Tài liệu Bước đầu nghiên cứu về sự ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

Môc lôc Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n 3 5 1 TÝnh chÊt tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh. . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 C«ng thøc Ostrogratski-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Bæ ®Ò Growall-Bellman vµ Bihari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh 13 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t vÒ sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh víi ma trËn h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Tiªu chuÈn Hurwits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Nghiªn cøu æn ®Þnh b»ng sè mò Liapunov 26 1 Sè mò ®Æc tr-ng cña hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Sè mò ®Æc tr-ng cña ma trËn hµm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Phæ cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 HÖ c¬ b¶n chuÈn t¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 §iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 BÊt ®¼ng thøc Vazevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7 BÊt ®¼ng thøc Liapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8 HÖ kh¶ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9 TÝnh kh¶ quy vÒ hÖ tuyÕn tÝnh víi ma trËn kh«ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10 HÖ chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1 11 §Þnh lý Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 12 TÝnh chÝnh quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tam gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 13 LÝ thuyÕt Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 14 TÝnh kh¶ quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tuÇn hoµn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2 Më ®Çu I. LÝ do chän ®Ò tµi cña khãa luËn LÝ thuyÕt æn ®Þnh to¸n häc lµ mét lý thuyÕt nghiªn cøu ®Þnh tÝnh ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng. Do hÇu hÕt c¸c qu¸ tr×nh cã tÝnh chÊt biÕn ®æi ®Òu cã thÓ m« t¶ bëi mét hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n (PTVP), trong khi, vÒ mÆt lÞch sö, viÖc gi¶i t×m nghiÖm chÝnh x¸c cña mét hÖ PTVP lµ ®iÒu rÊt khã thùc hiÖn, kÓ c¶ khi ®· cã sù trî gióp cña m¸y tÝnh ®iÖn tö. ChÝnh v× vËy, c¸c nhµ to¸n häc ®· tËp trung vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n ®Þnh tÝnh trong nghiªn cøu c¸c qu¸ tr×nh th«ng qua c¸c hÖ PTVP m« t¶ c¸c qu¸ tr×nh ®ã. §ã lµ viÖc nghiªn cøu ®Ó biÕt râ c¸c tÝnh chÊt cña nghiÖm cña mét hÖ PTVP chØ dùa trªn c¸c yÕu tè ®Çu vµo thÓ hiÖn trong b¶n th©n hÖ ph-¬ng tr×nh. Víi ý nghÜa nh- vËy, lý thuyÕt æn ®Þnh, ban ®Çu ®-îc hiÓu mÆc nhiªn lµ sù æn ®Þnh cña c¸c chuyÓn ®éng c¬ häc thuÇn tóy, trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn nã ®-îc hiÓu mét c¸c réng r·i lµ sù æn ®Þnh cña c¸c qu¸ tr×nh biÕn ®æi nãi chung, bao gåm tõ c¸c qu¸ tr×nh vËt lý ®Õn c¸c qu¸ tr×nh kinh tÕ, biÕn ®æi m«i tr-êng, sinh th¸i häc vµ nhiÒu lÜnh vùc kh¸c. Víi lÝ do ®ã, lý thuyÕt æn ®Þnh ®· vµ ®ang ®-îc nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn m¹nh c¶ vÒ lÝ thuyÕt vµ øng dông trong suèt nhiÒu thËp kû qua. Lµ mét sinh viªn ngµnh S- ph¹m To¸n häc, trong qu¸ tr×nh häc tËp häc phÇn Ph-¬ng tr×nh vi ph©n vµ lý thuyÕt æn ®Þnh, víi thêi l-îng chñ yÕu cña häc phÇn tËp trung vµo nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña PTVP vµ chØ giíi thiÖu hÕt søc kh¸i l-îc vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh, nªn b¶n th©n t«i ®· quyÕt ®Þnh t×m hiÓu, nghiªn cøu mét c¸ch s©u s¾c, cã hÖ thèng vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh th«ng qua viÖc ®¨ng ký lµm khãa luËn tèt nghiÖp víi tªn ®Ò tµi cña khãa luËn lµ "B-íc ®Çu nghiªn cøu vÒ sù æn ®Þnh nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n". Bªn c¹nh ®ã, th«ng qua viÖc thùc hiÖn khãa luËn, t«i kú väng víi sù h-íng dÉn cña c¸c thÇy, c« gi¸o, t«i cã thÓ trang bÞ thªm cho m×nh nh÷ng kü n¨ng tù häc, tù nghiªn cøu ®Ó sö dông nh- mét c«ng cô h÷u hiÖu trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp, c«ng t¸c tiÕp theo. II. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô 1. Môc ®Ých Khãa luËn ®Æt ra 2 môc tiªu: 1. Nghiªn cøu tµi liÖu, hÖ thèng hãa c¸c kiÕn thøc vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh, bao gåm c¸c kh¸i niÖm c¬ vµ c¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ æn ®Þnh; nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh b»ng ph-¬ng ph¸p sè mò Liapunov, tõ ®ã t×m hiÓu c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh æn ®Þnh cña c¸c hÖ gÇn tuyÕn tÝnh vµ c¸c hÖ cã nhiÔu t¸c ®éng th-êng xuyªn. 