Tài liệu Bài tập thuỷ lực. phần 1

LỜI NÓI ĐẦU Cuốn bài tập Thủy lực xuất bản lần đầu vào năm 1973. Nội dung của nó tương ứng với nội dung cuốn Giáo trình thủy lực xuất bản năm 1968 và 1969. Cuốn Bài tập thủy lực đó được soạn thành 2 tập : tập I do đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm và Hoàng Văn Quý biên soạn, đồng chí Hoàng Văn Quý chủ biên. Tập II do các đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm, Lưu Công Đào, Nguyễn Như Khuê và Hoàng Văn Quý biên soạn, đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm chủ biên. Năm 1978 cuốn Giáo trình thủy lực đã được tái bản, có sửa chữa và bổ sung. Để tương ứng với cuốn giáo trình đó hai tập cuốn Bài tập thủy lực cũng được sửa chữa và bổ sung. Lần tái bản này do đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm chịu trách nhiệm chỉnh lý. Trong quá trình chuẩn bị cho việc tái bản, Bộ môn Thủy lực các trường Đại học Thủy lợi và Đại học Xây dựng đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn. Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến nhận xét của bạn đọc. NHỮNG NGƯỜI BIÊN SOẠN 02/1983 NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG VÀ CHẤT KHÍ I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chất lỏng và chất khí (gọi chung là chất chảy) khác với chất rắn ở chỗ có tính chảy. Giữa chất lỏng và chất khí cũng có sự khác nhau : chất lỏng hầu như không nén được (thể tích không thay đổi) và có hệ số giãn vì nhiệt rất bé, còn chất khí có thể tích thay đổi trong một phạm vi lớn khi áp suất và nhiệt độ thay đổi ; vì thế người ta còn gọi chất lỏng là chất chảy không nén được. Những kết luận đối với chất lỏng có thể dùng cho cả chất khí chỉ trong trường hợp : vận tốc chất khí không lớn ( v < 100m/s) và trong phạm vi hiện tượng ta xét, áp suất và nhiệt độ thay đổi không đáng kể. Trong phạm vi tập sách này ta chỉ xét những vấn đề về chất lỏng. Trọng lượng riêng ( γ ) là trọng lượng của 1 đơn vị thể tích chất chảy ; đơn vị là N/m3. Khối lượng riêng ( ρ ) là khối lượng của 1 đơn vị thể tích chất chảy, đơn vị là kg/m3. Giữa 2 đại lượng γ và ρ có quan hệ : γ = ρ g hay ρ = γ g (1 – 1) trong đó : g là gia tốc trọng trường (g = 9,81m/s2). Thông thường đối với nước, ta lấy γ = = 9810N/m3 , ρ = 1000 kg/m3. Trị số của γ và ρ của nước và không khí cho ở phụ lục 1 – 1. Hệ số co thể tích ( β w ) biểu thị sự giảm tương đối của thể tích chất chảy W khi áp suất p tăng lên 1 đơn vị : βw= − 1 dW . , (m 2 / N ) W dp (1 – 2) Thông thường đối với nước có thể coi β w ≈ 0, tức coi nước là không nén được. Đại 1 lượng nghịch đảo K = ,(N/m2) gọi là môđun đàn hồi. Trong hiện tượng nước va βw (chương VII) phải coi nước là nén được ; lúc đó thường ta lấy : K ≅ 2.10 9 N / m 2 ; β w ≅ 5,10 −10 m 2 / N Hệ số giãn vì nhiệt ( β t ) biểu thị sự biến đổi tương đối của thể tích chất chảy W khi nhiệt độ thay đổi 10C : βt = 1 dW (1/độ) . W dt (1 – 3) Đối với chất khí, khi nhiệt độ thay đổi từ T 1 đến T 2 (0K), áp suất thay đổi từ p 1 đến p 2 ; các đại lượng γ và ρ có thể dựa vào phương trình trạng thái tĩnh như sau : γ2=γ1. p2 T1 . p1 T2 