số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1. Tìm tập hợp số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất - môđun lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3. Tìm số phức để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất - lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 4. Phương trình - Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1. Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2. Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3. Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 5. Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 6. Chứng minh - Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 7. Ứng dụng của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 8. Hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2 Các phép toán trên số phức 2.1. Các phép toán trên số phức 1 Bài 2.1. Tìm số phức z, số phức nghịch đảo , số phức đối −z, số phức liên hợp z z √ 1 1 3 2 i. Tính ; −z; z; |z|; (z) ; z 3 ; 1 + z + z 2 . 1. Cho số phức z = − + 2 2 z √
3 2−i √ . 2. Tìm số phức đối của số phức z, biết z = 1 + 2i 3. Tìm số phức z sao cho z.z + 3(z − z) = 1 − 4i.    i   4. Tìm số phức liên hợp của z, biết |z| = 1 và z +  = 2. z Bài 2.2. Tìm phần thực, phần ảo của số phức 1. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i. Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1 − 2z2 . Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 − 4i. Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1 z2 . √ !3 1 + 3i . 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết z = 1+i 1 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức , biết z thỏa mãn z 2 − 2 (1 + i) z + 2i = 0. z z 5. Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = z 2 − z, biết z thỏa mãn + z = 2. 1 − 2i 6. Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = iz + z, biết z thỏa mãn 2. 2 (1 + i) (2 − i) z = 8 + i + (1 + 2i) z. 7. Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = z + iz, biết z thỏa mãn 2 (2 − 3i) z + (4 + i) z̄ = −(1 + 3i) . 8. Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = (1 + i)z, biết z thỏa mãn 3 z = (2 − 2i) (3 + 2i) (5 − 4i) − (2 + 3i) . 9. Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = iz + 4i, biết z thỏa mãn 2 z + 2i − 3 = (1 + 2i) (1 + z). 3 Bài 2.3. k + 9i là số thực. 1−i m − 1 + 2 (m − 1) i 2. Tìm số thực m để số phức z = là số thực. 1 − mi 2 3. Tìm số thực a để số phức z = 1 + (1 + ai) + (1 + ai) là số thuần ảo. i−m 1 . 4. Tìm số thực m để z.z = , biết z = 2 1 − m (m − 2i) 1. Tìm số thực k để bình phương của số phức z = Bài 2.4. Tính môđun của số phức 1. Cho hai số phức z1 = 3 − 4i và z2 = 2 + i. Tính môđun của số phức z = z1 .z2 . 2. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 1 + i. Tính môđun của số phức w = z1 3 + 3z2 . 3. Cho hai số phức z1 = 3 − 5i và z2 = 2 − i. Tính môđun của số phức z = z1 + z1 z2 . Bài 2.5. Tính môđun của số phức 1. 2. 3. 4. 5. 1−i (2 − 3i) z = + 2 − i. 2 z |z| Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i. Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z 3 + 12i = z và z có phần thực dương. z 2 + 2z + 3 Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z = . z+1 5iz Tính môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z = (1 + i) (3 − 2i) − . 2+i Bài 2.6. Tính môđun của số phức  1. Tính môđun của số phức w 2. Tính môđun của số phức w 3. Tính môđun của số phức w 4. Tính môđun của số phức w 5. Tính môđun của số phức w 6. Tính môđun của số phức w  1 = iz + z, biết z thỏa mãn [(2 − i) z + 3 + i] iz + = 0. 2i √