2. Th«ng qua qu¸ tr×nh thùc hiÖn khãa luËn ®Ó cã ®iÒu kiÖn rÌn luyÖn kü n¨ng tù häc, tù nghiªn cøu tµi liÖu. §ã lµ qu¸ tr×nh t×m hiÓu, lùa chän häc liÖu, nghiªn cøu ®Ó tËp hîp vµ hÖ thèng hãa, vËn dông vµ tr×nh bµy l¹i nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch hÖ thèng theo môc tiªu ®Æt ra. 2. NhiÖm vô NhiÖm vô c¬ b¶n khi thùc hiÖn khãa luËn lµ: Lùa chän tµi liÖu, häc liÖu, nghiªn cøu vÒ ®Ò tµi cña khãa luËn; X©y dùng ®Ò c-¬ng tæng qu¸t vµ ®Ò c-¬ng chi tiÕt; Thùc hiÖn c¸c néi dung nghiªn cøu cña khãa luËn: Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm, c¸c ®Þnh lÝ cã chøng minh chi tiÕt cã liªn quan. III. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ thuyÕt, tËp hîp, s-u tÇm, nghiªn cøu tµi liÖu, so s¸nh, ®èi chiÕu vµ sö dông c¸c 3 kiÕn thøc to¸n häc ®· biÕt ®Ó nhÊt qu¸n hãa vµ tr×nh bµy hoµn chØnh nh÷ng néi dung kiÕn thøc liªn quan trªn thµnh mét chñ ®Ò trän vÑn. Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn ¸n cã th¶o luËn, xin ý kiÕn c¸c thÇy c« gi¸o vµ thùc hiÖn sù chØ ®¹o trùc tiÕp cña gi¶ng viªn h-íng dÉn. IV. CÊu tróc cña khãa luËn Khãa luËn bao gåm phÇn më ®Çu, ba ch-¬ng néi dung chÝnh vµ phÇn kÕt luËn. Néi dung chÝnh cô thÓ lµ: Ch-¬ng 1: Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n: Tr×nh bµy v¾n t¾t nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ lý thuyÕt PTVP cã sö dông trong ch-¬ng 2 vµ ch-¬ng 3 cña Khãa luËn. Ch-¬ng 2: C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh: Tr×nh bµy mét c¸ch hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt æn ®Þnh. Ch-¬ng 3: Nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh b»ng ph-¬ng ph¸p sè mò Liapunov: Ch-¬ng nµy tr×nh bµy ph-¬ng ph¸p thø nhÊt cßn gäi lµ ph-¬ng ph¸p sè mò Liapunov vµ mét sè vÝ dô minh häa. PhÇn kÕt luËn tæng kÕt nh÷ng kiÕn thøc ®· tr×nh bµy trong khãa luËn. 4 Ch-¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1 TÝnh chÊt tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh. XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh: n X dyj ajk(t)yk + fj (t) (j = 1, n) = dt (1.1) k=1 Trong ®ã ajk (t), fj (t) ∈ C(I + ) víi I + = (a; +∞). Chóng ta lu«n gi¶ thiÕt ajk(t), fj (t) ∈ R cã nghiÖm yj (t) ∈ C. Víi ký hiÖu A(t) = [ajk (t)]n×n , y(t) = col [y1 , ..., yn] , f(t) = col [f1 (t), ..., fn(t)], hÖ (1.1) ®-îc viÕt d-íi d¹ng ma trËn sau: dy = A(t)y + f(t) dt (1.2) HÖ (1.2) víi A(t), f(t) ∈ C(I + ) lu«n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy: Víi mäi (t0 , y0 ) ∈ I + × Kn hÖ (1.2) cã duy nhÊt nghiÖm y(t) x¸c ®Þnh trong I + vµ tho¶ m·n y(t0 ) = y0. XÐt hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng víi hÖ (1.2): dx = A(t)x dt (1.3) Cho xj (t) = col [x1j (t), x2j (t), . . . , xnj (t)] , j = 1, n lµ n nghiÖm cña (1.3) trªn kho¶ng I + , khi ®ã: §Þnh nghÜa 1.1. Ma trËn X(t) = [x1(t) x2(t) . . . xn(t)] lµ ma trËn vu«ng cÊp n lËp nªn bëi n nghiÖm ®ã sao cho mçi cét thø j lµ cét to¹ ®é cña nghiÖm xj (t) ®-îc gäi lµ ma trËn nghiÖm cña hÖ (1.3). NÕu hÖ nghiÖm {xj (t)} lµ hÖ nghiÖm c¬ b¶n (tøc lµ hÖ n nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn I + ), th× X(t) ®-îc gäi lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n. MÖnh ®Ò 1.2. Ma trËn nghiÖm X(t) bÊt k× cña hÖ (1.3) tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh ma trËn sau: Ẋ(t) = A(t)X(t) (1.4) MÖnh ®Ò 1.3. NÕu X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ (1.3) th× mäi nghiÖm cña hÖ ®Òu ®-îc biÓu diÔn d-íi d¹ng: x(t) = X(t)c, c = col(c1, . . . , cn) ∈ Kn lµ ma trËn cét h»ng sè nµo ®ã 5 (1.5) ThËt vËy, v× c¸c hµm sè xjk(t) tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh thø j cña hÖ (1.3) nªn: n dxjk X ajs(t)xsk (t) = dt s=1 (1.6) Theo quy t¾c nh©n ma trËn ta ®-îc: #   "X n dxjk Ẋ(t) = ajs(t)xsk (t) ≡ A(t)X(t). = dt s=1 Ng-îc l¹i b»ng c¸ch nh©n lÇn l-ît hai vÕ cña hÖ (1.4) víi c¸c vector ei trong c¬ së chÝnh t¾c cña Kn ta ®-îc: NÕu X(t) lµ ma trËn bÊt k× tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh (1.4), th× mçi cét cña nã lµ mét nghiÖm cña hÖ (1.3). H¬n n÷a nÕu ®Þnh thøc det X(t) 6= 0 th× X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ. Gi¶ sö x = x(t) lµ nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(t0 ) = x0. ta ®-îc x(t0) = X(t0 )c. Do ®ã c = X −1 (to )x(to ). V× vËy: x(t) = X(t)X −1 (t0 )x(t0) (1.7) §Þnh nghÜa 1.4. Ta gäi ma trËn K(t, t0 ) = X(t)X −1 (t0 ) lµ ma trËn Cauchy cña hÖ (1.3). Ta thÊy, mäi nghiÖm cña hÖ ®Òu cã d¹ng: x(t) = K(t, t0)x(t0 ). §Æc biÖt, nÕu ma trËn nghiÖm c¬ b¶n X(t) chuÈn t¾c t¹i t0 , tøc X(t0 ) = E, th× c«ng thøc (1.7) cã d¹ng: x(t) = X(t)x(to ) (1.8) e Ma trËn Cauchy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän ma trËn nghiÖm c¬ b¶n X(t). ThËt vËy, gi¶ sö X(t) lµ mét e = X(t)C, trong ®ã C lµ ma trËn h»ng kh«ng suy biÕn. Do ®ã: ma trËn c¬ b¶n kh¸c cña (1.3) th× ta cã X(t) e t0) = X(t) e X e −1 (t0) = X(t)CC −1 X −1 (t0 ) = K(t, t0 ). K(t, NÕu y(t) lµ mét nghiÖm nµo ®ã cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (1.2), th× nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ (1.2) cã thÓ viÕt d-íi d¹ng: y(t) = ye(t) + X(t)c, trong ®ã ye(t) lµ mét nghiÖm riªng nµo ®ã cña hÖ vµ c lµ ma trËn cét h»ng sè. NÕu ye(t0 ) = 0 th× c = X −1 (t0 )y(t0 ). Do ®ã: y(t) = ye(t) + K(t, t0)y(t0 ). 