ρ2= ρ1 p2 T1 . p1 T2 ( 1 – 4) Ở phụ lục 1 – 1 cho trị số trọng lượng riêng của nước và không khí ứng với các nhiệt độ khác nhau. Đối với chất lỏng β t rất bé và thông thường ta coi chất lỏng không co giãn dưới tác dụng của nhiệt độ. Tính nhớt của chất lỏng đóng vai trò rất quan trọng vì nó là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động. Do có tính nhớt mà giữa các lớp chất lỏng chuyển động tương đối với nhau có lực ma sát gọi là ma sát trong T (hay lực nội ma sát) ; lực này được biểu thị bằng định luật Niutơn (1686) : T= µS du ,(N ) dn (1 – 5) trong đó : S – diện tích tiếp xúc giữa các lớp chất lỏng ; u = f(n) – vận tốc (n là phương thẳng góc với phương chuyển động) ; du = f’(n) – gradien vận tốc theo phương n (hình 1 – 1) ; dn µ - hệ số nhớt động lực, có đơn vị Ns/m2 hay kg/s.m ; đơn vị ứng với 0,1N.s/m2 gọi là poazơ. Hình 1 – 1 Đại lượng : τ = T du = µ ,(N ) S dn (1- 6) n gọi là ứng suất tiếp (hay ứng suất ma sát). Hệ số : u+du dn ν = du u=f(n) µ 2 (m / s) ρ (1 – 7) trong đó ρ - khối lượng riêng ; ν được gọi là hệ số nhớt động học. Đơn vị cm2/s được gọi là stốc. Do cấu tạo nội bộ của chất lỏng và chất khí khác nhau nên khi nhiệt độ tăng lên, hệ số nhớt của chất khí sẽ tăng lên, còn của chất lỏng lại giảm xuống : Đối với khí : µt= µ0 C 273 T C 273 1+ T 1+ (1 – 8) trong đó : µ 0 - độ nhớt của khí ở 00C ; T- nhiệt độ tuyệt đối (0K) ; C – hằng số, lấy như sau : không khí C = 114 ; khinh khí – 74 ; khí CO 2 – 260 ; hơi nước - 673. Đối với nước : ν = 0,01775 , (cm 2 / s ) 2 1 + 0,0337t + 0,000221t (1 – 9) trong đó : t – nhiệt độ nước (0C). Ở phụ lục 1 – 2 cho trị số ν của nước và không khí ứng với các nhiệt độ khác nhau. Trong thực tế, hệ số nhớt ν còn biểu thị bằng độ Engle (0E), đổi ra đơn vị cm2/s theo hệ thức : 0,0631 , (cm 2 / s ) 0 E ν = 0,0731 0E - (1 – 10) Các lực tác dụng vào chất chảy có thể chia làm 2 loại : lực khối lượng (hay lực thể tích) và lực măt. Lực mặt tác dụng lên các mặt bao quanh khối chất chảy ta xét (ví dụ : áp lực, phản lực của thành rắn, lực ma sát). Muốn tính lực mặt cần biết luật phân bố của nó trên mặt cần tính. Lực khối lượng tác dụng lên từng phần tử chất lỏng (ví dụ : trọng lực, lực quán tính). Muốn tính lực khối lượng phải biết luật phân bố của gia tốc lực khối trong thể tích chất lỏng ta xét. Gọi lực khối là F thì 3 thành phần của nó tính như sau : F x = mX F y = mY (1 – 11) F z = mZ trong đó : m – khối lượng ; X, Y, Z – hình chiếu của gia tốc lực khối lên 3 trục tọa độ. Hệ thống đơn vị : Theo bảng đơn vị đo lường hợp pháp của nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam, các đơn vị lấy như sau : chiều dài : mét (m) ; thời gian : giây (s) ; khối lượng : kilogam (kg) ; lực, áp lực, trọng lượng : Niutơn (N) ; 1N = 1 kG 9,81 áp suất, ứng suất : N/m2 v.v... II – BÀI TẬP 1. TRỌNG LƯỢNG RIÊNG. KHỐI LƯỢNG RIÊNG Bài 1-1. Trọng lượng riêng của nước là γ = 9810N/m3 ; tính khối lượng riêng của nó : Giải : ρ = γ g = 9810 = 1000kg / m 3 9,81 Bài 1-2. Khối lượng riêng của thủy ngân là ρ tn = 13.600 kg/m3, tính trọng lượng riêng của nó : Giải : γ tn = ρ tn g = 13.600 x 9,81 = 133.500 N/m3 Bài 1-3. So sánh khối lượng riêng của không khí ở nhiệt độ t = 170C và áp suất p= 760mm cột thủy ngân với khối lượng riêng của nước (lấy ρ nước = 1000kg/m3 ). Giải : khối lượng riêng của không khí : ρ k.k = 1,217 x tỷ số : 760 273 + 15 p 273 + 15 . . = 1,217 × = 1,192kg / m 3 0 760 273 + 17 760 273 + t C k= ρ k .k = 1000 ≈ 840. 