Tài liệu Bất đẳng thức trong kỳ thi olimpic các nước và khu vực

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI OLYMPIC CÁC NƯỚC VÀ KHU VỰC NGUYỄN VĂN QUÝ SV khoa Toán, trường ĐHKHTN Hà Nội Hà Nội - 2014 1 www.VNMATH.com I. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN. Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b, c, d q ∑ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 2(ab + bc + cd + da + ac + bd) − k. cyc Iran Team Selection Test 2011 Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ √ √ √ a a b b c c 3( a + b + c ) ≤ + + . bc ca ab Iran Team Selection Test 2012 Bài 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a ≥ b ≥ c. Chứng minh rằng q q q √ √ √ a( a + b − ab) + b( a + c − ac) + c(b + c − bc) ≥ a + b + c. Iran Team Selection Test 2013 Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng  2 1 1 1 1 7 1 1 1 1 + + + ≥ . + + + 25 a b c a + b + c a2 b2 c2 ( a + b + c )2 Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2010 Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng 3− √ 3+ x 2 y2 z2 + + ≥ ( x + y + z )2 . y z x Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2010 Bài 6. Cho các số thực không âm x, y, z, t thỏa mãn | x − y| + |y − z| + |z − t| + |t − x | = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y2 + z2 + t2 . Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2011 Bài 7. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng b c 3( a2 + b2 + c2 ) a + + ≤ . 1 + ( b + c )2 1 + ( c + a )2 1 + ( a + b )2 a2 + b2 + c2 + 12abc 2 Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2011 Bài 8. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm hằng số Cn lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a1 , a2 , ..., an a21 + a22 + · · · + a2n ≥ n  a1 + a2 + · · · + a n n 2 + Cn ( a1 − an )2 . Middle European Mathematical Olympiad 2010 Bài 9. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn rằng √ a+ √ b+ 2 √ c a b c + + = 2. Chứng minh 1+a 1+b 1+c 1 1 1 ≥√ +√ +√ . a c b Middle European Mathematical Olympiad 2011 Bài 10. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng p p p 9 + 16a2 + 9 + 16b2 + 9 + 16c2 ≥ 3 + 4( a + b + c). Middle European Mathematical Olympiad 2012 Bài 11. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 . + + ≥ 3 a5 (b + 2c)2 b5 (c + 2a)2 c5 ( a + 2b)2 USA Team Selection Test 2010 Bài 12. Cho tam giác ABC có h a , hb , hc theo thứ tự là độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C. Giả sử P là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh rằng PA PB PC + + ≥ 1. hb + hc hc + h a h a + hb USA Team Selection Test 2010 √ √ √ 7 Bài 13. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 7 a + b + 7 c. Chứng minh rằng a a bb cc ≥ 1. USA ELMO 2013 Bài 14. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng ( a − b)( a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) + + ≥ 0. 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + ( a + b)2 3 www.VNMATH.com USA ELMO Shortlist 2010 Bài 15. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng s s s a4 + 2b2 c2 b4 + 2c2 a2 c4 + 2a2 b2 + + ≥ a + b + c. a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab USA ELMO Shortlist 2010 Bài 16. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm hằng số c = c(n) lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a1 , a2 , ..., an thỏa mãn a1 + a2 + · · · + an = n : 1 1 n 1 + +···+ ≤ . 