3 1 − 3i . = z + iz, biết z thỏa mãn z = 1−i 5 (z + i) = 1 + z + z 2 , biết z thỏa mãn = 2 − i. z+1 21 + 2i = 7 + 8i. = z + 1 + i, biết z thỏa mãn (2 + i) z + 1+i 4 = 1 + (1 + i) z, biết z thỏa mãn z − = i. z+1 = z 2 − z, biết z có phần thực âm và thỏa mãn z 3 + 2z − 16i = 8z. Bài 2.7. Tính môđun của số phức Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 3z1 z2 = (−1 + i) z2 và 2z1 − z2 = −3 + 2i. z1 + z1 + z2 . Tính môđun của số phức w = z2 2. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 2z2 là số thực, 2z1 − z2 là số ảo và 3z1 + z2 = 5 − 5i. 1. Tính môđun của số phức w = z12 + 3z1 z22 . 3.   2 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 không phải là số ảo và z1 − z1 .|z2 | là số ảo; z2 không phải   2 2014 2014 là số thực và z2 + z2 .|z1 | là số thực. Tính |z1 | + |z2 | . Bài 2.8. 1. 2. √ là số thực và |z − z| = 2 3. Tính |z|. (z̄)  2 Cho số phức z thỏa mãn z không là số thực, − z là số thực và |z − 1| = |zz − i|. Tính |z|. z Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa mãn z 2 4 Bài 2.9. 1. 2. p √ x2 − y 2 + 2xyi x2 + y 2 + i 2xy p và số phức w = . √ √ (x − y) + 2i xy xy 2 + i x4 + y 4 |z1 − z2 | Giả sử z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn z12 + z22 = z1 z2 . Tính . |z1 | + |z2 | Tính môđun của số phức z = Bài 2.10. √ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 1 và |z1 + z2 | = 3. Tính |z1 − z2 |. √ √ 2. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 13 và |z1 − z2 | = 5 2. Tính |z1 + z2 |. √ z1 3. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = 3, |z2 | = 4 và |z1 − z2 | = 37. Tìm số phức . z2  √   |z1 − 2i| = 2 |iz1 + 1| 4. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn và |z1 − z2 | = 1. Tính |z1 + z2 |.   |z2 − 2i| = √2 |iz2 + 1| 1. 1 . Tính |z1 + z2 |. 3    4 4 z1 z2 6. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − z2 | = |z1 | = |z2 | > 0. Tính A = + . z2 z1     |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1 7. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn . Tính A = |3z1 + 12z2 + 2011z3 |.  z1 z2 z3    + + =1 z2 z3 z1 Bài 2.11. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức 5. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |6z − i| = |2 + 3iz| và |z1 − z2 | = 1. (2x + y) + (2y − x) i = (x − 2y + 3) + (y + 2x + 1) i.

3. x2 + x + 1 + 2x2 + 3x − 4 i = 3 − 2i. x+1 y−1 = . 1−i 1+i Bài 2.12. Tìm số phức z 5. 2. x2 + (1 + i)y 2 − (4 + 3i)xy = 1 + 4i. 3 4. x (3 + 5i) + y(1 − 2i) = 9 + 14i. 6. x(3 − 2i) 3 + y(1 − 2i) = 11 + 4i. 2 + 3i 1. Tìm số phức z, biết |z| = 5 và phần thực của nó bằng hai lần phần ảo của nó. 2. Tìm số phức z, biết |z − 2 + i| = 2 và phần ảo nhỏ hơn phần thực ba đơn vị. Bài 2.13. Tìm số phức z (giải phương trình) 2 √ 1. z + 2z = (1 + 2i) (1 − i). 2. z + zz = 5 + 3. z |z| − 3z − i = 0. 4. 5. (z − 1) (1 − i) + (z + 1) (1 + 2i) = 8 + 4i. 6. (z + 1) (1 + i) + (z − 1) (2 − i) = 0. 2 7. 2 (z + 1) + z − 1 = (1 − i) |z| .
