Tài liệu Bài toán tính thể tích khối đa diện

A – ĐĂĂT VẤN ĐÊ 1 - Lý do chọn đề tài + Nhiê êm vụ và mục tiêu của môn Toán nói chung và phân môn Hình học nói riêng là phát huy tính tích cực của học sinh tăng cường khả năng tự học, tự khám phá, khơi dạy lòng say mê khoa học. Do đó người dạy phải tích cực đổi mới phương pháp dạy và học môn Toán ở trường THPT, tích cực hóa hoạt đô nê g học tâ pê của học sinh, tâ êp trung rèn luyê nê khả năng tự học, tự phát hiê ên và giải quyết vấn đề, nhằm từng bước hình thành cho học sinh khả năng tư duy tích cực, đô cê lâ êp sáng tạo, phân tích và tổng hợp mô tê vấn đề. Để có được điều đó, trong giảng dạy người thầy giáo phải thường xuyên tự bồi dưỡng, học hỏi nâng cao trình đô ê của bản thân, trong bài giảng phải phải giúy học sinh nắm được các kiến thức cơ bản, trọng tâm, thúc đẩy sự tìm tòi, khám phá của người học, tạo hướng thú học tâ êp và rèn luyê nê cho các em những ky năng giải toán cần thiết phải có. + Hình học không gian là mô êt môn học giầu tính trìu tượng, môn học khó nhưng cũng nhiều lý thú và thiết thực với thực tế đời sống con người. Nó được đưa vào chương trình phổ thông từ lâu, để hiểu và vâ ên dụng được kiến thức hình học ngoài lòng say mê thì cần phải có tính can đảm vượt khó và học tâ pê mô êt cách bài bản khoa học. Hình học không gian khó còn do các phương tiê ên, mô hình dạy học để hỗ trợ trí tưởng tượng không gian còn thiếu. Thực tế nhiều năm giảng dạy đa số các em còn ngại và sợ khi học môn này, dù biết trong cấu trúc chương trình thi tốt nghiê êp THPT, BT.THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN đều có nô iê dung này. Vâ êy để góp phần nhỏ bé giúy các em nắm được các kiến thức cơ bản và vâ ên dụng vào giải các bài tâ pê hình học không gian; góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiê m ê : “ Bài toán tính thể tích khối đa diê n Ă ” nhằm giúy học sinh nắm được kiến thức cơ bản, các bước giải, kiến thức được vâ nê dụng khi giải các bài dạng toán này. 2 – Phạm vi nghiên cứu của đề tài: + Xây dựng hê ê thống và phân loại các bài tâ pê tính thể tích khối đa diê ên từ dể đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, giúy học sinh lớp 12 hiểu và nắm vững kiến thức phần này. + Hình thành phương pháp và các bước giải các dạng bài tâ pê đó. + Rèn cho học sinh ky năng huy đô nê g, vâ ên dụng kiến thức đã học để giải toán. + Đưa ra mô êt số bài tâ pê tự luyê ên nhằm cũng cố cho học sinh ky năng vâ ên dụng khi gă pê dạng toán tính thể tích khối đa diên. 3 – Đối tượng, thời gian nghiên cứu đề tài: + Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm là học sinh lớp 12 GDTX năm học 2011-2012. 4- Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết hình học không gian, phương pháp tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, khối hô êp. Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán, đă êc biê êt là phương pháp giảng dạy bài tâ pê toán. + Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiê êp, dự giờ đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu sự phản hồi từ học sinh. + Phương pháp thực nghiệm: thực hiện kiểm tra đánh giá ở các lớp 12A1, 12A4 sau quá trình học tập. 5 – Giá trị sử dụng của đề tài: + Học sinh lớp 11, 12 THPT, BT.THPT. + Học sinh ôn thi tốt nghiê êp, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN. + Giáo viên giảng dạy môn Toán lớp 12 ban cơ bản. B – NÔĂI DUNG ĐÊ TÀI 1. Cơ sở lý luâ ân: 2 + Bài tập toán có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao kiến thức phần lý thuyết còn thiếu do thời lượng phân phối chương trình quy định. + Bài tập toán giúy học sinh hiểu sâu hơn lý thuyết, cũng cố