Tài liệu C1_vd3_bptbachai

Vaán ñeà 3 PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI 3. Ñieàu kieän ñeå tam thöùc khoâng ñoåi daáu treân R Cho f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ 1. Phöông trình baäc hai: a. Cho phöông trình : ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) (*) ∆ = b2 − 4ac ∆ < 0 : (*) voâ nghieäm ∆ = 0 : (*) coù nghieäm keùp x1 = x 2 = − ⎧∆ ≥ 0 ⎪⎧f(x)coù 2 nghieäm x1 ≤ x 2 ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩α ∉ [ x1 ,x 2 ] ⎩af(α) > 0 b 2a −b ± A 2a b. Ñònh lyù Viete : Neáu phöông trình : ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ∆ > 0 : (*) Coù 2 nghieäm phaân bieät x1,2 = b ⎧ ⎪⎪x1 + x 2 = − a coù 2 nghieäm x1 ,x 2 thì : ⎨ ⎪x + x = c 2 ⎪⎩ 1 a 2 2. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai : f(x) = ax + bx + c(a ≠ 0) a. Ñònh lyù thuaän: ∆ < 0 : f(x) luoân cuøng daáu vôùi a ⇔ af(x) > 0, ∀x ∈ R b b vaø f( − ) = 0 ∆ = 0 : f(x) cuøng daáu vôùi a vôùi moïi x ≠ − 2a 2a ∆ > 0 : f(x) coù 2 nghieäm phaân bieät : x1 < x 2 Baûng xeùt daáu: ⎧a > 0 f(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩∆ < 0 ⎧a > 0 f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩∆ ≤ 0 ⎧a < 0 f(x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩∆ < 0 ⎧a < 0 f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩∆ ≤ 0 Neáu chöa coù a ≠ 0 thì ta phaûi xeùt tröôøng hôïp a = 0. 4. So saùnh nghieäm cuûa phöông trình baäc hai vôùi hai soá cho tröôùc. Cho phöông trình : f(x) = ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) vaø hai soá α, β(α < β) ⎧af(α) < 0 x1 < α < β < x 2 ⇔ ⎨ ⎩af(β) < 0 ⎧af(α) < 0 x1 < α < x 2 < β ⇔ ⎨ ⎩af(β) > 0 ⎧af(α) < 0 α < x1 < β < x 2 ⇔ ⎨ ⎩af(β) > 0 x1 < α < x 2 < β ∨ α < x1 < β < x 2 ⇔ phöông trình coù 2 nghieäm phaân ⎧f(α ).f(β) < 0 bieät vaø chæ coù moät nghieäm thuoäc (α; β) ⇔ ⎨ ⎩a ≠ 0 b. Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc: Cho tam thöùc f(x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) vaø moät soá thöïc α . ⎧f(x)coù 2 nghieämx1 < x 2 af(α) < 0 ⇔ ⎨ ⎩x1 < α < x 2 12 13 ⎧ ⎪ ⎪∆ > 0 ⎪ ⎪af(α) > 0 ⎪ Phöông trình coù 2 nghieäm x1 ,x 2 vaø α < x1 < x 2 < β ⇔ ⎨af(β) > 0 ⎪s ⎪ −α > 0 ⎪2 ⎪s ⎪ −β < 0 ⎩2 II. Caùc ví duï: Ví duï 1: Ñònh m ñeå phöông trình : x 2 + 2(m − 3)x + m − 