2 9. z 3 + 3|z| + i z 2 + 3z = 0. Bài 2.14. Tìm số phức z (giải phương trình) 1 − 7i 2 1. z 2 + (z) + 3iz − 2z = . 1 + 3i 25 3. z + = 8 − 6i. z (z − 2z) (−1 − 6i) 37 (1 − i) |z| √ 5. = . 1+i 10 1+i 7. z + = (1 − i) |z|. (1 − i) z 2 3i. 2 (z − i) (z + i) − 5z 2 − 5 = 0. 8. zz + z 2 − (z − 2z) = 10 + 3i. 10. 2 2 1 + z = |z − i| + (iz − 1) . 2. (z + 1) (1 + i) + 3 z−1 2 = |z| . 1−i (1 − i) + i + 1 = 0. z 2 (z) + i 6. = i. z+i 4z 8. 4z 2 + + 11i = 0. 1+i 4. zi + 5 Bài 2.15. Tìm số phức z (giải phương trình) 1. z 2 + z = 0.     3. z 2 = z 3 . 2. z 2 = 2z. 4. z 2 + |z| = 0. 2 2 5. z 2 = |z| + z. 6. z 2 − |z| + 1 = 0. 2.2. Tính in và áp dụng Bài 2.16. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức 1. z = (1 + i) 2014 2016 3. z = (2 − 2i) 2015 2. z = (1 − i) .  2017 1+i 4. z = . 1−i . . Bài 2.17. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức. 1. z = 1 + i + i2 + ... + i2014 . 2 3 20 2. z = 1 + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + ... + (1 + i) . 3. z = 1 + i + i2 + 2i3 + 3i4 + ... + 2014i2015 . 2015 4. w = z + 2 − 3i với z thỏa mãn (z + 2 − 3i) (1 − i) = (1 + i)  11  8 1+i 2i 5. w = z + iz với z thỏa mãn iz = + . 1−i 1+i . Bài 2.18. Tính các giá trị biểu thức. 1. A = in + in+1 + in+2 + in+3 , (n ∈ N). 2. B = i · i2 · i3 · ... · i2014 . i5 + i7 + i9 + ... + i2013 i2 + i4 + ... + i2008 . 4. D = 4 . 3. C = 2 3 2009 i + i + i + ... + i i + i5 + i6 + ... + i2014

5. E = 1 + 2i + 3i2 + 4i3 + ... + 2014i2013 1 − 2i + 3i2 − 4i3 + ... − 2014i2013 . 2014 Bài 2.19. Gọi z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình z 2 −4z +5 = 0. Tính (z1 − 1) +(z2 − 1) 2014 Bài 2.20. Tìm số nguyên n nếu n  n 1. (1 + i) = (1 − i) . 2.  Bài 2.21. Cho số phức z = 1+i 1−i 2013 1+i √ 2 n  + 1−i √ 2 n = 0. . Chứng minh rằng z k + z k+1 + z k+2 + z k+3 = 0, k ∈ N. . 6 2.3. Tìm số phức thỏa điều kiện cho trước Bài 2.22. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước. 1. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z − (2 + i)| = √ 10 và z.z = 25. 2. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z − 1| = 5 và 17 (z + z) − 5z.z = 0. 2 2 3. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z| + 2z.z + |z| = 8 và z + z = 2.    2 4. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z| = 1 và z 2 + (z)  = 1.    2 5. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời z 2 − (z)  = 4 và 2 |z − i| = |z − z + 2i|. √ 2 4 6. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z| + |z| = 30 và |2z + z| = 13.   z z   7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z| = 1 và  +  = 1. z z   z − 1 + i  = 1. 8. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời z 2 + z̄ 2 = 6 và  z − 2i  9. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z − 1| = 1 và số phức (1 + i) (z − i) có phần ảo bằng 1. 10. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 2 + i| = 2, biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. Bài 2.23. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước, đồng thời nó là số thực hoặc số ảo (thuần ảo). 1. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = √ 2 và z 2 là số ảo. 2. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z − 2 − 2i| và z − 2i là số ảo. z−2 3. Tìm số phức z thỏa mãn |z + 1 − 2i| = |z + 3 + 4i| và 4. Tìm số phức z thỏa mãn |z + 1 − i| = |z + 2 + 2i| và 5. Tìm số phức z thỏa mãn |(1 + i) z| = 2 và 1 (z) 2 z − 2i là số ảo. z+i z−i là số thuần ảo. z+i là số thuần ảo. 6. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 3i| = |1 − iz| và z − 9 là số thuần ảo. z 7. Tìm số phức z thỏa mãn |z + 1 − 2i| = 2 và (1 + 4i) z + z 2 là số thuần ảo. 8. Tìm số phức z thỏa mãn (1 − 3i) z là số thực và |z − 2 + 5i| = 1. 9. Tìm số phức z thỏa mãn (1 + 2i) z là số thực và |z + 2z − 3| = 5. 10. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 + 4 (z − 2i) là số thực và |z + 1 − i| = |z|. Chương 3 Tìm tập hợp số phức 3.1. Tìm tập hợp số phức Bài 3.1. Dạng tập hợp số phức z chạy trên đường thẳng. 