I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1
x
1. f(x) = x2 – 3x +
2x 4 3
2. f(x) =
x2
x 1
. f(x) = 2
x
( x 2 1) 2
4. f(x) =
x2
x 3 3x 2
ln x C
3
2
2x3 3
C
F(x) =
3
x
1
F(x) = lnx + x + C
ĐS. F(x) =
ĐS.
ĐS.
x3
1
2x C
3
x
ĐS. F(x) =
4
3
5. f(x) =
6. f(x) =
7. f(x) =
8. f(x) =
9. f(x) =
3
4
x x x
1
2
3
x
x
( x 1) 2
x
x 1
3
ĐS. F(x) =
2 x 33 x 2 C
ĐS. F(x) =
x 4 x ln x C
5
2
ĐS. F(x) = x 3 x 3 C
x
2 sin 2
ĐS. F(x) =
5
2 x 2 3x 3 4 x 4
C
3
4
5
x
2
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
1
13. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
15. f(x) = sin3x
17. f(x) = ex(ex – 1)
18. f(x) = ex(2 +
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
1
cos 3 x C
3
1
ĐS. F(x) = 5 cos 5 x cos x C
1
ĐS. F(x) = 2 e 2 x e x C
ĐS. F(x) =
16. f(x) = 2sin3xcos2x
e x
)
cos 2 x
1
1
x sin 2 x C
2
4
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
2a x
3x
C
ln a ln 3
1 3 x 1
e
C
3
19. f(x) = 2ax + 3x
ĐS. F(x) =
20. f(x) = e3x+1
ĐS. F(x) =
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
2
2. f’(x) = 2 – x và f(2) = 7/3
ĐS. f(x) =
3. f’(x) = 4
ĐS. f(x) =
x x
và f(4) = 0
x3
1
3
8 x x x 2 40
3
2
3
2x
4. f’(x) = x -
1
2 và f(1) = 2
x2
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
6. f’(x) = ax +
x2 1
3
2x
2
x
2
ĐS. f(x) =
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
, f ' (1) 0, f (1) 4, f ( 1) 2
x2
ĐS. f(x) =
x2 1 5
2 x 2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f [u ( x)].u ' ( x )dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u ' ( x)dx
I = f [u ( x)].u ' ( x)dx f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. (5 x
1) dx
5. (2 x 2
1) 7 xdx
9.
3x 2
5 2x
3
dx
dx
2 x) 5
2. (3
6. ( x 3 5) 4 x 2 dx
dx
25.
x (1
14.
x)
ln 3 x
dx
x
11.
2
sin x
dx
5
x
22.
x
e 3
1 x 2 .dx
29. cos 3 x sin 2 xdx
x
16.
23. 1
27.
x 1.dx
31.
x
dx
5
1
dx
tgxdx
2
x
e
x 2 .dx
1 x
2
20.
x 2 dx
e
2
cos
19. tgxdx
e tgx
cos 2 x dx
dx
26.
1 x2
30. x
8.
2x 1
12. x.e x
15. cot gxdx
cos
18. cos x
e x dx
x 2 1.xdx
dx
4.
5 2 x dx
7.
dx
17. sin x
2
x
dx
10.
13. sin 4 x cos xdx
21.
3.
2
dx
1
x
24.
28.
32. x
x
3
2
x
x
dx
dx
4 x2
dx
x 1
x 2 1.dx
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x) v( x).u ' ( x)dx
Hay
udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
3. ( x 2 5) sin xdx
4 ( x 2 2 x 3) cos xdx
5. x sin 2 xdx
6. x cos 2 xdx
7. x.e x dx
8. ln xdx
9. x ln xdx
13.
x
cos
2
x
dx
17. e x . cos xdx
21. x lg xdx
10. ln 2
ln xdx
x
11.
xdx
14. xtg 2 xdx
18. x 3 e x
15. sin
2
dx
22. 2 x ln(1 x)dx
x dx
19. x ln(1 x 2 )dx
23.
ln(1 x)
dx
x2
12. e
16. ln( x 2
x
dx
1) dx
20. 2 x xdx
24. x 2 cos 2 xdx
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
e
( x 3 x 1)dx
1. �
(x
2. �
0
1
2
3
2.
x 2 dx
�
3.
