˜ N THUY
’ THANH
NGUYÊ
BÀI TÂ
.P
´P
TOÁN CAO CÂ
Tâ.p 3
Phép tı́nh tı́ch phân. Lý thuyê´t chuô˜ i.
Phu.o.ng trı̀nh vi phân
´T BA
´C GIA HÀ NÔI
’ N DAI HOC QUÔ
NHÀ XUÂ
.
.
.
Mu.c lu.c
10 Tı́ch phân bâ´t di.nh
10.1 Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân . . . . .
10.1.1 Nguyên hàm và tı́ch phân bâ´t di.nh
10.1.2 Phu.o.ng pháp dô’i biê´n . . . . . . .
`n
10.1.3 Phu.o.ng pháp tı́ch phân tù.ng phâ
. . . . . . .
4
4
. . . . . . .
4
. . . . . . .
. . . . . . .
10.2 Các ló.p hàm kha’ tı́ch trong ló.p các hàm so. câ´p . . . .
10.2.1 Tı́ch phân các hàm hũ.u ty’ . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Tı́ch phân mô.t sô´ hàm vô ty’ do.n gia’n . . . . .
10.2.3 Tı́ch phân các hàm lu.o..ng giác . . . . . . . . . .
12
21
11 Tı́ch phân xác di.nh Riemann
11.1 Hàm kha’ tı́ch Riemann và tı́ch phân xác d i.nh . . .
- i.nh nghı̃a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 D
- iê
` u kiê.n dê’ hàm kha’ tı́ch . . . . . . . . . .
11.1.2 D
11.1.3 Các tı́nh châ´t co. ba’n cu’a tı́ch phân xác di.nh
11.2 Phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân xác d i.nh . . . . . . .
11.3 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu’a tı́ch phân xác d i.nh . . . . . .
11.3.1 Diê.n tı́ch hı̀nh phă’ng và thê’ tı́ch vâ.t thê’ . .
30
30
37
48
57
. .
58
. .
. .
58
59
. .
59
. .
. .
61
78
. .
78
11.3.2 Tı́nh dô. dài cung và diê.n tı́ch mă.t tròn xoay . .
11.4 Tı́ch phân suy rô.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
98
11.4.1 Tı́ch phân suy rô.ng câ.n vô ha.n . . . . . . . . . 98
11.4.2 Tı́ch phân suy rô.ng cu’a hàm không bi. chă.n . . 107
2
MU
. C LU
.C
` u biê´n
12 Tı́ch phân hàm nhiê
12.1 Tı́ch phân 2-ló.p . . . . . . . . . . . . . .
` n chũ. nhâ.t . . .
12.1.1 Tru.ò.ng ho..p miê
` n cong . . . . . .
12.1.2 Tru.ò.ng ho..p miê
12.1.3 Mô.t vài ú.ng du.ng trong hı̀nh ho.c
12.2 Tı́ch phân 3-ló.p . . . . . . . . . . . . . .
` n hı̀nh hô.p . . .
12.2.1 Tru.ò.ng ho..p miê
` n cong . . . . . .
12.2.2 Tru.ò.ng ho..p miê
12.2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.4 Nhâ.n xét chung . . . . . . . . . .
12.3 Tı́ch phân d u.ò.ng . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Các di.nh nghı̃a co. ba’n . . . . . .
12.3.2 Tı́nh tı́ch phân du.ò.ng . . . . . .
12.4 Tı́ch phân mă.t . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Các di.nh nghı̃a co. ba’n . . . . . .
12.4.2 Phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân mă.t
12.4.3 Công thú.c Gauss-Ostrogradski .
12.4.4 Công thú.c Stokes . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
117
118
118
118
121
133
133
134
136
136
144
144
146
158
158
160
162
162
˜i
13 Lý thuyê´t chuô
13.1 Chuô˜ i sô´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Các di.nh nghı̃a co. ba’n . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Chuô˜ i sô´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Chuô˜ i hô.i tu. tuyê.t d ô´i và hô.i tu. không tuyê.t d ô´i . . .
13.2.1 Các di.nh nghı̃a co. ba’n . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Chuô˜ i dan dâ´u và dâ´u hiê.u Leibnitz . . . . . .
13.3 Chuô˜ i lũy thù.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Các di.nh nghı̃a co. ba’n . . . . . . . . . . . . . .