rèn luyện cho học sinh ky năng giải toán, ky năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn … + Bài tập toán còn giúy cho học sinh phát triển tư duy tích cực, tạo tiền đề nâng cao năng lực tự học, cũng cố khả năng sử dụng ngôn ngữ, cách trình bày lời giải, khả năng khám phá và tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu quả. + Thông qua bài tập toán giáo viên giảng dạy có một kênh thông tin thu thập, đánh giá chính xác năng lực học tập của học sinh. 2. Cơ sở thực tiễn. + Các bài toán về tính thể tích của khối đa diê ên thường xuất hiê ên trong các đề thi tốt nghiê êp THPT, BT.THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN, đồng thời đây là mô tê trong ba chương của chương trình hình học khối 12. + Đối với học sinh phần này là kiến thức khó, khi học chương này học sinh thường sợ và đạt kết quả thấp. + Đối với giáo viên tâm lý là ngại dạy phần này, không có hứng thú, say mê tìm hiểu dẫn đến giảng dạy “ tối ngày đầy công”. Vì vậy hiệu quả, chất lượng giảng dạy phần này còn thấp chưa đạt mục tiêu chương trình. Từ đòi hỏi của thực tiễn và lý luận và đòi hỏi của mục tiêu giáo dục, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “ Bài toán tính thể tích khối đa diện”. 3. Các biện pháp tiến hành: + Trong chương trình cơ bản môn Hình học lớp 12: chương I: khối đa diê ên có 11 tiết, chia làm 3 bài: bài 1: Khái niê êm về khối đa diê ên; bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đề; bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diê ên. + Nô iê dung của chương I có 2 nội dung chính: - Trình bày khái niệm về khối đa diện. Trong phần này trước hết cho học sinh làm quen với các khối đa diện cụ thể: khối chữ nhật, khối lăng trụ, khối 3 chóp. Sau đó trình bày khái niệm về khối đa diện tổng quát, phân chia và lắp ghép các khối đa diện, khối đa diện lồi và khối đa diện đều. - Trình bày khái niệm về thể tích khối đa diện. Phần này ta chỉ chứng minh công thức thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước là các số nguyên dương, sau đó công nhận rằng công thức trên cũng đúng với hình hộp chữ nhật có ba kích thước là các số dương. Tiếp đó, ta công nhận công thức tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp bất kỳ. + Yêu cầu của chương này là: - Nhận biết được thế nào là một khối đa diện, khối đa diện đều, biết thực hiện phân chia và lắp ghép các khối đa diện. - Hiểu được khái niệm về thể tích khối đa diện. - Hiểu và nhớ được các công thức thể tích của khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, khối chóp, vận dụng được chúng vào việc giải các bài toán về thể tích khối đa diện. Nhằm đạt được yều cầu trên, một trong những giải pháp góp phần giúy học sinh hiểu và giải được các bài toán tính thể tích khối đa diện trong kỳ thi tốt nghiệp THPT, BT.THPT, các kỳ tuyển sinh, tôi xây dựng hệ thống bài tập tính thể tích khối đa diện áp dụng cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khi học chương này. Bài tập tính thể tích khối đa diên chia làm 4 nội dung chính. Đó là tính thể tích trực tiếp bằng công thức, tính thể tích gián tiếp qua việc lắp ghép hình, bài toán tổng hợp và bài tập tương tự (về nhà tự giải). Dạng toán tính thể tích trực tiếp rèn cho học sinh cách xác định đường cao, ky năng vận dụng kiến thức để tính đường cao, diện tích đáy từ đó suy ra thể tích. Dạng toán tính thể tích gián tiếp rèn cho học sinh biết phân chia hoặc sử dụng các công cụ có liên quan đưa về bài toán cơ bản. Dạng toán tổng hợp là sự vận dụng linh hoạt các phương pháp trên đưa được lời giải ngắn gọn, chính xác. Bài tập tương tự về nhà giúy các em tự rèn luyện, cũng cố thêm các ky năng đã có. 