Tài liệu C4_vd1_ptchuacanbac2

CHÖÔNG 4: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC. A. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN BAÄC HAI. a2 = a ; ⎧a neáu a ≥ 0 a2 = ⎨ ⎩−a neáu a ≤ 0 . Neáu a ≥ 0 vaø b ≥ 0 , ta coù: a > b ⇔ a2 > b2 a = b ⇔ a3 = b3 . Vôùi moïi a, b ∈ R , ta coù: a > b ⇔ a3 > b3 . Giaû söû a ≥ 0 vaø b ≥ 0 . Ta coù : a + b ≤ a + b ≤ 2(a + b) Ñaúng thöùc beân phaûi ñuùng khi vaø chæ khi a = b Ñaúng thöùc beân traùi ñuùng khi vaø chæ khi a = 0 ∨ b = 0 2. Daïng cô baûn: ⎧A ≥ 0(hay B ≥ 0) A = B⇔⎨ ⎩A = B ⎧⎪B ≥ 0 A =B⇔ ⎨ 2 ⎪⎩A = B 3. Caùc daïng khaùc: Ñaët ñieàu kieän cho 2u A laø A ≥ 0, naâng caû hai veá leân luõy thöøa töông öùng ñeå khöû caên thöùc. ⎧⎪A.B ≥ 0 A = B ⇔ ⎨ 2u 2u ⎪⎩A = B 2u +1 2u +1 A=B⇔ A =B . Ñaët aån duï ñeå ñöa veà phöông trình hay heä phöông trình ñôn giaûn. . Tröôøng hôïp phöông trình ñaõ cho coù nhieàu caên thöùc. + Ta bình phöông 2 veá nhieàu laàn ñeå khöû daáu caên thöùc. 132 II. CAÙC VÍ DUÏ. Ví duï 1: Giaûi phöông trình: I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. 1. Nhaéc laïi: + Moãi laàn bình phöông 2 veá, caàn ñaët caùc ñieàu kieän: - Ñieàu kieän coù nghóa cuûa caùc caên thöùc - Ñieàu kieän veà daáu cuûa 2 veá. Ñeå bình phöông môùi töông ñöông vôùi phöông trình cho. 2 − x2 + 2 − 1 x2 1⎞ ⎛ = 4 −⎜x + ⎟ x ⎝ ⎠ (ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1996). Giaûi ⎧− 2 ≤ x ≤ 2 ⎧2 − x 2 ≥ 0 ⎪ ⎪⎧− 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ Ñieàu kieän: ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 1 2 2 2 ∨x≥ ⎪2 − 2 ≥ 0 ⎪x ≤ − ⎩⎪2x − 1 ≥ 0,x ≠ 0 x ⎩ 2 2 ⎩ 2 2 ⇔− 2 ≤x≤− ∨ ≤ x ≤ 2. 2 2 2 * − 2 ≤x≤− : thì x < 0 neân ta coù: 2 1 1⎞ ⎛ 2 − x2 + 2 − 2 < 2 + 2 = 2 2 < 4 < 4 − ⎜ x + ⎟ x⎠ x ⎝ ⎡ − 2⎤ ⇒ x ∈ ⎢ − 2, ⎥ khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình cho. 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 * ≤ x ≤ 2 : Bình phöông 2 veá cuûa phöông trình cho: 2 2 − x2 + 2 − 1 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ + 2 (2 − x 2 ) ⎜ 2 − 2 ⎟ = 16 − 8 ⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ 2 x⎠ ⎝ x⎠ x x ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 2 5 − 2 ⎜ x 2 + 2 ⎟ = 12 − 8 ⎜ x + ⎟ + ⎜ x 2 + 2 ⎟ + ⎜ x + ⎟ x⎠ ⎝ x⎠ x ⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 