2 C«ng thøc Ostrogratski-Liouville Gi¶ sö X(t) = [xjk (t)] lµ ma trËn c¬ b¶n cña hÖ vi ph©n thuÇn nhÊt (1.3). §Þnh thøc W (t) = det X(t) ®-îc gäi lµ ®Þnh thøc Wronski cña hÖ: W (t) = det X(t) ¸p dông quy t¾c lÊy ®¹o hµm ®Þnh thøc, ta ®-îc:   x11(t) . . .   .. .. . n  X  0. dW (t)  =  xj1(t) · · · dt j=1  ..  ... .  x (t) · · · n1 6 x1k (t) .. . 0 xjk (t) .. . xnk(t) (2.1) ... .. . ··· .. . ···  x1n(t)  ..  .  0 xjn(t)  . ..  .  x (t) nn 0 Do xjk(t) = Pn s=1 ajs (t)xsk (t) (j, k = 1, n) vµ do tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc ta ®-îc:    x11(t) . . . x1k (t) . . . x1n(t)     .. .. ..  .. ..  .  . . n n . .   dW (t) X X ajs(t)  xs1(t) · · · xsk (t) · · · xsn(t)  . = dt  .. .. ..  .. .. j=1 s=1  . . . . .   xn1(t) · · · xnk (t) · · · xnn(t) = n n X X ajs(t)δjs W (t) = W (t) j=1 s=1 n X ajj (t) = Sp A(t)W (t). j=1 LÊy tÝch ph©n ph-¬ng tr×nh sau cïng trªn [t0; t] ⊂ I + ta ®-îc c«ng thøc Ostrogratski-Liouville sau ®©y: Rt Sp A(τ )dτ t0 W (t) = W (t0 ).e (2.2) Sau ®©y chóng ta nªu ra mét c«ng thøc t×m ma trËn nghiÖm c¬ b¶n trong tr-êng hîp kh«ng t×m ®-îc hÖ nghiÖm c¬ b¶n. §ã lµ c«ng thøc cho phÐp t×m ma trËn nghiÖm c¬ b¶n th«ng qua tæng cña mét chuçi ma trËn khi chØ biÕt mét nghiÖm kh«ng tÇm th-êng cña hÖ. XÐt hÖ PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: dx = A(t)x, dt A(t) ∈ C(I + ) (2.3) Gi¶ sö t0 ∈ I + vµ x = x(t) lµ mét nghiÖm cña hÖ (2.3) x¸c ®Þnh bëi ®iÒu kiÖn ®Çu: x(t0 ) = x0 (2.4) §Ó biÓu diÔn gi¶i tÝch nghiÖm x(t), ta dïng ph-¬ng ph¸p xÊp xØ liªn tiÕp: HÖ (2.3) víi ®iÒu kiÖn ®Çu (2.4) t-¬ng ®-¬ng víi ph-¬ng tr×nh tÝch ph©n: x(t) = x(t0 ) + Zt A(t1 )x(t1)dt1 . t0 Thay thÕ x(t1) trong ph-¬ng tr×nh trªn bëi x(t1 ) = x(t0 ) + Rt1 A(t2 )x(t2 )dt2 ta ®-îc: t0 Zt x(t) = x(t0) + A(t1 )x(t0 )dt1 + t0 Zt A(t1 )dt1 t0 Zt1 A(t2 )x(t2)dt2 t0 LÆp l¹i qu¸ tr×nh ®ã v« h¹n lÇn ta sÏ ®-îc c«ng thøc biÓu diÔn nghiÖm: x(t) = x(t0) + Zt A(t1 )x(t0)dt1 + t0 Zt A(t1 )dt1 t0 Zt1 A(t2 )x(t2 )dt2 + . . . t0 KÝ hiÖu: Ωtt0 =E+ Zt t0 A(t1 )dt1 + Zt t0 7 A(t1 )dt1 Zt1 t0 A(t2 )dt2 + . . . (2.5) §Þnh nghÜa 2.1. Ma trËn Ωtt0 gäi lµ ph-¬ng trËn cña hÖ vi ph©n (2.3). Ta cã: x(t) = Ωtt0 x(t0) (2.6) Chuçi vÕ ph¶i (2.5) héi tô tuyÖt ®èi vµ héi tô ®Òu trªn mäi ®o¹n [α, β] ⊂ I + . ThËt vËy kΩtt0 k 6 kEk + Zt kA(t1)k|dt1| + t0 Zt kA(t1)k|dt1| t0 Zt1 kA(t2)k|dt2| + . . . (2.7) t0 Gi¶ sö [α, β] ⊂ [t0 − A, t0 + B] ⊂ I + , C = max(A, B), M = max t0 −A6t6t0 +B kA(t)k. Víi t ∈ [α, β], ta cã c¸c ®¸nh gi¸ sau: Zt kA(t1 )kdt1 6 M | t − t0 |, t0 Zt t0 Zt1 kA(t1 )kdt1 Zt kA(t2 )kdt2 6 M 2 t0 |t1 − t0 |dt1 6 M2 |t − t0 |2, . . . 2! t0 V× |t − t0 | 6 C nªn chuçi vÕ ph¶i cña (2.7) ®-îc lµm tréi bëi chuçi sè d-¬ng héi tô k E k +M C + M C2 + . . . =k E k −1 + exp(M C). 2 (2.8) Do ®ã nhê dÊu hiÖu Weierstrass, chuçi hµm (2.7) héi tô ®Òu trªn [α, β] ⊂ I + . V× vËy chuçi ma trËn (2.5) còng héi tô tuyÖt ®èi vµ héi tô ®Òu trªn [α, β]. LÊy vi ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi (2.5), ta nhËn ®-îc chuçi héi tô ®Òu trªn [α, β] : dΩtt0 = A(t) + A(t) dt Zt A(t2 )dt2 + A(t) t0 Zt A(t2 )dt2 t0 Zt2 A(t3 )dt3 + . . . ≡ A(t)Ωtt0 , t0 Ngoài ra Ωtt00 = E nªn ph-¬ng trËn Ωtt0 là ma trËn c¬ b¶n chuÈn t¾c cña hÖ vi ph©n thuÇn nhÊt (2.3) vµ mét nghiÖm x(t) bÊt k× cña hÖ ®ã ®-îc biÓu diÔn theo c«ng thøc: x(t) = Ωtt0 x(t0 ) ≡ K(t, t0 )x(t0 ) Nhê tÝnh chÊt duy nhÊt nghiÖm ta nhËn ®-îc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph-¬ng trËn: Ωtt1 Ωtt10 = Ωtt0 3 víi (t0, t1) ∈ I + . Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange XÐt hÖ vi ph©n kh«ng thuÇn nhÊt: dy = A(t)y + f(t) dt (3.1) HÖ vi ph©n sau gäi lµ hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng víi hÖ (3.1): dx = A(t)x dt 8 (3.2) Chóng ta sÏ t×m nghiÖm cña hÖ b»ng ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange. Gi¶ sö hÖ (3.1) cã nghiÖm y(t) d¹ng: y(t) = X(t)u(t) (3.3) ë ®ã X(t) lµ ma trËn c¬ b¶n cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng và u = u(t) lµ hµm vector míi ch-a biÕt. Thay y(t) trong (3.3) vµo (3.1) ta ®-îc: X(t) V× Ẋ(t) = A(t)X(t) nªn X(t) du + Ẋ(t)u = A(t)X(t)u + f(t) dt Rt du = f(t). Do ®ã u(t) = c + X −1 (t1 )f(t1 )dt1. KÕt hîp víi (3.3) cã: dt t0 y(t) = X(t)c + Zt K(t, t1)f(t1 )dt1 (3.4) t0 Trong ®ã K(t, t1 ) = X(t)X −1 (t1 ) là ma trËn Cauchy cña hÖ (3.2). §Ó x¸c ®Þnh vector h»ng c ta thay t = t0 vào c«ng thøc (3.4) ta ®-îc: c = X −1 (t0 )y(t0 ). Tõ ®ã: Zt y(t) = K(t, t0 )y(t0 ) + K(t, t1)f(t1 )dt1 (3.5) t0 §Æc biÖt, nÕu X(t) chuÈn t¾c t¹i t0, th× tõ c«ng thøc (3.5) ta cã: y(t) = X(t)y(t0 ) + Zt K(t, t1 )f(t1 )dt1 t0 Tõ c«ng thøc (3.5) ta suy ra hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (3.1) cã mét nghiÖm riªng: ye(t) = Zt K(t, t1)f(t1 )dt1 t0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu y(t0 ) = 0 Chó ý r»ng ma trËn A(t) = A là ma trËn h»ng sè vµ X(t0 ) = E th×: X(t)X −1 (t1) và X(t − t1 + t0) ®Òu lµ ma trËn c¬ b¶n cña hÖ thuÇn nhÊt (3.2) vµ chóng b»ng nhau khi t = t1 . Do vËy: X(t)X −1 (t1 ) ≡ X(t − t1 + t0 ) NÕu ®Æt t0 = 0 th× ta nhËn thÊy hÖ vi ph©n: dy = Ay + f(t) dt (3.6) Trong ®ã A là ma trËn h»ng sè, cã nghiÖm tæng qu¸t: y(t) = X(t)y(0) + Zt t0 9 X(t − t1)f(t1 )dt1 (3.7) §Æc biÖt, khi y(0) = 0, th× hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (3.6) cã mét nghiÖm riªng: ye(t) = 4 Zt X(t − t1)f(t1 )dt1. 