1,192 Bài 1-4 . Tỷ trọng của nước biển là δ = 1,03. Tính trọng lượng riêng và khối lượng riêng của nó : Đáp số : γ n.b = 10.104,3N/m3 ρ n.b = 1030kg/m3 Bài 1-5. Xác định khối lượng riêng của một chất khí ở 8000C, nếu dưới áp suất 760mm cột thủy ngân và nhiệt độ 00C, trọng lượng riêng nó là γ = 12,76N/m3 Đáp số : ρ =0,332 kg/m3 Bài 1-6. Nhiệt độ của một chất khí ở đầu đường dẫn là 9000 C. Do được làm nguội cho nên ở cuối đường dẫn, nhiệt độ khí chỉ còn 500 0C. Xác định khối lượng riêng của khí ở đầu và cuối đường dẫn nếu áp suất giữ không đổi và trọng lượng riêng của khí ở 0 0C là γ 0 = 12,47N/m3. Đáp số : ρ đầu = 0,298 kg/m3 ρ cuối = 0,451 kg/m3 2. TÍNH THAY ĐỔI THỂ TÍCH Bài 1-7. Tính môđun đàn hồi của nước, nếu khi tăng áp suất lên 5at, thể tích nước ban đầu là W = 4m3 sẽ giảm đi 1dm3. 1 dp 5 × 9,81.10 4 Giải : K = = −W = −4,0 × = 1,962.10 9 N / m 2 ≈ 2.10 9 N / m 2 ßw dw (−0,001) Bài 1-8. Thể tích nước sẽ giảm đi một lượng bao nhiêu khi áp suất từ 1at lên 10at, nếu thể tích ban đầu W = 50dm3. Cho biết β w = 5,1.10-10m2/ N. Giải : ∆W = β w W ∆ p = 5,1 .10 - 10 × 0,05 × (101 – 1) × 9,81.104 = 0,00025m3 = 0,25dm3. Bài 1-9. Khi đem thí nghiệm thủy lực một ống có đường kính d = 400mm và chiều dài l = 2000m, áp suất nước trong ống tăng lên đến 45at. Một giờ sau, áp suất giảm xuống chỉ còn 40at. Cho biết β w = 5,1.10 – 10 m2/N. Bỏ qua sự biến dạng của ống, tính xem thể tích nước đã rỉ ra ngoài là bao nhiêu ? Đáp số : W = 62,8dm3 Bài 1-10. Ở một máy dùng kiểm tra các áp kế, một thanh có ren ngang đường kính d = 4cm và bước răng t = 1,2cm được cắm vào bình tích năng hình trụ tròn qua một lỗ kín. Hình trụ chứa đầy nước, đường kính trong D = 30cm, chiều cao H = 20cm. Hệ số co thể tích của nước lấy là β w = 5.10 – 10m2/N. Coi thành hình trụ là không biến dạng, xác định áp suất của nước sau 5 vòng của thanh. Đáp số : ∆ p = 107 at ≈ 10,5.106 N/m2 Bài 1- 10 M M H D Bài 1 – 11. Một bể chứa đầy dầu dưới áp suất 5at. Khi tháo ra ngoài 40lít dầu, áp suất trong bể giảm xuống chỉ còn 1at. Xác định dung tích của bể chứa, nếu hệ số co thể tích của dầu là β m/N. w = 7,55.10 – 10 Đáp số : W = 135m3 3. TÍNH NHỚT Bài 1 – 12. Xác định hệ số nhớt động của dầu ( γ = 8829 N/m3 ) ở t = 50 0C, nếu µ = 0,00588 Ns/m2 . Giải : ν = µ ρ = µg γ = 0,00588 × 9,81 = 0,064.10 −4 m 2 / s = 0,064cm 2 / s 8829 Bài 1 – 13. Tính ứng suất tiếp tại mặt trong của một ống dẫn nhiên liệu, cho biết : - Hệ số nhớt động ν = 7,25 . 10 -5 m2/s - Khối lượng riêng ρ = 932 kg/m3 - Gradien lưu tốc 1 du = 4. dn s Giải : Hệ số nhớt động lực của nhiên liệu : µ = ν p = 7,25 . 10 – 5 × 932 = 6,77 . 10 – 2 Ns/m2 . Ứng suất tiếp tại mặt trong của ống ; τ= µ du = 6,77 . 