4 a- Tính thể tích khối đa diê ên vâ ên dụng trực tiếp công thức tính thể tích: + Khi áp dụng công thức thông thường yêu cầu: 1) Xác định chính xác đường cao của khối đa diê ên. 2) Tính được độ dài đường cao và diện tích mặt đáy. 3) Tính thể tích của khối đa diê ên. Mô êt số kiến thức cần nhớ để xác định đường cao khối đa diê ên: - Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy. - Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy. - Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy. - Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy. - Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mă êt phẳng đó Tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý - Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông. - Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định. Sau đây là các bài tâ êp minh họa Bài1 Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó. Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp: Vì tam giác ABC đều, các cạnh bên tạo với đáy góc 60 0 nên chân đường cao của hình chóp hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm của đáy ( tâm đáy là giao điểm 3 đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác …. ). - Tính đường cao và diê ên tích đáy và thể tích hình chóp: 5 Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy S A B E D C Khi đó 2 AE = 3 AD = a 3 3 Ta có  SAD = 600 nên SE = AE.tan600 = a SABC = a2 3 4 Do đó VSABC = 1 3 SE.SABC = a3 3 12 Bài 2 Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a, BC=6a, CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA cùng tạo với đáy một góc 60 0. Tính thể tích của khối chóp đó. Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp: Theo trên thì hình chóp có các mă êt bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nô iê tiếp đáy. - Tính đường cao và diê ên tích đáy và thể tích hình chóp: Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy 6 S B A D k C Ta có p= Nên SABC = AB  BC  CA 2 = 9a p ( p  a )( p  b)( p  c ) mặt khác SABC = pr  r = trong  SDK có S p = = 6a2. 6 2 a 6 3 SD = KD tan600 = r. tan600 = 2a. 1 Do đó VSABC= 3 SD.SABC=8a3. 2 3 Bài 3 Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600 Đáy là tam giác cân ABC có AB = AC = a và  BAC=1200. Tính thể tích khối chóp đó. Bài giải - Xác định dường cao hình chóp: Vì các cạnh bên bằng nhau nên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp. S A C O B O - Tính đường cao và diê ên tích đáy và thể tích hình chóp: 7 Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Có SO chính là đường cao SABC = 1/2.AB.AC.sin1200 = a2 3 4 và BC= 2BD = 2.ABsin600=a. 3 OA=R= a.b.c 4s =a  SO = OA.tan600 = a. 1 3 Do vậy VSABC = 3 SO.SABC=1/4a3. Bài 4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh2a SA=a, SB=a 3 và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp S.BMDN Bài giải S D A H M B N C - Xác định đường cao hình chóp: Hạ SH  AB tại H thì SH chính là đường cao - Tính đường cao và diê ên tích đáy và thể tích hình chóp: SADM = 1/2AD.AM = a2 SCDN = 1/2.CD.CN = a2 Nên SBMDN = SABCD - SADM - SCDN = 4a2 -2a2=2a2. mặt khác 1 1 1 SA 2 .SB 2    SH = SH 2 SA 2 SB 2 SA 2  SB 2 = a 3 2 8 Do đó 1 VSBMDN = 3 .SH.SBMDN = a3 3 3 Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D; AB = AD = 2a, CD = a. Góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp (SBI), (SCI) cùng vuông góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp: Giao tuyến SI của hai mp (SBI), (SCI) chính là đường cao của hình chóp. - Tính đường cao và diê ên tích đáy và thể tích hình chóp: S B J A H I C D Gọi H trung điểm của BC, J là trung điểm AB. Ta có SI  mp(ABCD) IC = ID 2  DC 2 IB = IA 2  AB 2 =a =a 2 5 và BC = CJ 2  JB 2 =a 5 SABCD = 1/2AD(AB+CD) = 3a2 SIBA = 1/2.IA.AB = a2 và SCDI = 1/2.DC.DI = 1/2.a2 2  SIBC = SABCD - SIAB - SDIC = 3a 2 1 mặt khác SIBC = 2 .IH.BC nên IH = 2 S IBC 3 3  a BC 5 9 SI = IH.tan600 = Do đó VABCD = 9. 