0 Bæ ®Ò Growall-Bellman vµ Bihari 1.Bæ ®Ò Growall-Bellman Bæ ®Ò 4.1. (Growall-Bellman). Gi¶ sö u(t) > 0, f(t) > 0 víi t > t0 vµ u(t), f(t) ∈ C[t0, +∞). NÕu u(t) 6 c + Zt f(τ )u(τ )dτ víi t > t0 (c lµ h»ng sè d-¬ng) (4.1) t0 Th× u(t) 6 c exp Zt f(τ )dτ, (4.2) t0 Chøng minh. Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc (4.1) ta nhËn ®-îc: u(t) c+ Rt 61⇒ f(τ )u(τ )dτ f(t)u(t) 6 f(t) Rt c + f(τ )u(τ )dτ t0 (4.3) t0 Rt  d c + f(τ )u(τ )dτ = f(t)u(t) nªn khi lÊy tÝch ph©n bÊt ®¼ng thøc (4.3) tõ t0 ®Õn t ta ®-îc: dt t0 Rt Rt ln[c + f(τ )u(τ )dτ ] − ln c 6 f(τ )dτ Chó ý 1. t0 Tõ ®ã ta cã u(t) 6 c + t0 Rt Rt f(τ )u(τ )dτ 6 c exp t0 f(τ )dτ. t0 Chó ý 2. NÕu chuyÓn qua giíi h¹n c¸c c«ng thøc (4.1) vµ (4.2) khi c → +0, ta thÊy r»ng Bæ ®Ò vÉn ®óng nÕu h»ng sè c b»ng 0. 2.Bæ ®Ò Growall-Bellman më réng Bæ ®Ò 4.2. Gi¶ sö u(t) liªn tôc, d-¬ng trªn kho¶ng (a; b) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: u(t) 6 u(t1 ) + | Zt f(τ )u(τ )dτ |, ∀t1, t ∈ (a; b) (4.4) t1 trong ®ã f(t) ∈ C(a; b). Khi ®ã, víi a < t0 6 t < b ta cã: u(t0) exp[− Zt Zt f(τ )dτ ] 6 u(t) 6 u(t0 ) exp[ f(τ )dτ ] t0 t0 10 (4.5) Chøng minh. Víi t > t1 ®iÒu kiÖn (4.4) trë thµnh: u(t) 6 u(t1 ) + Rt f(τ )u(τ )dτ . Tõ ®ã, theo Bæ ®Ò Growall- t1 Bellman cã: u(t) 6 u(t1) exp  Zt f(τ )dτ  (4.6) t1 Víi t 6 t1 ®iÒu kiÖn (4.4) trë thµnh: u(t) 6 u(t1) + Rt1 f(τ )u(τ )dτ. Do ®ã: t u(t) −f(t)u(t) 61⇒ > −f(t) Rt1 Rt1 u(t1 ) + f(τ )u(τ )dτ u(t1 ) + f(τ )u(τ )dτ t t LÊy tÝch ph©n bÊt ®¼ng thøc cuèi cïng tõ t ®Õn t1 ta ®-îc: ln u(t1 ) − ln[u(t1) + Zt1 Zt1 f(τ )u(τ )dτ ] > − t f(τ )dτ t Suy ra: u(t) 6 u(t1 ) + Zt1 f(τ )u(τ )dτ 6 u(t1) exp  Zt1 t f(τ )dτ  t Thay ®æi vai trß cña t vµ t1 víi t > t1 ta ®-îc: u(t1 ) 6 u(t) exp Rt f(τ )dτ. Suy ra t1  Zt  u(t) > u(t1 ) exp − f(τ )dτ . (4.7) t1 Trong (4.6) vµ (4.7) thay t1 bëi t0 th× khi a < t0 6 t < b ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh (4.5). Bæ ®Ò 4.3. (Bihari). Gi¶ sö u(t), f(t) liªn tôc, kh«ng ©m trong kho¶ng [t0, +∞) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: u(t) 6 c + Zt f(τ )Φ(u(τ ))dτ (4.8) t0 trong ®ã c lµ h»ng sè d-¬ng vµ Φ(u) lµ hµm d-¬ng, liªn tôc, t¨ng trªn kho¶ng 0 < u 6 u, (u 6 ∞) vµ gi¶ sö: Ψ(u) = Zu du1 , (0 < u < u). Φ(u1 ) (4.9) c NÕu: Zt f(τ )dτ < Ψ(u − 0), (t0 6 t < ∞), (4.10) t0 Th×: u(t) 6 Ψ−1 [ Zt f(τ )dτ ], (t0 6 t < ∞) (4.11) t0 −1 trong ®ã Ψ (u) lµ hµm ng-îc cña hµm Ψ(u). §Æc biÖt, nÕu u = ∞ vµ Ψ(∞) = ∞, th× ®iÒu kiÖn (4.10) lu«n tho¶ m·n cho nªn (4.11) còng lu«n tho¶ m·n. 11 Chøng minh. Xem trong [2] HÖ qu¶ 4.4. NÕu Φ(u) = u th× cã bÊt ®¼ng thøc Growall- Bellman (4.2). HÖ qu¶ 4.5. NÕu Φ(u) = um , (m > 0, m 6= 1), tøc lµ ta cã gi¶ thiÕt: u(t) 6 Zt f(τ )[u(τ )m ]dτ víi t > 0 t0 Th×   1 Zt 1−m u(t) 6 c1−m + (1 − m) f(τ )dτ víi 0 < m < 1 t0 vµ c u(t) 6  1  m−1 Rt m−1 1 − (m − 1)c f(τ )dτ t0 víi m > 1 vµ Rt t0 f(τ )dτ < 1 , (t0 6 t) (m − 1)cm−1 12 (4.12) Ch-¬ng 2 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh XÐt hÖ PTVP dyj (1.1) = fj (t, y1, y2 , ..., yn) (j = 1, n) dt trong ®ã t lµ biÕn ®éc lËp, y1 , ..., yn lµ c¸c hµm sè ph¶i t×m, fj (t, y1 , ..., yn) lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh trong miÒn Z = It+ × Dy , It+ = (a < t < +∞), víi a ∈ R hoÆc a = −∞, Dy là tËp më trong Kn , (K = R hoÆc K = C). KÝ hiÖu:   y1  y2    y =  . ,  ..  yn   f1 (t, y)  f2 (t, y)    f(t, y) =  .  , .  .  fn (t, y)  dy1  dt  d   y2   dy  dt  =   . dt  .   .   dy   n dt th× hÖ ph-¬ng tr×nh (1.1) ®-îc viÕt d-íi d¹ng ma trËn sau: dy = f(t, y) dt (1.2) Hµm vector y = y(t) ∈ Dy ⊂ Kn thuéc líp C 1 trªn kho¶ng (a, b) ⊂ It+ nµo ®ã vµ tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh (1.2) trªn kho¶ng ®ã gäi lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1.1). 0,1 Sau nµy ta th-êng gi¶ thiÕt r»ng f(t, y) ∈ Ct,y (Z), tøc lµ f liªn tôc theo t vµ cã ®¹o hµm riªng cÊp mét liªn tôc theo c¸c biÕn y1 , ..., yn trong miÒn Z. NÕu xÐt hÖ (1.2) víi yt ∈ Dy ⊂ Rn th× c¸c ®¹o hµm ®-îc hiÓu theo nghÜa th«ng th-êng. Tr-êng hîp y(t) ∈ Dy ⊂ Cn th× cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng hµm f(t, y) gi¶i ∂fj tÝch theo c¸c biÕn y1 , ..., yn. Khi ®ã c¸c ®¹o hµm (t, y1, ..., yn) lµ ®¹o hµm hµm sè phøc. ∂yk Chó ý 3. Víi c¸c gi¶ thiÕt ®· cho hÖ (1.2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña ®Þnh lÝ Cauchy. Sau nµy chóng ta lu«n gi¶ thiÕt hÖ (1.2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm. NghiÖm y = y(t) cã thÓ xem nh- quü ®¹o cña kh«ng gian Rn hoÆc Cn , trong ®ã t ®ãng vai trß