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = |z̄ − 3 + 4i|. 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − z + 2| = 2 |z − 1|.    1 3 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z +  = . 2 2 √ 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − z̄ + 5 − i| = 5 2.   z − i  = 1. 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn  z + i    z + 2 − 3i    = 1. 6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn  z−4+i  2 7. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 + (z) = 0. 2 8. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 = (z) . 9. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 là số ảo. 10. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 2i là số thuần ảo. iz − 1 z+i là một số thực. z+i √
12. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 3z = 2 + i 3 |z|. 11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn Bài 3.2. Dạng tập hợp số phức z chạy trên đường tròn. 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − (3 − 4i)| = 2. 8 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − i| = |(1 + i) z|. 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 3 − 2i| = |2z + 1 − 2i|. 2 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| + 3z + 3z = 0.    z  √  = 2.  5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn  z − i 6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (2 − z) (z + i) là số thuần ảo. 7. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 2 + 3i là số thuần ảo. z−i 8. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z+i z+i + là số thuần ảo. z+1 z+1 9. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| < 3. 10. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| ≥ 3. 11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 ≤ |z − 1 + 2i| < 3.    1 12. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z +  = 2. z Bài 3.3. Dạng tập hợp số phức w thông qua điều kiện cho trước của số phức z. 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 2z − i, biết rằng số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2. √ 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1 + i 3)z + 2, biết số phức z thỏa |z − 1| ≤ 2. 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z + 2 − i, biết số phức z thỏa mãn |z − 2 − i| = 1. 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = iz + 1, biết số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 2. 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1 + 2i)z + √  √ 2 2zz  . 3, biết z thỏa mãn z + 3 = 5 Bài 3.4. Dạng tập hợp số phức z chạy trên Elip. 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 3| + |z + 3| = 10. 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 4i| + |z + 4i| = 10. Bài 3.5. Dạng tập hợp số phức z chạy trên các đường cong khác 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 |z − i| = |z − z + 2i|.    2 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 − (z)  = 4. 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2 + z| > |z − 2|. 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1 + i) z + (1 − i) z = 2 |z + 1|. 9 3.2. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất - môđun lớn nhất Bài 3.6. Số phức z chạy trên đường thẳng, tìm số phức có môđun nhỏ nhất. 1. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − i| = |z − 2 − 3i|, hãy tìm số phức z có |z| nhỏ nhất. 2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn (z − 1) (z + 2i) là số thực, tìm số phức z có |z| nhỏ nhất. 3. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − i| = |z + 1|, tìm số phức z có |z − (3 − 2i)| nhỏ nhất.       z−1   3    = 1, hãy tìm số phức z có z + − 5i nhỏ nhất. 4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn   z − 2i 2 Bài 3.7. Số phức z chạy trên đường tròn, tìm số phức có môđun nhỏ nhất − lớn nhất. √ 1. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 6 + 3i| = 2 5, hãy tìm số phức z có |z| nhỏ nhất, tìm số phức z có |z| lớn nhất. 2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 3i| = 1, hãy tìm số phức z có |z| nhỏ nhất, tìm số phức z có |z| lớn nhất. 3. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z + 2| = 2, hãy tìm số phức z có |z − (1 + 3i)| nhỏ nhất, tìm số phức z có |z − (1 + 3i)| lớn nhất. 4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = √ 5, hãy tìm số phức w = z + 1 + i có |w| nhỏ nhất, tìm số phức w = z + 1 + i có |w| lớn nhất. 5. Trong mặt phẳng phức Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i| = √ 5 và điểm A(4; −1). Hãy tìm số phức z sao cho M A nhỏ nhất, tìm số phức z sao cho M A lớn nhất. 6. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z + i| = |z − 2 + i|, đồng thời zz ≤ 5. Hãy tìm số phức z có |z − 5| nhỏ nhất, tìm số phức z có |z − 5| lớn nhất.   |z − 3 + 4i| + 1 7. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn log 13 = 1, hãy tìm số phức z có |z| nhỏ 2 |z − 3 + 4i| + 8 nhất, tìm số phức z có |z| lớn nhất. Bài 3.8. Số phức z chạy trên đường cong khác, tìm số phức có môđun nhỏ nhất − lớn nhất. 1. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |2z + 1| = |z + z + 3|, tìm số phức z có |z − 8| nhỏ nhất. 2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z + 2iz| = 1, hãy tìm số phức z có |z| nhỏ nhất, tìm số phức z có |z| lớn nhất. 3. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |2z + z̄ − 1 + i| = 1, hãy tìm số phức z có |z + 2z̄| nhỏ nhất, tìm số phức z có |z + 2z̄| lớn nhất. 10   4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z| = 1, hãy tìm số phức z có z 2 + 2z̄ − 1 nhỏ nhất, tìm   số phức z có z 2 + 2z̄ − 1 lớn nhất. Bài 3.9. Xét số phức z = i−m với m ∈ R. Tìm số phức z có |z| lớn nhất. 1 − m (m − 2i) 3.3. Tìm số phức để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất - lớn nhất Bài 3.10. Tìm số phức z thỏa điều kiện cho trước để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất - lớn nhất 1. Cho số phức z thỏa mãn (z − 2) (z + i) là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2. P = |z + 2i| + |z + 1|. z − 2i Cho số phức z thỏa mãn là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z−2 P = |z − 1| + |z − i|. 3. Cho số phức z thỏa mãn (1 − z) (i + z) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z − i|. 4. Cho số phức z thỏa mãn |z + 1 − i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 P = |z − 1 − 2i| + |z − 5 + 4i| . 5. Cho số phức z thỏa mãn |z − (3 + 4i)| = √ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 2 2 P = |z + 2| − |z − i| . 6. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z + 1| + 3 |1 − z|. 7. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức   P = |z + 1| + z 2 − z + 1. 8. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức   P = z 3 − z + 2 . Cho số phức z thỏa mãn |z| ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức   z + i . P =  z  10. Cho số phức z = x + 2yi (x; y ∈ R) thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 9. P = x − y. 11. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − 2| = 2 và |z2 + 1 − 3i| = |z2 − 3 − 6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12. P = |z1 − z2 |. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + i| = 5 và |z2 − 5| = |z2 − 7|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 − z2 |.  √  1 13. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn iz1 + 2 = và z2 = iz1 . 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 − z2 |. Chương 4 Phương trình - Hệ phương trình 4.1. Phương trình bậc hai Bài 4.1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau 1) 5 + 12i. √ 3) −164 + 48 5i. −7 − 24i. √ 4) −1 − 2 6i. 2) Bài 4.2. Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) z 2 + 3z + 9 = 0. 2) w2 − 2w + 4 = 0. 3) 8x2 − 4x + 1 = 0. 4) y 2 + y + 1 = 0. Bài 4.3. Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) z 2 + 3(1 + i)z − 6 − 13i = 0. 2) z 2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0. 3) 2 (1 + i) z 2 − 4 (2 − i) z − 5 − 3i = 0. 4) (2 − 3i) z 2 − (3 − 4i) z + 1 − i = 0. Bài 4.4. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 4z + 20 = 0. Tính giá trị các biểu thức z12 + z22 2 2 1) A = |z1 | + |z2 | . 2) B = 2 2. |z1 | + |z2 | 2 2 |z1 | + |z2 | 4 4 3) C = 4) D = |z1 | + |z2 | . 2014 . (z1 + z2 ) √
