KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009
MÔN: TOÁN 12 (THPT)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009
Câu 1: Tính nghiệm giá trị của hàm số sau tại x 0,5 :
x 2 sin x 1
ln( x 2 x 3)
Câu 2: Tìm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số y x 2 7 x 5 và
f ( x)
3
8 x 2 9 x 11
y
x 1
Câu 3: Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 4 x 2 x 2 đi qua
điểm A(1; 4)
Câu 4: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y x 1 5 2x
Câu 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:
2 x 3 y 7
x
y
4 9 25
Câu 6: Cho dãy số (un ) có u1 1; u2 2; u3 3 và un 2un1 3un2 un3 (n 4) .
Tính u20
Câu 7: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 3x 5x 7 x (log3 x 1) .
Câu 8: Tính diện tích hình tứ giác ABCD biết AB 4cm, BC 4cm, CD 5cm
, DA 6cm và góc B 70o
Câu 9: Một hộp nữ trang ( xem hình vẽ) có mặt bên
ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE
là một cung của đường tròn tâm tại trung điểm M của
cạnh AB. AB = 10cm, BC = 6cm và BQ = 45cm. Hãy tính:
1. Góc CME theo radian.
2. Độ dài cung CDE
3. Diện tích hình quạt MCDE
4. Diện tích toàn phần của hộp nữ trang.
5. Thể tích của hộp nữ trang.
Câu 10: Với việc tính toán trên máy thì thời gian thực hiện các phép tính nhan và chia
lớn gấp bội so với thời gian thực hiện các phép tính cộng và trừ. Cho nên, một tiêu chí để
đánh giá tính hiệu quả của một công thức ( hay thuật toán ) là ở chỗ cho phép sử dụng ít
nhất có thể các phép tính nhân và chia
Với số e , người ta có thể tính xấp xỉ nó theo công thức sau đây:
1
e lim 1
n
n
n
(1)
1
n 0 n !
e
(2)
1025
1
Theo em, để tính được giá trị của biểu thức A 1
thì cần tới bao
1025
nhiêu phép nhân và chia, và khi ấy kết quả thu được xáp xỉ số e chính xác tới bao nhiêu
chữ số thập phân sau dấu phẩy.
6
1
Câu hỏi tương tự như trên đối với biểu thức B .
n 0 n !
KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009
MÔN: TOÁN 9 (THCS)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức
1, 252 15,373 3, 754
a) A =
2
3 4
1 3 2 5 2
4 7 5 7 3
b) B =
3 5 3 5 2009 13,3
3 2 5 3 7 2 3 5 4 7
(1 sin 3 1734`) 2 (1 tg 2 2530`)3 (1 cos 2 5013`)3
(1 cos3 3525`)2 (1 cot g 2 2530`)3 (1 sin 2 5013`)3
Câu 2: Hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh AB = m, BC = n.
Từ A kẻ AH vuông góc với đường chéo BD
a) Tính diện tích tam giác ABH theo m, n
b) Cho biết m = 3,15 cm và n = 2,43 cm.
Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân) diện tích tam giác ABH
Câu 3: Đa thức P( x) x6 ax5 bx4 cx3 dx 2 ex f có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48
khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6
a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x)
b) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20
Câu 4:
1. Hình chóp tứ giác đều O. ABCD có độ dài cạnh đáy BC a ,
độ dài cạnh bên OA l
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của
hình chóp O. ABCD theo a và l .
b) Tính ( chính xác đến 2 chữ số thập phân) diện tích xung quanh
và thể tích của hình chóp O. ABCD khi cho biết a 5,75cm, l 6,15cm
2. Người ta cắt hình chóp O. ABCD cho trong câu 1 bằng mặt phẳng
song song với đáy ABCD sao cho diện tích xung quanh của hình chóp
c) C =
O.MNPQ được cắt ra bằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều
MNPQ. ABCD được cắt ra. Tính thể tích hình chóp cụt được cắt ra
( chính xác đến 2 chữ số thập phân )
Câu 5:
1. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc
canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km. Hỏi vận tốc của
thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12,5km / h . ( Kết quả chính xác với
2 chữ số thập phân)
2. Lức 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đường dài 157 km. Đi được 102 km thì xe
bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít
hơn lúc đầu là 10,5km / h . Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc
11 giờ 30 phút. ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút)
1 2 1 2
n
Câu 6: Cho dãy số U n
n
với n =1,2,…,k,….
