Newton Grammar School
BÀI TẬP ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 – VECTƠ
Bài 1. Cho tam giác ABC và điểm M . Chứng minh M là trung điểm của BC khi và chỉ khi
AM 1 AB AC .
2
Bài 2.
Cho tam giác ABC và điểm G . Chứng minh các khẳng định sau tương đương
1) G là trọng tâm tam giác ABC .
2) GA GB GC 0 .
3) MA MB MC 3MG M .
Bài 3. Chứng minh hai tam giác
AA ' BB' CC' 0 .
Bài 4.
ABC ,
A 'B'C' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
Cho M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA của
lục giác ABCDEF . Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Bài 5.
Cho tam giác đều ABC với tâm là. H là một điêm bất kỳ nằm bên trong tam giác. Gọi A ' ,
B' , C' lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các cạnh BC , CA , AB . Chứng minh rằng hai tam
ABC và A 'B'C' có cùng trọng tâm.
Bài 6.
Nếu M , N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AD , BC thì
MN 1 AB DC 1 AC DB .
2
2
Bài 7.
AM
AD
Cho tứ giác ABCD . Các điểm M , N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD , CB sao cho
. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN .
CN
CB
Bài 8.
Cho ngũ giác ABCDE . Các điểm M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm các đoạn EA ,
AB , BC , CD , MP , NQ . Chứng minh RS / /ED và RS 1 ED .
4
Bài 9.
Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng
AM MC AB MB AC .
BC
BC
Bài 10. Cho tam giác ABC . Chứng minh nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì
aIA bIB cIC 0 .
Điều ngược lại có đúng không?
Bài 11. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Đường tròn I tiếp xúc với các cạnh BC ,
CA , AB của tam giác lần lượt tại D , E , F . Chứng minh aID bIE cIF 0 .
Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm)
1
Newton Grammar School
Bài 12. (Định lý con nhím) Cho đa giác lồi A1 A 2 ...A n và các vectơ đơn vị ei ( i 1, 2, ...,n ) lần lượt
vuông góc với A i A i 1 (xem A n 1 A1 ). Chứng minh rằng A1A 2 e1 A 2 A 3 e 2 ... An A1 en 0 .
Bài 13. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I . Hai điểm E , F lần lượt là trung điểm của AC
và BD . Chứng minh I , E , F thẳng hàng.
Bài 14. Về phía ngoài tam giác ABC , dựng các tam giác đồng dạng XBC , YCA , ZAB . Chứng minh
rằng các tam giác ABC , XYZ có cùng trọng tâm.
Bài 15. Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng
S MBC SA S MCA SB S MAB SC 0 .
Bài 16. Cho tam giác đều ABC tâm O . M là điểm bất kỳ trong tam giác. D , E , F lần lượt là hình
chiếu của M lên BC , CA , AB . Chứng minh MD ME MF 3 MO .
2
Bài 17. [HSG10V1-Hà Nội-1992] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có trực tâm H .
Chứng minh
1) OA OB OC OH .
2) sin 2A.OA sin 2B.OB sin 2C.OC 0 (với giả thiết tam giác ABC nhọn)
Bài 18. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ.
1) Chứng minh vectơ 3MA 5MB 2MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .
2) Chứng minh nếu điểm H thỏa mãn hệ thức OA OB OC OH ( O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC ) thì H là trực tâm tam giác.
3) Tìm tập hợp điểm M sao cho 3MA 2MB 2MC MB MC .
Bài 19. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC với H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại
tiếp. Gọi G , A 0 , B 0 , C0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , HBC , HCA , HAB . Chứng minh
OA 0 OB0 OC0 5OG .
Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm)
2
- Xem thêm -