Tài liệu C2_vd5_heptkhac

Baøi 5: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH KHAÙC Coù theå giaûi baèng caùc pp bieán ñoåi töông ñöông, ñaët aån phuï, baát ñaúng thöùc. I. CAÙC VÍ DUÏ. Ví duï 1: Cho heä phöông trình: ⎧⎪x + y = m ⎨ 2 ⎪⎩(x + 1)y + xy = m(y + 2) 1. Giaûi heä khi m = 4 2. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nhieàu hôn 2 nghieäm. (ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái A naêm 1997) Giaûi 1. m = 4 ⎧⎪x + y = 4 Heä ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩(x + 1)y + xy = 4(y + 2) ⎪⎧ x = 4 − y ⎪⎧x = 4 − y ⇔⎨ 3 ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩ y − 4y + 8 = 0 ⎪⎩(y − 2)(y − 2y − 4) = 0 ⎪⎧ x = 4 − y ⎪⎧x = 4 − y ⇔⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪y = 2 ∨ y = 1 ± 5 ⎩⎪ y = 2 ∨ y − 2y − 4 = 0 ⇒ nghieäm (2, 2); (3 − 5,1 + 5),(3 + 5,1 − 5) ⎧⎪ x = m − y b. Heä ⇔ ⎨ 3 (*) 2 ⎪⎩ y − my + 2m = 0 (1) (*) coù hôn 2 nghieäm, (1) phaûi coù 3 nghieäm. Ñaët f(y) = y3 − my2 + 2m ⇒ f '(y) = 3y − 2my 96 27 3 6 3 6 ⇔m<− ∨m> 2 2 2 3 6 3 6 ∨m> heä coù hôn 2 nghieäm. Vaäy m < − 3 2 ⇔ m2 > Ví duï 2: Giaûi heä phöông trình: ⎧⎪xy − 3x − 2y = 16 ⎨ 2 2 ⎪⎩x + y − 2x − 4y = 33 (ÑH Giao Thoâng Vaän Taûi TPHCM naêm 1999). Giaûi Ñaët u = x − 1, ∨ = y − 2, heä trôû thaønh: ⎧⎪ u ∨ −(u + v) = 23 ⎨ 2 2 ⎪⎩ u + v = 38 ⎧⎪ p − s = 23 (1) Ñaët s = u + v, p = u.v ⇒ ⎨ 2 ⎪⎩s − 2p = 38 (2) ⎡s = 1 + 85 (1) vaø (2) ⇒ s2 − 2s − 84 = 0 ⇔ ⎢ ⎢⎣s = 1 − 85 . s = 1 + 85 : (1) ⇒ p = 24 + 85 ⇒ u,v laø nghieäm phöông trình: α 2 − sα + p = 0 Vôùi s2 − 4p = (1 + 85)2 − 4(24 + 85) = −10 − 2 85 < 0 ⇒ VN . s = 1 − 85 : (1) ⇒ p = 24 − 85 2 f '(y) = 0 ⇔ y(3y − 2m) = 0 ⇔ y = 0 ∨ y = ⎛ 2m ⎞ Neáu m ≠ 0 : (1) coù 3 nghieäm phaân bieät ⇔ f(0).f ⎜ ⎟<0 ⎝ 3 ⎠ 2 ⎡⎛ 2m ⎞3 ⎤ ⎛ 2m ⎞ ⇔ 2m ⎢⎜ − + 2m ⎥ < 0 m ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ 2m 3 ⇒ u,v laø nghieäm phöông