- iê
` u kiê.n khai triê’n và phu.o.ng pháp khai triê’n
13.3.2 D
13.4 Chuô˜ i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Các di.nh nghı̃a co. ba’n . . . . . . . . . . . . . .
177
178
178
179
191
191
192
199
199
201
211
211
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
MU
. C LU
.C
3
` su.. hô.i tu. cu’a chuô˜ i Fourier . . . 212
13.4.2 Dâ´u hiê.u du’ vê
14 Phu.o.ng trı̀nh vi phân
224
14.1 Phu.o.ng trı̀nh vi phân câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 225
14.1.1 Phu.o.ng trı̀nh tách biê´n . . . . . . . . . . . . . . 226
14.1.2 Phu.o.ng trı̀nh d ă’ng câ´p . . . . . . . . . . . . . 231
14.1.3 Phu.o.ng trı̀nh tuyê´n tı́nh . . . . . . . . . . . . . 237
14.1.4 Phu.o.ng trı̀nh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 244
` n . . . . . . . . 247
14.1.5 Phu.o.ng trı̀nh vi phân toàn phâ
14.1.6 Phu.o.ng trı̀nh Lagrange và phu.o.ng trı̀nh Clairaut255
14.2 Phu.o.ng trı̀nh vi phân câ´p cao . . . . . . . . . . . . . . 259
14.2.1 Các phu.o.ng trı̀nh cho phép ha. thâ´p câ´p . . . . 260
14.2.2 Phu.o.ng trı̀nh vi phân tuyê´n tı́nh câ´p 2 vó.i hê.
sô´ hă`ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
` n nhâ´t
14.2.3 Phu.o.ng trı̀nh vi phân tuyê´n tı́nh thuâ
câ´p n (ptvptn câ´p n ) vó.i hê. sô´ hă`ng . . . . . . 273
14.3 Hê. phu.o.ng trı̀nh vi phân tuyê´n tı́nh câ´p 1 vó.i hê. sô´ hă`ng290
` phu.o.ng trı̀nh vi phân da.o hàm riêng
15 Khái niê.m vê
15.1 Phu.o.ng trı̀nh vi phân câ´p 1 tuyê´n tı́nh dô´i vó.i các da.o
hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Gia’i phu.o.ng trı̀nh d a.o hàm riêng câ´p 2 d o.n gia’n nhâ´t
15.3 Các phu.o.ng trı̀nh vâ.t lý toán co. ba’n . . . . . . . . . .
` n sóng . . . . . . . . . . . .
15.3.1 Phu.o.ng trı̀nh truyê
.
.
` n nhiê.t . . . . . . . . . . . .
15.3.2 Phu o ng trı̀nh truyê
15.3.3 Phu.o.ng trı̀nh Laplace . . . . . . . . . . . . . .
Tài liê.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
306
310
313
314
317
320
327
Chu.o.ng 10
Tı́ch phân bâ´t di.nh
10.1 Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân . . . . . .
4
10.1.1 Nguyên hàm và tı́ch phân bâ´t di.nh . . . . .
4
10.1.2 Phu.o.ng pháp dô’i biê´n . . . . . . . . . . . . 12
` n . . . . . 21
10.1.3 Phu.o.ng pháp tı́ch phân tù.ng phâ
10.2 Các ló.p hàm kha’ tı́ch trong ló.p các hàm
so. câ´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.2.1 Tı́ch phân các hàm hũ.u ty’ . . . . . . . . . 30
10.2.2 Tı́ch phân mô.t sô´ hàm vô ty’ do.n gia’n . . . 37
10.2.3 Tı́ch phân các hàm lu.o..ng giác . . . . . . . 48
10.1
Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
10.1.1
Nguyên hàm và tı́ch phân bâ´t di.nh
- i.nh nghı̃a 10.1.1. Hàm F (x) du.o..c go.i là nguyên hàm cu’a hàm
D
f (x) trên khoa’ng nào dó nê´u F (x) liên tu.c trên khoa’ng dó và kha’ vi
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
ta.i mô˜ i diê’m trong cu’a khoa’ng và F 0(x) = f (x).