Bài 4.5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 1 + i 2 z + 2 − 3i = 0. Không giải phương trình, hay tính giá trị các biểu thức 1) A = z12 + z22 . 2) B = z12 z2 + z1 z22 . 3) C = z13 + z23 . 4) 5) E = z1 z2 + . z2 z1 D = z13 z2 + z1 z23 .     1 2 1 2 6) F = z1 + + z2 + . z2 z1 z1 z2 Bài 4.6. Lập phương bậc hai có các nghiệm phức là α = 4 + 3i, β = −2 + 5i. Bài 4.7. Cho các số phức w1 = 1 + 2i, w2 = 3 − 4i. Xác định các số phức z khác 0, đồng thời thỏa w   2 mãn các điều kiện w1 .z là số thực và   = 1, từ đó lập phương trình bậc hai có nghiệm là các số z phức đã tìm được. 12 Bài 4.8. Tìm hai số phức, biết a) Tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng bằng 12. b) Tổng của chúng bằng −3 − 3i và tích của chúng bằng −6 − 13i. Bài 4.9. Tìm các số thực b, c để phương trình z 2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm nghiệm. Bài 4.10. Tìm số thực b để phương trình (1 − i) z 2 + 2 (3 − 2i) z − 12 − bi = 0 nhận số phức z = 1 + i làm nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình. 2 Bài 4.11. Tìm môđun của số phức w = b + ci với b, c ∈ R, biết z = (1 + 2i) (2 − 3i) là một nghiệm 8+i của phương trình z 2 + bz + c = 0. Bài 4.12. a) Cho phương trình x2 + ax + i = 0 với a ∈ C. Tìm a để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng −4i. b) Cho phương trình z 2 + mz + 3i = 0 với m ∈ C. Tìm m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12 + z22 = 8. Bài 4.13. Cho phương trình 2z 2 + 2 (m − 1) z + 2m + 1 = 0 với m ∈ R. Tìm m để phương trình có √ hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn |z1 | + |z2 | = 10. Bài 4.14. Cho số phức z là nghiệm của phương trình z 2 + z + 1 = 0. Rút gọn biểu thức  P = z+ 1 z 2  2  2  2 1 1 1 + z2 + 2 + z3 + 3 + z4 + 4 . z z z Bài 4.15. Cho số phức z là nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 3 = 0. Tính mô đun của số phức w = z 17 − z 15 + 6z 14 + 3z 2 − 5z + 9. 4.2. Phương trình bậc ba Bài 4.16. Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) z 3 − 8 = 0. 2) z 3 + 27 = 0. 3) z 3 + i = 0.  3 z+i 5) = 1. i−z 4) z 3 − i = 0.  3 z+i 6) = 8i. i−z 3 7) (z + 2z) = 8i. 8) z 3 − 2 (1 + i) z 2 + 3iz + 1 − i = 0.  3  2 z−i z−i z−i 9) + + + 1 = 0. z+i z+i z+i  3 2 z + 2z̄ (7 + 3i) (z + 2z̄) (12 + 11i) (z + 2z̄) 10) + + − 6 − 8i = 0. 1−i 2i 1−i Bài 4.17. Tìm các số thực a, b, c sao cho phương trình z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm. 13 Bài 4.18. Tìm các giá trị thực của m để phương trình z 3 − 5z 2 + (m − 6) z + m = 0 có ba nghiệm 2 2 2 phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn |z1 | + |z2 | + |z3 | = 21. Bài 4.19. Giải phương trình z 3 − 2(1 + i)z 2 + 4(1 + i)z − 8i = 0, biết rằng phương trình có nghiệm thuần ảo. Bài 4.20. Giải phương trình z 3 − (5 + i)z 2 − 4(1 − i)z − 12 + 12i = 0, biết rằng phương trình có nghiệm thực. Bài 4.21. Cho phương trình z 3 + (2 − i)z 2 + 2(1 − i)z − 2i. a) Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn z 3 + (2 − i)z 2 + 2(1 − i)z − 2i = (z − ai)(z 2 + bz + c). b) Từ đó, hãy giải phương trình z 3 + (2 − i)z 2 + 2(1 − i)z − 2i = 0. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức .....A = z12 + z22 + z32 .
Bài 4.22. Cho phương trình (z + i) z 2 − 2mz + m2 − 2m = 0. Tìm m để phương trình c) a) Có đúng một nghiệm phức. b) Có đúng một nghiệm thực. c) Có ba nghiệm phức. Bài 4.23. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực. 1) z 3 + (3 + i) z 2 − 3z − (m + i) = 0. 2) z 3 − 4 (1 + i) z 2 + (2 + 9i) z + m − 5i = 0. 4.3. Phương trình bậc bốn Bài 4.24. Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) z 4 + 16 = 0. 2) z 4 − 16 = 0.