2 2 2 n+c n + can n + ca1 n + ca2 USA ELMO Shortlist 2011 √ Bài 17. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Với k = 2 + 3, chứng minh rằng q ∑ ( xy + kx + ky)( xz + kx + kz) ≥ k2 . cyc USA ELMO Shortlist 2011 Bài 18. Cho các số thực x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 khác 0 thỏa mãn x1 + x2 + x3 = y1 + y2 + y3 = 0. Chứng minh rằng x1 x2 + y1 y2 q ( x12 + y21 )( x22 + y22 ) +q x2 x3 + y2 y3 ( x22 + y22 )( x32 + y23 ) +q x3 x1 + y3 y1 3 ≥− . 2 ( x32 + y23 )( x12 + y21 ) USA ELMO Shortlist 2011 Bài 19. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a ≤ b ≤ c và a + b + c = 1. Chứng minh rằng √ a+c b+c a+b 3 6( b + c )2 √ . +√ +√ ≤p ( a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) a2 + c2 b2 + c2 a2 + b2 USA ELMO Shortlist 2012 Bài 20. Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng ( a2 + 2bc)2012 + (b2 + 2ca)2012 + (c2 + 2ab)2012 ≤ ( a2 + b2 + c2 )2012 + 2( ab + bc + ca)2012 . USA ELMO Shortlist 2012 4 Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c đôi một khác nhau và số nguyên k ≥ 3. Chứng minh rằng  k +1   a ( b − c ) + b k +1 ( c − a ) + c k +1 ( a − b )    ≥ k + 1 ( a + b + c ),   k k k 3( k − 1) a (b − c) + b (c − a) + c ( a − b)  k +2   a ( b − c ) + b k +2 ( c − a ) + c k +2 ( a − b )    ≥ (k + 1)(k + 2) ( a2 + b2 + c2 ).   k k k 3k (k − 1) a (b − c) + b (c − a) + c ( a − b) USA ELMO Shortlist 2012 Bài 22. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 1 a + 1b + 1 + 1 b + 1c + 1 + 1 c + 1a + 1 ≥√ 3 3 abc + 1 √ 3 abc +1 . USA ELMO Shortlist 2013 Bài 23. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca + 1 a2 + b2 + c2 = . ab + bc + ca 2 Chứng minh rằng p a2 + b2 + c2 ≤ 1 + | a − b| + |b − c| + |c − a| . 2 USA ELMO Shortlist 2013 Bài 24. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 ab + bc + ca 5 + + + ≥ . (3 − a)(4 − a) (3 − b)(4 − b) (3 − c)(4 − c) 9 6 USA ELMO Shortlist 2013   Bài 25. Cho các số thực a, b, c ∈ 0, 1 và a + b, b + c, c + a ≥ 1. Chứng minh rằng √ 2 2abc 2 2 2 1 ≤ (1 − a ) + (1 − b ) + (1 − c ) + √ . a2 + b2 + c2 USA TSTST 2011 Bài 26. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1. Chứng minh rằng s  s s   2 2 2 1  1+x 1+y 1+z  x + y + z 5/8 + + ≤ . 3 1+x 1+y 1+z 3 5 www.VNMATH.com USA TSTST 2012 Bài 27. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng r   2 2 2 2 1 2 2 1 1 4 ( a + b )( a − ab + b ) 2 2 . ≤ (a + b + c ) + + ∑ 2 3 a+b b+c c+a cyc Turkey Team Selection Test 2010 Bài 28. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 ≥ 3. Chứng minh rằng 3 ( a + 1)(b + 2) (b + 1)(c + 2) (c + 1)( a + 2) + + ≥ . (b + 1)(b + 5) (c + 1)(c + 5) ( a + 1)( a + 5) 2 Turkey Team Selection Test 2011 Bài 29. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 1. Chứng minh rằng   √ 1 1 1 a + b + c + 3 ≥ 8abc + + . a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 Turkey Team Selection Test 2012 Bài 30. Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn −2 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 + xyz = 4, tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng z( xz + yz + y) ≤ k. xy + y2 + z2 + 1 Turkey Team Selection Test 2013 Bài 31. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng √ √ √ a + b + a + c + b + c ≥ 5abc + 2. Turkey Team Selection Test 2014 Bài 32. Cho n số thực dương a1 , a2 , ..., an thỏa mãn a1 a2 · · · an = 1. Chứng minh rằng n ∑q i =1 ai ≤ a4i + 3 1 n 1 . 