Tài liệu C2_vd2_hedoixungloai1

Baøi 2: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG LOAÏI 1 I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ⎧f(x,y) = 0 vôùi f(x,y) = f(y,x) vaø g(x,y) = g(y,x) 1. Daïng : (I) ⎨ ⎩g(x,y) = 0 2. Caùch giaûi: Ñöa heä (I) veà heä : ⎧F(S,P) = 0 (II) ⎨ vôùi S = x + y , P = xy ⎩G(S,P) = 0 Ví duï 2: 1 1 ⎧ ⎪x + y + x + y = 5 ⎪ Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎪x 2 + y2 + 1 + 1 = 9 ⎪⎩ x 2 y2 t 2 − St + P = 0 Ñieàu kieän ñeå (I) coù nghieäm laø heä (II) coù nghieäm thoûa: S2 − 4P ≥ 0 . (ÑH Ngoaïi Thöông TPHCM, Khoái A, D naêm 1997) Giaûi ⎧ 2 1 1 ⎧ 2 ⎪x + 2 = u − 2 ⎪⎪ u = x + x x ⎪ Ñaët ⎨ ⇔⎨ 1 2 ⎪v = y + ⎪y + 1 = v2 − 2 ⎪⎩ y y2 ⎩⎪ ⎧⎪ u + v = 5 ⎧⎪ u + v = 5 ⎧u + v = 5 Heä ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎩⎪ u + v = 13 ⎩⎪(u + v) − 2uv = 13 ⎩ uv = 6 II. CAÙC VÍ DUÏ: ⇒ u,v laø nghieäm cuûa phöông trình : α 2 − 5α + 6 = 0 Giaûi heä (II) ⇒ S,P vaø x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : ⎧u = 2 ⎧u = 3 ⇔ α = 3∨ x = 2 ⇒ ⎨ ∨⎨ ⎩v = 3 ⎩v = 2 1 ⎧ ⎧x = 1 ⎧x = 1 ⎪⎪ x + x = 2 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨ * u = 2, v = 3: ⇔ ⎨ 3+ 5 ⎨ 3− 5 ⎪y + 1 = 3 ⎪y = ⎪y = 2 2 ⎩ ⎩ y ⎩⎪ Ví duï 1: ⎪⎧x 2 + y2 + xy = 7 Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎪⎩x + y + xy = 5 Giaûi Ñaët s = x + y, p = xy, ta coù: ⎧⎪s2 − p = 7 ⎧⎪s2 + s − 12 = 0 ⎧s = −4 ⇔⎨ ⇔⎨ Heä ⇔ ⎨ ⎩p = 9 ⎩⎪s + p = 5 ⎩⎪ p = 5 − s (loaïi vì khoâng thoûa s2 − 4p ≥ 0 ) ⎧s = 3 ⎧x = 1 ⎧x = 2 ∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨ vaäy nghieäm (1, 2), (2, 1). ⎩p = 2 ⎩y = 2 ⎩y = 1 1 ⎧ ⎧x = 1 ⎧ 3− 5 ⎪⎪x + x = 3 ⎪ ⎪x = ⇔⎨ ∨ * u = 3, v = 2: ⇔ ⎨ ⎨ 2 3− 5 ⎪y + 1 = 2 ⎪y = ⎪y = 1 2 ⎩ ⎩ ⎪⎩ y ⎛ 3− 5 ⎞ ⎛ 3− 5 ⎞ ⎛3+ 5 ⎞ ⎛3− 5 ⎞ ,1 ⎟ ; ⎜ ,1⎟ ⎟ ; ⎜ 1, ⎟⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇒ nghieäm heä: ⎜⎜ 1, 79 80 Ví duï 3: Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå heä sau ñaây coù ñuùng 2 nghieäm. ⎧⎪x 2 + y2 = 2(1 + a) ⎨ 2 ⎪⎩(x + y) = 4 (ÑH Y Döôïc TPHCM naêm 1998). Giaûi ⎧⎪x 2 + y2 = 2(1 + a) ⎧⎪(x + y)2 − 2xy = 2(1 + a) Ta coù: ⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎩⎪(x + y) = 4 ⎩⎪(x + y) = 4 ⎧⎪ u + v = 5 ⎧⎪ u + v = 5 ⎧u + v = 5 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩ u + v = 53 ⎪⎩(u + v) − 2uv = 53 ⎩ uv = −14 ⎧u = 7 ⎧ u = −2 ∨⎨ ⇒ u,v laø nghieäm phöông