tham sè. 13 NÕu hÖ (1.2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm vµ vÕ ph¶i liªn tôc th× nghiÖm cña hÖ cã tÝnh chÊt liªn tôc tÝch ph©n, nghÜa lµ, nÕu y(t) lµ nghiÖm cña hÖ (1.2) trªn kho¶ng (a, b) th× víi mäi ε > 0 cho tr-íc, vµ víi mäi ®o¹n [α; β] ⊂ (a, b) lu«n tån t¹i δ > 0 sao cho mäi nghiÖm z(t) trong l©n cËn cña γ ∈ [α; β] tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z(γ) = z0 vµ ||z(γ) − y(γ)|| < δ ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ (1.2) trªn [α; β] vµ tho¶ m·n ||z(t) − y(t)|| < ε víi mäi t ∈ [α; β]. §Þnh nghÜa 1.1. NghiÖm η(t) cña hÖ (1.2) trªn (a, +∞) cña hÖ (1.2) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh theo Liapunov khi t → ∞ nÕu víi mäi sè d-¬ng ε cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ (a, +∞), ®Òu tån t¹i δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ||y(t0 )−η(t0 )|| < δ ®Òu x¸c ®Þnh trong kho¶ng (t0 6 t < +∞) (nghÜa lµ y(t) ∈ Dy víi mäi t ∈ [t0; +∞)) vµ tho¶ m·n ky(t) − η(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞). H×nh 2.1: NhËn xÐt 1. NghiÖm η(t) lµ æn ®Þnh nÕu t¹i bÊt k× thêi ®iÓm ban ®Çu t0 c¸c nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) ®ñ gÇn víi nã ®Òu n»m trong h×nh cÇu B(η(t), ε) f(t, 0) ≡ 0 trªn It+ th× hÖ ph-¬ng tr×nh (1.2) cã nghiÖm tÇm th-êng (hay tr¹ng th¸i c©n b»ng) η(t) ≡ 0 trªn It+ . Trong tr-êng hîp nµy nghiÖm tÇm th-êng η(t) ≡ 0 ®-îc gäi lµ æn ®Þnh Liapunov khi t → ∞ nÕu víi mäi sè d-¬ng ε vµ víi mäi t0 ∈ (a; +∞), tån t¹i sè δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) cña hÖ () tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t0 )k < δ x¸c ®Þnh trong kho¶ng t0 6 t < +∞ vµ tho¶ m·n ky(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞). §Þnh nghÜa 1.2. NghiÖm η(t) cña hÖ (1.2) trong kho¶ng (a; +∞) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh ®Òu theo t0 khi t → +∞ nÕu víi mäi sè d-¬ng ε cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ (a; +∞) lu«n tån t¹i sè δ = δ(ε) > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) cña hÖ () tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t0 ) − η(t0 )k < δ ®Òu x¸c ®Þnh trong kho¶ng t0 6 t < +∞ vµ tho¶ m·n ky(t) − η(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞). §Þnh nghÜa 1.3. NghiÖm η(t) cña hÖ (1.2) trong kho¶ng (a; +∞) kh«ng æn ®Þnh Liapunov khi t → ∞ nÕu ∃ε0 > 0 vµ ∃t0 ∈ (a; +∞) sao cho víi mäi δ > 0 ®Òu tån t¹i Ýt nhÊt nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) vµ tån t¹i thêi ®iÓm t1 > t0 sao cho ky(t0 ) − η(t0 )k < δ nh-ng ky(t1 ) − η(t1 )k > ε0 . §Þnh nghÜa 1.4. NghiÖm η(t) trªn kho¶ng (a; +∞) cña hÖ (1.2) gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞ nÕu nã æn ®Þnh theo Liapunov khi t → ∞ vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: Víi mäi t0 ∈ (a; +∞) ®Òu tån t¹i ∆ = ∆(t0 ) > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) trªn [t0; +∞) cña hÖ (1.2) mµ ky(t0 ) − η(t0 )k < ∆ ta ®Òu cã ky(t) − η(t)k → 0 khi t→∞ NghiÖm tÇm th-êng (nÕu cã) η(t) ≡0 trªn kho¶ng (a, +∞) cña hÖ (1.2) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn nÕu nã æn ®Þnh theo Liapunov khi t → ∞ vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: Víi mäi t0 ∈ (a; +∞) ®Òu tån t¹i ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) trªn kho¶ng [t0 ; +∞) mà ky(t0 )k < ∆ ta ®Òu cã ky(t)k → 0 khi t → +∞ 14 H×nh 2.2: §Þnh nghÜa 1.5. Gi¶ sö hÖ (1.2) x¸c ®Þnh trong kh«ng gian Ω = It+ × Kn . Khi ®ã nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) trªn kho¶ng (a; +∞) gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn trong toµn thÓ nÕu nã æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞ vµ mäi nghiÖm y(t) trong kho¶ng [t0 ; +∞) cña hÖ (1.2) ®Òu tho¶ m·n ky(t) − η(t)k → 0 khi t → +∞ XÐt hÖ vi ph©n cã nhiÔu t¸c ®éng th-êng xuyªn sau ®©y ®ång thêi víi hÖ (1.2): dy = f(t, y) + ϕ(t, y) dt (1.3) Lu«n gi¶ thiÕt: (0,1) (0,1) f(t, y) ∈ C(t,y) (Z), ϕ(t, y) ∈ C(t,y) (Z). §Þnh nghÜa 1.6. NghiÖm η(t) trong kho¶ng (a; +∞) cña hÖ (1.2) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh víi nhiÔu t¸c ®éng th-êng xuyªn ϕ(t, y) nÕu víi mäi ε > 0 cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ (a; +∞) ®Òu tån t¹i sè δ(ε; t0 ) > 0 sao cho khi ϕ(t, y) < δ th× mäi nghiÖm y(t) cña hÖ (1.3) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t0 ) − η(t0 )k < δ ®Òu x¸c ®Þnh trong kho¶ng [t0; +∞) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t) − η(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞). NÕu nghiÖm η(t), t ∈ It+ cña hÖ (1.2) víi vÕ ph¶i liªn tôc æn ®Þnh t¹i thêi ®iÓm t0 ∈ It+ th× còng æn 0 ®Þnh t¹i thêi ®iÓm t0 ∈ It+ . Do ®ã ta cã thÓ giíi h¹n viÖc kiÓm tra tÝnh æn ®Þnh còng nh- tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn cña nghiÖm chØ ®èi víi thêi ®iÓm ban ®Çu t0 ®· cho nµo ®ã. Tõ ®ã ta còng cã thÓ suy ra r»ng nghiÖm η(t), (a < t < b) kh«ng æn ®Þnh ®èi víi thêi ®iÓm ban ®Çu t0 ∈ It+ th× nã còng kh«ng æn ®Þnh ®èi víi thêi 0 ®iÓm bÊt k× t0 ∈ It+ . 