2 i∑ a =1 i Turkey National Olympiad Second Round 2011 Bài 33. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng 1 x + y20 + z11 + 1 y + z20 + 6 x11 + 1 z+ x20 + y11 ≤ 1. Turkey National Olympiad Second Round 2011 Bài 34. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng x (2x − y) y(2y − z) z(2z − x ) + + ≥ 1. y(2z + x ) z(2x + y) x (2y + z) Turkey National Olympiad Second Round 2012 Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất của M sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a, b, c a3 + b3 + c3 − 3abc ≥ M( ab2 + bc2 + ca2 − 3abc). Turkey National Olympiad Second Round 2013 Bài 36. Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh rằng a2 b2 ( a2 + b2 − 2) ≥ ( a + b)( ab − 1). Turkey Junior National Olympiad 2010 Bài 37. Cho hai số thực dương x, y. Chứng minh rằng 1≤ ( x + y)( x3 + y3 ) 9 ≤ . 2 2 2 8 (x + y ) Turkey Junior National Olympiad 2011 Bài 38. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = a4 + b4 + c4 . Chứng minh rằng b c a + 2 + 2 ≥ 1. 2 3 3 3 3 a +b +c b +a +c c + a3 + b3 Turkey Junior National Olympiad 2012 Bài 39. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |( x − y)(y − z)(z − x )|. Turkey Junior National Olympiad 2013 Bài 40. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng 1 + yz + zx 1 + zx + xy 1 + xy + yz + + ≥ 1. 2 2 (1 + x + y ) (1 + y + z ) (1 + z + x )2 Japan Mathematical Olympiad Finals 2010 7 www.VNMATH.com Bài 41. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 3abc. Chứng minh rằng s s s 2 2 2 2 √ √ √ √ a +b b +c c2 + a2 + + + 3 ≤ 2( a + b + b + c + c + a ). a+b b+c c+a India International Mathematical Olympiad Training Camp 2010 Bài 42. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 6, a2 + b2 + c2 + d2 = 12. Chứng minh rằng 36 ≤ 4( a3 + b3 + c3 + d3 ) − ( a4 + b4 + c4 + d4 ) ≤ 48. IMO Shortlist 2010, India International Mathematical Olympiad Training Camp 2011 Bài 43. Cho tam giác nhọn ABC có r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác trong. Chứng minh rằng EF FD DE r + + ≥ 1+ . BC CA AB R India International Mathematical Olympiad Training Camp 2012 Bài 44. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực a1 , a2 , ..., an thỏa mãn a21 + a22 + · · · + a2n = n. Chứng minh rằng n 1 ≤ . n − ai a j 2 1≤ i < j ≤ n ∑ Asian Pacific Mathematical Olympiad 2012 Bài 45. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng x ( x + 2) y ( y + 2) z ( z + 2) + + 2 ≥ 0. 2x2 + 1 2y2 + 1 2z + 1 Romania Team Selection Test 2011 Bài 46. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực dương x1 , x2 , .., xn thỏa mãn n 1 ∑ xi + 1 = 1. i =1 Chứng minh rằng với k > 1, ta có n n 1 ∑ x k + 1 ≥ ( n − 1) k + 1 . i =1 i 8 Romania Team Selection Test 2011 Bài 47. Cho số nguyên dương k và các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3k. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a3k−1 b + b3k−1 c + c3k−1 a + k2 ak bk ck . Romania Team Selection Test 2012 Bài 48. Cho các số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da + ac + bd = 6. Chứng minh rằng a2 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 ≥ 2. +1 b +1 c +1 d +1 Brazil Olympic Revenge 2013 Bài 49. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 3≤ 33 4a + b 4b + c 4c + a + + < . a + 4b b + 4c c + 4a 4 Germany Team Selection Test 2010 Bài 50. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn abcd = 1. Chứng minh rằng 9 25 1 1 1 1 + + + + ≥ . a b c d a+b+c+d 4 China Girls Mathematical Olympiad 2011 Bài 51. Cho các số thực dương x1 , x2 , ..., xn+1 thỏa mãn x1 x2 ...xn+1 = 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ √ √ n n n x1 n + x2 n + · · · + x n +1 n ≥ n x 1 + n x 2 + · · · + n x n +1 . Iran Team Selection Test 2014 Bài 52. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 . Chứng minh rằng  ( x − y)(y − z)(z − x ) 2   ≤ 2 ( x 2 − y2 )2 + ( y2 − z2 )2 + ( z2 − x 2 )2 . Iran Team Selection Test 2014 9 www.VNMATH.com Bài 53. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2( xy + yz + zx ). Chứng minh rằng p x+y+z ≥ 3 2xyz. 3 Iran National Math Olympiad (Second Round) 2014 Bài 54. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng q p p p 2 2 2 2 2 2 a + ab + b + b + bc + c + c + ca + a ≤ 5( a2 + b2 + c2 ) + 4( ab + bc + ca). Tajikistan Team Selection Test 2014 Bài 55. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 ( a + b) = 0. Chứng minh rằng ab + bc + ca ≤ 0. Israel National Math Olympiad 2011 Bài 56. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có a5 b5 c5 ( a + 1)5 ( b + 1)5 ( c + 1)5 + + ≥ + + . b5 c5 a5 ( b + 1)5 ( c + 1)5 ( a + 1)5 Israel National Math Olympiad 2011 Bài 57. Cho { a1 , a2 , ..., an } ⊂ (0, 1). Chứng minh rằng an a2 1 1 a1 + ... + + + ≥ 2+ . 1 − a1 1 − a2 1 − an a1 + a2 + ... + an n Israel Winter Camp 2011 Bài 58. Cho các số thực dương x1 , x2 , ..., xn thỏa mãn x1 + x2 + ... + xn = n. Chứng minh rằng x1 x2 xn 4 + + ... + ≤ + n − 4. x2 x3 x1 x1 x2 · ... · xn Israel National Math Olympiad 2012 Bài 59. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho bất đẳng thức q x12 + x22 + ... + xn2 ≥ k · min{| x1 − x2 |, | x2 − x3 |, ..., | xn − x1 |}, đúng với mọi số thực x1 , x2 , ..., xn . Israel National Math Olympiad 2013 10 Bài 60. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + c2 + d2 = 4. Chứng minh rằng a b c d 2 + + + ≤ + 2. b c d a abcd Israel Winter Camp 2013 Bài 61. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 1 1 1 + 2 + 2. 2 a b c Chứng minh rằng 2( a + b + c ) ≥ p 3 7a2 b + 1 + p 3 7b2 c + 1 + p 3 7c2 a + 1. Middle European Mathematical Olympiad 2013 Bài 62. Cho các số thực x, y, z, w khác 0 thỏa mãn x + y 6= 0, z + w 6= 0, và xy + zw ≥ 0. Chứng minh rằng     x z + w −1 1 z  −1 y w −1 x+y + + ≥ + + + . z+w x+y 2 z x w y Middle European Mathematical Olympiad 2013 Bài 63. Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f thỏa mãn a < b < c < d < e < f . Đặt a + c + e = S và b + d + f = T. Chứng minh rằng q   2ST > 3(S + T ) S(bd + d f + f b) + T ( ac + ce + ea) . IMO Shortlist 2010 √ Bài 64. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn min{ a + b, b + c, c + a} > 2 và a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng b c 3 a + + ≥ . ( b + c − a )2 ( c + a − b )2 ( a + b − c )2 ( abc)2 IMO Shortlist 2011 Bài 65. Cho a2 , a3 , ..., an là n − 1 số thực dương thỏa mãn a2 a3 · · · an = 1. Chứng minh rằng (1 + a2 )2 (1 + a3 )3 · · · (1 + a n ) n > n n . IMO 2012 Bài 66. Chứng minh rằng với mọi số thực x, bất đẳng thức sau luôn đúng 1 max{| sin x |, | sin( x + 2010)|} > √ . 