Tài liệu Các bài toán hình không gian cho thi đại học

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC 1 - Khối chóp Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều và ƒ S AD = 900 . J là trung điểm SD . Tính theo a thể tích khối tứ diện ACD J và khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AC J ). Giải: S J I B A C D ( + AD ⊥ S A AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (S AB) + Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆S AB đều nên SI ⊥ AB (2) p 1 a 3 1 Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ ( ABCD ). Do đó d ( J, ( ACD )) = d (S, ( ABCD )) = SI = 2 2 4 p p 1 1 2 a 3 a3 3 = . Từ đó suy ra VACD J = . .a . 3 2 4 24 5 a2 ∆BCI vuông tại B nên CI 2 = CB2 + BI 2 = 4 ∆SIC vuông tại I nên SC 2 = SI 2 + IC 2 = 2a2 Tương tự SD 2 = SC 2 = 2a2 SC 2 + CD 2 SD 4 ∆SCD có C J là đường trung tuyến nên C J = − = a2 2 4 p a 3 Xét ∆ J AC có J A = p ; AC = a 2; C J = a nên tính được cosA = 4 p 2 p p 2 7 7 7 1 a a Từ đó sinƒ J AC = nên dt( J AC ) = . p . = 4 2 4 8 2 p a3 3 p 3. a 21 24 Vậy d (D, ( J AC )) = 2 p = 7 a 7 2  8 Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là trung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC. p Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O ; hai mặt phẳng (S AC ) và (SBD ) cùngpvuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng theo a. http://boxmath.vn/ a 3 , tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 http://boxtailieu.net 1 Giải: S I A D O H K C B p Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi p đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a, do đó ƒ ABD = 60 o hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC ) và (SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ ( ABCD ). Do tam giác ABD đều nên với H là trungpđiểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB p 1 a 3 ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK ) Gọi I là hình chiếu của 2 2 O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng 1 1 a 1 = + ⇒ SO = Diện tích (S AB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2 2 OI OK SO p a đáy S ABCD = 4S∆ ABO = 2.O A.OB = 2 3a2 ; đường cao của hình chóp SO = . 2 p 3 1 3a Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = S ABCD .SO =  3 3 và DH = a 3; OK //DH và OK = DH = Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3 cm , các cạnh S A = SB = SC = 3 cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6 cm2 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . Giải: S A D H O C B Gọi H là hình chiếu của S trên ( ABCD ) suy ra H nằm trên BD (Vì S A = SB == SC, BD là trung trực của AC ). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD ; Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì S A = SC = D A = DC nên SO = DO suy ra tam giác SBD là tam 12 . p p5 5 11 5 11 ABCD là hình thoi có AD = 3, DO = nên AO = suy ra dt( ABCD ) = . 2 2 2 giác vuông tại S. Vì dt(SBD ) = 6 và SB = 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5, SH = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 2 p 1 VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 2 11. 3 p Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2 11( cm3 ).  Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy ( ABC ) một góc bằng 600 . Tam giác ABC vuông tại B, ƒ ACB = 300 .G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. Giải: S A C G K B ƒ Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ⊥ ( ABC ); S AG = 600 , AG = p 9a 3a 3 Từ đó AK = ; SG = . 4 2 p Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒pAC = 2 x; BC = x 3. 9a 7 Ta có AK 2 = AB2 + BK 2 nên x = 14 1 243 3 Vậy VS.ABC = SG.dt( ABC ) = a . 3 112 3a . 2  Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác S AB là tam giác cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt phẳng (S AB) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách p giữa hai đường thẳng CD và S A bằng a 6. Giải: S P D A M N H B C Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác S AB cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc p ƒ với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: (S A,á ( ABCD )) = S AH = 450 ⇒ S A = SH 2. á á ƒ = 600 ⇒ SM = SH. p2 . ((S AB ), ( ABCD )) = (SM, MH ) = SMH 3 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 3 Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng S A p p p và CD suy ra NP = a 6. Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2 2a Trong tam giác S AM ta có S A 2 = AM 2 + SM 2 ⇐⇒ 2.SH 2 = p p a 3. 8 a 2 8 3 a 3 1 = . Vậy VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 3 3 3 p 4SH 2 + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3. 3  Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy, S A = a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối chóp H.ACD theo a và côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ). Giải: S K H D A E C B Kẻ HE //S A (E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ ( ABCD ). BH AB2 1 HE a Trong tam giác SAB có AB = BH.SB ⇒ = = = ⇒ HE = 2 SB SB 2 SA 2 Diện tích ∆ ACD là S∆ ACD = 12 AD.CD = a2 ⇒ thể tích H.ACD là VH.ACD = 31 HE.S∆ ACD = 2 a3 6 S A ⊥ ( ABCD ) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥ (SBC ) tương tự gọi K là hình chiếu của A trên SD thì AK ⊥ (SCD ) do vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ) là góc giữa AH và AK. p p 1 a 2 1 1 a 2 trong tam giác vuông SAB có , S A 2 = SH.SB ⇒ SH = = + ⇒ AH = 2 2 2 2 2 AH AB SA 2a a tương tự AK = p , SK = p 5 5 2 2 2 SB + SD − BD SH 2 + SK 2 − HK 2 a2 = ⇒ HK 2 = cos ƒ BSD = 2.SB.SD 2.SH.SK 2 p p 2 2 2 AH + AK − HK 10 10 ƒ= á = > 0 ⇒ cos((SBC Trong ∆ AHK có cos AHK ), (SCD )) = 2.AH.AK 5 5  Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên S AB là tam giác cân tại S , mặt phẳng (S AB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD ) tạo với đáy góc 600 và cách đường thẳng AB một khoảng là a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 4 S K D A H I C B Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và CD Do S AB cân tại S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥ ( ABCD ) do đó SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I ), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥ (SCD ) ⇒ HK = d ( H, (SCD )) = d ( AB, (SCD  )) = a  H I ⊥CD   á à  ⇒ ((SCD ), ( ABCD ) = ( H I, SI ) = SI H = 600 CD ⊥ (SH I ) ⇒ SI ⊥CD   CD = (SCD ) ∩ ( ABCD )  HK 2a = p = BC . Trong ∆ HSI có SH = H I.tan600 = 2a 0 sin60 3 4 a2 diện tích ABCD là S ABCD = BC 2 = 3 1 8 a3 Thể tích S.ABCD là VS.ABCD = SH.S ABCD = . 3 9 Trong ∆HK I có H I =  Bài 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC = p p a 2, BD = a 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD , biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a. Giải: S K M D O H A C B Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ), M là trung điểm CD và O là tâm của đáy ABCD . Do AO là trung tuyến của tam giác ABD nên AO 2 = AB2 + AD 2 BD 2 3a2 − = ⇒ 2 4 2 p p a 6 AO 2a 6 AO = ⇒ AH = AO + = 2 3 3 p 2 2 2 2 p 2a 3 BD + BC CD 6 a + 2 a2 4 a2 2 2 BM = − = − = 3a ⇒ BM = a 3 ⇒ BH = 2 4 2 4 3 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 5 Ta có AH 2 +BH 2 = 4a2 = AB2 ⇒ AH ⊥BH , kết hợp với AH vuông góc với SH ta được AH ⊥ (SHB). Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được AH ⊥ (SHB) suy ra AH ⊥ HK ⇒ HK là đoạn vuông góc chung của AC và SB suy ra HK = a. 1 1 1 = + ⇒ SH = 2a 2 2 HK SH HB2 p 1 4 1 4 2 a3 1 Ta có VS.ABCD = SH.S ABCD = SH.4.SO AB = SH. O A.BH = 3 3 3 2 3 Trong tam giác vuông SHB ta có 2  - Khối lăng trụ Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 1 B1 C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A 1 cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A 1 A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α , biết p thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 bằng 2 3a3 . Giải: A1 B1 C1 A B I G H C p Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên S ABC = a2 3 Mặt khác A 1 A = A 1 B = A 1 C ⇒ A 1 .ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh A 1 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta cópA 1 G là đường cao. 2 3 Trong tam giác ABC có AG = AH = 2a 3 3 p 2a 3 à Trong tam giác vuông A 1 AG có: A 1 AG = α; A 1 G = AG.tanα = .tanα. 3 p 3 p Thể tích khối lăng trụ V = A 1 G.S ABC = 2 3a ⇒ tanα = 3 ⇒ α = 60o .  Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc ƒ = 1200 , cạnh bên BB0 = a . Gọi I là trung điểm của CC 0 . Chứng minh tam giác AB0 I BAC vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB0 I ). Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 6 A0 B0 C0 A B I C p Ta có BC = ap3. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB0 , B0 C 0 I p p 5 13 a, AB0 = 2a, B0 I = a 2 2 0 Do đó AI 2 + AB02 =p B0 I 2 Vậy tam giác p AB I vuông tại A 1 10 2 3 2 a , S ABC = a . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB0 I ). Tam S AB0 I = AI.AB0 = 2 4 4 0 giác ABC là hình chiếu vuông tam giác ABr I. p góc của p 10 3 3 cos α = ⇔ cos α =  suy ra S A 0 BI cos α = S ABC ⇔ 4 4 10 p Bài 2.3. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A 1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A 1 = 2a 5 và ƒ = 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB ⊥ M A 1 và tính khoảng BAC Suy ra AI = cách từ điểm A tới mặt phẳng ( A 1 BM ). Giải: A1 C1 B1 M A C B + Ta có A 1 M 2 = A 1 C12 + C1 M 2 = 9a2 , BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 AB.AC. cos 1200 = 7a2 ; BM 2 = BC 2 + CM 2 = 12a2 ; A 1 B2 = A 1 A 2 + AB2 = 21a2 = A 1 M 2 + MB2 ⇒ MB vuông góc với M A 1 + Hình chóp M ABA 1 và C ABA 1 có chung đáy là tam giác ABA 1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. 1 1 p A A 1 .S ABC = a3 15 3 3 p 6V a 5 = = MB.M A 1 3 ⇒ V = VM ABA 1 = VC ABA 1 = ⇒ d (a, ( MBA 1 ) ) = 3V S MBA 1 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net  7 Bài 2.4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B1 C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng ( A 1 B1 C1 ) thuộc đường thẳng B1 C1 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A A 1 và B1 C1 theo a. Giải: B A D C B1 A1 H C1 a à A A 1 H = 300 , AH = A A 1 . sin 300 = 2 p a3 3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 : V = AH.dt( A 1 B1 C1 ) = 8 p p a 3 a 3 0 . Do ∆ A 1 B1 C1 đều cạnh a, H thuộc B1 C1 và A 1 H = ∆ A A 1 H vuông, A 1 H = a.cos30 = 2 2 nên A 1 H ⊥B1 C1 Có AH ⊥B1 C1 do đó B1 C1 ⊥( A A 1 H ). Kẻ đường cao HK của ∆ A A 1 H thì HK chính là khoảng cách giữa A A 1 và B1 C1 p Ta có A A 1 .HK = AH.A 1 H , ⇒ HK = A 1 H.AH a 3 = . A A1 4  Bài 2.5. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng (P ) p chứa BC và vuông góc với A A 0 , cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 theo a. a2 3 . Tính 8 Giải: C0 A0 B0 H A C O M B Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên A A 0 , Khi đó (P ) ≡ (BCH ). 0 AM nhọn nên H nằm giữa A A 0 . Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P ) là tam giác BCH . à Do góc A http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 8 p p a 3 2 a 3 Do tam giác ABC đều cạnh a nên AM = , AO = AM = 2 3 p 3 p p 1 a2 3 a 3 a2 3 ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , Theo bài ra S BCH = 8 2 8 4 s p 3 a2 3 a2 3 a AH = AM 2 − HM 2 = − = 4 16 4 A 0 O HM Do hai tam giác A 0 AO và M AH đồng dạng nên = AO AH p p AO.HM a 3 3 a a 4 suy ra A 0 O = = = AH 3 4 3a 3 p p 1aa 3 a3 3 1 0 0 a= . Thể tích khối lăng trụ: V = A O.S ABC = A O.AM.BC = 2 23 2 12 3  - Khối tròn xoay p Bài 3.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2. a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng α . Tính khoảng cách từ trục đến MN . b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ Giải: C0 N O0 B0 A0 C N0 O H B M A à a) Kẻ đường sinh N N 0 ta có N MN 0 = α, kẻ OH ⊥ MN 0 thì OH bằng khỏang cách giữa trục OO 0 và MN . p Ta có: MN 0 = N N 0 .cotα = a. 2. cot α a2 a2 ∆OMH vuông : OH 2 = OM 2 − MH 2 = a2 − cot2 α = (2 − cot2 α) 2 2 s 2 2 − cot α ⇒ OH = a 2 b) Gọi x là cạnh của tam giác ngọai tiếp đường tròn đáy của hình trụ. p đềup 1 1 x 3 x 3 6R 6a Ta có: O 0 N = R = AN = = ⇒x= p = p 3 2p 6 3 3 p3 2 2 p p x 3 36 a 3 VABC.A 0 B0 C 0 = .OO 0 = .a 2 = 3a2 . 6. 4 12 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 9 p 18a p S xq = 3 x.OO 0 = p .a 2 = 6a2 6. 3  Bài 3.2. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là α . a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh S A và SB. Tính diện tích tam giác S AB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này. Giải: S K B O H A a) Tính V và S xq . ∆S AO vuông : SO = a.sinα, AO = a.cosα 1 1 V = π.AO 2 .SO = π.a3 . cos2 α. sin α 3 3 Sxq = π.AO.S A = π.a2 . cos α b) + Tính S S AB ƒ = 600 Kẻ OH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ AB, do đó SOH p ∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = a 3. sin α 3 AOH vuông : AH 2 = AO 2 − OH 2 = a2 .cos2 α − 3a2 . sin α 9 a p ⇒ AH = p 3 cos2 α − sin2 α 3 p 2a2 . sin α 3 cos2 α − sin2 α 1 Vậy S S AB = AB.SH = 2 3 + Tính d (O, (S AB)) Kẻ OK ⊥SH ⇒ OK ⊥(S AB) p p a 3 sin α 3 a. sin α OKH vuông : OK = OH.sin60 = . = 3 2 2 0  Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên S A vuông góc với đáy. a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S ABCD . b) Gọi (P ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B0 , C 0 , D 0 . Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B, C, D, B0 , C 0 , D 0 cùng nằm trên một mặt cầu. Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 10 S D0 C0 I B0 D A O C B a) Ta có : BC ⊥ AB BC ⊥S A Tương tự CD ⊥SD ) ⇒ BC ⊥SB Vậy các điểm A, B, D đều nhìn đọan SC dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của SC . b)Ta có : AC 0 ⊥SC tại C 0 AB0 ⊥SC và AB0 ⊥BC ( vì BC ⊥(S AB)) nên AB0 ⊥(SBC ) ⇒ AB0 ⊥B0 C Tương tự AD 0 ⊥D 0 C Vậy các điểm B0 , C 0 , D 0 , D, B cùng nhìn đọan AC dưới một góc vuông, do đó bảy điểm A, B, C, D, B0 , C 0 , D 0 cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC .  4 - Bài tập tự luyện có đáp số p 1. (CĐ 2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a 2, S A = SB = SC. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và pbán kính mặt p cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. * Đáp số: V = 3 a3 2a 3 ,R = 3 3 2. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy là hình vuông, tam giác A 0 AC vuông cân, A 0 C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB0 C 0 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD 0 ) theo p a. p * Đáp số: V = a3 2 a 6 ,d = 48 6 3. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với S A = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( ABH ). Tính thể tích của khối p chóp S.ABH theo a. * Đáp số: V = 7 11a3 96 4. (A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho H A = 2 HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường p S A và BC theo a. p thẳng * Đáp số: V = http://boxmath.vn/ a3 7 a 42 ,g= 12 8 http://boxtailieu.net 11 5. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, S A vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABC ) bằng 300 . Gọi M là trung điểmpcủa cạnh SC . Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a. * Đáp số: V = a3 3 36 6. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (S AB) và (S AC ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCN M và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB p và SN theo a. p * Đáp số: V = a3 3, d = 2a 39 13 7. (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = p a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD 1 A 1 ) và ( ABCD ) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho p và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A 1 BD ) theo a. * Đáp số: V = 3 a3 a 3 ,d = 2 2 8. (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; p  = 300 . Tính mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Biết SB = 2a 3 và SBC thể tích khối chóp S.ABC và p khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S AC ) theo a. p * Đáp số: V = 2 3a3 , d = 6a 7 7 9. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH p vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính khoảng cách giữa p hai đường p thẳng DM và SC theo a. * Đáp số: V = 5 3 a3 2 3a ,d = p 24 19 10. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC . Gọi CM là đường cao của tam giác S AC. Chứng minh M là trung điểm của S A và 4 tính thể tích khối p tứ diện SMBC theo a. a3 14 * Đáp số: V = 48 11. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . p * Đáp số: a3 5 6 12. (B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A 0 B0 C 0 có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng ( A 0 BC ) và ( ABC ) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A 0 BC . Tính thể tích khối lăngptrụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G ABC theo a. * Đáp số: V = http://boxmath.vn/ 3 a3 3 7a ,R = 8 12 http://boxtailieu.net 12 p 13. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, S A = a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh S A, SB và CD . Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳngpSP. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP. * Đáp số: V = a3 6 48 14. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABCD ) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI ) và (CSI ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ), tính thể tích khối p chóp S.ABCD theo a. * Đáp số: V = 3 15a3 5 15. (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 0 B0 C 0 có BB0 = a, góc giữa đường thẳng BB0 và ƒ = 600 . Hình chiếu vuông mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC góc của điểm B0 lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A 0 ABC theo a. 9 a3 * Đáp số: V = 208 16. (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, A A 0 = 2a, A 0 C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 0 C 0 , I là giao điểm của AM và A 0 C . Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ). p * Đáp số: V = 2a 5 4 a3 ,d = 9 5 ƒ=ƒ 17. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, SD. Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCN M theo a. * Đáp số: V = a3 3 18. (A 2008) Cho lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác p vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A 0 trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A 0 .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A A 0 , B0 C 0 . * Đáp số: V = a3 1 , cosϕ = 2 4 p 19. (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, SB = a 3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, p pDN. * Đáp số: V = a3 3 5 , cosϕ = 3 5 20. (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, p cạnh bên A A 0 = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 13 lăng trụ ABC.A 0p B0 C 0 và p khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0 C. 7a a3 2 * Đáp số: V = ,d = 2 7 21. (A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP . p 3 a3 * Đáp số: V = 96 22. (B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. p * Đáp số: d = a 2 4 ƒ = 900 , BA = BC = 23. (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ƒ ABC = BAD p a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD ). a * Đáp số: d = 3 24. (A 2006) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O 0 , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O 0 lấypđiểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO 0 AB. * Đáp số: V = 3 a3 12 25. (B 2006) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, p AD = a 2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh mặt phẳng (S AC p ) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện AN IB. * Đáp số: V = 2 a3 36 26. (D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường p thẳng SB và SC . Tính thể tích của khối chóp A.BCN M. * Đáp số: V = 3 3 a3 50 27. (B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ((00 < ϕ < 900 ). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và ( ABCD ) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp p S.ABCD theo a và ϕ. p * Đáp số: tanα = 2 tanϕ, V = 2a3 tanϕ 6 28. (D 2003) Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q ) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P ) lấy điểm C , trong mặt http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 14 phẳng (Q ) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD ) theo a. p p * Đáp số: R = a 2 a 3 ,d = 2 2 29. (B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 B và B1 D. b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD, A 1 D 1 . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1 N. a * Đáp số: d = p , g = 900 6 30. (D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ); AC = AD = 4 cm; AB = 3 cm;p BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD ). * Đáp số: d = 6 34 17 p ƒ= 31. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A 1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A 1 = 2a 5 và BAC 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB ⊥ M A 1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt p phẳng ( A 1 BM ). * Đáp số: d = a 5 3 32. (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABC ) bằng 600 , hai tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC ). 3a * Đáp số: d = p 13 33. (DB1 B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , S A vuông p góc với đáy. Cho AB = a, S A = a 2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) và tính thể tích khối chóp O AHK. * Đáp số: V = 2 a3 27 34. (DB2 B 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R . Trên đường thẳng vuông góc với (P ) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (SBC ) bằng 600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC . Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích khối tứ diệnpS ABC theo R . * Đáp số: V = R3 6 12 35. (DB1 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = p a, A A 1 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A 1 , BC 1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chungpcủa các đường thẳng A A 1 và BC1 . Tính thể tích khối tứ diện M A 1 BC1 . * Đáp số: V = a3 2 12 36. (DB2 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A 1 B1 C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của A A 1 . Chứng minh BM ⊥ B1 C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 15 và B1 C . p a 30 * Đáp số: d = 10 37. (DB1 A 2008) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy ( ABC ) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC ; M là điểm di động trên tia đối của ƒ = α(α < 900 ) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC . Tính tia BA sao cho góc ECM thể tích khối tứ diện EH I J theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất. * Đáp số: V = 5a3 sin2α 8 38. (DB2 A 2008) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, S A = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN ). Chứng minh AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. * Đáp số: V = a3 36 p 39. (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A = a 3 và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa haipđường thẳng p SB và AC . * Đáp số: V = a3 3 2 , cosα = 6 4 40. (DB2 B 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của gócpgiữa hai đường thẳng AD, BC . * Đáp số: ĐS V = 5 a3 2 , g = 600 12 - Các bài toán về khoảng cách Phạm vi những bài tập này tôi sẽ đề cập một phương pháp xuyên suốt để giải các bài toán về khoảng cách trong không gian đó là quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt của hình chóp. Trước hết ta cần nắm chắc bài toán: Cho hình chóp S ABC có S A vuông góc với đáy ABC . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) • Việc tính khoảng cách này là rất đơn giản nhưng nó là chìa khóa để giải quyết mọi bài toán liên quan đến khoảng cách: Ta kẻ AM ⊥BC, AH ⊥SM ⇒ AH ⊥(SBC ) ⇒ d A/(SBC) = AH Trong tam giác vuông S AM ta có 1 1 AS.AM 1 = + ⇒ AH = p AH 2 AS 2 AM 2 AS 2 + AM 2 • Tính chất quan trọng - Nếu đường thẳng (d ) song song với mặt phẳng (P ) thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d ) đến mặt phẳng (P ) là như nhau http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 16 −−→ −−→ - Nếu AM = kBM thì d A/(P) = |k| d B/(P) trong đó (P ) là mặt phẳng đi qua M - Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi (P ) là mặt phẳng chứa b và (P )ka thì d a/b = d a/(P) = d M ∈a/(P) Trên cơ sở các tính chất trên. Khi cần tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , hay tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta luôn quy được về bài toán cơ bản. Ta xét các bài toán sau: Bài 5.1. ƒ = 90 o , BA = BC = a, AD = 2a. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang ƒ ABC = BAD p Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2, góc tạo bởi SC và (S AD ) bằng 30o . Gọi G là trọng tâm tam giác (S AB). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD ) Giải: Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và CE ⊥(S AD ) p p ⇒ C ŜE = 300 ⇒ SE = CE. tan 60 = a 3 ⇒ S A = a 2 Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AE . Ta có BE song song với (SCD ), MN 3 4 cũng song song với (SCD ). Ta có ND = AD 2 2 2 3 1 2 GS = MS ⇒ dG/(SCD) = d M/(SCD) = .d N/(SCD) = . d A/(SCD) = d A/(SCD) 3 3 3 3 4 2 Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với (S AC ). Hạ AH vuông góc với SC thì AH ⊥(SCD ) ⇒ d A/(SCD) = AH = p S A.SC S A 2 + SC 2 (Ta cũng có thể lập luận tam giác S AC vuông cân suy ra AH = a) =a  Bài 5.2. p Cho hình lăng trụ ABC A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền BC = a 2 cạnh bên A A 0 = 2a, biết A 0 cách đều các đỉnh A, B, C . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A 0 , AC . Tính thể tích khối chóp C 0 MNB và khoảng cách từ C 0 đến mặt phẳng ( MNB) Giải: - Tính thể tích: Vì A 0 cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A 0 lên mặt phẳng ( ABC ) là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi H là trung điểm của BC suy ra A 0 H ⊥( ABC ) 1 3 Gọi K = MN ∩ AC 0 ⇒ AK = C 0 K ⇒ VC0 MNB = 3VAMNB 1 3 Gọi E là trung điểm của AH ⇒ ME ⊥( ABC ) ⇒ VM ANB = ME.dt( ANB) p p 1 0 1 a 14 a 14 Tính được: ME = A H = = 2 p 2 2p 4 p 1 a 14 a2 14a3 14a3 Suy ra: VM ANB = . . = . Vậy VC0 MNB = 3 4 4 48 16 Ta thấy rằng việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C 0 đến mặt phẳng (BMN ) là tương đối khó. Để khắc phục khó khăn này ta sẽ tạo ra bài toán cơ bản tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng (BMN ) bằng cách dựng đường cao ME của khối chóp ABMN . - Tính khoảng cách: d C0 /(BMN) = 3d A/(BMN) . Gọi F là trọng tâm tam giác ABC 2 1 1 1 1 Ta có: AF = AH ; EH = AH ⇒ EF + AH = AH ⇒ EF = AH ⇒ d A/(BMN) = 4d E/(BMN) 3 2 3 2 6 Như vậy d C0 /(BMN) = 3 d A/(BMN) = 12d E/(BMN) http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 17 ( Hạ EP ⊥BN EQ ⊥ MP. ⇒ EQ ⊥( MNB) ⇒ d E/(MNB) = EQ = p EP.EM EP 2 + EM 2 EP EF BH.EF Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF ⇒ = ⇒ EP = BH BF p p BF p a 2 1 1 2 1 a 2 a 5 Tính được BH = ; EF = AF = . AH = AH = ; BF = 4 4 3 12 3 p 6 p 2 a 5 EP.EM 994a = Suy ra: EP = ⇒ EQ = p 2 2 20 EP p + EM p 284 994a 3 994a = Vậy d C0 /(BMN) = 12d E/(BMN ) = 12. 284 71  Qua ví dụ trên ta thấy rõ tầm quan trọng của bài toán cơ bản Bài 5.3. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Chân đường cao hạ từ S lên −−→ −−→ mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc AB sao cho H A = −2HB. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A, BC theo a. Giải: - Tính thể tích: Vì SH ⊥( ABCD ) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ( ABCD ). ƒ = 60 o . Góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABCD ) là SCH Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có 2 2 ƒ = HB2 + BC 2 − 2 HB.BC. cos 60 o = a + a2 − 2. a .a. 1 = 7a HC 2 = HB2 + BC 2 − 2 HB.BC. cos HBC 9 3 2 9 p p p p a 7 a a 7 21 ƒ= Suy ra HC = ⇒ SH = HC. tan SCH . 3= 3 3 p p 33 1 a 21 1 7a 1 . a.a. sin 60 o = ( ĐVTT) Ta suy ra VS ABC = SH.S ∆ ABC = 3 3 3 2 12 - Tính khoảng cách: Gọi E là trung điểm của BC , D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD 3 2 Ta có AD //BC nên d S A/BC = d BC/(S AD) = d B/(S AD) = d H/(S AD) ( Kẻ HF ⊥ AD ⇒ HK ⊥(S AD ) ⇒ d H/(S AD) = HK HK ⊥SF 1 1 1 HF.HS Trong tam giác vuông SHF ta có = + ⇒ HK = p 2 2 2 HF HS HS 2 + HF 2 p p HK 2 2a 3 3a Mặt khác HF = AE = = . 3 3 2 3 p p 3a a 21 p . HF.HS 42 3 3 Suy ra HK = p =r = a 12 3 2 21 2 HS 2 + HF 2 a + a 9 9 p p 3 42 42 Vậy d S A/BC = . a= a 2 12 8 6  - Giải toán Hình không gian bằng Phương pháp tọa độ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT J Phương pháp http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 18 • Bước 1: Chọn hệ trục tọa Ox yz. Xác định một góc tam diện vuông trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều . . . ), hoặc dựa trên các mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ. • Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán. • Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận. • Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầu của bài toán hình không gian. Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích . . . J Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian. H Tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình lập phương. • Xét tam diện vuông S.ABC có S A = a, SB = b, SC = c. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho −−→ −−→ −−→ S ≡ O, S A, SB, SC lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là S (0; 0; 0), A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c). • Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có độ dài các cạnh là AB = a, AD = b, A A 0 = −−→ −−→ −−→ c. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho A ≡ O, AB, AD, A A 0 lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là A (0; 0; 0), B(a; 0; 0), D (0; b; 0), A 0 (0; 0; c), C (a; b; 0), B0 (a; 0; c), D 0 (0; b; c), C 0 (a; b; c). H Hình chóp tứ giác đều, tam giác đều. • Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là giao của hai đường chéo và SO = h, AC = 2a, BD = −−→ −−→ −−→ 2 b. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho O A, OB, OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là O (0; 0; 0), S (0; 0; h), A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (−a; 0; 0), D (0; − b; 0). • Hình chóp tam giác đều S.ABC có O là tâm của tam giác ABC và SO = h, BC = a. Chọn −−→ −−→ −−→ hệ trục tọa độ Ox yz sao cho O A, CB, OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là ! à p ! à p ! à p a 6 a a 6 a a 3 ; 0; 0 , B − ; ;0 , C − ;− ;0 . O (0; 0; 0), S (0; 0; h), A 3 3 2 3 2 J Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải.. B. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA Bài 6.1. Cho hình chóp S.ABC , trong đó S A vuông góc với mặt đáy ABC . Đáy là tam giác cân tại A , đồ dài trung tuyên AD = a,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc α và tạo với mặt phẳng (S AD ) góc β. Tìm thể tích hình chóp S.ABC . Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 19 Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ. Tọa độ các đỉnh A (0; 0; 0), B(a; 0; 0), D (0; a; 0), A 0 (0; 0; a), C (a; a; 0), D 0 (0; a; a), B0 (a; 0; a), C 0 (a; a; a). a) Ta có h−−→ −−→i −−0→ −−→ −−−→ A B(a; 0; −a), B0 D (−a; a; −a), A 0 B0 (a; 0; 0) ⇒ A 0 B, B0 D = (a2 ; 2a2 ; a2 ) ¯h−−→ −−→i −−−→¯ ¯ 0 ¯ ¯ A B, B0 D . A 0 B0 ¯ a 0 0 Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d ( A B, B D ) = ¯h−−→ −−→i¯ = p . ¯ ¯ 0 6 ¯ A B, B0 D ¯ b) Tọa độ các điểm M, N, P là ³ ´ ³ a ´ ³a a´ M a; 0; , N ; a; 0 , P 0; ; a . 2 2 2 Do đó ´ −−→ −−−→ a a ´ −−−→0 ³ a −−→ ³ ; 0; a ⇒ MP. NC 0 = 0. MP −a; ; , NC 2 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 900 . c) Ta có µ 2 2 ¶ a a ´ −−−→0 ³ a ´ h−−→ −−−→0 i a ´ −−−→ ³ a a a −−→ ³ 2 MP −a; ; ; −a . , MC 0; a; , MN − ; a; − ⇒ MP, MC = − ; 2 2 2 2 2 4 2 1 ¯¯h−−→ −−−→0 i −−−→¯¯ 3 3 Thể tích khối tứ diện C MNP là VC0 MNP = ¯ MP, MC . MN ¯ = a . 6 16 0  Bài 6.2. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AD ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. Giải: Vì tam giác S AD là tam giác đều và (S AD )⊥( ABCD ) nên gọi O là trung điểm của AD thì SO ⊥( ABCD ). Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ (O y song song với AB). Tọa độ các đỉnh p ! ³ ´ ³ a ´ ³a ´ ³ a ´ a 3 a O (0; 0; 0), S 0; 0; , D ; 0; 0 , A − ; 0; 0 , C ; a; 0 , B − ; a; 0 . 4 2 2 2 2 à à p ! ³a a ´ a a a 3 Nên các trung điểm P ; ; 0 , N (0; a; 0) , M − ; ; . 2 2 4 2 4 à p ! −−→ a a a 3 −−→ ³ −−→ −−→ a2 a2 a ´ Ta có AM ; ; , BP a; − ; 0 nên AM.BP = − + 0 = 0. 4 2 4 2 4 4 Vậy AM vuông góc với BP. Mặt khác à à ! p ! p ´ −−→ ³ a a a 3 −−→ ³ a a ´ h−−−→ −−→i a2 3 a2 −−−→ a NM − ; − ; , NC ; 0; 0 , NP ; − ; 0 ⇒ N M, NC = 0; ; . 4 2 4 2 2 2 8 4 p 1 ¯¯h−−−→ −−→i −−→¯¯ a3 3 Do đó thể tích khối tứ diện CMNP là VCMNP = ¯ N M, NC . NP ¯ = . 6 96 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net  20