13 = 0 coù 2 nghieäm. x1 ,x 2 vaø x1x 2 − x12 − x 22 ñaït giaù trò lôùn nhaát. Giaûi Ta coù: ∆ ' = (m − 3) − (m − 13) = m 2 − 7m + 22 > 0 ∀m vì ∆ = 49 − 88 < 0 ⎧x1 + x 2 = −2(m − 3) = 6 − 2m Ñònh lyù viete cho : ⎨ ⎩x1x 2 = m − 13 Ví duï 2: Ñònh m ñeå phöông trình : x 2 − 2mx + 2 − m = 0 coù 2 nghieäm x1 ,x 2 vaø x12 + x 22 ñaït giaù trò nhoû nhaát. Giaûi Phöông trình coù 2 nghieäm ⇔ ∆ ' = m 2 − (2 − m) = m 2 + m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ −2 ∨ m ≥ 1 ⎧x + x 2 = 2m Ñònh lyù viete: ⎨ 1 ⎩x1x 2 = 2 − m ⇒ x12 + x 22 = (x1 + x 2 )2 − 2x1x 2 = 4m 2 − 2(2 − m) = 4m 2 + 2m − 4 Xeùt haøm soá f(x) = 4m 2 + 2m − 4 vôùi m ≤ −2 ∨ m ≥ 1. 1 Ta coù : f '(m) = 8m + 2 , f '(m) = 0 ⇔ m = − 4 F(-2) = 8 , f(1) = 2 BBT 2 ⇒ x1x 2 − x12 − x 22 = x1x 2 − (x12 + x 22 ) = 3x1x 2 − (x1 + x 2 )2 = 3(m − 13) − (6 − 2m)2 = −4m 2 + 27m − 75 = −(4m 2 − 27m + 75) 2 2 2 27 ⎞ ⎛ ⎛ 27 ⎞ ⎛ 27 ⎞ = −4 ⎜ m − ⎟ + 4 ⎜ ⎟ − 75 ≤ 4 ⎜ ⎟ − 75 8 ⎠ ⎝ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 2 27 ⎛ 27 ⎞ Vaäy max(x1x 2 − x12 − x 22 ) = 4 ⎜ ⎟ − 75 khi m = 8 ⎝ 8 ⎠ 14 Vaäy Min (x12 + x 22 ) = 2 khi m = 1 Ví duï 3: Cho haøm soá f(x) = 2x + m + log2 ( mx 2 − 2(m − 2)x + 2m − 1) (m laø tham soá). Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå f(x) xaùc ñònh vôùi moïi x (ÑAÏI HOÏC CAÀN THÔ – Khoái D naêm 2000) Giaûi 2 f(x) xaùc ñònh ∀x ⇔ mx − 2(m − 2)x + 2m − 1 > 0 ∀x (1) 1 . m = 0 : (1) ⇔ 4x − 1 > 0 ⇔ x > khoâng thoaû vôùi ∀x 4 15 ⎧⎪m > 0 . m ≠ 0 : (1) ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩∆ ' = (m − 2) − m(2m − 1) < 0 ⎧m > 0 ⎪⎧ m > 0 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔ m >1 ⎪⎩ m + 3m − 4 > 0 ⎩m < −4 ∨ m > 1 Ví duï 4: Tìm a ñeå hai phöông trình : ax 2 + x + 1 = 0 vaø x 2 + ax + 1 = 0 Coù nghieäm chung. (ÑAÏI HOÏC THAÙI NGUYEÂN – Khoái D naêm 2000) Giaûi Goïi x0 laø nghieäm chung cuûa 2 phöông trình cho, ta coù: ax 20 + x 0 + 1 = 0 (1) x 20 + ax 0 + 1 = 0 (2) (1) – (2) : (a − 1)x 20 + (1 − a)x 0 = 0 ⇔ (a − 1)x 20 − (a − 1)x 0 = 0 ⇔ (a − 1)(x 20 − x 0 ) = 0 (*) . Neáu a − 1 = 0 ⇔ a = 1 thì caû hai phöông trình ñaõ cho ñeàu voâ nghieäm. . Neáu a ≠ 1: (*) ⇔ x 0 (x 0 − 1) = 0 ⇔ x 0 = 0 ∨ x 0 = 1 + Vôùi x 0 = 0 : caû 2 phöông trình ñaõ cho ñeàu voâ nghieäm. + Vôùi x 0 = 1: laø nghieäm