10 – 2 × 4 = 0,27 N/m2 dn Bài 1 – 14. Xác định ứng suất tiếp trên bề mặt một tàu thủy đang chuyển động, nếu sự thay đổi lưu tốc dòng nước theo phương pháp tuyến với mặt này được biểu thị bằng phương trình u = 516 y – 13400y2, với y < 1,93 . 10 – 2m. Nhiệt độ nước t = 15 0C. Đáp số : τ = 0,588 N/m2 Bài 1 – 16. Xác định lực ma sát tại mặt trong của một ống dẫn dầu có đường kính d = 80mm, chiều dài l = 10m, nếu lưu tốc trên mặt cắt ngang của ống thay đổi theo luật u = 25y d – 312y2, trong đó y là khoảng cách tính từ mặt trong ống ( 0 ≤ y ≤ ; y tính bằng mét, u 2 2 tính bằng m/s ). Hệ số nhớt động lực của dầu µ = 0,0599 N.s/m . Lưu tốc lớn nhất của dầu trong ống là bao nhiêu ? Đáp số : T = 3,768N d  u 0 = u  y =  = 0,5m/s 2  Bài 1 – 16 d 2 y u0 u u Ch­¬ng II thñy tÜnh häc I – Tãm t¾t lý thuyÕt Ch­¬ng thñy tÜnh nghiªn cøu nh÷ng vÊn ®Ò chÊt láng ë tr¹ng th¸i c©n b»ng, tøc lµ ë tr¹ng th¸i kh«ng cã sù chuyÓn ®éng t­¬ng ®èi gi÷a c¸c phÇn tö chÊt láng. §2 – 1. ¸p suÊt thñy tÜnh YÕu tè thñy lùc c¬ b¶n cña tr¹ng th¸i c©n b»ng cña chÊt láng lµ ¸p suÊt thñy tÜnh. • ¸p suÊt thñy tÜnh t¹i mét ®iÓm (hay nãi gän h¬n : ¸p suÊt thñy tÜnh) trong chÊt láng ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc :  ∆P  dP ; p = lim  =  ∆ω  dω (2- 1) trong ®ã P lµ ¸p lùc thñy tÜnh t¸c dông lªn diÖn tÝch ω. ¸p suÊt thuû tÜnh t¸c dông th¼ng gãc víi diÖn tÝch chÞu lùc vµ h­íng vµo diÖn tÝch Êy ; trÞ sè cña nã t¹i mét ®iÓm bÊt kú trong chÊt láng kh«ng phô thuéc vµo h­íng ®Æt cña diÖn tÝch chÞu lùc t¹i ®iÓm ®ã. ¸p suÊt thuû tÜnh cã ®¬n vÞ lµ N/m2 hoÆc kg/m2 ; trong kü thuËt cßn dïng ®¬n vÞ lµ atm«tphe ( at ) : 1 at = 9,81 . 104 N/m2 ¸p lùc cã ®¬n vÞ lµ N ( Niut¬n ). • Ph­¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n ( tæng qu¸t ) cña chÊt láng c©n b»ng : dp = ρ (Xdx + Ydy +Zdz) (2-2) trong ®ã ρ – khèi l­îng riªng cña chÊt láng ; X, Y, Z – h×nh chiÕu cña gia tèc lùc khèi lªn c¸c trôc to¹ ®é vu«ng gãc x, y, z. TÝch ph©n ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc biÓu thøc biÓu thÞ luËt ph©n bè ¸p suÊt thuû tÜnh trong chÊt láng : p = ρ ∫ [( Xdx + Ydy + Zdz )] + C (2-3) • MÆt ®¼ng ¸p trong chÊt láng lµ mÆt mµ t¹i mäi ®iÓm trªn ®ã cã cïng 1 trÞ sè ¸p suÊt (p = const) ; ph­¬ng tr×nh vi ph©n cña mÆt ®¼ng ¸p lµ dp = 0 hay Xdx + Ydy + Zdz = 0 4) (2– TÝch ph©n (2 – 4) ta ®­îc ph­¬ng tr×nh cña mÆt ®¼ng ¸p : ∫ ( Xdx + Ydy + Zdz ) = const (2 – (2 – 5) Mét trong c¸c mÆt ®¼ng ¸p lµ mÆt tù do cña chÊt láng (mÆt tho¸ng). • ¸p suÊt thñy tÜnh trong chÊt láng träng lùc c©n b»ng (h.2 – 1) TÝch ph©n (2- 2) víi ®iÒu kiÖn X = Y = 0, Z = - g, ta ®­îc ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña thñy tÜnh häc : z+ p γ = const 6) trong ®ã : z - ®é cao cña ®iÓm ta xÐt (®iÓm M, cã ¸p suÊt p) tÝnh ®Õn mÆt ph¼ng so s¸nh (mÆt ph¼ng n»m ngang, vÞ trÝ tïy ý chän). γ - träng l­îng riªng cña chÊt láng. H×nh 2 –1 H×nh 2 – 2 Z Z p0 0 M (p) h Z β a x v β y MÆt ph¼ng so s¸nh j g Tõ ( 2- 6) suy ra c«ng thøc ¸p suÊt t¹i 1 ®iÓm trong chÊt láng : p = p0 + γ h (2 – 7) trong ®ã : p 0 - ¸p suÊt t¹i mÆt tù do ; h - ®é s©u cña ®iÓm ta xÐt tÝnh tõ mÆt tù do cã p d = 0. • ¸p suÊt thñy tÜnh trong chÊt láng c©n