- i.nh lý 10.1.1. (vê
` n ta.i nguyên hàm) Mo.i hàm liên tu.c trên
` su.. tô
D
` u có nguyên hàm trên khoa’ng (a, b).
doa.n [a, b] dê
- i.nh lý 10.1.2. Các nguyên hàm bâ´t kỳ cu’a cùng mô.t hàm là chı’
D
`ng sô´ cô.ng.
khác nhau bo’.i mô.t hă
Khác vó.i da.o hàm, nguyên hàm cu’a hàm so. câ´p không pha’i bao
2
giò. cũng là hàm so. câ´p. Chă’ng ha.n, nguyên hàm cu’a các hàm e−x ,
1 cos x sin x
,
,
,... là nhũ.ng hàm không so. câ´p.
cos(x2), sin(x2),
lnx
x
x
- i.nh nghı̃a 10.1.2. Tâ.p ho..p mo.i nguyên hàm cu’a hàm f (x) trên
D
khoa’ng (a, b) du.o..c go.i là tı́ch phân bâ´t di.nh cu’a hàm f (x) trên khoa’ng
(a, b) và du.o..c ký hiê.u là
Z
f (x)dx.
Nê´u F (x) là mô.t trong các nguyên hàm cu’a hàm f (x) trên khoa’ng
(a, b) thı̀ theo di.nh lý 10.1.2
Z
f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R
` n hiê’u là dă’ng thú.c giũ.a
trong dó C là hă`ng sô´ tùy ý và dă’ng thú.c câ
hai tâ.p ho..p.
Các tı́nh châ´t co. ba’n cu’a tı́ch phân bâ´t di.nh:
Z
1) d
f (x)dx = f (x)dx.
2)
Z
3)
Z
0
f (x)dx = f (x).
df (x) =
Z
f 0 (x)dx = f (x) + C.
Tù. di.nh nghı̃a tı́ch phân bâ´t di.nh rút ra ba’ng các tı́ch phân co.
ba’n (thu.ò.ng du.o..c go.i là tı́ch phân ba’ng) sau dây:
5
Chu.o.ng 10. Tı́ch phân bâ´t d .inh
6
I.
Z
II.
0.dx = C.
Z
1dx = x + C.
III.
Z
IV.
Z
V.
Z
VI.
xαdx =
dx
= ln|x| + C, x 6= 0.
x
ax
a dx =
+ C (0 < a 6= 1);
lna
x
Z
VII.
xα+1
+ C, α 6= −1
α+1
IX.
Z
XI.
Z
ex dx = ex + C.
sin xdx = − cos x + C.
Z
VIII.
Z
cos xdx = sin x + C.
Z
dx
π
= tgx + C, x 6= + nπ, n ∈ Z.
2
cos x
2
dx
= −cotgx + C, x 6= nπ, n ∈ Z.
sin2 x
Z
arc sin x + C,
dx
−1 < x < 1.
X. √
=
1 − x2 −arc cos x + C
Z
arctgx + C,
dx
=
1 + x2 −arccotgx + C.
√
dx
= ln|x + x2 ± 1| + C
x2 ± 1
(trong tru.ò.ng ho..p dâ´u trù. thı̀ x < −1 hoă.c x > 1).
Z
1 1 + x
dx
XIII.
ln
=
+ C, |x| 6= 1.
1 − x2
2 1−x
XII.
√
Các quy tă´c tı́nh tı́ch phân bâ´t di.nh:
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
Z
1)
Z
2)
Z
kf (x)dx = k
Z
f (x)dx, k 6= 0.
[f (x) ± g(x)]dx =
3) Nê´u
Z
7
Z
f (x)dx ±
Z
g(x)dx.
f (x)dx = F (x) + C và u = ϕ(x) kha’ vi liên tu.c thı̀
f (u)du = F (u) + C.
CÁC VÍ DU
.
Vı́ du. 1. Chú.ng minh ră`ng hàm y = signx có nguyên hàm trên
khoa’ng bâ´t kỳ không chú.a diê’m x = 0 và không có nguyên hàm trên
mo.i khoa’ng chú.a diê’m x = 0.
Gia’i. 1) Trên khoa’ng bâ´t kỳ không chú.a diê’m x = 0 hàm y = signx
là hă`ng sô´. Chă’ng ha.n vó.i mo.i khoa’ng (a, b), 0 < a < b ta có signx = 1
và do dó mo.i nguyên hàm cu’a nó trên (a, b) có da.ng
F (x) = x + C,
C ∈ R.
2) Ta xét khoa’ng (a, b) mà a < 0 < b. Trên khoa’ng (a, 0) mo.i
nguyên hàm cu’a signx có da.ng F (x) = −x + C1 còn trên khoa’ng (0, b)
nguyên hàm có da.ng F (x) = x + C2. Vó.i mo.i cách cho.n hă`ng sô´ C1
và C2 ta thu du.o..c hàm [trên (a, b)] không có da.o hàm ta.i diê’m x = 0.
