Tài liệu C2_vd1_hebacnhat2an

CHÖÔNG 2 II. CAÙC VÍ DUÏ. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN Baøi 1: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån. ⎧a x + b1y + c1 = 0 (I) ⎨ 1 ⎩ a 2 x + b 2 y + c2 = 0 Caùch giaûi: Ñaët D = Dx = b1 c1 b 2 c2 Dy = c1 a1 c2 a 2 Giaûi Ñeå heä voâ nghieäm, ta phaûi coù tröôùc heát : 2m 2 3(m − 1) =0 D=0⇔ m m −2 ⎡ ⎢m = 0 ⎢ 3 2 2 3 2 ⇔ 2m − 4m − 3m + 3m = 0 ⇔ 2m − 7m + 3m = 0 ⇔ ⎢ m = 3 ⎢ 1 ⎢m = 2 ⎣ ⎧−3y = 3 ⎧y = −1 * Vôùi m = 0 : (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ khoâng thoûa ñeà baøi. ⎩−2y = 2 ⎩x ∈ R a1 b1 = a1b2 − a2 b1 a2 b 2 = b1c2 − b2 c1 Ví duï 1: Ñònh m ñeå heä sau voâ nghieäm: ⎧⎪2m 2 x + 3(m − 1)y = 3 (I) ⎨ ⎪⎩m(x + y) − 2y = 2 = c1a2 − c2 a1 Dx ⎧ ⎪⎪x = D * D ≠ 0 : (I) ⇔ ⎨ ⎪y = Dy ⎪⎩ D * D = 0 vaø D x ≠ 0 hay D y ≠ 0 : (I) voâ nghieäm. 1 ⎧ ⎧18x + 6y = 3 ⎪3x + y = * Vôùi m = 3 : (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 heä voâ nghieäm ⎩3x + y = 2 ⎪⎩3x + y = 2 ⇒ m = 3 nhaän. 3 ⎧1 ⎪⎪ 2 x − 2 y = 3 1 1 heä voâ nghieäm ⇒ m = nhaän. * m = : (I) ⇔ ⎨ 2 2 ⎪1 x − 3 y = 2 ⎪⎩ 2 2 1 Toùm laïi heä voâ nghieäm khi m = 3 ∨ m = . 2 * D = D x = D y = 0 : (I) coù theå voâ nghieäm hoaëc coù voâ soá nghieäm Chuù yù: Trong thöïc haønh, khi D = 0, ta thöôøng thay vaøo heä caùc giaù trò cuï theå cuûa tham soá ñeå keát luaän. 71 72 Ví duï 3: Tìm caùc giaù trò cuûa b sao cho vôùi moïi a ∈ R , thì heä phöông trình: ⎪⎧x + 2ay = b coù nghieäm. ⎨ 2 ⎪⎩ax + (1 − a)y = b (ÑH COÂNG ÑOAØN 1998). Giaûi 1 2a Ta coù: D = = 1 − a − 2a2 = −2a2 − a + 1 = (a + 1)(1 − 2a) a1 − a 1 . D = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = 2 ⎪⎧ x − 2y = b ⎪⎧x − 2y = b Heä coù nghieäm. + a = -1 : heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩ −x + 2y = b ⎪⎩x − 2y = − b Ví duï 2: Ñònh m nguyeân ñeå phöông trình sau coù nghieäm nguyeân. ⎧mx + y − 3 = 0 ⎨ ⎩x + my − 2m − 1 = 0 Giaûi m1 = m 2 − 1 = (m + 1)(m − 1) Ta coù : D = 1m Dx = Dy = 1 −3 m −2m − 1 = −2m − 1 + 3m = m − 1 −3 m = −3 + 2m 2 + m = 2m 2 + m − 3 = (m − 1)(2m + 3) −2m − 1 1 TH1: D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1: nghieäm heä. Dx m −1 1 ⎧ ⎪x = D = (m + 1)(m − 1) = m + 1 ⎪ ⎨ ⎪y = D y = (m − 1)(2m + 3) = 2m + 3 = 2 + 1 ⎪⎩ D (m + 1)(m − 1) m +1 m +1 ⇔ b = − b2 ⇔ b(b + 1) = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1 ⎧x + y = b 1 ⎪ ⎪⎧x + y = b : Heä ⇔ ⎨ 1 ⇔⎨ Heä coù nghieäm. 