b»ng, chÞu t¸c dông cña träng lùc vµ lùc qu¸n tÝnh n»m ngang víi gia tèc a kh«ng ®æi (h. 2-2). TÝch ph©n (2-2) víi ®iÒu kiÖn X = - a , Y = 0 ; Z = - g ta ®­îc : p = p 0 - ρ (ax + gz) (2- 8) Ph­¬ng tr×nh mÆt ®¼ng ¸p : ax + gz = const (2–9) §ã lµ nh÷ng mÆt ph¼ng n»m nghiªng song song víi nhau. Gãc nghiªng β ®­îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc : tg | β | = a g (2– 10) • ¸p suÊt thñy tÜnh trong chÊt láng quay ®Òu quanh trôc th¼ng ®øng (h.2-3). TÝch ph©n (2 – 2) víi ®iÒu kiÖn : X = ω 2x ; Y = ω 2y ; Z = - g, ta ®­îc : p = p0 + ρ ω 2r 2 2 − γz ; (2 – 11) trong ®ã : ω - vËn tèc quay ; r – b¸n kÝnh quay cña phÇn tö chÊt láng ta xÐt. MÆt ®¼ng ¸p lµ nh÷ng mÆt paraboloit trßn xoay, cã ph­¬ng tr×nh : ρ ρ ω 2r 2 2 ω 2r 2 2 − γz = const − γz = C H×nh 2 - 3 H×nh 2 – 4 z ϖ ϖ2 r r 0 g (2 – 12) x j r0 r α y • ¸p suÊt thñy tÜnh trong chÊt láng quay ®Òu quanh trôc n»m ngang ( h.2 – 4) NÕu ω kh¸ lín sao cho ω 2r » g, tÝch ph©n (2-2) víi ®iÒu kiÖn bá qua g, ta ®­îc : p = p0 + kÓ c¶ g th× : p = p0 + ω 2 (r 2 − r02 ) (2 – 13) 2 ω 2 (r 2 − r02 ) 2 + γ (z 0 – z) trong ®ã : p 0 vµ p lÇn l­ît lµ ¸p suÊt t¹i c¸c mÆt trô cã b¸n kÝnh lµ r 0 vµ r. • ¸p suÊt tuyÖt ®èi, ¸p suÊt d­, ch©n kh«ng : ¸p suÊt tuyÖt ®èi lµ ¸p suÊt toµn phÇn t¹i mét ®iÓm ( p t ). ¸p suÊt d­ p d lµ ¸p suÊt t¹i 1 ®iÓm kh«ng kÓ ®Õn ¸p suÊt kh«ng khÝ (p n ) : pd = pt - pn (2 – 14) ¸p suÊt ch©n kh«ng (p ck ) – gäi t¾t lµ ch©n kh«ng (tr­êng hîp p t < p n ) lµ ®é thiÕu cña ¸p suÊt tuyÖt ®èi ®Ó b»ng ¸p suÊt kh«ng khÝ : p ck = p n - p t 15) (2 – Khi p t = p n (nh­ trªn mÆt n­íc ë s«ng, hå, ao,...), ta cã : p d = p ck = 0 ¸p suÊt kh«ng khÝ ®­îc lÊy ch½n lµ 1 at : p n = 1at = 98 . 100 N/m2 Cã thÓ biÓu diÔn quan hÖ gi÷a p t , p d vµ p ck ( so víi p n ) qua ®å thÞ h×nh 2 – 5. H×nh 2 - 5 H×nh 2 –6 H×nh 2 –7 pa pa pd pt > pa p0 pa pck pa pt < pa M p0 h= 0 pd γ M (hck)M pa a a M • §o ¸p suÊt thñy tÜnh Dông cô ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó ®o ¸p suÊt d­ lµ èng ®o ¸p (h.2 – 6). ¸p suÊt ®­îc biÓu thÞ b»ng cét chÊt láng cã chiÒu cao h phô thuéc trÞ sè ¸p suÊt ( p ) vµ träng l­îng riªng cña chÊt láng ( γ ) : h= p γ (2 – 16) §Ó ®o ch©n kh«ng, ng­êi ta dïng ch©n kh«ng kÕ (h.2 – 7). §é cao ch©n kh«ng (h ck ) chÝnh lµ : h ck = pck γ (2 – 17) , ( m) Ng­êi ta cßn dïng c¸c lo¹i ¸p kÕ (®o ¸p suÊt d­) vµ ch©n kh«ng kÕ kh¸c. Tõ chiÒu cao cét chÊt láng, cã thÓ ®æi ra ®¬n vÞ cña ¸p suÊt theo hÖ thøc : p = γ h ; ( N/m2 ) (2 – 18) Nh­ vËy, 1 at t­¬ng ®­¬ng víi cét n­íc cã chiÒu cao 10m, víi cét thñy ng©n cã chiÒu cao 735mm. • §å ph©n bè ¸p suÊt thñy tÜnh biÓu diÔn b»ng ®å thÞ luËt ph©n bè cña ¸p suÊt thñy tÜnh theo chiÒu s©u h (h.2 – 8a, b). H×nh 2 – 8 pa pa pt pa A H×nh 2 –9 pa A pd H H pa γH B ϖ2 B b) pd h γH pt p1 pa p2 ϖ1 a) • §Þnh luËt Patscan nãi vÒ sù truyÒn ¸p suÊt trong chÊt láng träng lùc c©n b»ng. ë h×nh 2 – 9, nÕu bá qua ®é chªnh h, ta cã : P1 ¸p suÊt truyÒn vµo mÆt ω 1 : p1 = ¸p lùc thu ®­îc ë mÆt ω 2 : P2 = p1. ω 2 = P1 ω1 ω2 » P 1 ( nÕu ω 2 » ω 1 ) ω1 §2.2 ¸p lùc thñy tÜnh t¸c dông lªn thµnh ph¼ng vµ thµnh cong • ¸p lùc thñy tÜnh t¸c dông