1 1 Ñaët t = x + ⇒ t 2 = x 2 + 2 + 2 . Ñieàu kieän t ≥ 2 x x 2 2 (*) (*) ⇔ 2 5 − 2(t 2 − 2) = 12 − 8t + t 2 − 2 + t 2 133 ⇔ 9 − 2t 2 = t 2 − 4t + 5 (t ≥ 2) ⇔ 9 − 2t 2 = (t − 2)2 + 1 (**) ⎧⎪ 9 − 2t 2 ≤ 1 Ta coù: ⎨ (***) ⎪⎩(t − 2)2 + 1 ≥ 1 ⎧⎪9 − 2t 2 = 1 1 ⇔ t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x =1 (**) vaø (***) ⇒ ⎨ 2 x ⎪⎩(t − 2) + 1 = 1 Thay x = 1 vaøo phöông trình cho thoûa vaäy x = 1 laø nghieäm phöông trình. Ví duï 2: Giaûi phöông trình: (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x (Hoïc vieän coâng ngheä böu chính vieãn thoâng naêm 1998, ñeà soá 2) Giaûi (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x x x ⎛2− 3 ⎞ ⎛2+ 3 ⎞ ⇔⎜ + = 1 (1) ⎜ 4 ⎟⎟ ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nhaän xeùt x = 1 laø nghieäm phöông trình (1), ta chöùng minh x = 1 duy nhaát. 2− 3 2+ 3 < 1 vaø < 1 ⇒ Veá traùi laø haøm soá giaûm. 4 4 Veá phaûi laø haèng soá ⇒ x = 1 laø nghieäm duy nhaát. Ví duï 3: Giaûi phöông trình: −x 2 + 4x + 2 = 2x (ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái D naêm 1999). Giaûi Ta coù: −x 2 + 4x + 2 = 2x ⇔ −x 2 + 4x = 2x − 2 ⎪⎧2x − 2 ≥ 0 ⎪⎧x ≥ 1 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩ − x + 4x = 4x − 8x + 4 ⎪⎩5x − 12x + 4 = 0 ⎧x ≥ 1 ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪⎩x = 2 ∨ x = 5 ⇔ x = 2 134 Ví duï 4: Giaûi phöông trình: x 2 = x + 5 + 5 (1) Giaûi ⎧x ≥ −5 Ñaët t = x + 5 ⇒ t 2 = x + 5 Ñieàu kieän ⎨ ⎩t ≥ 0 ⎧⎪x 2 = t + 5 (1) ⇔ ⎨ (heä ñoái xöùng loaïi 2) 2 ⎪⎩t = x + 5 2 ⎪⎧ x = t + 5 ⎪⎧x 2 = t + 5 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎩⎪(x − t)(x + t + 1) = 0 ⎩⎪ x − t = t − x ⎡x2 = x + 5 ⎪⎧x 2 = t + 5 (t ≥ 0) ⇔ ⎢ ⇔⎨ ⎪⎩x = t ∨ t = − x − 1 ⎢⎣ x 2 = − x − 1 + 5 ⎡ 1 + 21 ⎢x = ⎡ x 2 − x − 5 = 0 (x ≥ 0) 2 ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ ⎢⎣ x 2 + x − 4 = 0 (x ≤ −1) −1 − 17 ⎢x = 2 ⎣ Ví duï 5: Giaûi phöông trình: x 2 + 4356 + x − x x 2 + 4356 − x 2 = 5 x x 2 + 4356 + x , b = x. x 2 + 4356 − x 2 x x(4356) b = x( x 2 + 4356 − x) = 2 x + 4356 + x Ñaët a = ⎧⎪ab = 4356 = 66 ⎧a = 11 6 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒x= b 6 = 119 =5 ⎩ ⎩⎪a − b 135 HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 1.1 Giaûi phöông trình: x − 2 + 4 − x = x 2 − 