2
4) z 2 − z + 4 z 2 − z − 12 = 0. 3) z 4 − 6z 2 + 25 = 0. 5) z 4 + 6(1 + i)z 2 + 5 + 6i = 0. 4  z+i = 1. 7) z−i 6) iz 4 + 2 (1 + 2i) z 2 + 8 = 0.  4 2z + 1 8) = 1. z−1  4 z−1 Bài 4.25. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình = 1. Tính tích 2z − i P = z12 + 1
z22 + 1
z32 + 1

z42 + 1 . Bài 4.26. Cho phương trình z 4 − 4z 2 − 16z − 16 = 0. a)

Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn z 4 − 4z 2 − 16z − 16 = z 2 − 2z − 4 z 2 + az + b . b) Từ đó, hãy giải phương trình z 4 − 4z 2 − 16z − 16 = 0. Bài 4.27. Cho phương trình z 4 − 2z 3 − z 2 − 2z + i = 0. 1 a) Bằng cách đặt w = z + hãy đưa phương trình trên về dạng aw2 + bw + c = 0. z b) Từ đó, hãy giải phương trình z 4 − 2z 3 − z 2 − 2z + i = 0. 14 Bài 4.28. Cho phương trình z 4 − 4z 3 + 14z 2 − 36z + 45 = 0. a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm thuần ảo. b) Từ đó, hãy giải phương trình z 4 − 4z 3 + 14z 2 − 36z + 45 = 0. Bài 4.29. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4 − 2z 3 + 6z 2 − 8z + 8 = 0. Tính tổng 1 1 1 1 S = 4 + 4 + 4 + 4. z1 z2 z3 z4 Bài 4.30. Giải các phương trình sau trên tập số phức
2
1) z 2 + 3z + 6 + 2z z 2 + 3z + 6 − 3z 2 = 0. 3) z 4 − z 3 + 4 z2 + z + 1 = 0. 2 2 2) (z 2 − z)(z + 3)(z + 2) = 10. 4) z 4 + 2z 3 − z 2 + 2z + 1 = 0. 2 5) (z + 1) + 2(z + 1) + (z + 4) + 1 = 0. 4.4. Hệ phương trình Bài 4.31. Giải các hệ phương trình sau    z1 + z2 = 4 + i 1)   z 2 + z 2 = 5 − 2i. 1 2    z1 + z2 = 2i 3)   z 2 + z 2 + 4z1 z2 = 0. 1 2     z1 + z2 = 3 − i 5)  1 1 3+i    + . = z z 5 2  1   z + w = 3 (1 + i) 7)   z 3 + w3 = 9 (−1 + i) . Bài 4.32. Giải các hệ phương trình sau    z + w = 4 + 3i 1)   z − iw = 3 − 2i.    z + w = w + i 3)   z − w = z + i. Bài 4.33. Giải các hệ phương trình sau 2) 4) 6) 8)    z1 z2 = −5 − 5i   z 2 + z 2 = −5 + 2i. 1 2    z 2 − z + 1 = 0 1 2   z 2 − z1 + 1 = 0. 2     z1 − z2 = 2 − 2i  1 1 1 3    − = − i. z z 5 5 1  2   z − w − zw = 8   z 2 + w2 = −1. 2) 4)    z − w = i   iz − w = 1.    z + w = 1 − w   2z + w = 2 + i + w. 15    z − 1  =1    z −i 1)        z − 3i  = 1.   z+i     z − 1    =1  z − 3 3)        z − 2i  = 2.   z+i  Bài 4.34. Giải các hệ phương trình sau    2 |z − i| = |z − z + 2i| 1)     z 2 − (z)2  = 4.    (1 − 2i) z + (1 + 2i) z = 6 3)   |z|2 + 2i (z − z) + 3 = 0. Bài 4.35. Giải các hệ phương trình sau     z1 + z2 + z3 = 1      1) z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 1        z1 z2 z3 = 1.     z − 12  5  =    z − 8i  3 2)        z − 4  = 1.  z − 8 2)    |z − 2i| = |z|   |z − i| = |z − 1| .     |z1 | + |z1 | + |z1 | = 1      2) z1 + z2 + z3 = 1        z1 z2 z3 = 1. Chương 5 Dạng lượng giác của số phức Chương 6 Chứng minh - Bất đẳng thức Chương 7 Ứng dụng của số phức 18