3 a. 5 1 3 3 15 5 SI.SABCD = a3 Bài 6 Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a,  ASB= 600,  CSB=900,  CSA=1200 Tính thể tích chóp SABC. Bài giải - Xác định đường cao của hình chóp : S C E A D B Gọi E, D lần lượt là AC, BC  SAB đều AB = a,  SBC Vuông BC = a.  SAC có AE = SA.sin600 = 2 a 3  AC = a 2 3 và SE = SAcos600 = 1 2 a.   ABC có AC2 = BA2+BC2 = 3a2 vậy  ABC vuông tại B, nên SE là đường cao của hình chóp SABC. - Tính đường cao và diê ên tích đáy và thể tích hình chóp: Có SABC = 1 2 .BA.BC =  SBE có BE = 1 2 a2 2 2 AC = a 3 2 SB2 = BE2+SE2 = a2 nên BE  SE AC  SE 10 Do đó SE chính là đường cao 1 VSABC = 3 SE.SABC = 2 3 a 12 Bài 7 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a,  ACB = 600. Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1) một góc 300. Tính thể tích hình lăng trụ. Bài giải Ta có hình vẽ: A B C A1 B1 C1 - Xác định đường cao của hình lăng trụ: Vì ABC.A1B1C1 là khối lăng trụ đứng nên CC1 là đường cao của lăng trụ. - Tính đường cao và diê ên tích đáy và thể tích hình lăng trụ: Trong tam giác ABC có AB = AC.tan600 = a 3 AB  AC và AB  A1A Nên AB  mp(ACC1A) do đó  AC1B = 300 và AC1 = AB.cot300=3a. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ACC1: CC1 = 2 AC1  AC 2 = 2a 2 Do vậy V = CC1.SABC = 2a 2 1 . 2 .a.a 3 = a3 6 Bài 8 11 Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhâ êt với AB = và AD = 7 3 . Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy các góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1. Bài giải F B1 A1 D1 C1 B N A M H C D - Xác định đường cao của khối hô pê : Gọi H là hình chiếu của A1 lên mp(ABCD), H là chân đường cao của khối hô êp ABCD.A1B1C1D1 . - Tính đường cao, diê ên tích đáy và thể tích khối hô pê : Từ H hạ HM  AD tại M và HN  AB tại N Theo gt   A1MH=600 và  A1NH = 450 2x x 0 = 3 sin 60 Đặt A1H = x (x>0) ta có A1M = tứ giác AMHN là hình chữ nhâ êt ( góc A,M,N vuông ) Nên HN = AM mà AM = Mặt khác Suy ra AA  A1 M 2 1 2 = 3  4x 2 3 trong tam giác A1HN có HN = x.cot450 x = 3  4x 2 3 hay x = 3 7 vậy VHH = AB.AD.x= 3. b - Tính thể tích khối đa diê ên theo cách gián tiếp: Ta phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện (chóp tam giác) 12 Kiến thức cần lưu ý: Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy lần lượt ba điểm A1, B1, C1 khác với S thì V A1B1C11 V ABC  SA1 SB1 SC1 . SA SB SC Bài 1 Cho hình chóp SABC có SA=a, SB=2a, SC=3a và  BSA=600,  ASC=1200,  CSB=900. Hãy tính thể tích chóp Bài giải Nhận xét: các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần trên Vây ta có lời giải sau C C1 A S B1 B Trên SB lấy B1 Sao cho SB1 = a Trên SC lấy C1 sao cho SC1 = a Ta có Mà VSAB1C1  VSABC  a3. 2 12 (theo bài 6) SA SB SC . . .V SAB1C1 . SA SB1 SC1 = a3. 2 2 Bài 2 13 Cho khối trụ tam giác ABCA 1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA. Bài giải Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600 = a. Mà VLT = A1H.SABC = a. 3. 3 a2. 3 3a 3  4 4 A1 C1 B1 A C H K B Nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp khối chóp CA1B1C1 có VCA B C = 1 1 1 khối chóp B1ABC có V B ABC = 1 1 3 1 3 VLT Khối chóp A1B1CA do đó V A B AC = 1 1 VLT 1 3 VLT = a3 4 Bài 3 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, A1A=c, BC=b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của B 1C1 và C1D1. Mặt phẳng (FEA) chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Bài giải 14 DDF A D B C K D1 A1 J H F E B1 C1 I Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1, A1B1, B1B, D1D lần lượt tại J, I, H, K (hình vẽ) Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB 1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1 Ba tam giác IEB1, EFC1, FJD1 bằng nhau ( c.g.c ) HB IB 1 1 1 Theo Ta let: AA  IA  3 Và 1 1 V HIEB1  1 1 1 a b c abc .HB1 .B1 E.B1 I  . . . .   