chung cuûa hai phöông trình ñaõ cho, thì ta coù: a + 1 + 1 = 0 ⇔ a = −2 Vaäy a = - 2 thì hai phöông trình ñaõ cho coù nghieäm chung x = 1. Ví duï 5: Ñònh m ñeå phöông trình : x 2 − 2mx + 5m − 4 = 0 coù ñuùng moät nghieäm thuoäc [ 0,1] . Giaûi Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: Phöông trình cho coù nghieäm x = 1 Theá vaøo phöông trình cho: 3m – 3 = 0 ⇔ m = 1 . Theá m = 1 vaøo phöông trình cho: x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 (keùp) ⇒ m = 1 nhaän. * Phöông trình cho coù nghieäm x = 0 : Theá vaøo phöông trình cho: 16 5m – 4 = 0 ⇔ m = 4 5 4 8 8⎞ ⎛ vaøo phöông trình cho: x 2 − x = 0 ⇔ ⎜ x − ⎟ = 0 5 5 5⎠ ⎝ 8 4 ⇔ x = 0 ∈ [ 0,1] ∨ x = ∉ [ 0,1] ⇒ m = nhaän. 5 5 * Phöông trình cho coù ñuùng moät nghieäm ∈ (0,1) : Theá m = ⎡ x1 < 0 < x 2 < 1 (1) ⎢ ⇔ ⎢ 0 < x1 < 1 < x 2 (2) ⎢⎣ 0 < x1 = x 2 < 1 (3) (1) vaø (2) ⇔ f(0).f(1) < 0 ⇔ (5m − 4)(3m − 3) < 0 ⇔ 4 < m <1 5 ⎧∆ ' = m 2 − 5m + 4 = 0 ⎧m = 1 ∨ m = 4 ⎪ ⇔⎨ ⇔ m ∈∅ (3) ⇔ ⎨ s ⎩0 < m < 1 ⎪0 < = m < 1 2 ⎩ 4 Toùm laïi: ≤ m ≤ 1 5 Ví duï 6 : Goïi x1, x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình : 12 12x 2 − 6mx + m 2 − 4 + 2 = 0 m 3 3 Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì x1 + x 2 a) Ñaït giaù trò lôùn nhaát ? b) Ñaït giaù trò nhoû nhaát ? Giaûi Ñieàu kieän ñeå phöông trình cho coù nghieäm 12 ⎞ ⎛ ⇔ ∆ ' = 9m 2 − 12 ⎜ m 2 − 4 + 2 ⎟ ≥ 0 m ⎠ ⎝ 48 ⇔ − m 2 + 16 − 2 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ m 2 ≤ 12 ⇔ 2 ≤ m ≤ 2 3 m Vôùi ñieàu kieän ñoù, x1 vaø x2 laø 2 nghieäm cuûa phöông trình, ta coù : 17 m ⎛ ⎞ ⎜ x1 + x 2 = 2 ⎟ ⎟ x13 + x32 = (x1 + x 2 )3 − 3x1x 2 (x1 + x 2 ) ⎜ 1⎛ 2 12 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ x1x 2 = 12 ⎜ m − 4 + 2 ⎟ ⎟ m ⎠⎠ ⎝ ⎝ 3 12 ⎞ m 3 ⎛m⎞ ⎛m⎞ 1 ⎛ = ⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟. ⎜ m2 − 4 + 2 ⎟ = − = f(m) 2 2 12 2 2m m ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 3 > 0, ∀m ≠ 0, vaäy haøm soá luoân taêng trong hai ñoaïn f '(m) = + 2 2m 2 ⎡ −2 3, −2 ⎤ vaø ⎡2,2 3 ⎤ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1⎫ f(−2 3) < f(−2) = − ⎪ 4 ⎪ ⇒ f( −2 3) < f(2 3) Ta coù : ⎬ 1 ⎪ f(2) = < f(2 3) ⎪⎭ 4 Vaäy x13 + x32 ñaït giaù trò nhoû nhaát öùng vôùi m = −2 3 vaø ñaït giaù trò lôùn nhaát öùng vôùi m = 2 3 . Ví