1
2
1 1
2 x 2 )dx
x x
�x 1dx
1
1
(2sin x 3cosx x)dx
4. �
3
1
(e x x )dx
5. �
0
2
( x 3 x x )dx
6. �
( x 1)( x x 1)dx
7. �
0
1
2
1
(3sin x 2cosx )dx
8. �
x
1
(e x x 2 1) dx
9. �
0
3
2
( x x x x )dx
10. �
2
3
1
2
( x 1)( x x 1)dx
11. �
1
3
12. �
( x 1).dx
3
2
13.
-1
e2
5
15.
( x 1).dx
�
x 2 x ln x
1
dx
�x 2
x2
2
2
2
16.
2
1
7x 2 x 5
14. �
dx
x
1
x.dx
�
x 2
17.
cos3 x.dx
�
3
sin x
6
4
tgx .dx
18.
�
cos2 x
0
1
20.
�e
0
e x .dx
x
e x
1
e x e x
19. �x
dx
x
e
e
0
2
21.
1
ln 3
.dx
22. �x
e e x
0
1
24. (2 x 2 x 1)dx
26.
1
2
22.
1
1
3 dx
2
x
1 x
28.
2
8x
2
dx
�
1 sin x
0
2
2
)dx
3
25. (2 x 3 x
0
27.
x( x 3)dx
2
2
dx
�4x
4
( x
2
3
29.
2
x 2 2x
dx
x3
1
4) dx
1
e
dx
30.
x
1
31.
16
x .dx
1
e
32.
e2
2 x 5 7x
dx
x
1
8
1
dx
33 x 2
1
33. 4 x
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2
sin 3 xcos 2 xdx
1. �
3.
3
2
sin x
dx
�
1 3cosx
0
4
cot gxdx
4. �
2
sin 2 xcos 3 xdx
2. �
3
4
3. tgxdx
�
0
5.
6
1
�1 4sin xcosxdx
0
x x 2 1dx
6. �
1
7.
0
x 1 x
�
1
x
�
x 1dx
3
2
0
9.
�x
1
10.
x
�
1 x dx
2
0
1
12.
1
�
1 x
1
�x
0
2
2
dx
2
1
dx
4
2
e x 2 xdx
18. �
2
esin x cosxdx
20. �
4
2
e x 2 xdx
22. �
3
dx
1
�
x x
15.
3
1
�
(1 3x
2 2
0
2
)
dx
e cosx sin xdx
17. �
4
2
3
2
e cosx sin xdx
21. �
4
2
3
sin xcos xdx
24. �
2
1
sin 3 xcos 2 xdx
23. �
0
2
3
sin 3 xcos 2 xdx
19. �
0
1
dx
dx
1
1
1
dx
13. �2
x 2x 2
1
11.
1
1
esin x cosxdx
16. �
1
2
1
0
14.
x2
0
3
2
0
1
8.
6
3
25.
2
sin x
dx
�
1 3cosx
0
4
4
cot gxdx
27. �
26. tgxdx
�
28.
0
6
6
1
�1 4sin xcosxdx
29.
1
1
31.
0
1
32.
x
�x
0
2
34.
1
33.
38.
e
x
�
1 x 2 dx
3
e
dx
3
35.
e
37.
1 3ln x ln x
dx
x
�
1
e2
2ln x 1
�x
1 ln x
dx
x
�
1
e
e
x 2 1dx
0
1
sin(ln x)
dx
36. �
x
1
1
3
1
dx
1
�
x x
x
�
0
2
3
1 ln 2 x
dx
39. �
x
ln
x
e
dx
1
e2
1
dx
40. � 2
cos (1 ln x)
e
2
41.
x
dx
42. �
2
x
1
0
1
43.
x x 1dx
�
0
1
1
dx
44. �
x 1 x
0
1
45.
1
�x 1
0
3
e
x 1
dx
46. �
x
1
sin(ln x)
dx
x
1
e
49.
e
e
48.
1
50.
dx
1
�
cos
e
2
1
dx
(1 ln x)
52.