lªn thµnh ph¼ng. TrÞ sè cña ¸p lùc thñy tÜnh lªn thµnh ph¼ng b»ng ¸p suÊt thñy tÜnh t¹i träng t©m C cña thµnh nh©n víi diÖn tÝch ω cña thµnh ®ã (h.2 – 10,a) : P = pc ω = ( p0 + γ hc ) ω trong ®ã : p 0 - ¸p suÊt t¹i mÆt tù do cña chÊt láng ; h c - ®é s©u cña träng t©m C tÝnh tõ mÆt chÊt láng. (2 – 19) H×nh 2 – 10 hc p D α 0 α a p0t >pa p0d C1 γ hc p C D b) ω D c c a) a D p0 c D ω pa a hc a C D D p α c c) c D ω Tr­êng hîp p ot = p n , tøc p od = 0 (mÆt n­íc th«ng víi kh«ng khÝ) (h.2- 10,c) th× ¸p lùc d­ t¸c dông lªn diÖn tÝch ω sÏ lµ : P = γ hc ω (2 – 20) Tr­êng hîp p od ≠ 0 (h.2 – 10,b : p ot > p a’ p od >0 ), ¸p lùc d­ vÉn tÝnh theo (2 – 20) nh­ng trong ®ã h c ph¶i kÓ tõ ®iÓm C ®Õn mÆt a – a cã p t = p a chø kh«ng ph¶i ®Õn mÆt chÊt láng. Trong thùc tÕ ta th­êng chØ cÇn tÝnh ¸p lùc d­ v× phÇn ¸p lùc cña kh«ng khÝ t¸c dông lªn hai phÝa cña thµnh ph¼ng c©n b»ng nhau. §iÓm ®Æt cña ¸p lùc ( gäi lµ t©m ¸p lùc). VÞ trÝ cña t©m ¸p lùc d­ - kho¶ng c¸ch y D (®iÓm D, h×nh 2 – 10b, c) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc : yD = yc + Ic y cω (2 – 21) trong ®ã : y c , y D – kho¶ng c¸ch tÝnh theo chiÒu nghiªng cña thµnh tõ ®iÓm C, ®iÓm D ®Õn mÆt a – a ( ë h×nh 2 – 10, c mÆt a – a chÝnh lµ mÆt chÊt láng) ; träng t©m C. I c – m«men qu¸n tÝnh cña diÖn tÝch thµnh ®èi víi trôc n»m ngang ®i qua Tr­êng hîp thµnh ph¼ng lµ h×nh ch÷ nhËt hoÆc h×nh vu«ng cã c¹nh n»m ngang, cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p ®å gi¶i rÊt thuËn tiÖn (h.2 – 11) : dùa vµo ®å ph©n bè ¸p suÊt thñy tÜnh, ta cã : ¸p lùc d­ : P = S biÓu ®å γH 2 b = .b 2.sin α T©m ¸p lùc (D) : yD = 2 H 2 ; hp = H . 3 sin α 3 H×nh 2 – 11 pa H×nh 2 –12 n S b.®å p0 α hD b p a d α D H c W c γH c D A ω D b n B C pn MÆt cong ABCD • ¸p lùc thñy tÜnh t¸c dông lªn thµnh cong. TtÞ sè cña ¸p lùc P lªn thµnh cong theo mét ph­¬ng bÊt kú nh­ng kh«ng ph¶i n»m ngang ; (ph­¬ng n – n , h×nh 2 – 12) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc : P n = p 0 ω n + Gcosα (2 – 22) trong ®ã : ω n – diÖn tÝch cña mÆt ph¼ng abcd – h×nh chiÕu cña thµnh cong ABCD lªn mÆt ph¼ng ®Æt th¼ng gãc víi ph­¬ng n – n ; G = γ W – träng l­îng khèi chÊt láng h×nh trô cã thÓ tÝch W, ®­îc giíi h¹n bëi : mét phÝa thµnh cong ABCD, mét phÝa lµ mÆt chÊt láng (cã ¸p suÊt p 0 ), bao quanh lµ mÆt trô cã ®­êng sinh song song víi ph­¬ng n – n vµ tùa lªn chu vi thµnh cong : α - gãc lËp bëi ph­¬ng n – n vµ ph­¬ng th¼ng ®øng. §èi víi thµnh h×nh trô cong hai chiÒu AB (h.2 – 13) cã ®­êng sinh n»m ngang, ¸p lùc P b»ng tæng h×nh häc cña c¸c thµnh phÇn n»m ngang vµ th¼ng ®øng : P= Px2 + Pz2 (2 – 23) trong ®ã : P y = 0 v× ta chän ph­¬ng trôc y// ®­êng sinh ; P x = γhcxω x (2 – 24) ë ®©y : ω x – diÖn tÝch h×nh chiÕu cña thµnh cong lªn mÆt ph¼ng ®Æt th¼ng gãc víi trôc x ; h cx - ®é s©u träng t©m cña ω x ; Pz = γ W (2 – 25) lµ träng l­îng cña vËt ¸p lùc W. ThÓ tÝch W trong tr­êng hîp nµy ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau : phÝa d­íi lµ thµnh cong AB tiÕp xóc víi chÊt láng, phÝa trªn lµ mÆt tù do cña chÊt láng, cßn mÆt bao quanh lµ mÆt trô ®øng dùa vµo chu vi cña thµnh cong