duï 7 : ⎛π 3 ⎞ Ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm thuoäc ⎜ , π ⎟ ⎝2 2 ⎠ cos2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 Giaûi ⎛π 3 ⎞ Ñaët t = cosx, vì x ∈ ⎜ , π ⎟ ⇒ t ∈ [ −1,0 ) ⎝2 2 ⎠ cos2x = 2 cos2 x − 1 = 2t 2 − 1 Phöông trình cho ⇔ 2t 2 − 1 − (2m + 1)t + m + 1 = 0 ⇔ 2t 2 − (2m + 1)t + m = 0 ⎡ 2m + 1 + 2m − 1 =m ⎢t = 4 2 2 ∆ = (2m + 1) − 8m = (2m − 1) ≥ 0 ⇔ ⎢ ⎢ t = 2m + 1 − 2m − 1 = 1 ∉ −1,0 [ ) ⎢⎣ 4 2 Vaäy ñeå nghieäm t ∈ [ −1,0 ) ⇔ −1 ≤ m < 0 18 Ví duï 8 : Ñònh m ñeå phöông trình: (m − 5)x 2 − 2mx + m − 4 = 0 (*) Coù moät nghieäm nhoû hôn 1 vaø moät nghieäm lôùn hôn 2. Giaûi Ñaët f(x) = (m − 5)x 2 − 2mx + m − 4 Goïi x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa (*), ta coù : x1 < 1 < 2 < x2 ⎧af(1) < 0 ⎧(m − 5)(−9) < 0 ⎧m > 5 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ 5 < m < 24 ⎩af(2) < 0 ⎩(m − 5)(m − 24) < 0 ⎩5 < m < 24 Ví duï 9 : Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm : 1 1⎞ ⎛ x 2 + 2 + (1 − 3m) ⎜ x + ⎟ + 3m = 0 . x⎠ x ⎝ Giaûi 1 1 1 Ñaët t = x + ⇒ t 2 = x 2 + 2 + 2 ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2 x x x Ñieàu kieän t ≥ 2 Phöông trình cho ⇔ t 2 − 2 + (1 − 3m)t + 3m = 0 ⇔ t 2 + (1 − 3m)t + 3m − 2 = 0 (a + b + c = 0) ⎡ t = 1 khoâng thoaû t ≥ 2 ⇔⎢ ⎢⎣ t = 3m − 2 Ñeå phöông trình coù nghieäm : 4 ⎡ m≥ ⎡3m − 2 ≥ 2 ⎢ ⇔ ⇔ 3m − 2 ≥ 2 ⇔ ⎢ 3 ⎢ ⎣3m − 2 ≤ −2 ⎢⎣ m ≤ 0 19 HÖÔÙNG DAÃN VAØ ÑAÙP SOÁ III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ 3.1. Cho hai phöông trình : x 2 − x + m = 0 (1) 2 x − 3x + m = 0 (2) Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m, thì phöông trình (2) coù moät nghieäm khaùc 0, gaáp 2 laàn moät nghieäm cuûa phöông trình (1). 2 3.2. Cho hai phöông trình : x + 3x + 2s = 0 x 2 + 6x + 5s = 0 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa s ñeå moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân bieät, vaø giöõa 2 nghieäm cuûa phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa phöông trình kia. 3.3. Chöùng minh raèng neáu a1a2 ≥ 2(b1 + b2 ) thì ít nhaát moät trong hai phöông trình x 2 + a1x + b1 = 0 x 2 + a2 x + b 2 = 0 coù nghieäm. 3.4. Ñònh m ñeå phöông trình : x 2 + hx 3 + x 2 + hx + 1 = 0 (1) Coù khoâng ít hôn hai nghieäm aâm khaùc nhau. 3.5. Ñònh m ñeå phöông trình nghieäm. 