4
sin
�
4
x 1 cos xdx
54.
�
1
4 x dx
2
56.
0
57.
0
2 x 3
e dx
1
�
4 x 2 dx
0
0
4
55.
�
x 2 x 3 5dx
0
2
53.
1 ln 2 x
dx
�
x ln x
e
1
e2
51.
1 3ln x ln x
dx
x
�
e2
2ln x 1
�x
dx
1 ln x
dx
x
1
e
x
�
46.
�
x
dx
x 1
�
1
1
1
47.
1dx
2
0
0
x 1 x 2 dx
30. �
x x
�
58.
dx
2
1
x
0
�
1
e
0
x
dx
1
x
59. (2x 1)3 dx
0
1
61. x 1 xdx
0
1
2x 5
63. x2 4x 4dx
0
6
65. (sin6 x cos6 x)dx
0
4
67. 1 sin2 2xdx
cos x
0
2
1 sin 2x cos 2x
dx
69.
sin x cos x
1
60.
x
2x 1dx
0
1
4x 11
62. x2 5x 6dx
0
3
x3
64. x2 2x 1dx
0
2
3
66. 4sin x dx
0
1 cos x
2
68. cos4 2xdx
0
1
1
70. ex 1dx .
0
6
4
71. (cos 4 x sin 4 x)dx
0
2
73. sin 3 x dx
0 2 cos 3 x 1
0
75.
2
2
2x 2
dx
x 2x 3
2
77. cos3 x sin 2 xdx
4
72. cos 2 x dx
0 1 2 sin 2 x
2
74. cos x dx
0 5 2 sin x
1
dx
76. 2
1 x 2x 5
2
78.
cos
0
4
79. sin 4x2 dx
1 cos x
0
2
81. sin 2x(1 sin 2 x)3dx
83.
1
e
85.
1 ln x
dx
x
1 ln x
dx
x
1
2
6
cos x
87.
dx
2
6
5sin
x
sin
x
0
4
89. cos x sin x dx
3 sin 2 x
0
xdx
0
1
3
2
80. x 1 x dx
0
82.
0
e
5
4
1
cos
0
84.
4
4
x
dx
1
cos xdx
0
1
5
3 6
86. x (1 x ) dx
0
3
tg 4 x
dx
88.
cos 2x
0
2
90.
0
sin 2 x
2
cos x 4 sin 2 x
dx
2
dx
91. x
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
92. sin 2 x
3
94. (1 tg 8 x )dx
0
4
sin x cos x
dx
95.
1 sin 2 x
2
96. sin 2 x sin x dx
97. sin 2 x cos x dx
0 1 cos x
2
x
1
1 x 1
99.
dx
1 3 cos x
0
4
2
2
98. (e sin x cos x) cos xdx
0
1
1
2
101. 1 2 sin x dx
0 1 sin 2 x
1
1
2
1
107.
dx
1 cos x sin x
0
2
109. x 4 x dx
2
2
108.
101.
1
2
113.
x
2
3
1
1
x2 1
1 x
dx
110.
2
2
2
x x 1
dx
x 5
119.
1
7
0
x3
3
1 x
2
dx
x2
2
3
112.
114.
0
1
dx
x2 1
1 x
dx
(1 x )5
2
0
cos x
dx
7 cos 2 x
cos x
116.
dx
1 x2
x
1
4
115. 1 x 6 dx
0
0
dx
117. 2
1 x 2x 2
121.
0
2
9 3x 2
dx
x2
0
1
0
1
3
2
dx
4 x2
1
x
106. x 4 x2 1 dx
0
104.
105. x2 x 1dx
0
1 x dx
102.
1
103. 1 x 2 dx
0
1
1 3 ln x ln x
dx
x
e
100.
4
1
dx
4
ln(tgx )
dx
93.
sin 2 x
2
(2 sin x) 2
0
1 cos
0
2
dx
1
dx
0
1 1 3x
118.
8
1
120.
2
3 x x 1
3
122.
x
x
0
5
dx
1 x 2 dx
ln 2
123.
0
1
e 2
x
dx
124.
7
3
0
2
x 1
3x 1 dx
3
dx
2 3
2
3
125. x x 1dx
126.