2 C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t vÒ sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh XÐt c¸c hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh: dy = A(t)y + f(t), dt A(t), f(t) ∈ C(I + ) (2.1) vµ hÖ thuÇn nhÊt ®èi víi nã: dx = A(t)x dt (2.2) §Þnh nghÜa 2.1. HÖ (2.1) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh (kh«ng æn ®Þnh) nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ ®Òu æn ®Þnh (kh«ng æn ®Þnh) Liapunov khi t → +∞. 15 Chó ý 4. C¸c nghiÖm cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh hoÆc tÊt c¶ ®Òu æn ®Þnh hoÆc tÊt c¶ ®Òu kh«ng æn ®Þnh. §èi víi hÖ vi ph©n phi tuyÕn cã thÓ cã c¶ nghiÖm æn ®Þnh vµ nghiÖm kh«ng æn ®Þnh. §Þnh lý 2.2. HÖ (2.1) æn ®Þnh víi mäi f(t) ∈ C(I + ) khi vµ chØ khi nghiÖm tÇm th-êng η(t) ≡ 0 cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞. Chøng minh. (§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö η(t) (t0 6 t < +∞) là nghiÖm æn ®Þnh nµo ®ã cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1). Theo ®Þnh nghÜa: Víi mäi ε > 0 cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ I + , ∃δ > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) cña hÖ (2.1) ®Òu x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (t0 6 t < +∞), nÕu tho¶ m·n ky(t0 ) − η(t0)k < δ (2.3) ky(t) − η(t)k < ε, (∀t > t0) (2.4) ta ®Òu cã Do z(t) = y(t) − η(t) lµ nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) vµ ng-îc l¹i mäi nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) ®Òu biÓu diÔn d-íi d¹ng z(t) = y(t) − η(t), trong ®ã y(t) lµ nghiÖm cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1), nªn ta suy ra ∀ε > 0 cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ I + , ∃δ > 0 sao cho mäi nghiÖm z(t) cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) nÕu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn kz(t0 )k < δ, ta ®Òu cã kz(t)k < ε, ∀t > t0 . §iÒu nµy chøng tá nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.2) æn ®Þnh. (§iÒu kiÖn ®ñ.) Gi¶ sö nghiÖm tÇm th-êng z(t) ≡ 0 cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞. Theo ®Þnh nghÜa: (∀ε > 0 cho tr-íc , ∀t0 ∈ I + , ∃δ > 0) sao cho mäi nghiÖm x(t) cña hÖ thuÇn nhÊt x¸c ®Þnh trªn [t0, +∞) nÕu tho¶ m·n kx(t0)k < δ, ta ®Òu cã kx(t)k < ε, (∀t > t0 ). Do hiÖu hai nghiÖm bÊt k× cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) lµ nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) nªn ta suy ra: NÕu η(t) là mét nghiÖm bÊt k× cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) th× víi mäi nghiÖm y(t) cña hÖ ®ã, nÕu ||y(t0 ) − η(t0 )|| < δ th× ||y(t) − η(t)|| < ε, (∀t > t0 ). §iÒu nµy chøng tá mäi nghiÖm cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) æn ®Þnh nªn hÖ ®ã æn ®Þnh . Chó ý 5. Trong chøng minh trªn ta thÊy tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ thuÇn nhÊt ®-îc suy ra tõ tÝnh æn ®Þnh cña Ýt nhÊt mét nghiÖm cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt t-¬ng øng víi sè h¹ng tù do f(t) bÊt k×. HÖ qu¶ 2.3. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh æn ®Þnh nÕu cã Ýt nhÊt mét nghiÖm æn ®Þnh, kh«ng æn ®Þnh nÕu cã mét nghiÖm kh«ng æn ®Þnh. HÖ qu¶ 2.4. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt æn ®Þnh khi và chØ khi hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t-¬ng øng æn ®Þnh. Víi hÖ qu¶ trªn, sau nµy ®Ó nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh ta chØ cÇn nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng. §Þnh nghÜa 2.5. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) æn ®Þnh ®Òu nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ ®ã æn ®Þnh ®Òu ®èi víi t0 ∈ It+ khi t → +∞. §Þnh lý 2.6. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) æn ®Þnh ®Òu khi và chØ khi nghiÖm tÇm th-êng x(t) ≡ 0 cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh ®Òu khi t → +∞. ViÖc chøng minh ®Þnh lý (2.6) t-¬ng tù chøng minh ®Þnh lý (2.2) 16 §Þnh nghÜa 2.7. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞ nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ ®ã æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞. §Þnh lý 2.8. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi và chØ khi nghiÖm tÇm th-êng x(t) ≡ 0 cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞. ViÖc chøng minh ®Þnh lý (2.8) ®-îc suy ra trùc tiÕp tõ chó ý hiÖu hai nghiÖm bÊt k× cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt lµ nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng. HÖ qu¶ 2.9. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi và chØ khi hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh tiÖm cËn. 3 Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt XÐt hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: dx = A(t)x(t), dt A(t) ∈ C(I + ) (3.1) §Þnh lý 3.1. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (3.1) æn ®Þnh khi và chØ khi mäi nghiÖm x(t) víi (t0 6 t < +∞) cña hÖ ®Òu bÞ chÆn trªn nöa trôc t0 6 t < +∞ Chøng minh. (§iÒu kiÖn ®ñ.) Gi¶ sö X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ, X(t) chuÈn t¾c t¹i t0. Do mäi nghiÖm x(t) cña hÖ (3.1) bÞ chÆn nªn ma trËn nghiÖm c¬ b¶n X(t) bÞ chÆn, tøc tån t¹i h»ng sè d-¬ng M sao cho: k X(t) k6 M (∀t > t0). V× X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n nªn mäi nghiÖm x(t) cña hÖ (3.1) trªn kho¶ng (t0 6 t < +∞) ®Òu biÓu diÔn ®-îc d-íi d¹ng: x(t) = X(t)x(t0 ). Tõ ®ã ta cã: kx(t)k =k X(t)x(t0 ) k6k X(t) k · k x(t0 ) k6 M k x(t0) k . V× thÕ ∀ε > 0, chän δ = εM −1 th× víi mäi nghiÖm x(t) tho¶ m·n kx(t0)k < δ ta lu«n cã kx(t)k < ε, ∀t > t0, nghÜa lµ nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (3.1) æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞ vµ do ®ã hÖ æn ®Þnh. (§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö hÖ (3.1) æn ®Þnh nh-ng cã Ýt nhÊt mét nghiÖm z(t) kh«ng bÞ chÆn trªn [t0, +∞), râ z(t)δ δ ràng z(t0 ) 6= 0. Cè ®Þnh hai sè d-¬ng ε, δ và xÐt nghiÖm x(t) = th× x(t0 ) = < δ. Theo gi¶ thiÕt z(t) z(t0)2 2 kh«ng bÞ chÆn nªn tån t¹i thêi ®iÓm t1 > t0 sao cho: x(t1 ) = z(t1)δ >ε z(t0 )2 §iÒu nµy chøng tá nghiÖm tÇm th-êng x ≡ 0 cña hÖ (3.1) kh«ng æn ®Þnh. Vµ do ®ã hÖ kh«ng æn ®Þnh, tr¸i víi gi¶ thiÕt. HÖ qu¶ 3.2. NÕu hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt æn ®Þnh th× mäi nghiÖm cña nã hoÆc ®Òu bÞ chÆn hoÆc ®Òu kh«ng bÞ chÆn khi t → +∞. dy = 1 + t − y cã nghiÖm kh«ng bÞ chÆn y0 = t. Bëi v× mäi nghiÖm cña hÖ dt −t ®Òu cã d¹ng: y(t) = t + y(0)e nªn |y(t) − y0 (t)| → 0 khi t → +∞. Chøng tá nghiÖm y0 (t) æn ®Þnh VÝ dô 1. Ph-¬ng tr×nh v« h-íng tiÖm cËn khi t → +∞. 17 Chó ý 6. Víi hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh th× tõ tÝnh bÞ chÆn cña c¸c nghiÖm kh«ng suy ra ®-îc tÝnh æn ®Þnh cña hÖ. VÝ dô 2. XÐt ph-¬ng tr×nh: dx = sin2 (x). TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh ®ã, ta cã: dt x = arctan(c tan x0 − t) víi x0 6= kπ (3.2) x = kπ víi x0 = kπ, k = ±1, ±2, . . . (3.3) vµ TÊt c¶ c¸c nghiÖm cña (3.2), (3.3) ®Òu bÞ chÆn nh-ng x ≡ 0 kh«ng æn ®Þnh khi t → +∞, v× víi x0 ∈ (0, π) bÊt k× ta cã: lim x(t) = π. t→+∞ §Þnh lý 3.3. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (3.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi vµ chØ khi mäi nghiÖm x(t) víi (t0 6 t < +∞) cña hÖ ®Òu dÇn tíi 0 khi t → +∞ hay lim x(t) = 0. t→+∞ Chøng minh. (§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö hÖ (3.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞, khi ®ã nghiÖm tÇm th-êng x0(t) ≡ 0 æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞, v× thÕ, víi mäi t0 ∈ It+ th× mäi nghiÖm y(t) nÕu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t0 )k < ∆ víi ∆ > 0 nào ®ã ta ®Òu cã lim ky(t)k = 0 ⇔ lim y(t) = 0. t→+∞ t→+∞ XÐt mét nghiÖm x(t) tuú ý tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(t0 ) = x0 6= 0. §Æt y(t) = ∆x(t) . Ta cã 2kx(t0)k ky(t0 )k < ∆ nªn lim y(t) = 0. Suy ra lim x(t) = 0. t→+∞ t→+∞ (§iÒu kiÖn ®ñ ). Gi¶ sö x(t) (víi t0 6 t < +∞) là nghiÖm bÊt k× tho¶ m·n x(t) → 0 khi t → +∞. Do x(t) liªn tôc trªn [t0; +∞) và x(t) → 0 khi t → +∞ nªn x(t) bÞ chÆn trªn [t0 ; +∞). Nh- vËy mäi nghiÖm cña hÖ (3.1) ®Òu bÞ chÆn nªn hÖ æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞. H¬n n÷a, theo gi¶ thiÕt mäi nghiÖm x(t) ®Òu tho¶ m·n lim kx(t) − 0k = 0 nªn nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞. Suy ra hÖ æn ®Þnh t→+∞ tiÖm cËn khi t → +∞. HÖ qu¶ 3.4. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn th× æn ®Þnh tiÖm cËn trªn toàn thÓ khi t → +∞. Chó ý 7. §èi víi hÖ vi ph©n phi tuyÕn mµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm dÇn tíi kh«ng kh«ng suy ra ®-îc nghiÖm tÇm th-êng æn ®Þnh . dx dy x y = −t2 xy2 , = − cã nghiÖm tÇm th-êng x = 0, y = 0. TÝch ph©n hÖ ph-¬ng tr×nh trªn ta dt t dt t C2 2 ®-îc x(t) = C1(t) exp(−C2 ), y(t) = . NÕu chän t0 = 1 ta sÏ cã: x(t) = x(t0)t exp(−y2 t0 (t − 1)), y(t) = t   y(t0 ) . Râ ràng x(t) → 0, y(t) → 0 khi t → +∞ ta sÏ cã x 1 + δ12 > e−1 . Do ®ã nghiÖm (x, y) ≡ (0, 0) t kh«ng æn ®Þnh và do ®ã kh«ng æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞. VÝ dô 3. HÖ 4 Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh víi ma trËn h»ng XÐt hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi ma trËn hÖ sè h»ng A = [ajk]n×n: dx = Ax dt (4.1) §Þnh lý 4.1. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (4.1) víi ma trËn h»ng sè A lµ æn ®Þnh khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng λj cña ma trËn A ®Òu cã phÇn thùc Re λj 6 0 và c¸c λj víi Re λj = 0 lµ nghiÖm ®¬n cña ®a thøc ®Æc tr-ng A. 18 Chøng minh. (§iÒu kiÖn ®ñ.) Gi¶ sö λj = αj + iβj , j = 1, p lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng cña ma trËn A cã phÇn thùc αj 6 0 và λk = iγk , k = 1, q lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng cña ma trËn A cã phÇn thùc b»ng 0. H¬n n÷a p + q = m là sè « jordan chuÈn t¾c cña ma trËn A. Khi ®ã nghiÖm x(t) bÊt k× cña (4.1) cã d¹ng: x(t) = p X αj t e (cos βj t + i sin βj t)Pj (t) + j=1 q X (cos γk t + i sin γk t)ck (4.2) k=1 trong ®ã Pj (t) là ®a thøc vector hàm cã bËc nhá h¬n béi cña nghiÖm ®Æc tr-ng λj . Cßn ck là c¸c vector cét h»ng sè. Bëi v× αj < 0 nªn lim eαj t Pj (t) = 0. Ngoài ra | cos γk t + i sin γk t| = 1 nªn tõ c«ng thøc (4.2) ta t→+∞ suy ra mçi nghiÖm x(t) cña hÖ (4.1) bi chÆn trªn nöa trôc (t0 6 t < +∞). Theo ®Þnh lý (3.1), hÖ (4.1) æn ®Þnh. (§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö hÖ (4.1) æn ®Þnh. Tr-íc hÕt ta chøng tá tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng λj cña ma trËn A cã phÇn thùc kh«ng d-¬ng. ThËt vËy, Gi¶ sö cã mét gi¸ trÞ riªng λs = σ + iτ cña ma trËn A mà Re λs = σ > 0. Khi ®ã hÖ (4.1) cã nghiÖm kh«ng tÇm th-êng ξ(t) = eλs t c, víi c 6= 0 là vector h»ng. Do ®ã kξ(t)k = |eλst |kck = eσt kck → +∞ khi t → +∞ Nh- vËy nghiÖm ξ(t) kh«ng bÞ chÆn, ®iÒu ®ã m©u thuÉn víi tÝnh æn ®Þnh cña hÖ. VËy nÕu (4.1) æn ®Þnh th× tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng λj cña ma trËn A ph¶i cã Re λj 6 0 víi mäi (j = 1, . . . , n). B©y giê ta chøng tá mçi nghiÖm ®Æc tr-ng λj víi Re λj = 0 là nghiÖm ®¬n cña ®a thøc ®Æc tr-ng A. ThËt vËy, gi¶ sö r»ng ma trËn A ®-îc chuyÓn vÒ d¹ng jordan: A = S −1 diag[j1λ1 , . . . , jm λm ]S trong ®ã det S 6= 0. H¬n n÷a, gi¶ sö ng-îc l¹i, A cã nghiÖm ®Æc tr-ng nào ®ã víi phÇn thùc b»ng kh«ng λs = iµs là nghiÖm béi es > 1. Khi ®ã λs øng  λs 0   .. .  0 0 víi « jordan js (λs ) cã h¹ng es > 1 sau ®©y:  1 ... 0 0 λs . . . 0 0  .. . . .. ..  . . . .  0 . . . λs 1  0 . . . 0 λs th× θ(t) = S −1 diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . . , 0]S sÏ là mét ma trËn nghiÖm cña hÖ (4.1). ThËt vËy, do 0 θ (t) = S −1 diag[0, . . ., js (λs )etjs(λs ) , . . . , 0]S = S −1 diag[j1(λ1 ), . . . , js (λs ), . . . , jm (λm )]SS −1 diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . . , 0]S = Aθ(t). Tõ biÓu thøc cña θ(t) ta cã: diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . . , 0] = Sθ(t)S −1 . Suy ra: k diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . ., 0]k = ketjs (λs) k 6 kSkkθ(t)kkS −1 k. Do etjs(λs )  1   λs t 0 =e    .. . 0 t 1! ... 1 ... .. . 0 .. 19 . ...  tes−1 (es − 1)!   tes−2   , (es − 2)!    ..  . 1 (4.3) nªn víi t > 0 ta cã: ketjs (λs) k > eRe λs t kθ(t)k > slant tes −1 tes −1 = . KÕt hîp víi (4.3) ta ®-îc: (es − 1)! (es − 1)! ketjs (λs) k tes −1 > → +∞ khi t → +∞. kSkkS −1 k (es − 1)!kSkkS −1 k Nh- vËy, θ(t) → +∞ khi t → +∞. §iÒu nµy kh«ng x¶y ra ®èi víi hÖ æn ®Þnh. §Þnh lý ®-îc chøng minh. 5 Tiªu chuÈn Hurwits Mét trong nh÷ng ph-¬ng ph¸p chøng minh tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (4.1) là ph¶i chØ ra ®-îc tÊt c¶ c¸c nghiÖm λ1 , . . . , λn cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng det(A − λE) = 0 ®Òu cã phÇn thùc ©m. Trong môc này chóng ta sÏ ®-a ra ®iÒu kiÖn cÇn và ®ñ ®Ó ph-¬ng tr×nh ®¹i sè víi hÖ sè thùc cã c¸c nghiÖm víi phÇn thùc ©m. XÐt ®a thøc bËc n > 1 : f(z) = a0 + a1z + . . . + an z n , z = x + iy ∈ C; a0 , a1, . . ., an ∈ K. §Þnh nghÜa 5.1. §a thøc f(z) bËc n > 1 ®-îc gäi là ®a thøc Hurvits nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm λ1 , . . . , λn cña nã ®Òu cã phÇn thùc ©m. tøc: Re(λj ) < 0 ∀j = 1, . . ., n. §a thøc f(z) víi c¸c hÖ sè thùc a0 , a1, . . . , an ∈ R và a0 > 0 ®-îc gäi là ®a thøc chuÈn bËc n. §Þnh lý 5.2. NÕu ®a thøc chuÈn bËc n là ®a thøc Hurvits th× tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña nã ®Òu d-¬ng. Chøng minh. Gi¶ sö zj = −αj + iβj là c¸c nghiÖm phøc (βj 6= 0), j = 1, . . ., p và zk = −γk (k = 1, . . ., q) là c¸c nghiÖm thùc cña ®a thøc chuÈn Hurvits f(z) = a0 + a1 z + . . . + anz n . V× f(z) là ®a thøc Hurvits nªn αj > 0, γk > 0. Gäi σj là béi cña nghiÖm zj . Khi ®ã, do c¸c hÖ sè cña f(z) là thùc nªn nghiÖm liªn hîp p q P P zj = −αj − iβj còng cã béi là σj . Gäi sk là béi cña nghiÖm thùc γk . Râ ràng 2σj + sk = n khai triÓn j=1 k=1 ®a thøc f(z) thành nh©n tö: f(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ≡ an n Y (z + αj − iβj )σj j=1 (z + αj + iβj )σj q Y (z + γk )sk (5.1) k=1 ≡ an n Y (z 2 + 2αj z + α2j + βj2 )σj j=1 q Y (z + γk )sk k=1 C¸c hÖ sè trong khai triÓn vÕ ph¶i cña (5.1) cïng dÊu víi an . So s¸nh và ®ång nhÊt c¸c hÖ sè víi vÕ tr¸i ta suy ra c¸c hÖ sè a0 , a1, . . . , an cña f(z) trong vÕ tr¸i cña (5.1) ®-¬ng nhiªn ph¶i cïng dÊu và cïng dÊu víi a0 > 0. Do vËy a0 > 0, a1 > 0, . . ., an > 0. Chó ý 8. DÔ dµng thÊy r»ng ®a thøc chuÈn bËc hai f(z) = a0 + a1 z + a2z 2 là ®a thøc Hurwitz khi và chØ khi tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña nã ®Òu d-¬ng. §èi víi ®a thøc chuÈn bËc cao h¬n 2 cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè ®Òu d-¬ng kh«ng suy ra ®-îc ®a thøc ®ã là ®a thøc Hurwitz. Ch¼ng h¹n ®a thøc f(z) = 30 + 4z + z 2 + z 3 cã c¸c nghiÖm là 3, 1+3i, 1-3i nªn kh«ng là ®a thøc Hurwitz. 20