Nê´u ta cho.n C = C1 = C2 thı̀ thu du.o..c hàm liên tu.c y = |x| + C
nhu.ng không kha’ vi ta.i diê’m x = 0. Tù. dó, theo di.nh nghı̃a 1 hàm
signx không có nguyên hàm trên (a, b), a < 0 < b. N
Vı́ du. 2. Tı̀m nguyên hàm cu’a hàm f (x) = e|x| trên toàn tru.c sô´.
` n x > 0 mô.t
Gia’i. Vó.i x > 0 ta có e|x| = ex và do dó trong miê
trong các nguyên hàm là ex . Khi x < 0 ta có e|x| = e−x và do vâ.y
` n x < 0 mô.t trong các nguyên hàm là −e−x + C vó.i hă`ng
trong miê
sô´ C bâ´t kỳ.
Theo di.nh nghı̃a, nguyên hàm cu’a hàm e|x| pha’i liên tu.c nên nó
Chu.o.ng 10. Tı́ch phân bâ´t d .inh
8
` u kiê.n
pha’i tho’a mãn diê
lim ex = lim (−e−x + C)
x→0+0
x→0−0
tú.c là 1 = −1 + C ⇒ C = 2.
Nhu. vâ.y
ex
nê´u x > 0,
F (x) = 1
nê´u x = 0,
−e−x + 2 nê´u x < 0
là hàm liên tu.c trên toàn tru.c sô´. Ta chú.ng minh ră`ng F (x) là nguyên
hàm cu’a hàm e|x| trên toàn tru.c sô´. Thâ.t vâ.y, vó.i x > 0 ta có
` n pha’i
F 0(x) = ex = e|x|, vó.i x < 0 thı̀ F 0(x) = e−x = e|x|. Ta còn câ
chú.ng minh ră`ng F 0(0) = e0 = 1. Ta có
F (x) − F (0)
ex − 1
= lim
= 1,
x→0+0
x→0+0
x
x
F (x) − F (0)
−e−x + 2 − 1
F−0 (0) = lim
= lim
= 1.
x→0−0
x→0−0
x
x
Nhu. vâ.y F+0 (0) = F−0 (0) = F 0(0) = 1 = e|x|. Tù. dó có thê’ viê´t:
Z
ex + C,
x<0
e|x|dx = F (x) + C =
−e−x + 2 + C, x < 0. N
F+0 (0) = lim
` thi. qua diê’m (−2, 2) dô´i vó.i hàm
Vı́ du. 3. Tı̀m nguyên hàm có dô
1
f (x) = , x ∈ (−∞, 0).
x
1
Gia’i. Vı̀ (ln|x|)0 = nên ln|x| là mô.t trong các nguyên hàm cu’a
x
1
hàm f (x) = . Do vâ.y, nguyên hàm cu’a f là hàm F (x) = ln|x| + C,
x
` u kiê.n F (−2) = 2, tú.c là
C ∈ R. Hă`ng sô´ C du.o..c xác di.nh tù. diê
ln2 + C = 2 ⇒ C = 2 − ln2. Nhu. vâ.y
x
F (x) = ln|x| + 2 − ln2 = ln + 2. N
2
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
Vı́ du. 4. Tı́nh các tı́ch phân sau dây:
Z x+1
− 5x−1
2
dx,
2)
1)
10x
9
Z
2x + 3
dx.
3x + 2
Gia’i. 1) Ta có
Z h x
Z x
2
5x
1 1 x i
1
dx =
2
dx
I=
2 x−
−
10
5 · 10x
5
5 2
Z x
Z x
1
1
1
=2
dx −
dx
5
5
2
1 x
1 x
1 2
5
=2
−
+C
1
1
5
ln
ln
5
2
2
1
=− x
+
+ C.
5 ln5 5 · 2x ln2
2)
h
2 5i
3
+
x
+
2 dx = 2
3
6 dx
2
2
3
x+
3
3
2
5
2
= x + ln x + + C. N
3
9
3
Z 2 x+
I=
3 x+
Vı́ du. 5. Tı́nh các tı́ch phân sau dây:
Z
Z
1 + cos2 x
2
dx,
2)
1)
tg xdx,
1 + cos 2x
3)
Z
√
1 − sin 2xdx.