1 2 2 2 ⎪⎩ 2 x + 2 y = b ⎩⎪x + y = 2b 1 ⇔ b = 2b2 ⇔ b(2b − 1) = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = 2 1 . D ≠ 0 ⇔ a ≠ −1 ∧ a ≠ thì heä cho coù nghieäm vôùi ∀b . 2 Toùm laïi vôùi b = 0 thì heä cho coù nghieäm ∀a ∈ R . Ví duï 4 : ⎧⎪ax + y = b Cho heä phöông trình : ⎨ 2 ⎪⎩x + ay = c + c 1. Vôùi b = 0, haõy giaûi vaø bieän luaän heä theo a vaø c 2. Tìm b ñeå vôùi moïi a, ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm. Giaûi 1. Giaûi vaø bieän luaän theoa vaø c: ⎪⎧ax + y = 0 ⎪⎧y = −ax b = 0 : heä ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 2 ⎪⎩x + ay = c + c ⎪⎩x + a(−ax) = c + c + a= 1 ∈ z ⇔ m + 1 laø öôùc soá cuûa 1 m +1 ⎡m + 1 = 1 ⎡m = 0 nghóa laø: ⎢ ⇔⎢ ⎣ m + 1 = −1 ⎣ m = −2 x ∈ z vaø y ∈ z ⇔ TH 2: D = D ⇔ m = ±1 ⎧x + y − 3 = 0 . m = 1 : Heä ⇔ ⎨ ⇒ heä coù nghieäm nguyeân ⎩x + y − 3 = 0 ⎧x = t ∈ z ⎨ ⎩y = 3 − t ⎧−x + y − 3 = 0 Heä voâ nghieäm ⇒ m = −1 loaïi . m = - 1 : Heä ⇔ ⎨ ⎩x − y + 1 = 0 Toùm laïi: m = 1, m = 0, m = - 2 73 74 Ví duï 5: (1) ⎧⎪y = −ax ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩(1 − a )x = c + c (2) * 1 − a2 ≠ 0 :⇔ a ≠ ±1: Heä coù nghieäm: x = c2 + c 1 − a2 ; ⎛ c2 + c ⎞ y = −a ⎜ ⎜ 1 − a2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ * 1 − a2 = 0 ⇔ a = ±1: (2) ⇔ 0x = c2 + c + Neáu c2 + c ≠ 0 ⇔ c ≠ 0 vaø c ≠ −1: (2)VN ⇒ heä VN + Neáu c2 + c = 0 ⇔ c = 0 ∨ c = −1: (2) ⇔ 0x = 0 ⇒ Heä coù ⎧x = t ∈ R nghieäm: ⎨ ⎩y = −at ⎧x = t ∈ R a =1⇒ ⎨ ⎩y = −t ⎧ax + by = c ⎪ Giaû söû heä phöông trình : ⎨ bx + cy = a ⎪cx + ay = b ⎩ Coù nghieäm. Chöùng minh raèng: a3 + b3 + c3 = 3abc Giaûi Goïi (x 0 ,y 0 ) laø nghieäm cuûa heä : 2 2 ⎧xa0 + by 0 = c ⎪⎧a bx 0 + ab y 0 = abc ⎪ ⎪ 2 2 ⎨ bx 0 + cy 0 = a ⇒ ⎨ b cx 0 + bc y 0 = abc ⎪cx + ay = b ⎪ 2 2 0 ⎩ 0 ⎪⎩ac x 0 + a cy 0 = abc ⎧x = t ∈ R a = −1 ⇒ ⎨ ⎩y = t ⇒ a2 (bx 0 + cy 0 ) + b2 (ay 0 + cx 0 ) + c2 (by 0 + ax 0 ) = 3abc ⇔ a3 + b3 + c3 = 3abc. (Ñpcm). 2. Tìm b. ⎧⎪ax + y = b ⎧⎪y = −ax + b Ta coù : ⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎩⎪x + ay = c + c ⎩⎪x + a(−ax + b) = c + c III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ ⎧⎪(a2 − 1)x + (a − 1)y = a3 − 1 1.1. Giaûi vaø bieän luaän heä: ⎨ 2 3 ⎪⎩(a + 1)x(a + 1)y = a + 1 ⎧⎪y = −ax + b ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩(1 − a )x + ab − (c + c) = 0 (*) Heä coù nghieäm ⇔ (*) coù nghieäm. + Neáu 1 − a2 ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1: (*) coù nghieäm duy nhaát ⇒ Heä phöông trình cho coù nghieäm ∀b. + Neáu a = 1: (*) ⇔ c2 + c − b = 0x, ñeå coù nghieäm c2 + c − b = 0, thì ta 1 phaûi coù ñieàu kieän ñeå coù ñöôïc c : ∆ = 1 + 4b ≥ 0 ⇔ b ≥ − 4 2 + Neáu a = - 1: (*) ⇔ c + c + b = 0x vaø coù nghieäm khi c2 + c + b = 0 1 ñeå tìm ñöôïc c ta phaûi coù: ∆ = 1 − 4b ≥ 0 ⇔ b ≤ . 4 1 1 Vaäy ñeå ∀a , ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm thì : − ≤ b ≤ . 4 4 75 1.2. Ñònh m vaø n ñeå hai heä phöông trình sau cuøng voâ nghieäm. ⎧(m + 1)x + (2n + 1)y = 5n − 1 ⎧(m + 1)x + my = n (I) ⎨ vaø (II) ⎨ (m − 1)x + ny = 2 ⎩3x + (4 − n)y = 2n − 1 ⎩ ⎧mx + y = 2m 1.3. Cho heä phöông trình : ⎨ ⎩x + my = m + 1 a. Ñònh m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Tìm heä thöùc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm. b. Ñònh m nguyeân ñeå nghieäm duy nhaát cuûa heä laø nghieäm nguyeân. 76 Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét 2 ⇒ (x − 1)(x − 2) = y(y − 1) laø heä thöïc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm. b. Dx = 2m 2 − m − 1, D y = m(m − 1) 2 1.1. D = −2(a − 1), D x = −2a(a − 1), D y = −2a (a − 1) ⎧ ⎪ m ∈ z,m ≠ ±1 ⎧m ∈ z,m ≠ ±1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ∈z ⇔ ⎨ 1 YCBT ⇔ ⎨ x = 2 − m +1 ⎪ ⎪⎩ m + 1 ∈ z 1 ⎪ ⎪⎩ y = 1 − m + 1 ∈ z ⎧ m ∈ z,m ≠ ±1 ⇔⎨ ⇔ m = 0 ∨ m = −2 ⎩ m + 1 = 1 ∨ m + 1 = −1 Dx ⎧ ⎪⎪x = D = a(a + 1) . a ≠ 1: nghieäm ⎨ ⎪ y = D y = a2 ⎪⎩ D ⎧ 0x + 0y = 0 ⎧x ∈ R . a = 1: Heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩x + y = 1 ⎩y = 1 − x 1.2. D I = − mn + 3n − m + 1 D II = − m 2 + 4 Ñeå 2 heä cuøng voâ nghieäm, tröôùc tieân ta phaûi coù: ⎧⎪− mn + 3n − m + 1 = 0 (1) ⎧DI = 0 ⇔⎨ 2 ⎨ (2) ⎩D II = 0 ⎩⎪− m + 4 = 0 (2) ⇔ m = ±2 . m = 2: (1) ⇔ n = 1 . m = - 2 : (1) ⇔ n = − 3 5 ⎧3x + 2y = 1 Thöû laïi: Vôùi m = 2, n = 1: thay vaøo heä (II): ⎨ ⎩3x + 2y = 1 ⇒ heä coù voâ soá nghieäm (loaïi) 3 . m = - 2, n = − theá vaøo heä (I) vaø heä (II) ta coù: 5 3 2 heä cuøng VN. ⇒ m = −2, n = − (nhaän). 5 1.3. a. D = m 2 − 1 Heä coù nghieäm duy nhaát ⇔ D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 Goïi x vaø y laø nghieäm cuûa heä, ta coù: ⎧mx + y = 2m ⎧m(x − 2) = − y ⇔⎨ ⎨ ⎩x + my = m + 1 ⎩x − 1 = − m(y − 1) 77 78