trình: α 2 − sα + p = 0 Vôùi s2 − 4p = −10 + 2 85 > 0 97 ⎧ 1 − 85 + ⎪u = ⎪ ⇒⎨ ⎪ 1 − 85 − ⎪v = ⎩ ⎧ 1− ⎪u = ⎪ hoaëc: ⇒ ⎨ ⎪ 1− ⎪v = ⎩ ⎧ 3 − 85 + ⎪x = ⎪ ⇔⎨ ⎪ −10 + 2 85 5 − 85 − ⎪y = 2 ⎩ ⎧ 85 − −10 + 2 85 3− ⎪x = ⎪ 2 ⇔⎨ ⎪ 85 + −10 + 2 85 5− ⎪y = 2 ⎩ −10 + 2 85 2 −10 + 2 85 2 −10 + 2 85 2 85 − −10 + 2 85 2 85 + −10 + 2 85 2 II. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 5.1. Giaûi heä phöông trình: Ví duï 3: ⎧ 1 ⎪ x − 2y + x + 2y = 5 ⎪ Giaûi vaø bieän luaän theo a heä phöông trình: ⎨ ⎪ x + 2y = a ⎪⎩ x − 2y Ñaët u = 1 ⎧ ⎧ 1 1 x= = 5 ⎪⎧x − 2y = ⎪ ⎪⎪ 10 ⇒ heä ⎨ x − 2y ⇔⎨ 5⇔⎨ ⎪x + 2y = 0 ⎪⎩x + 2y = 0 ⎪y = − 1 ⎩ ⎪⎩ 20 25 * a> heä voâ nghieäm. 4 1 ≠ 0, ∨ x + 2y x − 2y (ÑH Kinh Teá TPHCM naêm 1995) Giaûi ⎧u + v = 5 ⇒⎨ neân u, v laø nghieäm phöông trình: ⎩ u.v = a α 2 − 5α + a = 0 (*) ⎧ x = y3 + y 2 + y − 2 ⎪⎪ 3 2 ⎨y = z + z + z − 2 ⎪ 3 2 ⎪⎩z = x + x + x − 2 (ÑH Ngoaïi Thöông TPHCM naêm 1996). ⎧⎪x 2 + xy = 6 5.2. Giaûi heä phöông trình: ⎨ 2 2 ⎪⎩x + y = 5 (ÑH Giao Thoâng Vaän Taûi TPHCM naêm 1996). 82 ⎧ 2 2 ⎪x + y = 9 ⎪ 5.3. Giaûi heä: ⎨ ⎪ x + 1 + 10 − x + y = 10 + y + 1 ⎪⎩ y 3 3 y ∆ = 25 − 4a 25 4 ⎧ u = α1 ⎧ u = α 2 25 * a≤ ∨⎨ vaø a ≠ 0 : nghieäm ⎨ vôùi α1 , α 2 laø nghieäm 4 ⎩v = α 2 ⎩v = α1 Ñeå phöông trình coù nghieäm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ a ≤ phöông trình (*). ⎧u + v = 5 * a = 0: ⎨ maø u ≠ 0 ⇒ ∨ = 0, u = 5 ⎩ u.v = 0 98 99 Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét ⎧x = y3 + y2 + y − 2 (1) ⎪⎪ 5.1. Ta coù: ⎨y = z3 + z2 + z − 2 (2) ⎪ 3 2 ⎪⎩z = x + x + x − 2 (3) (1) ⇔ x = y(y2 + y + 1) − 2 . Xeùt y ≤ 0 ⇒ x ≤ −2 ⇒ z ≤ −2 ⇒ y ≤ −2 (1) + (2) + (3) ⇒ y3 + y 2 + x3 + x 2 + z3 + z2 = 6 ⇔ y2 (y + 1) + x 2 (x + 1) + z2 (z + 1) = 6 (4) Vì x ≤ −2,y ≤ −2,z ≤ −2 ⇒ y + 1 < 0,x + 1 < 0,z + 1 < 0 ⇒ y2 (y + 1) + x 2 (x + 1) + z2 (z + 1) < 0 ⇒ (4) khoâng thoûa. . Xeùt y > 0 :⇒ z > 0 vaø x > 0 3 2 3 2 . 