V KFJD1 3 3 2 2 2 3 72 V AAJ JI  V1= V AA J KD1 JD1 1   AA1 JA1 3 1 1 1 1 3a 3b 3abc . AA1 . . AI .JA  . . . .c  3 2 3 2 2 2 8 JI - 2. V HIEB = V2 = Vhh –V 1 = 1 47abc 72 3abc abc 25abc  2.  8 72 72 V 25 1 do vậy V  47 2 c - Bài toán tổng hợp: 15 khi ta đã trang bị kiến thức và phương pháp tính như trên, ta tiếp tục rèn cho học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp. Bài 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C. b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE. Bài giải A C K B C1 A1 H B1 a) Cách 1: tính trực tiếp gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd = 1 1 a. 3 a 2 a3. 3 . A1 H .S BCB1  . .  3 3 2 2 12 Tương tự gọi K là trung điểm AB Cách 2 VCA1B1C1  V A1 ABC  Nên V BCA1B1  1 .V LT 3 1 1 a2. 3 a3. 3 .V LT  .a.  3 3 4 12 b)cách 1 Tính trực tiếp Gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC 16 Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC  d và F=BC  d Mp (CKQ) chính là mp trung trực của AB, FE Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mp(A1B1FE) CK  Ta có S CQG  a 3 a 3 , GK   QG  2 6 KQ 2  KG 2  a2  a2 13  a. 12 12 2 2 1 1 a. 3 a 2 . 3 S CQK  . .CK .QK  .a.  3 3 2 3 2 6 Mặt khác S CQG  2.S CQG 1 2a 2 3 13 2a 13 .QG.d (C , QG )  d (C , QG )   .  2 QG 6 13 a 12  VC . FEA1B1  1 1 2a 13 1 3a 13 5a 3 . 3 .d (C , QG ).S FEA1B1  . . .( a  ).a.  3 3 13 2 2 12 54 Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích ) A E C C2 G K F B C1 A1 Q B1 VCFEA1B1  2VCGQB1  2. CG CF 2 2 1 1 a. 3 a 2 a3. 3 . VCKQB1B  2. . . . .  CK CB 3 3 3 2 2 2 54 17 Bài 2 cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SA = 2a và SA  (ABCD), Một mp đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Bài giải Cách 1 tính trực tiếp Ta có AC 2  AD 2  CD 2  3a 2  a 2  4a 2  AC  2a Nên SAC  cân tại A AI = SI = mà AI  SC nên I là trung điểm SC 1 2a 2 SC   a. 2 2 2 BC  AB, BC  SA( SA  ABCD )  BC  SAB Mà AH  SC cho nên ABC 1 1 1    AH  2 2 AH AB AS 2 SA.BA SA 2  AB 2 Trong tam giác vuông HAI có HI   2a 5 AI 2  AH 2  2a 2  4a 2 a 6  5 5 S I H Tương tự ta có AK = B K D A C a 14 7 18 1 1 1 1 1 .SI . . AH .HI  .SI . AK .KI  SI .( AH .HI  AK .KI ) 3 2 3 2 6 1 2a a 6 2a 3 a 14 8a 3 . 3  .a 2 ( .  . ) 6 7 35 5 5 7 VSAHIK  VSIHA  VSIKA   VSAHIK Cách 2 tính gián tiếp Tương tự như cách 1 ta chỉ lập luận AH  SB, AK  SD VSAHI  SH .SI 1 SA 2 1 4a 2 1 4a 3 . 3 .VSABC  . . V  . .. . 2 a . a . 3  SABC SB.SC. 2 SB 2 2 5a 2 3 35 Tương tự VSAIK  Do đó VSAHIK= 4a 3 . 3 35 8a 3 . 3 35 Bài 3 Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi Bài giải Nhận xét các yếu tố không đổi a, b, góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y đặt (x,y)=  và d(x,y)=d 19 B A F E C D Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (ình vẽ) Khi đó d = d(x,y) = d(AB,CD) = d(AB,CDE) = d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ 1 VLT = d.SCDE = d. 2 CD .CE.sin  = 1 2 d.b.a.sin  Mặt khác khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm Tứ diện BCDE có VBCDE = 1 3 .d(B,CDE).SCDE = 1 3 .VLT Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau 1 Do vậy VABCD = 3 .VLT = 1 6 .d.a.b.sin  = hằng số Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hình bình hành “ Như hai hình vẽ sau” D B H G A E C E C A F B D 20