Gia’i. 1)
Z
Z
1 − cos2 x
sin2 x
tg xdx =
dx =
dx
cos2 x
cos2 x
Z
Z
dx
− dx = tgx − x + C.
=
cos2 x
2
Z
Chu.o.ng 10. Tı́ch phân bâ´t d .inh
10
2)
Z
1 + cos2 x
dx =
1 + cos 2x
Z
Z
Z
1 + cos2 x
1
dx
dx =
+ dx
2 cos2 x
2
cos2 x
1
= (tgx + x) + C.
2
3)
Z p
Z
√
1 − sin 2xdx =
sin2 x − 2 sin x cos x + cos2 xdx
Z
Z p
(sin x − cos x)2dx = | sin x − cos x|dx
=
= (sin x + cos x)sign(cos x − sin x) + C. N
BÀI TÂ
.P
`
vê
1.
2.
3.
4.
5.
6.
` ng nhâ´t, hãy du.a các tı́ch phân dã cho
Bă`ng các phép biê´n dô’i dô
tı́ch phân ba’ng và tı́nh các tı́ch phân dó1
Z
dx
1 x − 1 1
.
(DS.
ln
− arctgx)
x4 − 1
4 x+1
2
Z
2
1
1 + 2x
dx.
(DS.
)
arctgx
−
x2 (1 + x2 )
x
√
Z √ 2
√
x + 1 + 1 − x2
√
dx.
(DS. arc sin x + ln|x + 1 + x2|)
1 − x4
√
Z √ 2
√
√
x + 1 − 1 − x2
√
dx. (DS. ln|x + x2 − 1| − ln|x + x2 + 1|)
x4 − 1
Z √ 4
1
x + x−4 + 2
dx.
(DS. ln|x| − 4 )
3
x
4x
Z 3x
e2x
2 −1
dx.
(DS.
+ ex + 1)
ex − 1
2
Dê’ cho go.n, trong các “Dáp sô´” cu’a chu.o.ng này chúng tôi bo’ qua không viê´t
`ng sô´ cô.ng C.
các hă
1
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
7.
Z
Z
22x − 1
√
dx.
2x
11
i
2 h2 2
x
+ 2− 2 )
(DS.
ln2 3
3x
dx
1
lnx
.
(DS. √ arctg √ )
2
x(2 + ln x)
2
2
Z √
3
3
ln2 x
dx.
(DS. ln5/3x)
9.
x
5
Z x
e + e2x
10.
dx.
(DS. −ex − 2ln|ex − 1|)
1 − ex
Z x
e dx
11.
.
(DS. ln(1 + ex))
1 + ex
Z
sin x
1
x
(DS. x −
)
12.
sin2 dx.
2
2
2
Z
13. cotg2 xdx.
(DS. −x − cotgx)
8.
14.
Z
15.
Z
ecos x sin xdx.
16.
Z
ex cos ex dx.
(DS. sin ex)
17.
Z
x
(DS. tg )
2
18.
Z
1
dx.
1 + cos x
19.
Z
20.
Z
21.
Z
π
√
.
1 + sin 2xdx, x ∈ 0,
2
(DS. −ecos x )
dx
.
sin x + cos x
1 + cos x
dx.
(x + sin x)3
sin 2x
p
dx.
1 − 4 sin2 x
sin x
p
dx.
2 − sin2 x
(DS. − cos x + sin x)
1 x π
(DS. √ ln tg
+
)
2
8
2
2
)
2(x + sin x)2
1p
1 − 4 sin2 x)
(DS. −
2
(DS. −
√
(DS. −ln| cos x +
1 + cos2 x|)
Chu.o.ng 10. Tı́ch phân bâ´t d .inh
12
22.
Z
Z
sin x cos x
p
dx.
3 − sin4 x
sin2 x
1
(DS. arc sin √
)
2
3
1
arccotg3x
dx.
(DS. − arccotg2 3x)
2
1 + 9x
6
√
Z
x + arctg2x
1
1
2
24.
ln(1
+
4x
arctg3/22x)
dx.
(DS.
)
+
1 + 4x2
8
3
Z
1
arc sin x − arc cos x
√
dx. (DS. (arc sin2 x + arc cos2 x))
25.
2
1 − x2
Z
x + arc sin3 2x
1√
1
√
26.
dx.
(DS. −
1 − 4x2 + arc sin4 2x)
4
8
1 − 4x2
Z
√
2
x + arc cos3/2 x
√
dx.