4x 2 1 + 2x 2 + x 4 + 2ax 1 + x2 5 ⎧ ⎧⎪x 20 − x 0 + m = 0 ⎧⎪3x 20 − 5x 0 = 0 ⎪⎪ x 0 = 3 x = 2x 0 ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩4x 0 − 6x 0 + m = 0 ⎪⎩m = − x 0 + x 0 ⎪ m = − 10 ⎪⎩ 9 3.2. Ñaët f(x) = x 2 + 3x + 2s, g(x) = x 2 + 6x + 5s Moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân bieät vaø giöõa 2 nghieäm cuûa phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa phöông trình kia, ta phaûi coù ⎧∆1 > 0 vôùi x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 ⎨ ⎩g(x1 ).g(x 2 ) < 0 ⎧ 8 ⎪s < ⇔⎨ 9 ⇔ 0 < s <1 ⎪9s(s − 1) < 0 ⎩ 3.3. ∆1 = a12 − 4b1 , ∆ 2 = a22 − 4b2 + 1 − a2 = 0 coù ⇒ ∆1 + ∆ 2 = a12 + a22 − 4(b1 + b2 ) ≥ 0 (vì a12 + a22 ≥ 2a1a2 a1a2 ≥ 2(b1 + b2 ) ) ⇒ ít nhaát 1 trong 2 phöông trình ñaõ cho phaûi coù nghieäm. 3.6. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm: (x 2 − 2x + 2)2 + 2(3 − m)(x 2 − 2x + 2) + m 2 − 6m = 0 3.7. Chöùng minh phöông trình sau coù nghieäm: a2 b2 + = c, m ≠ n,a, b,c ≠ 0 (1) x−m x−n 20 3.1. Ñieàu kieän ñoàng thôøi coù nghieäm cuûa 2 phöông trình cho laø : ⎧∆1 = 1 − 4m ≥ 0 1 ⇔m≤ ⎨ 4 ⎩∆ 2 = 9 − 4m ≥ 0 Goïi x 0 ≠ 0 laø 1 nghieäm cuûa phöông trình (1), nghieäm phöông trình (2): 3.4. Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa (1) 1 Ñaët t = x + ⇔ h(x) = x 2 − tx + 1 = 0 (2) x Ñieàu kieän t ≥ 2 ⇔ t ≥ 2 ∨ t ≤ −2 (2) neáu coù nghieäm thì caùc nghieäm cuøng daáu. t = - 2 thì (2) coù 1 nghieäm aâm. (2) coù 2 nghieäm aâm ⇔ t < −2 21 ⎧⎪ t ≥ 2 (1) ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩f(t) = t + ht − 1 = 0 f(t) coù 2 nghieäm traùi daáu YCBT ⇔ f(−2) < 0 ⇔ h > 3 2 2x Ñieàu kieän −1 ≤ t ≤ 1 1 + x2 ⎧⎪−1 ≤ 1 ≤ 1 4x 2 2ax 2 1 a 0 + + − = ⇔ ⎨ 2 2 1 + 2x 2 + x 4 1 + x 2 ⎪⎩f(t) = t + at + 1 − a = 0 ⎧∆ ≥ 0 ⎪f(−1) > 0 ⎪⎪ 2 < a <2 (1) coù nghieäm x ⇔ f(−1)f(1) ≤ 0 ∨ ⎨f(1) > 0 ⇔ 5 ⎪ ⎪−1 < s < 1 ⎪⎩ 2 3.5. Ñaët t = 3.6. Ñaët t = x 2 − 2x + 2 = (x 2 − 2x + 1) + 1 = (x − 1)2 + 1 ≥ 1 ⎡t = m Phöông trình cho trôû thaønh: t 2 + 2(3 − m)t + m 2 − 6m = 0 ⇔ ⎢ ⎣m − 6 ⎡m ≥ 1 ⎡m ≥ 1 YCBT ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⇔ m ≥1 ⎣m − 6 ≥ 1 ⎣m ≥ 7 3.7. (1) ⇔ f(x) = c(x − m)(x − n) − a2 (x − n) − b2 (x − m) = 0 f(m).f(n) = −a2 b2 (m − n)2 < 0 ⇒ phöông trình luoân luoân coù phaân bieät vaø ≠ m,n 22