17 11 www.VNMATH.com Moldova Team Selection Test 2010 Bài 67. Cho p ∈ R+ và k ∈ R+ . Giả sử đa thức F ( x ) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + k4 với các hệ số thực có 4 nghiệm âm. Chứng minh rằng F ( p ) ≥ ( p + k )4 . Moldova Team Selection Test 2010 Bài 68. Cho các số thực dương x1 , x2 , ..., xn thỏa mãn x1 + x2 + · · · + xn = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xn x3 x2 +···+ p . +p E = x1 + q 2 1 − ( x1 + x2 ) 1 − ( x 1 + x 2 + · · · + x n −1 )2 1 − x12 Moldova Team Selection Test 2010 Bài 69. Cho các số thực dương x1 , x2 , ..., xn thỏa mãn x1 x2 · · · xn = 1. Chứng minh rằng 1 x1 ( x1 + 1) + 1 x2 ( x2 + 1) +···+ 1 x n ( x n + 1) ≥ n . 2 Moldova Team Selection Test 2011 Bài 70. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá giá trị của biểu thức: s r r 2 22 3 n2 3 + 1+ +···+ n 1+ . E = 1+ 1+ 3! 4! ( n + 1) ! Moldova Team Selection Test 2011 Bài 71. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta luôn có x y z z( x + y) x (z + y) y( x + z) + + ≥ + + . y z x y(y + z) z( x + z) x ( x + y) Moldova Team Selection Test 2013 Bài 72. Chứng minh rằng với mọi số thực dương ai , bi , ci , (i = 1, 2, 3), ta luôn có ( a31 + b13 + c31 + 1)( a32 + b23 + c32 + 1)( a33 + b33 + c33 + 1) 3 ≥ . ( a1 + b1 + c1 )( a2 + b2 + c2 )( a3 + b3 + c3 ) 4 Moldova Team Selection Test 2013 Bài 73. Cho tam giác tù ABC với BC = a, Ca = b, AB = c. Chứng minh rằng a3 cos A + b3 cos B + c3 cos C < abc. Moldova Team Selection Test 2013 12 Bài 74. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng   5 1 1 1 > ( xy + yz + xz) + + . 2 x 2 + y2 y2 + z2 z2 + x 2 Moldova Team Selection Test 2013 Bài 75. Cho a, b ∈ R+ thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p p E( a, b) = 3 1 + 2a2 + 2 40 + 9b2 . Moldova Team Selection Test 2014 Bài 76. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực x1 , x2 , .., xn thỏa mãn 0 < x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn 2 và x1 + x2 + · · · xn = 1. Chứng minh rằng nếu xn ≤ thì tồn tại k sao cho 1 ≤ k ≤ n và 3 1 2 ≤ x1 + x2 + ... + xk < . 3 3 Moldova Team Selection Test 2014 Bài 77. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E( a, b, c) = a3 + 5 b3 + 5 c3 + 5 + + . a3 ( b + c ) b3 ( c + a ) c3 ( a + b ) Moldova Team Selection Test 2014 Bài 78. Tìm giá trị lớn nhất của số thực k sao cho bất đẳng thức a b c 1 + + ≥ , 2 2 2 2 1 + 9bc + k (b − c) 1 + 9ca + k (c − a) 1 + 9ab + k( a − b) đúng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Japan Mathematical Olympiad Finals 2014 Bài 79. Cho số nguyên n > 2 và các số thực dương a1 , a2 , ..., an thỏa mãn a1 + a2 + · · · + an = 1. Chứng minh rằng a2 · a3 · · · · · a n a · a · · · · · an a · a · · · · · a n −1 1 . + 1 3 +···+ 1 2 ≤ a1 + n − 2 a2 + n − 2 an + n − 2 ( n − 1)2 Mediterranean Mathematics Olympiad 2010. Bài 80. Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f . Chứng minh rằng s r q abc de f 3 3 + < 3 ( a + b + d)(c + e + f ). a+b+d c+e+ f 13 www.VNMATH.com European Mathematical Cup 2012 Bài 81. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c ab bc ca + + ≥ + + . 1+b+c 1+c+a 1+a+b 1+a+b 1+b+c 1+c+a Chứng minh rằng √ √ √  a2 + b2 + c2 ab + bc + ca . +a+b+c+2 ≥ 2 ab + bc + ca European Mathematical Cup 2013 Bài 82. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 + + ≥ . 2 2 2 2 a+b b+c c+a Croatia Team Selection Test 2011 Bài 83. Cho số nguyên dương k. Tìm hằng số Dk lớn nhất sao cho bất đẳng thức: ( abc)2 + (bcd)2 + (cda)2 + (dab)2 ≤ Dk , đúng với mọi số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn ak + bk + ck + dk = 4. Croatia Team Selection Test 2013 14