(DS. − 1 − x2 − arc cos5/2 x)
27.
5
1 − x2
Z
|x|3
)
28. x|x|dx.
(DS.
3
Z
29. (2x − 3)|x − 2|dx.
23.
7
2
− x3 + x2 − 6x + C, x < 2
3
2
(DS. F (x) =
)
7
2
x3 − x2 + 6x + C,
x>2
3
2
Z
1 − x2, |x| 6 1,
30. f (x)dx, f (x) =
1 − |x|, |x| > 1.
3
x − x + C
3
(DS. F (x) =
x − x|x| + 1 signx + C
2
6
10.1.2
Phu.o.ng pháp dô’i biê´n
- i.nh lý. Gia’ su’.:
D
nê´u |x| 6 1
)
nê´u|x| > 1
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
13
1) Hàm x = ϕ(t) xác di.nh và kha’ vi trên khoa’ng T vó.i tâ.p ho..p giá
tri. là khoa’ng X.
2) Hàm y = f (x) xác di.nh và có nguyên hàm F (x) trên khoa’ng X.
Khi dó hàm F (ϕ(t)) là nguyên hàm cu’a hàm f (ϕ(t))ϕ0 (t) trên
khoa’ng T .
Tù. di.nh lý 10.1.1 suy ră`ng
Z
(10.1)
f (ϕ(t))ϕ0(t)dt = F (ϕ(t)) + C.
Vı̀
F (ϕ(t)) + C = (F (x) + C) x=ϕ(t) =
Z
f (x)dx x=ϕ(t)
cho nên dă’ng thú.c (10.1) có thê’ viê´t du.ó.i da.ng
Z
Z
f (x)dx x=ϕ(t) = f (ϕ(t))ϕ0(t)dt.
(10.2)
Dă’ng thú.c (10.2) du.o..c go.i là công thú.c dô’i biê´n trong tı́ch phân
bâ´t di.nh.
Nê´u hàm x = ϕ(t) có hàm ngu.o..c t = ϕ−1 (x) thı̀ tù. (10.2) thu
du.o..c
Z
Z
(10.3)
f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt t=ϕ−1 (x) .
` phép dô’i biê´n.
Ta nêu mô.t vài vı́ du. vê
.a căn √a2 − x2, a > 0
chú
i) Nê´u biê’u thú.c du.ó.i dâ´u tı́ch phân có
π π
.
thı̀ su’. du.ng phép dô’i biê´n x = a sin t, t ∈ − ,
2 2 √
ii) Nê´u biê’u thú.c du.ó.i dâ´u tı́ch phân có chú.a căn x2 − a2, a > 0
π
a
, 0 < t < hoă.c x = acht.
thı̀ dùng phép dô’i biê´n x =
cos t
2
√
.a căn thú.c a2 + x2, a > 0
iii) Nê´u hàm du.ó.i dâ´u tı́ch
phân
chú
π π
hoă.c x = asht.
thı̀ có thê’ dă.t x = atgt, t ∈ − ,
2 2
.
.
iv) Nê´u hàm du ó i dâ´u tı́ch phân là f (x) = R(ex , e2x, . . . .enx ) thı̀
có thê’ dă.t t = ex (o’. dây R là hàm hũ.u ty’).
Chu.o.ng 10. Tı́ch phân bâ´t d .inh
14
Z
CÁC VÍ DU
.
dx
Vı́ du. 1. Tı́nh
.
cos x
Gia’i. Ta có
Z
Z
cos xdx
dx
(dă.t t = sin x, dt = cos xdx)
=
2
cos x
Z 1 − sin x
x π
1 1 + t
dt
ln
+
C
=
ln
+
=
=
tg
+ C. N
2
1−t
2 1−t
2
4
Z 3
x dx
.
Vı́ du. 2. Tı́nh I =
x8 − 2
Gia’i. ta có
√ 4
2 x
1
Z d(x4 ) Z
d √
4
2
4
I=
=
h
8
x4 2 i
x −2
−2 1 − √
2
x4
Dă.t t = √ ta thu du.o..c
2
√ √
2 2 + x4
I=−
ln √
+ C. N
8
2 − x4
Z
x2 dx
Vı́ du. 3. Tı́nh I = p
·
(x2 + a2 )3
adt
Gia’i. Dă.t x(t) = atgt ⇒ dx =
. Do dó
cos2 t
Z
Z
Z
Z 3 2
sin2 t
dt
a tg t · cos3 tdt
=
dt =
− cos tdt
I=
a3 cos2 t
cos t
cos t
t π
+
= ln tg
− sin t + C.
