Tài liệu Bất phương trình và hệ bất phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Trần Thị Thu Phương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG HÀ NỘI - 2013 Mục lục Mở đầu 1 3 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương về bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu tỷ . . . . . 1.2.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn số . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số . . . . . . . . . 1.2.3 Bất phương trình bậc hai một ẩn số . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số . . . . . . . . . . 1.2.5 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn số . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số . . . . . . . . . . 1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bất phương trình, hệ bất phương trình đại số vô tỷ . . . . . . . 1.3.1 Bất phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Hệ bất phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . 1.4.2 Hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . 2 Bất phương trình mũ và lôgarit 2.1 Bất phương trình mũ . . . . . . 2.1.1 Một số kiến thức cơ bản 2.1.2 Các phương pháp giải . 2.2 Bất phương trình logarit . . . . 2.2.1 Một số kiến thức cơ bản 2.2.2 Các phương pháp giải . 3 Bất 3.1 3.2 3.3 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số Phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số . . . . . . . Phương pháp tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 8 8 10 11 12 13 14 18 20 20 36 . 40 . 40 . 48 . . . . . . 52 52 52 52 63 63 63 . . . . 74 74 87 91 99 3.5 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Kết luận 111 Tài liệu tham khảo 112 2 Mở đầu Chuyên đề về bất phương trình và hệ bất phương trình là một nội dung quan trọng của chương trình toán ở bậc Trung học phổ thông. Các khái niệm cơ bản về bất phương trình đã được học sinh biết đến từ cuối cấp trung học cơ sở. Việc nắm bắt, hiểu rõ lý thuyết cũng như thực hành giải bài toán bất phương trình và hệ bất phương trình là yêu cầu bất buộc đối với học sinh tốt nghiệp bậc Trung học phổ thông. Vì vậy, cũng dễ hiểu khi trong các đề thi tốt nghiệp THPT; đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; đề thi học sinh giỏi; đề thi Olympic toán học 30/04 thường xuyên xuất hiện các bài toán về "Bất phương trình và hệ bất phương trình". Việc nâng cao kiến thức và giúp học sinh giải tốt các bài toán trên là động lực để tôi nghiên cứu đề tài này. Bản luận văn này được chia làm 3 chương. Chương 1. Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số. Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn trình bày một số phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình hữu tỷ; bất phương trình và hệ bất phương trình vô tỷ; bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Và đặc biệt trong chương này có đề cập đến ứng dụng của việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào một số bài toán kinh tế. Chương 2. Bất phương trình mũ và lôgarit. Ở chương này, luận văn đề cập đến các phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit. Chương 3. Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số. Luận văn trình bày các bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi. Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa 3 học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 4 Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Vũ Đỗ Long. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Trần Văn Lan huyện Mỹ Lộc, tỉnh Nam Định đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Học viên Trần Thị Thu Phương 5 Chương 1 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương về bất phương trình a, Khái niệm bất phương trình một ẩn Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df ∩ Dg . • Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng: f (x) < g(x), f (x) 6 g(x), f (x) > g(x), f (x) > g(x) được gọi là bất phương trình một ẩn; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định của bất phương trình đó. • Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của bất phương trình f (x) < g(x) nếu f (x0 ) < g(x0 ) là mệnh đề đúng. • Khái niệm nghiệm cũng được định nghĩa tương tự cho các bất phương trình f (x) 6 g(x), f (x) > g(x), f (x) > g(x). • Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tập nghiệm) của bất phương trình đó. Khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. • Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định D của bất phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để x ∈ D. Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là điều kiện của bất phương trình. b, Bất phương trình tương đương Dưới đây, chúng ta nói tới bất phương trình dạng f (x) < g(x). Đối với các bất 6 phương trình dạng f (x) 6 g(x), f (x) > g(x), f (x) > g(x) ta cũng có các kết quả tương tự. • Hai bất phương trình (cùng ẩn) trên cùng một tập xác định D được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm; • Nếu f1 (x) < g1 (x) tương đương với f2 (x) < g2 (x) thì ta viết f1 (x) < g1 (x) ⇔ f2 (x) < g2 (x) • Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có cùng tập xác định D (hay có cùng điều kiện xác định mà ta ký hiệu là D) và tương đương với nhau ta nói: + Hai bất phương trình tương đương trên D; + Hoặc với điều kiện D, hai bất phương trình là tương đương với nhau. c, Biến đổi tương đương các bất phương trình • Phép biến đổi tương đương biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó; • Một số phép biến đổi tương đương thường dùng: Cho bất phương trình f (x) < g(x) có tập xác định D, y = h(x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó, trên D, bất phương trình f (x) < g(x) tương đương với mỗi bất phương trình sau: (i) f (x) + h(x) < g(x) + h(x); (ii) f (x)h(x) < g(x)h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x ∈ D; (iii) f (x)h(x) > g(x)h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x ∈ D; Lưu ý: +) Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình mới tương đương; +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]3 < [g(x)]3 . +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu f (x) và g(x) không âm với mọi x thuộc D thì: f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]2 < [g(x)]2 . +) Tương tự, ta cũng có quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ và nâng lên lũy thừa bậc chẵn. 7 1.2 1.2.1 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu tỷ Bất phương trình bậc nhất một ẩn số (i) Dấu của nhị thức bậc nhất • Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng: f (x) = ax + b với a 6= 0. • Dấu của nhị thức bậc nhất: Định lý 1.1. (về dấu của nhị thức bậc nhất): Cho f (x) = ax + b với a 6= 0. Khi đó:   b + f (x) cùng dấu với hệ số a khi x ∈ − ; +∞ ;  a  b + f (x) trái dấu với hệ số a khi x ∈ −∞; − . a Định lý 1.2. Cho đa thức f (x) được biểu diễn dưới dạng tích các nhị thức bậc nhất. Gọi xi là nghiệm bội bậc ki của đa thức f (x). Khi đó: f (x) sẽ đổi dấu khi đi qua mốc xi nếu ki là số lẻ; f (x) sẽ không đổi dấu khi đi qua mốc xi nếu ki là số chẵn. Bài toán 1.1. Giải bất phương trình sau: 3x − 2 2x − 1 > . 5x + 3 7x + 6 (1.1) Lời giải. 3 5 6 7 Điều kiện để bất phương trình (1.1) có nghĩa là: x 6= − , x 6= − . Với điều kiện trên ta có (2x − 1)(7x + 6) − (3x − 2)(5x + 3) >0 (5x + 3)(7x + 6) −x2 + 6x ⇔ > 0. (5x + 3)(7x + 6) (1.1) ⇔ Vậy bất phương trình (1.1) có tập nghiệm là 8  6 3 − ;− ∪ (0; 6). 7 5  (ii) Bất phương trình bậc nhất một ẩn số • Dạng bất phương trình: ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, trong đó x là ẩn, a và b là hằng số, a 6= 0. • Cách giải và biện luận: ax + b ≤ 0 (1) b + Nếu a > 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ − , tập nghiệm a   b S = −∞; − ; a b + Nếu a < 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ − , tập nghiệm a   b S = − ; +∞ ; a + Nếu a = 0 và b > 0 thì bất phương trình (1) vô nghiệm, tập nghiệm S = ∅; + Nếu a = 0 và b ≤ 0 thì bất phương trình (1) có vô số nghiệm, tập nghiệm S = R. Bài toán 1.2. Giải và biện luận bất phương trình sau: m − 3x + 5 > 3mx + m2 . (1.2) Lời giải. Ta có (1.2) ⇔ 3(m + 1)x < −m2 + m + 5.  - Nếu m < −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là −m2 + m + 5 ; +∞ . 3(m + 1)  - Nếu m = −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là  R.  −m2 + m + 5 - Nếu m > −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là −∞; . 3(m + 1) Bài toán 1.3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau xác định với mọi x ≥ −3: p y= (m − 3)x + 2m − 5. Lời giải. Điều kiện để hàm số đã cho có nghĩa là: (m − 3)x + 2m − 5 ≥ 0 ⇔ (m − 3)x ≥ 5 − 2m. 9 (1.3) Hàm số đã cho xác định với mọi x ≥ −3 khi và chi khi:   m m = 3 = 3    m>3   m>3 ⇔   m−4 5 − 2m   ≤ −3 ≤0 m−3 ⇔ 3 ≤ m ≤ 4. m−3 Vậy với 3 ≤ m ≤ 4 thì hàm số đã cho xác định ∀x ≥ −3. 