ta xÐt. VËt ¸p lùc W cã thÓ lµ d­¬ng (h.2 – 13), cã thÓ lµ ©m (h.2 – 14) nÕu nã ë vÒ phÝa thµnh cong kh«ng tiÕp xóc víi chÊt láng – tr­êng hîp nµy P z sÏ h­íng lªn trªn. H×nh 2 – 13 H×nh 2 – 14 W (-) W (+) A A B' B' pz M β hcx M ϖx k px p h cx ϖx G D k β D p pZ =G B B γH §èi víi thµnh cong ba chiÒu (ch¼ng h¹n mét phÇn cña mÆt cÇu), ¸p lùc P cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc : P= Px2 + Py2 + Pz2 (2 – 26) trong ®ã : P x = γ h cx ω x P y = γ h cy ω y Pz = γ W (2 – 27) Ph­¬ng cña ¸p lùc P ®­îc x¸c ®Þnh bëi gãc β hîp thµnh gi÷a vÐct¬ P vµ mÆt ph¼ng n»m ngang : tg β = Pz Px (2 – 28) §iÓm ®Æt cña lùc P : vect¬ P ®i qua giao ®iÓm K (h.2 – 13) cña c¸c ®­êng t¸c dông cña P x vµ P z vµ hîp víi mÆt ph¼ng n»m ngang gãc β . Giao ®iÓm D gi÷a P vµ thµnh cong chÝnh lµ t©m ¸p lùc cÇn t×m. §2 – 3. ®Þnh luËt ¸csimÐt – vËt næi • §Þnh luËt ¸csimÐt . Lùc ¸csimÐt lµ hîp lùc cña tÊt c¶ ¸p lùc t¸c dông lªn mÆt bao quanh cña vËt r¾n nhóng ch×m trong chÊt láng träng lùc c©n b»ng. Nã ®­îc ®Æc tr­ng b»ng c¸c tÝnh chÊt sau ®©y : - H­íng tõ d­íi lªn trªn, ®Æt t¹i träng t©m cña khèi chÊt láng bÞ vËt cho¸n chç. - Cã trÞ sè b»ng träng l­îng cña khèi chÊt láng nãi trªn (thÓ tÝch W) P= γW ( 2 – 29) trong ®ã : γ - träng l­îng riªng cña chÊt láng. Nh­ vËy, mét vËt r¾n nhóng ch×m trong chÊt láng träng lùc c©n b»ng chÞu t¸c dông cña hai lùc : lùc ¸csimÐt P (lùc ®Èy lªn) h­íng lªn trªn, vµ träng l­îng cña vËt G ( ®Æt t¹o träng t©m vËt r¾n C) h­íng xuèng d­íi. Tïy theo lùc P bÐ h¬n, b»ng hoÆc lín h¬n lùc G mµ vËt r¾n hoÆc lµ ch×m xuèng ®Õn ®¸y (bÓ chøa...), hoÆc ch×m l¬ löng trong chÊt láng, hoÆc næi lªn trªn mÆt chÊt láng. • VËt næi . Tr­êng hîp P > G, vËt r¾n sÏ lã mét phÇn ra khái mÆt chÊt láng – ta cã vËt næi (h.2 – 15). VËt næi sÏ c©n b»ng khi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : P’ = γ W’ = G (2 – 30) trong ®ã : W’ lµ thÓ tÝch khèi chÊt láng bÞ phÇn ngËp cña vËt cho¸n chç (phÇn g¹ch g¹ch). §iÓm ®Æt cña P’ lµ D’. Tõ ®ã suy ra r»ng träng l­îng cña vËt næi (tµu, thuyÒn, phao,...) b»ng träng l­îng khèi chÊt láng bÞ nã cho¸n chç. ThÓ tÝch W’ th­êng ®­îc gäi lµ l­îng gi·n n­íc. Ngoµi ®iÒu kiÖn (2 – 30), vËt næi muèn c©n b»ng ph¶i cã thªm ®iÒu kiÖn : 2 ®iÓm C vµ D’ ph¶i cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng ®øng z – z tøc trôc næi (h.2 – 16,a). H×nh 2 – 15 H×nh 2 – 16 Z Z P=G p G G C D' C D' G D' P' a) D" p' W' Z M C1 Z b) NÕu lý do nµo ®ã, trôc næi z – z nghiªng ®i (h.2 – 16, b) th× P (®iÓm ®Æt lóc nµy lµ D”) vµ G sÏ t¹o thµnh m«men cã khuynh h­íng hoÆc lµ lµm cho vËt quay trë l¹i tr¹ng th¸i ban ®Çu, hoÆc lµm cho vËt tiÕp tôc nghiªng ®i. Kh¶ n¨ng cña vËt trë l¹i vÞ trÝ c©n b»ng ban ®Çu khi c¸c lùc ngoµi ngõng t¸c dông ®­îc gäi lµ tÝnh æn ®Þnh. Ta thÊy ngay : vËt næi sÏ c©n b»ng æn ®Þnh khi ®iÓm C n»m d­íi ®iÓm D’ ; trong tr­êng hîp ®iÓm C n»m trªn ®iÓm D’, vËt næi sÏ c©n b»ng æn ®Þnh nÕu ®iÓm M - ®­îc gäi lµ t©m ®Þnh khuynh (giao ®iÓm gi÷a trôc næi vµ ph­¬ng cña P' ) n»m cao h¬n ®iÓm C (h.2 – 16, b). Kho¶ng c¸ch ρ = MD' gäi lµ b¸n kÝnh ®Þnh khuynh. §Æt e = CD' th× kho¶ng c¸ch h M = ρ - e ®­îc gäi lµ ®é cao ®Þnh khuynh. h M cµng lín th× vËt cµng æn ®Þnh ; vËt mÊt æn ®Þnh khi h M < 0. B¸n kÝnh ®Þnh khuynh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc : ρ = 1 W' (2 – 31) trong ®ã : I – m«men qu¸n tÝnh cña mÆt næi (tøc mÆt ph¼ng mµ mÆt chÊt láng c¾t vËt næi ë vÞ trÝ c©n b»ng ban ®Çu ) ®èi víi trôc däc cña nã ; W’ – l­îng gi·n n­íc. Trong kü thuËt ®ãng tµu thuyÒn, tïy theo h×nh d¹ng, kÝch th­íc vµ tÝnh chÊt sö dông, th­êng lÊy h M = 0,3 ÷ 1,5m. * * * II - Bµi tËp 1. ¸p suÊt thñy tÜnh Bµi 2 – 1. TÝnh ¸p suÊt tuyÖt ®èi vµ ¸p suÊt d­ t¹i ®é s©u h = 15m ë d­íi mÆt n­íc biÓn. Träng l­îng riªng cña n­íc biÓn lÊy lµ γ = 104 N/m3 . Gi¶i : ¸p suÊt tuyÖt ®èi : p t = p a + γ h = 98.100 + 104 × 15 = 248.100 N/m2 . Bµi 2 – 1 Bµi 2 – 2 Pa P0 Pa h A h (γ) 0 0 ¸p suÊt d­ : p d = p t - p a = γ h = 104 × 15 = 150.000 N/m2 . Bµi 2 –2. X¸c ®Þnh ®é cao cña cét n­íc d©ng lªn trong èng ®o ¸p (h). N­íc trong b×nh kÝn chÞu 1 ¸p suÊt t¹i mÆt tù do lµ p ot = 1,06 at. X¸c ®Þnh ¸p suÊt p ot nÕu h = 0,80m. Gi¶i : V× mÆt O – O lµ mÆt ®¼ng ¸p nªn ta cã : P At = P ot MÆt kh¸c, tõ èng ®o ¸p, ta cã : P At = p n + γ h Tõ 2 ®¼ng thøc trªn ta rót ra : h= Pot − pa γ Thay : p a = 1at = 98.100 N/m2 . p ot = 1,06at = 1,06 × 98.100 N/m2 . vµ γ = 9810 N/m3 ta tÝnh ®­îc : h = 0,6m NÕu h = 0,8m, ta cã : p ot = p At = p a + γ h = 98.100 + 9810 × 0,8 = 105.948 N/m2 Bµi 2 –3. X¸c ®Þnh ®é cao n­íc d©ng lªn trong ch©n kh«ng kÕ, nÕu ¸p suÊt tuyÖt ®èi cña khÝ trong b×nh cÇu lµ p ot = 0,95at. Gi¶i : V× mÆt a – a lµ mÆt ®¼ng ¸p nªn ta cã : Bµi 2 -3 P0 p At = p a MÆt kh¸c, tõ èng ch©n kh«ng kÕ : a hA p At = p ot + γ h Pa a Tõ 2 ®¼ng thøc trªn ta rót ra : h+ Thay : p a = 98.100 N/m2 p ot = 0,95 × 98.100 N/m2 vµ : γ = 9810 N/m3 ta ®­îc : h = 0,5m pa − pot γ Ta thÊy γ h = p a – p ot = p ock lµ ¸p suÊt ch©n kh«ng cña m«i tr­êng khÝ trong b×nh cÇu ; v× vËy, chØ sè cña ch©n kh«ng kÕ (h) cho ta biÕt ¸p suÊt ch©n kh«ng ®ã. Bµi 2 –4. X¸c ®Þnh ®é chªnh ¸p suÊt t¹i 2 ®iÓm A, B cña mét èng dÉn n­íc b»ng ¸p kÕ ch÷ U. Cho biÕt : chiÒu cao cét thñy ng©n h 0 = h 1 – h 2 = 20cm, träng l­îng riªng cña thñy ng©n γ tn = 133.416 N/m3 = 13,6 γ n . Bµi 2 – 4 Bµi 2 – 5 0' 0 N­íc 0 h1 0 h2 A Thuû ng©n B Gi¶i : Tõ bªn tr¸i : p o’ – o’ = p A - γ n h 1 Tõ bªn ph¶i : po – o = pB - γ nh2 Ta l¹i cã : p o–o = p o’ – o’ + γ tn h o Nªn cuèi cïng ta cã : p B – p A = γ tn h o - γ n (h 1 – h 2 ) = ( γ tn - γ n )h o = ( 133.416 - 9810)0,2 = 2,472.104 N/m2 Bµi 2 –5. §Ó ®o ¸p suÊt, ng­êi ta nèi vµo mét b×nh ®ùng dÇu x¨ng (tû träng δ x = 0,7) tíi ®é cao a+ b = 1,9m b»ng ba thiÕt bÞ kh¸c nhau : 1 ¸p kÕ kim lo¹i ë n¾p, 1 èng ®o ¸p ë ®¸y, vµ 1 ¸p kÕ 3 khuûu ë thµnh bªn t¹i ®é s©u b = 1,3m d­íi mùc dÇu x¨ng ®ùng ®Çy thñy ng©n ( δ tn = 13,6), n­íc ( δ n = 1) vµ kh«ng khÝ ( δ n ≈ 0). X¸c ®Þnh chØ sè cña ¸p kÕ (M) vµ cña èng ®o ¸p (H) nÕu møc c¸c chÊt láng trong ¸p kÕ 3 khuûu cho nh­ ë h×nh vÏ (cho b»ng mÐt). Gi¶i : ChØ sè cña ¸p kÕ M chÝnh lµ ¸p suÊt d­ cña m«i tr­êng khÝ trªn mÆt dÇu x¨ng trong b×nh. Dïng c¸ch tÝnh truyÒn theo ¸p kÕ 3 khuûu ( tõ bªn ph¶i sang), ta tÝnh lÇn l­ît nh­ sau :