2 4
x
Vı̀ t = arctg nên
a
1
x π
x
I = ln tg arctg +
+C
− sin arctg
2
a 4
a
√
x
= −√
+ ln|x + x2 + a2| + C.
x2 + a2
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
15
Thâ.t vâ.y, vı̀ sin α = cos α · tgα nên dê˜ dàng thâ´y ră`ng
x
x
=√
·
sin arctg
2
a
x + a2
Tiê´p theo ta có
x π
x π
x
arctg +
1 − cos arctg +
1 + sin arctg
a 4 =
a 2
a
21
x π =
x
x π
sin arctg +
− cos arctg
cos arctg +
a 2
a
2
a 4
√
x + a2 + x2
=
a
sin
1
` u pha’i chú.ng minh. N
và tù. dó suy ra diê
Z √
Vı́ du. 4. Tı́nh I =
a2 + x2 dx.
Gia’i. Dă.t x = asht. Khi dó
Z q
Z
2
2
2
I=
a (1 + sh t)achtdt = a
ch2 tdt
Z
a2 1
ch2t + 1
2
dt =
sh2t + t + C
=a
2
2 2
a2
= (sht · cht + t) + C.
2
r
√
p
x2 t
x + a2 + x2
2
nên
Vı̀ cht = 1 + sh t = 1 + 2 . e = sht + cht =
a
a
x + √a2 + x2
t = ln
và do dó
a
Z √
√
x√ 2
a2
a2 + x2 dx =
a + x2 + ln|x + a2 + x2| + C. N
2
2
Vı́ du. 5. Tı́nh
Z
√
1) I1 =
x2 + 1
dx,
x6 − 7x4 + x2
2) I2 =
Z
3x + 4
√
dx.
−x2 + 6x − 8
Chu.o.ng 10. Tı́ch phân bâ´t d .inh
16
Gia’i. 1) Ta có
1
Z
d x−
dt
x
r
r
√
I1 =
dx =
=
t2 − 5
1 2
1
x−
x2 − 7 + 2
−5
x
x
r
√
1
1
= ln|t + t2 − 5| + C = ln x − + x2 − 7 + 2 + C.
x
x
2) Ta viê´t biê’u thú.c du.ó.i dâ´u tı́ch phân du.ó.i da.ng
1
3
−2x + 6
+ 13 · √
f (x) = − · √
2
−x2 + 6x − 8
−x2 + 6x − 8
và thu du.o..c
Z
I2 = f (x)dx
Z
Z
3
d(x − 3)
2
− 12
2
=−
(−x + 6x − 8) d(−x + 6x − 8) + 13 p
2
1 − (x − 3)2
√
= −3 −x2 + 6x − 8 + 13 arc sin(x − 3) + C. N
Z
1+
Vı́ du. 6. Tı́nh
1)
Z
1
x2
Z
dx
,
sin x
2) I2 =
Z
sin x cos3 x
dx.
1 + cos2 x
Gia’i
1) Cách I. Ta có
Z
Z
Z
dx
1 1 − cos x
d(cos x)
sin x
=
=
ln
+ C.
2 dx =
sin x
cos2 x − 1
2 1 + cos x
sin x
Cách II.
Z
x
x
Z
d
d
dx
2
2
=
x =
x
x
x
sin x
sin cos
tg · cos2
2
2
2x 2
Z d tg
x
2
=
x = ln tg 2 + C.
tg
2
Z
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
17
2) Ta có
I2 =
Z
sin x cos x[(cos2 x + 1) − 1]
dx.
1 + cos2 x
Ta dă.t t = 1 + cos2 x. Tù. dó dt = −2 cos x sin xdx. Do dó
Z
t−1
t
1
I2 = −
dt = − + ln|t| + C,
2
t
2
trong dó t = 1 + cos2 x.
N
Vı́ du. 7. Tı́nh
1) I1 =
Z
exdx
√
,
e2x + 5
2)
I2 =
Z
ex + 1
dx.
ex − 1
Gia’i
1) Dă.t ex = t. Ta có ex dx = dt và
Z
√
√
dt
√
I1 =
= ln|t + t2 + 5| + C = ln |ex + e2x + 5| + C.
t2 + 5
dt
và thu du.o..c
2) Tu.o.ng tu.., dă.t ex = t, exdx = dt, dx =
t
Z
Z
Z
2dt
dt
t + 1 dt
I2 =
=
−
= 2ln|t − 1| − ln|t| + C
t−1 t
t−1
t
= 2ln|ex − 1| − lnex + c
= ln(ex − 1)2 − x + C. N
BÀI TÂ
.P
Tı́nh các tı́ch phân:
Z
p
e2x
4
4
x
√
1.
dx.