1.2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số • Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất một ẩn số. • Cách giải: + Giải từng bất phương trình của hệ; + Lấy giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình. Bài toán 1.4. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm: ( −x + 6 ≥ 0 (1.4.1) 3 − mx ≤ x + 4. (1.4.2) (1.4) Lời giải. - Giải bất phương trình (1.4.1) ta được tập nghiệm là (−∞; 6]. - Giải và biện luận bất phương trình (1.4.2): (1.4.2) ⇔ (m + 1)x ≥ −1. i  −1 + Nếu m < −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là −∞; . m+1 + Nếu m = −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là R. h −1  + Nếu m > −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là ; +∞ . m+1 Suy ra hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi     m > −1  m > −1  m > −1  ⇔ ⇔ −1 6m + 7   − 7 < m < −1 >6 <0 m+1 m+1 6 (vô nghiệm). Vậy không có giá trị nào của tham số m để hệ bất phương trình (1.4) vô nghiệm. 10 1.2.3 Bất phương trình bậc hai một ẩn số (i) Dấu của tam thức bậc hai Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng: f (x) = ax2 + bx + c trong đó a, b, c là những hệ số và a 6= 0. Định lý 1.3. (về dấu của tam thức bậc hai): Cho f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0), ∆ = b2 − 4ac (i) Nếu ∆ < 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R; b ; 2a (iii) Nếu ∆ > 0 thì f (x) có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2 ). (ii) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, ∀ x 6= − Khi đó: f (x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; f (x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 . (ii) Bất phương trình bậc hai một ẩn số • Bất phương trình bậc hai một ẩn số x là bất phương trình có dạng: ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là các hằng số và a 6= 0. • Cách giải: + Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái của bất phương trình; + Tìm x làm cho vế trái mang dấu thỏa mãn dấu của bất phương trình. Bài toán 1.5. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: mx2 + (m + 3)x + (m + 3) ≥ 0. Lời giải. - Nếu m = 0 thì bất phương trình (1.5) trở thành: 3x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 Suy ra m = 0 không thỏa mãn bài toán. - Nếu m 6= 0 thì bất phương trình (1.5) là bất phương trình bậc hai. Suy ra bất phương trình (1.5) nghiệm đúng với ∀x ∈ R khi và chỉ khi ( ( m>0 ∆ = (m + 3)2 − 4m(m + 3) ≤ 0 ( ⇔ m>0 m ≤ −3 ⇔ m>0 (m + 3)(3 − 3m) ≤ 0 ⇔ m ≥ 1. hoặc m ≥ 1 11 (1.5) Vậy với m ≥ 1 thì bất phương trình (1.5) nghiệm đúng với mọi x. 1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số • Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phương trình bậc hai một ẩn số. • Cách giải: + Giải từng bất phương trình của hệ; + Lấy giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình. Bài toán 1.6. (Đại học Cảnh sát - Khối D - 1999) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: ( x2 − 8x + 7 ≤ 0 (1.6.1) x2 − (2m + 1)x + m2 + m ≤ 0. (1.6.2) (1.6) Lời giải. - Giải bất phương trình (1.6.1) ta được tập nghiệm là [1; 7]. - Giải bất phương trình (1.6.2):
Vế trái của (1.6.2) có ∆ = (2m + 1)2 − 4 m2 + m = 1 > 0. Do đó, vế trái của (1.6.2) có hai nghiệm x1 = m, x2 = m + 1. Suy ra, bất phương trình (1.6.2) có tập nghiệm là [m; m + 1]. - Suy ra, hệ bất phương trình (1.6) có nghiệm khi và chỉ khi 1 ≤ m + 1 ≤ 8 ⇔ 0 ≤ m ≤ 7. Vậy với 0 ≤ m ≤ 7 thì hệ (1.6) có nghiệm. Bài toán 1.7. Tìm m để hệ bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: x2 − 2x + m 1 < 2 < 2. 2 x +x+1 (1.7) Lời giải.   1 2 3 Ta nhận thấy x2 + x + 1 = x + + > 0, ∀x. 2 4 Do đó ( (1.7) ⇔ x2 − 2x + m < 2(x2 2(x2 − 2x + m) > + x + 1) x2 +x+1 ( ⇔ 12 x2 + 4x + 2 − m > 0 x2 − 5x + 2m − 1 > 0. (1.7.1) (1.7.2) Suy ra hệ bất phương trình (1.7) nghiệm  đúng với mọi x khi và chỉ khi (  m < −2 ∆ = 4 − (2 − m) < 0 ∆ = 25 − 4(2m − 1) < 0 ⇔  m > 29 . 