6x + 11 1.2. Giaûi phöông trình: 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 Veá phaûi = (x 2 − 6x + 9) + 2 = (x − 3)2 + 2 ≥ 2 1.3. Giaûi phöông trình: 16 − x + 9 + x = 7 (ÑH Ñaø Laït naêm 1999) 1.4. Giaûi phöông trình: (4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 1.5. Giaûi phöông trình: 4 1.1. x − 2 + 4 − x = x 2 − 6x + 11 Veá traùi = 1. x − 2 + 1. 4 − x ≤ 2 (BÑT BCS) x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = 2 ⎧⎪ x − 2 + 4 − x = 2 ⇒⎨ ⇔x=3 2 ⎪⎩(x − 3) + 2 = 2 ⎧⎪4x − 1 ≥ 0 1 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 (*) Ñieàu kieän ⎨ 2 ⇔x≥ 2 ⎪⎩4x − 1 ≥ 0 1 Nhaän xeùt x = laø nghieäm phöông trình (*) 2 1 Ta chöùng minh x = laø nghieäm duy nhaát. 2 1.2. Ñaët f(x) = 4x − 1 + 4x 2 − 1 − 1 2 4x 1 + > 0, ∀x > f '(x) = 2 2 4x − 1 4x − 1 1 ⎡1 ⎞ ⇒ haøm soá f(x) taêng treân ⎢ , +∞ ⎟ vaø coù nghieäm x = 2 ⎣2 ⎠ 1 ⇒ x = duy nhaát. 2 1.3. ⎧16 − x ≥ 0 16 − x + 9 + x = 7 (*). Ñieàu kieän ⎨ ⇔ −9 ≤ x ≤ 16 ⎩9 + x ≥ 0 (*) ⇔ 16 − x + 9 + x + 2 (16 − x)(9 + x) = 49 ⎡x = 0 ⇔ x(x + 7) = 0 ⇔ ⎢ nhaän vì thoûa ñieàu kieän −9 ≤ x ≤ 16 ⎣x = 7 1.4. (4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 (1) Ñaët t = x 2 + 1 136 (t ≥ 1) 137 (1) ⇔ (4x − 1) x 2 + 1 = 2(x 2 + 1) + (2x − 1) (2) ⇔ (4x − 1)t = 2t 2 + (2x − 1) ⇔ 2t 2 − (4x − 1)t + 2x − 1 = 0 (Xem phöông trình aån soá t) ⎡ 1 t = < 1 (loaïi) ⇔⎢ 2 ⎢ ⎣⎢ t = 2x − 1 ⎧x − x 2 − 1 = t 4 ⎪ 2 −4 = ( 5 = 2,2360) t ⇒ ⎨ 2 4 2 t2 ⎪⎩x + x − 1 = t 2−4 1 Coäng laïi ta ñöôïc nghieäm : x = (t 24 + t 2−4 ) thoûa maõn (1). 2 (2) ⇒ x + x 2 − 1 = 1 1 ⎧ ⎡ x = 0 (loaïi) ⎪2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 ⇔⎢ t = 2x − 1 ⇔ x + 1 = 2x − 1 ⇔ ⎨ ⎢ x = 4 (nhaän) 2 ⎪x + 1 = (2x − 1) ⎢⎣ 3 ⎩ 2 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 (*) ⎧x 2 − 1 ≥ 0 ⎪ ⎪ Ñieàu kieän ñeå caùc bieåu thöùc coù nghóa: ⎨x − x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 (1) ⎪ 2 ⎪⎩x + x − 1 ≥ 0 1.5. Nhaän xeùt: (x − x 2 − 1)(x + x 2 − 1) = 1 ( x ≥ 1) (2) Ñaët 4 x − x2 − 1 = t ⇒ x + x2 − 1 = 1 t2 (t > 0) ⎡ ⎢t = 1 ⎢ 1 ⎢ 1+ 5 (*) ⇔ t + 2 = 2 ⇔ t 3 − 2t 2 + 1 = 0 ⇔ ⎢ t = 2 t ⎢ ⎢ 1− 5 ⎢⎣ t = 2 < 0 (loaïi) . t1 = 1:⇔ . t2 = 138 x − x2 − 1 = 1 2 x + x −1 = 1 coäng veá vôùi veá ⇒ x = 1 thoûa (1) 1+ 5 4 ⇒ x − x 2 − 1 = t 2 ⇒ x − x 2 − 1 = t 24 2 139