(DS.
(3e
−
4)
(ex + 1)3 )
4
x
21
e +1
˜ n. Dă.t ex + 1 = t4.
Chı’ dâ
Chu.o.ng 10. Tı́ch phân bâ´t d .inh
18
2.
Z
Z
dx
√
.
ex + 1
√1 + ex − 1
(DS. ln √
)
x
1+e +1
e2x
dx.
(DS. ex + ln|ex − 1|)
ex − 1
Z √
2p
1 + lnx
4.
dx.
(DS.
(1 + lnx)3)
x
3
Z √
1 + lnx
dx.
5.
xlnx
√
√
(DS. 2 1 + lnx − ln|lnx| + 2ln| 1 + lnx − 1|)
Z
dx
x
x
.
(DS. −x − 2e− 2 + 2ln(1 + e 2 ))
6.
x/2
x
e +e
√
Z
√
arctg x dx
√
7.
.
(DS. (arctg x)2)
x 1+x
Z √
2
8.
e3x + e2xdx.
(DS. (ex + 1)3/2 )
3
Z
1 2
2
9. e2x +2x−1 (2x + 1)dx.
(DS. e2x +2x−1 )
2
Z
√
dx
√
.
(DS.
10.
2arctg
ex − 1)
x
e −1
Z
√
e2xdx
1
√
11.
.
(DS. ln(e2x + e4x + 1))
2
e4x + 1
Z
arc sin 2x
2x dx
√
)
.
(DS.
12.
ln2
1 − 4x
Z
√
√
dx
√
.
(DS. 2[ x + 1 − ln(1 + x + 1)])
13.
1+ x+1
˜ n. Dă.t x + 1 = t2.
Chı’ dâ
r
Z
√
√
x−2
x+1
√
dx.
(DS. 2 x − 2 + 2arctg
)
14.
2
x x−2
Z
√
2 √
dx
√
ax + b − mln| ax + b + m| )
15.
. (DS.
a
ax + b + m
3.
10.1. Các phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân
16.
Z
17.
Z
dx
√
√
.
3
3
x( x − 1)
dx
.
(1 − x2)3/2
√
√
(DS. 3 3 x + 3ln| 3 x − 1|)
(DS. tg(arc sin x))
π π
˜ n. Dă.t x = sin t, t ∈ − ,
)
Chı’ dâ
2 2
Z
dx
1
x
18.
)
.
(DS.
sin
arctg
(x2 + a2)3/2
a2
a
π π
˜ n. Dă.t x = atgt, t ∈ − ,
.
Chı’ dâ
2 2
Z
dx
1
1
19.
,
t
=
arc
sin
)
.
(DS.
−
(x2 − 1)3/2
cos t
x
π
π
1
˜ n. Dă.t x =
Chı’ dâ
, − < t < 0, 0 < t < .
sin t
2
2
√
Z √
x x a2 − x2
a2
20.
)
a2 − x2 dx.
(DS. arc sin +
2
a
2
˜ n. Dă.t x = a sin t.
Chı’ dâ
Z
√
√
x√ 2
a2
21.
a2 + x2dx. (DS.
a + x2 + ln|x + a2 + x2|)
2
2
˜ n. Dă.t x = asht.
Chı’ dâ
Z
√
1 √
x2
√
dx. (DS. x a2 + x2 − a2ln(x + a2 + x2) )
22.
2
a2 + x2
√
Z
x2 + a2
dx
√
23.
)
.
(DS. −
a2x
x2 x2 + a2
1
˜ n. Dă.t x = hoă.c x = atgt, hoă.c x = asht.
Chı’ dâ
t
Z
2
x dx
x x√ 2
a2
√
24.
.
(DS. arc sin −
a − x2 )
2
a a
a2 − x2
˜ n. Dă.t x = a sin t.
Chı’ dâ
Z
a
1
dx
√
.
(DS. − arc sin )
25.
a
x
x x2 − a2
19
- Xem thêm -
.PDF 
329 
141 
125 