2 2
1. Chứng minh rằng: U n1 2U n U n1 với n 1
2. Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n 1 theo U n và U n 1 với U1 1,U 2 2
3. Tính các giá trị từ U11 đến U 20
Câu 7: Hình thang vuông ABCD ( AB // CD) có góc nhọn BCD ,
độ dài các cạnh BC m, CD n
a) Tính diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang ABCD
theo m, n và .
b) Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) diện tích, chu vi và các
đường chéo của hình thang ABCD với m 4, 25cm, n 7,56cm, 54o30,
Bài 8:
1. Số chính phương P có dạng P 17712ab81 . Tìm các chữ số a, b biết rằng
a b 13
2. Số chính phương Q có dạng Q 15cd 26849 . Tìm các chữ số c, d biết rằng
c2 d 2 58
3. Số chính phương M có dạng M 1mn399025 chia hết cho 9. Tìm các chữ số
m, n
Bài 9: Cho dãy số xác định bởi công thức : xn 1
3 13xn2
với x1 0, 09 , n = 1,2,3,…,
1 xn2
k,…
a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính xn 1 theo xn .
b) Tính x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ( với đủ 10 chữ số trên màn hình )
c) Tính x100 , x200 ( với đủ 10 chữ số trên màn hình )
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC )
Tính độ dài cạnh AB ( chính xác đến 2 chữ số thập phân), biết rằng diện tích tam
giác AHC là S 4, 25cm2 , độ dài cạnh AC là m 5,75cm .
KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009
MÔN: TOÁN 12 (THBT)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc thì
lấy đến số nguyên giây.
Bài 1: Tính gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 2sin 2 x 5sin 2 x 1
Bài 2: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) =
3x 4 5 2 x 2
Bài 3: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi
phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.
Tính gần đúng diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 1 dm3 .
Bài 4: Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số y
2 x2 5x 3
2x 1
log 32 x 9 y 8
Bài 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:
y
log 3 x 3 2
Bài 6: Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (1;2)
và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x2 4 x 5
Bài 7: Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh
AB = AC = AD = 8dm, BC = 7dm, CD = 6dm, BD = 5dm.
Bài 8: Tính a, b, c nếu đồ thị hàm số y x3 ax2 bx c đi qua ba điểm A( 5;1), B(6;2),
C(7;3).
Bài 9: Tính gần đúng thể tích khối chóp S.ABCD nếu đáy ABCD là hình bình hành, cạnh
SA vuông góc với đáy, AB = 7dm, AC = 9dm, SD = 11dm, góc ABC = 80o .
x2 y 2
1 và đường thẳng
Bài 10: Tính gần đúng tọa độ giao điểm của elip :
9
4
5x 6 y 7 0
SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU
KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài thi 180 phút
Ngày thi: 07/12/2010
Câu 1( 4 điểm )
a/ Giải phương trình: 2( x x 1)(1 x 2 1) x x .
b/ Giải bất phương trình: log 3 ( x 2 2 x 1) 1 log 2 x .
Câu 2( 4 điểm )
Cho tam giác ABC vuông ở A và nội tiếp trong đường tròn (O) .Trên tia đối của các tia
BA, CA ta lấy các điểm E và F sao cho BE = CF = BC . M là điểm chạy trên (O).
Chứng minh rằng : MA + MB + MC EF.
Câu 3( 4 điểm ) Cho dãy số (un) thỏa :
1 1 61
u1 ;
4
8
15
3
*
un 1 un 64 , n N
a) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn.
b) Tìm lim un .
Câu 4( 3 điểm )
Tìm tất cả các hàm số f :[0; ) [0; ) , thoả mãn:
f ( x f ( y )) f ( y f ( x)) 2( f ( y ) 3 x y ); x, y 0 .
Câu 5( 5 điểm )
a) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ
số cuối giống nhau và khác không?
b) Trên mặt phẳng cho 2 x 2010 điểm ; trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng
hàng.Người ta tô 2010 điểm bằng màu đỏ và tô 2010 điểm còn lại bằng màu xanh.
Chứng minh rằng:bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả
các điểm màu xanh bởi 2010 đoạn thẳng không có điểm nào chung.
---------------------------------------------------------HẾT-----------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU
KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ
MÔN THI:TOÁN
( Hướng dẫn chấm có : 5 trang )
Nội dung kiến thức
Câu
Câu 1
Điểm
4điểm
1. Giải phương trình: 2( x x 1)(1 x 2 1) x x (1)
1 1
x x
* Điều kiện: x 1 . (1) 2(1 1 )( 1
1
) 1
x2
0,5
1
cos 2t , 0 t .
x
4
* (1) trở thành: 2(1 2 sin t )(cos 2t sin 2t ) 1 (2)
0,5
* (2) 2(1 2 sin 2 t )(cos 2t sin 2t ) 1 2 sin t
* sin(4t ) sin t
0,5
Đặt
4
* t
3
1
;x
3
20
cos
10
0,5
2. Giải bất phương trình: log 3 ( x 2 2 x 1) 1 log 2 x (1)
* (1) 2 log 3 ( x 1) 1 log 2 x . Điều kiện x > 0.
Đặt t log 2 x x 2t
t
1 t
2
(1) trở thành: 2 1 3
t
t
t
2 1
3.
3 3
t
t
0,5
t
2 1
1
2 1
2
* f (t ) , f '(t ) ln
ln
3 3
3
3 3
3
t
0,5
t
2 2 2 1 2 1
f ''(t )
0, t
ln
ln
3 3
3
3
* f(1) = f(3) = 3 , lập luận được f’ có nghiệm duy nhất t0 và t0
(1;3) .