trình: x 2 − 5x − 14 = 0 ⇔ ⎨ = − v 2 ⎩ ⎩v = 7 1 ⎧ ⎧ 7 + 45 ⎪⎪x + x = 7 ⎪x = ⇒⎨ Vôùi ⎨ 2 ; ⎪y + 1 = −2 ⎪y = −1 ⎩ ⎪⎩ y ⎧xy = 1 − a ⎧xy = 1 − a ⇔⎨ ∨⎨ ⎩x + y = 2 ⎩x + y = −2 Ñieàu kieän heä coù nghieäm laø: (x + y)h2 − 4xy ≥ 0 ⇔ 4 − 4(1 − a) ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 1 ⎧ ⎪⎪x + x = −2 ⎪⎧x = −1 ⇒⎨ Vôùi ⎨ 7 + 45 ; ⎪y + 1 = 7 ⎪y = 2 ⎩ ⎪⎩ y ⇒ x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : α 2 − 2α + 1 − a = 0 hoaëc III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ 2 α + 2α + 1 − a = 0 Coù cuøng bieät soá: ∆ ' = 1 − (1 − a) = a ⎧ 7 − 45 ⎪x = ⎨ 2 ⎪y = −1 ⎩ ⎧x = −1 ⎪ ⎨ 7 − 45 ⎪y = 2 ⎩ ⎧⎪x + y = 2a − 1 2.1. Cho heä phöông trình: ⎨ 2 2 2 ⎪⎩x + y = a + 2a − 3 Ñònh a ñeå heä coù nghieäm (x, y) vaø xy nhoû nhaát. Vaø coù 4 nghieäm khaùc nhau: α = 1 ± a, α ' = −1 ± a khi a > 0 Neân chæ ñuùng 2 nghieäm khi a = 0. ⇒ α = x = y = 1, α ' = x = y = −1 . Toùm laïi heä coù ñuùng hai nghieäm: (1, 1); (-1, -1) khi a = 0. Ví duï 4: ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎪(x + y) ⎜ 1 + ⎟=5 xy ⎝ ⎠ ⎪ Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎪(x 2 + y2 ) ⎛ 1 + 1 = 49 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪ x 2 y2 ⎝ ⎠ ⎩ (ÑH Ngoaïi Thöông Khoái A naêm 1999). Giaûi ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎧ ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ = 5 ⎪⎪x + x = u x y⎠ ⎠ ⎝ ⎪⎝ Heä ⇔ ⎨ Ñaët ⎨ 2 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪y + 1 = v ⎪⎛ ⎪⎩ ⎪⎜ x + x ⎟ + ⎜ y + y ⎟ = 53 y ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎝ 81 ⎧(x + 1)(y + 1) = m + 4 2.2. Cho heä phöông trình: ⎨ ⎩xy(x + y) = 3m 1. Ñònh m ñeå heä coù nghieäm 2. Ñònh m ñeå heä coù 4 nghieäm phaân bieät ⎪⎧x + y + yx = a + 1 2.3. Cho heä phöông trình: ⎨ 2 2 ⎪⎩x y + y x = a Ñònh a ñeå heä coù ít nhaát moät nghieäm (x, y) thoûa ñieàu kieän: x > 0 vaø y > 0. ⎧⎪x + y + xy = a 2.4. Cho heä phöông trình: ⎨ 2 2 ⎪⎩x y + xy = 3a − 8 7 2 b. Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì heä coù nghieäm. a. Giaûi heä vôùi a = 82 Höôùng Daãn Vaø Giaûi Toùm Taét. ⎧s = 2a − 1 ⎧s = 2a − 1 ⎪2 ⎪ ⎧s = x + y 2 2.1. Ñaët ⎨ Heä ⇔ ⎨s − 2p = a + 2a − 3 ⇔ ⎨2p = 3a2 − 6a + 4 ⎩ p = xy ⎪2 ⎪2 ⎩s ≥ 4p ⎩s ≥ 4p ⎧ ⎪s = 2a − 1 ⎪⎪ ⇔ ⎨2p = 3a2 − 6a + 4 ⎪ ⎪2 − 2 ≤ a ≤ 2 + 2 ⎪⎩ 2 2 3a2 − 3a + 2, f '(a) = 3a − 3, f '(a) = 0 ⇔ a = 1 2 Baûng bieán thieân: Ñaët f(a) = ⎧S = 3 * ⎨ thì x vaø y laø nghieäm phöông trình: t 2 − 3t + m = 0 ⎩P = m 9 Phöông trình coù nghieäm ⇔ ∆ 2 = 9 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ . 4 9 Toùm laïi heä coù nghieäm ⇔ m ≤ −2 3 ∨ m ≥ 2 3 ∨ m ≤ 4 ∆ > 0 ⎧ ⇔ m < −2 3 2. Ñeå heä coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ ⎨ 1 ⎩∆2 > 0 ⎧ S + P = a + 1 ⎧S = a 2.3. Heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩SP = a ⎩P = 1 ⎧S = 1 ∨⎨ ⎩P = a ⎧S > 0 ⎧S = a ⎪ * Vôùi ⎨ Ñieàu kieän x > 0, y > 0 laø: ⎨P > 0 ⇔a≥2 P 1 = ⎩ ⎪ 2 ⎩S − 4 ≥ 0 ⎧S = 1 Ñieàu kieän x > 0, y > 0 laø: * Vôùi ⎨ ⎩P = a Töø Baûng bieán thieân ⇒ f(a)Min Ñaùp soá: a ≥ 2 ∨ 0 < a ≤ 2 ⇔a=2− 2 2.2. ⎧S + P = m + 3 ⎧x + y + xy = m + 3 1. Heä ⇔ ⎨ Ñaët S = x + y, P = xy ⇔ ⎨ ⎩ PS = 3m ⎩xy(x + y) = 3m ⇒ s vaø p laø nghieäm cuûa phöông trình: α2 − (m + 3)x + 3m = 0 ⎧S = m ⎧S = 3 ∆ = (m − 3)2 ≥ 0 ⇒ ⎨ ∨⎨ ⎩P = 3 ⎩P = m ⎧S = m * ⎨ thì x vaø y laø nghieäm phöông trình: t 2 − mt + 3 = 0 P = 3 ⎩ Phöông trình coù nghieäm ⇔ ∆1 = m 2 − 12 ≥ 0 ⇔ m ≤ −2 3 ∨ m ≥ 2 3 83 ⎧S > 0 ⎪ 1 ⇔ 0 0 4 ⎪ 2 ⎩S − 4P ≥ 0 1 4 ⎧⎪x + y + xy = a ⎧S = x + y ⎧S + P = a 2.4. ⎨ 2 vôùi ⎨ ⇔⎨ 2 ⎩P = xy ⎩⎪x y + xy = 3a − 8 ⎩SP = 3a − 8 ⎡ ⎧S = 1 ⎢⎪ (loaïi) 7 ⎧ ⎢ ⎨P = 5 S+ P = ⎪ ⎪ ⎢ 7 ⎪ 2 ⎩ 2 a. a = : ⎨ ⇔⎢ 5 2 ⎪ 5 ⎢ ⎧⎪S = SP = ⎢⎨ 2 ⎩⎪ 2 (nhaän) ⎢ ⎪P = 1 ⎣⎢ ⎩ 5 1 x, y laø nghieäm phöông trình: α 2 − α + 1 = 0 ⇔ α = 2 ∨ x = 2 2 84 ⎧x = 2 ⎪ ⇒⎨ 1 ⎪⎩y = 2 1 ⎧ ⎪x = ∨⎨ 2 ⎪⎩y = 2 ⎧S + P = a thì s, p laø 2 nghieäm cuûa phöông trình: ⎩SP = 3a − 8 b. ⎨ α 2 − aα + 3a − 8 = 0 (1) Phöông trình coù nghieäm ⇔ ∆ = a2 − 4(3a − 8) ≥ 0 ⇔ a ≤ 4 ∨ a ≥ 8 Vôùi ñieàu kieän ñoù, phöông trình (1) coù nghieäm: α1 = a − a2 − 12a + 32 a + a2 − 12a + 32 , α2 = 2 2 . Choïn S = a − a2 − 12a + 32 a + a2 − 12a + 32 , P= 2 2 thì heä seõ coù nghieäm ⇔ s2 − 4p ≥ 0 ⇔ (a − 2)(a − 8) ≥ (a + 4) (a − 4)(a − 8) (2) a + a2 − 12a + 32 a − a2 − 12a + 32 . Choïn S = ,P= 2 2 thì heä coù nghieäm ⇔ s2 ≥ 4p ⇔ (a − 2)(a − 8) ≥ −(a + 4) (a − 4)(a − 8) (3) Töø (2) vaø (3) ⇒ (a − 2)(a − 8) ≥ − a + 4 (a − 4)(a − 8) (4) ⎡a ≤ 2 Vì (a − 2)(a − 8) ≥ 0 ⇔ ⎢ thì (4) thoûa. ⎣a ≥ 8 Khi a ∈ ( 2,4 ] thì (a − 2)(a − 8) < 0 (4) ⇔ (a − 2)2 (a − 8)2 ≤ (a + 4)2 (a − 4)(a − 8) 13 − 3 33 13 + 3 33 ≤a≤ 8 8 Keát hôïp vôùi caùc ñieàu kieän treân, ta thaáy heä coù nghieäm khi 13 + 3 33 a≤ hay a ≥ 8 . 8 ⇔ 4a2 − 13a − 8 ≤ 0 ⇔ 85