8 Vậy không có giá trị nào của m để hệ (1.7) nghiệm đúng với ∀x ∈ R. 1.2.5 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn số • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng: ax + by + c < 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0 trong đó a, b, c là những số cho trước: a2 + b2 6= 0 ; x và y là các ẩn. • Mỗi cặp số (x0 ; y0 ) sao cho ax0 + by0 + c < 0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0. • Nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by + c ≤ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0 cũng được định nghĩa tương tự. • Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm; tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình. Định lý 1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng (d) : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c > 0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm thỏa mãn bất phương trình ax + by + c < 0. • Từ định lý ta suy ra: + Nếu (x0 ; y0 ) là một nghiệm của bất phương trình ax+by+c < 0 (hay ax+by+c > 0) thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0 ; y0 ) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy; + Đối với các bất phương trình dạng ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. • Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0: (i) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng (d) : ax + by + c = 0. (ii) Xét một điểm M (x0 ; y0 ) không nằm trên (d) 13 + Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0; + Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0. 1.2.6 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số • Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn số. • Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. • Cách giải: Để xác định miền nghiệm của hệ ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: + Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ phần còn lại; + Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình của hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. • Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có liên quan chặt chẽ đến một số bài toán kinh tế. Trước khi xét đến ứng dụng này, ta sẽ xét bài toán về phương pháp tìm cực trị của biểu thức P (x; y) = ax + by trên một miền đa giác lồi. Bài toán 1.8. Cho biểu thức P (x; y) = ax + by (b 6= 0) và một miền đa giác lồi (S), kể cả biên, trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P (x; y) với (x; y) là tọa độ của các điểm thuộc (S). Lời giải. Tập hợp các điểm (x; y) để P (x; y) nhận giá trị p là đường thẳng a p ax + by = p hay y = − x + . b b (1.8) a b Đường thẳng có phương trình (1.8) có hệ số góc không đổi bằng − và cắt trục tung tai điểm M (0; m) với m = p b 14 a b Do đó ta ký hiệu đường thẳng: y = − x + m là (dm ) • Trường hợp 1: b > 0 Việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P (x; y) = p với (x; y) ∈ (S) được p b quy về tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của m = , tức là tìm điểm M ở vị trí thấp nhất (hay cao nhất) trên trục tung sao cho đường thẳng (dm ) có ít nhất một điểm chung với (S). Cụ thể như sau: +) Khi tìm giá trị nhỏ nhất của P (x; y), ta cho đường thẳng (dm ) chuyển động song song với (d0 ) từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền (S) và đi lên cho đến khi (dm ) lần đầu tiên đi qua một điểm (x0 ; y0 ) nào đó của (S). Khi đó m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P (x; y), đó là P (x0 ; y0 ) = ax0 + by0 . +) Khi tìm giá trị lớn nhất của P (x; y), ta cho đường thẳng (dm ) chuyển động song song với (d0 ) từ một vị trí nào đó ở phía trên miền (S) và đi xuống cho đến khi (dm ) lần đầu tiên đi qua một điểm (x0 ; y0 ) nào đó của (S). Khi đó m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của P (x; y), đó là P (x0 ; y0 ) = ax0 + by0 . • Trường hợp 2: b < 0 Ta có −P (x; y) = −ax − by với −b > 0. Suy ra, bài toán tìm giá trị nhỏ (hay lớn nhất) của P (x; y) sẽ trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của −P (x; y) = −ax − by với −b > 0 ,và bài toán này đã được giải quyết trong trường hợp 1. Chú ý: +) Qua cách làm trên ta thấy P (x; y) đạt giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) tại một đỉnh nào đó của đa giác (S). +) Điều kiện b 6= 0 trong bài toán trên có thể thay đổi thành điều kiện a, b không đồng thời bằng 0. Bài toán với điều kiện mới này so với bài toán trên chúng ta còn phải giải quyết thêm trường hợp a 6= 0, b = 0, và đây là trường hợp tương đối đơn giản. Bài toán 1.9. Một cơ sở sản xuất có thể làm được hai loại hàng I và hàng II, từ nguyên liệu A và B. Trữ lượng A và B hàng ngày theo thứ tự có được là 6 và 10 đơn vị. Để sản xuất một đơn vị hàng I cần 2 đơn vị nguyên liệu loại A và 3 đơn vị nguyên liệu loại B. Để sản xuất một đơn vị hàng II cần 1 đơn vị nguyên liệu loại A và 15 4 đơn vị nguyên liệu loại B. Giá bán một đơn vị hàng I và hàng II theo thứ tự là 2 và 5 đơn vị tiền tệ.Qua tiếp thị được biết, trong một ngày nhu cầu tiêu thụ hàng II không quá 2 đơn vị, nhu