* Lập BBT, suy ra f (t ) 3 1 t 3 .
* Nghiệm: 2 < x < 8.
0,5
0,5
Câu 2
4điểm
A
C
B
E
F
1
M
Áp dụng định lí ptoleme vào tứ giác ABMC ta có :
MA.BC = MB.AC + MC.AB
MA MB MC MB.
AF
AE
MC .
BC
BC
1
Áp dụng bất đt B.C.S ta có :
2
2
2
AF
AE
2
2 AE AF
MB
.
MC
.
MB
MC
BC 2
BC
BC
EF 2
BC 2 .
EF 2
2
BC
Dấu “=” xảy ra
MB MC
MBC
AF AE
1
AFE MBC EFA
Câu 3
1
4điểm
15
15
un 1 3 un
, n N *
64
64
15
Xét hs : f(x) = 3 x
f tăng trên R
64
a) un1 un
Chứng minh : un1 un , n N * (1) bằng QN
1
Thật vậy : Với n = 1 : u2 u1 u1
15
u13
64
1 1 61
(4u1 1)(16u12 4u1 15) 0 ( HN đúng vì u1 ;
)
8
4
Giả sử ( 1) đúng vớ n = k 1 , nghĩa là : uk 1 uk
1
Với n = k + 1, (1) uk 2 uk 1 f (uk 1 ) f (uk ) ( HN đúng vì f
tăng)
1 1 61
*
, n N (2) bằng QN
8
4
Chứng minh : un ;
1 1 61
8
4
Thật vậy : Với n = 1 : u1 ;
1 1 61
8
4
Giả sử ( 2) đúng vớ n = k 1 , nghĩa là : uk ;
Với n = k + 1
uk 1 3 uk
1
15
f (uk )
64
1 1 61
1 61
1
uk ;
, f tăng nên: f f uk f
8
4
4
8
1
1 61
Suy ra : uk 1
4
8
(1), (2) suy ra Đpcm
b) Đặt L = lim un
n
Từ Câu a) suy ra
1
1 61
L
4
8
1
L 4
15
15
1 61
3
3
3
un 1 un
L L L 64 L 15 0 L
64
64
8
1 61
L 8
So với đk suy ra: lim un
n
1
1 61
8
3điểm
Câu 4
Giải pt hàm: f ( x f ( y )) f ( y f ( x)) 2( f ( y ) 3 x y ); x, y 0
* Đặt f(0) = a 0 , cho x y 0 f (a ) a .
Cho x 0, y a f (2a ) 3a ; cho x a, y 0 f (2a ) 7a .
0,5
Vậy 7a = 3a nên a = 0. Suy ra f(0) = 0.
* Cho y = 0 ta có f ( f ( x )) f ( x ) 6 x .
Xét dãy số (xn) : x1 = x, x2 = f(x), xn+1 = f(xn) , n = 1,2,3,…
Ta có : xn+2 + xn+1 – 6xn = 0. Pt đặc trưng : t2 + t – 6 = 0 có 2 nghiệm -3, 2.
1
Vậy xn (3) n .2n , với n =1 và n = 2 ta có :
f ( x) 2 x
3 2 x
15
*
9 4 f ( x)
f ( x) 3 x
10
x 0
* Vì xn 0, n 1, 2,... 2n
; n 1, 2,..
x2 n 1 0
2n
2
2
3
3
1
2 n 1
; n .
* Cho n dần đến vô cực, ta có 0 . Vậy f(x) = 2x.
* Thử lại, ta thấy f(x) = 2x thoả đề bài.
0,5
5điểm
Câu 5
a/ Số phải tìm có dạng : aabb a, b N ,1 a , b 9
Ta có aabb k 2 (1) , k N , 31 k 100
(1) 1100a 11b k 2 11(100a b) k 2 (2)
Từ (2) k 2 chia hết 11, 11 nguyên tố suy ra k chia hết 11
Mà 31 < k < 100 nên suy ra k {33;44;55;66;77;88;99}
Thay vào ( 1) ta được k = 88
Vậy số cần tìm : 7744
b/ Xét tất cả các cách nối 2010 cặp điểm( đỏ với xanh ) bằng 2010
1
1
đoạn thẳng
.các cách nối như vậy luôn tồn tại và do đó chỉ có 2010 cặp điểm cho
nên
số tất cả cách nối như vậy là hữu hạn.
Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là
ngắt nhất.Ta chứng minh rằng đây chính là cách nối phải tìm.
Thật vậy: giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt
nhau tại điểm O(Giả sử A và B tô màu đỏ , còn X và Y tô màu
xanh).Khi đó , nếu ta
Thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng : AY và BX , các
đoạn đã nối khác giữ nguyện thì ta có cách nối này có tính chất :
AY + BX < (AO +OY) + (BO + OX) = (AO +OX) + (BO + OY)
Suyra : AY+BX
- Xem thêm -
.PDF 
71 
1382 
77 