0 < y < 1:⇒ y + y + y < 3 ⇒ 0 < x < 1 ⇒ x + x + x < 3 ⇒ 0 < z < 1 ⇒ y3 + y2 + x3 + x 2 + z3 + z2 < 6 : (4) khoâng thoûa. . y > 1 : ⇒ x = y3 + y2 + y − 2 > 1 ⇒ z > 1 ⇒ z3 + z2 + x3 + x 2 + y3 + y2 > 6 : (4) khoâng thoûa. * y = 1 : (1) ⇒ x = 1 vaø (3) ⇒ z = 1, (2) ⇒ y = 1 Vaäy heä chæ coù 1 nghieäm laø x = y = z = 1 2 ⎪⎧x + xy = 6 (1) 5.2. ⎨ 2 2 ⎪⎩x + y = 5 (2) 6 − x2 (6 − x 2 )2 (x ≠ 0) theá vaøo (2): x 2 + =5 x x2 3 2 9 ⇔ 2x 4 − 17x 2 + 36 = 0 ⇔ x 2 = 4, x 2 = ⇔ x = ±2, x = ± 2 2 2 2 ⇒ y = 1, y = −1, y = , y=− . 2 2 (1) ⇔ y = 100 82 ⎧ 2 2 ⎪x + y = 9 (1) ⎪ 5.3. ⎨ ⎪ x + 1 + 10 − x + y = 10 + y + 1 (2) ⎪⎩ y 3 3 y ⎛ 1 10 1 ⎞ ⎛ 10 ⎞ (2) ⇔ x + + − x + y = ⎜x + ⎟ + ⎜ − x + y⎟ y 3 y 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎧ 2 10 ⎧ 1 10 1 ⎧ ⎪y + 3 y +1 y 0 + + ≥ x 0 + ≥ ⎪y 3 ⎪⎪ ≥0 y ⎪ ⎪ y ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪10 − x + y ≥ 0 ⎪10 + y ≥ x ≥ − 1 ⎪10 1 ⎪⎩ 3 ⎪⎩ 3 ⎪ +y≥x≥− y y ⎪⎩ 3 Xeùt 2 tröôøng hôïp: ⎧ 2 10 ⎧ 2 10 y + y +1≤ 0 y + y + 1 ≤ 0 ⎪ ⎪⎪ 3 ⎪ 3 TH 1: y < 0 Heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 ⎪10 + y ≥ x > 0 ⎪⎛ 10 + y ⎞ ≥ x 2 = 82 − y2 ⎟ ⎪⎩⎜⎝ 3 ⎩⎪ 3 9 ⎠ ⎡ 82 1 ⎧ 2 10 − y2 = ⎢ y = −3 ⇒ x = ⎪⎪y + 3 y + 1 ≤ 0 10 9 3 ⇔⎨ ⇔ y2 + y + 1 = 0 ⇔ ⎢ ⎢ 10 3 1 82 ⎪y2 + y + 1 ≥ 0 ⎢y = − ⇒ x = − y2 = 3 ⎪⎩ 3 ⎢⎣ 3 9 Laø nghieäm cuûa heä. 82 − y2 9 82 82 100 10 + Neáu x ≥ 0 ⇒ x = − y2 < < < +y 9 9 9 3 TH 2: y > 0: x 2 = 101 ⎧ 1 82 ⎧ ⎪0 ≤ x < ⎪⎪x + y ≥ 0 9 ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ 82 ⎪10 − x + y > 0 ⎪ 2 ⎪⎩ 3 ⎪⎩y = 9 − x > 0 + Neáu x < 0 82 10 82 1 ⇒x=− − y2 < 0 ⇒ − x + y > 0, ∀y ⇒ − y2 ≤ 9 3 9 y 82 1 ⇔ − y2 ≤ 2 (vì y > 0). 9 y ⎡ y2 ≥ 9 ⎡y ≥ 3 82 2 ⎢ ⇔ y − y +1≥ 0 ⇔ 2 1 ⇔ ⎢ ⎢y ≤ ⎢y ≤ 1 9 ⎢⎣ ⎢⎣ 3 9 82 82 1 ⎧ ⎧ 2 2 ⎪3 ≤ y ≤ 9 (do x + y = 9 ) ⎪⎪0 < y ≤ 3 ⎪ Vaäy heä coù nghieäm: ⎨ ∨⎨ 82 82 ⎪x = − − y2 ⎪x = − − y2 ⎪⎩ ⎪ 9 9 ⎩ 4 102