cầu hàng I hơn 2 lần hàng II không quá 1 đơn vị. Hỏi cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu đơn vị hàng mỗi loại để doanh thu lớn nhất. Lời giải. Gọi x, y lần lượt là số đơn vị hàng I và hàng II được sản xuất mỗi ngày. Theo giả thiết x, y phải thỏa mãn các điều kiện   0≤y≤2     0 ≤ x − 2y ≤ 1 (1.9)  0 ≤ 2x + y ≤ 6     0 ≤ 3x + 4y ≤ 10 Gọi tổng số tiền bán hàng I và hàng II mỗi ngày là c (đơn vị tiền tệ). Suy ra c = 2x + 5y . Bài toán đã cho trở thành: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình (1.9) sao cho c = 2x + 5y có giá trị lớn nhất. • Trước tiên ta tìm tập hợp (S) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (1.9). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta vẽ các đường thẳng: (f1 ) : y = 2 (f2 ) : x − 2y = 1 (f3 ) : x − 2y = 0 (f4 ) : 2x + y − 6 = 0 (f5 ) : 3x + 4y − 10 = 0 (f6 ) : y = 0 (f7 ) : 2x + y = 0 (f8 ) : 3x + 4y = 0 (d0 ) : 2x + 5y = 0 16 Từ đó ta tìm được miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình (1.9) là miền đa giác OABC (kể cả biên). • Theo bài toán (1.8), ta tìm được số tiền c đạt giá trị lớn nhất điểm A(2; 1). Vậy mỗi ngày cần sản xuất 2 đơn vị hàng I và 1 đơn vị hàng II thì sẽ đạt được doanh thu lớn nhất là 9 đơn vị tiền tệ. Bài toán 1.10. Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau: i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B; ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B; iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn 1 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị 2 vitamin A. Hãy tìm phương án để một người dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên mà số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Lời giải. Gọi x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà một người dùng mỗi ngày. Theo giả thiết x, y phải thỏa mãn các điều kiện  0 ≤ x ≤ 600      0 ≤ y ≤ 500 (1.10) 400 ≤ x + y ≤ 1000      1 x ≤ y ≤ 3x. 2 Gọi tổng số tiền mua hai loại vitamin A và B mỗi ngày là c (đồng). Suy ra c = 9x + 7, 5y . Bài toán đã cho trở thành: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình (1.10) sao cho c = 9x + 7, 5y có giá trị nhỏ nhất. • Trước tiên ta tìm tập hợp (S) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (1.10). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta vẽ các đường thẳng: (f1 ) : x = 600 (f2 ) : y = 500 17 (f3 ) : x + y − 1000 = 0 (f4 ) : x+y−400 = 0 (f5 ) : 3x−y = 0 (f6 ) : x−2y = 0 (d0 ) : 9x+7.5y = 0 Từ đó ta tìm được miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình (1.10) là miền đa giác ABCDEF (kể cả biên). • Theo bài toán (1.8), ta tìm được số tiền c đạt giá trị nhỏ nhất điểm (100; 300). Vậy phương án để dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện của bài toán mà số tiền phải trả ít nhất đó là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B mỗi ngày, và chi phí mỗi ngày là 3150 đồng. 1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng Đối với các hệ bất phương trình đối xứng ta có thể giải theo một trong hai phương pháp sau: • Phương pháp 1: sử dụng phương pháp đồ thị; • Phương pháp 2: phương pháp biểu diễn nghiệm thông qua tham số, và phương pháp này được gọi là phương pháp tham biến. Bài toán 1.11. (Olympic 30 tháng 4, lần thứ XIII, 2007. Lớp 10, Trường THPT Phan Chu Trinh - Đà Nẵng đề nghị) Giải hệ bất phương trình sau: ( x2 + y 2 > 4 x2 + y 2 − 2x − 2y ≤ 0. Lời giải. 18 (1.11) ( x2 + y 2 > 22 (1.11.1) (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2 (1.11.2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta vẽ hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) có phương trình Ta có (1.11) ⇔ như sau (C1 ) : x2 + y 2 = 22 ; (C2 ) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = √
2 2 Từ đó ta có, trong mặt phẳng tọa độ Oxy : • Những điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn bất phương trình (1.11.1) là những điểm ở ngoài đường tròn (C1 ); • Những điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn bất phương trình (1.11.2) là những điểm ở trong đường tròn (C2 ), kể cả những điểm trên đường tròn (C2 ) ; Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình (1.11) là vùng được in đậm trên hình vẽ và không nằm trên đường tròn (C1 ). Bài toán 1.12. (theo Olympic 30 tháng 4, lần thứ XV, 2009. Lớp 10, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam) Giải bất phương trình sau: ( x+y ≤4 x2 + y 2 + xy = 12 Lời giải. 19 . (1.12)