5
0
x x2 4
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
b
b
b
u( x)v'(x)dx u ( x)v( x) a �
v ( x )u '( x )dx
Công thức tích phân từng phần : �
a
a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
�
sin ax �
@ Dạng 1
f ( x) cosax dx
e ax
u f ( x)
du f '( x)dx
sin ax
sin ax
dv cos ax dx v cosax dx
e ax
e ax
f ( x) ln(ax)dx
@ Dạng 2:
dx
u ln(ax )
du x
Đặt
dv f ( x)dx v f ( x )dx
ax sin ax
@ Dạng 3: e .
dx
cosax
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
u x 2e x
1
x 2e x
dx đặt
a/
dx
2
( x 1)
0
dv ( x 1) 2
1
1
1
u x5
x dx
b/ 4
x3 dx
3 đặt
(
x
1)
dv
2
( x 4 1)3
3
8
1
dx
1 x2 x2
dx
x 2 dx
dx � 2 � 2 2 I1 I 2
c/ � 2 2 �
(1 x )
(1 x 2 ) 2
1 x 0 (1 x )
0
0
0
1
dx
Tính I1 � 2 bằng phương pháp đổi biến số
1 x
0
1
x 2 dx
Tính I2 = � 2 2 bằng phương pháp từng phần : đặt
(1 x )
0
Bài tập
ux
�
�
x
�
dv
dx
�
(1 x 2 ) 2
�
e
e
ln 3 x
1. � 3 dx
x
1
2.
x ln xdx
�
1
e
1
x ln( x
�
3.
0
e
4.
ln x
3
dx
6.
1
1
7.
x ln( x
�
x ln xdx
�
2
1
e
3
�x
5.
1)dx
2
1
e
1)dx
2
x ln xdx
�
8.
0
x ln xdx
�
2
1
2
e
9. ( x cosx)s inxdx
�
10.
0
3
2
11.
ln( x
�
2
x)dx
12.
13.
�
14.
�
xe x dx
16.
0
1)
1
x.e
e
6)
x ln xdx
(1
x. ln(3 x
2
9)
).dx
12)
( x
0
2
( x
2
x
1).e .dx
10)
x. cos x.dx
11)
0
2 x). sin x.dx
0
2
ln x
13) 5 dx
x
1
e
2
1
2
2
1
14) x cos2 xdx
17) x ln xdx
21)
2
8)
4 x. ln x.dx
1
. cos x.dx
x. sin 2 xdx
1
0
2
7)
x 2 ). ln x.dx
2
0
3
1
2
4)
x ) sin 3 xdx
0
e
1
x
(2
0
1
2
6
3)
( x 1) cos xdx
0
5)
�
e x cos xdx
2
2)
dx
x cos xdx
�
0
Tính các tích phân sau
3x
xdx
0
2
1
15.
2
2
ln x
dx
x5
1
x tan
�
4
1
2
1
(
x
) ln xdx
�
x
1
ln(1 x)
dx
x2
1
0
3
18) x sin xdx
cos
0
2
x
15) e sin xdx
x
0
2
16) sin xdx
0
4
19) x sin x cos xdx
2
20) x(2 cos2 x 1)dx
0
0
1
e
0
1
22) (x 1)2 e2x dx 23) (x ln x)2 dx
2
24) cos x.ln(1 cos x)dx
0
e
ln x
1
25) ( x 1)2 dx
1
26) xtg2 xdx
0
e
1
1
27) ( x 2)e 2 x dx
28) x ln(1 x 2 )dx
0
0
2
3
ln x
dx 30) 2 ( x cos 3 x) sin xdx 31) (2 x 7) ln( x 1)dx 32) ln( x 2 x)dx
29)
1
x
0
2
0
e
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5
2x 1
dx
1. 2
3 x 3x 2
1
3.
b
2.
a
1
3
x x 1
dx
x 1
0
4.
1
5.
7.
x3 x 1
dx
x 2 1
0
1
x2
dx
3
0 (3 x 1)
2
6.
( x 2)
0
1 x
dx
2008
)
1 x (1 x
8.
2x3 6x 2 9x 9
x 2 3x 2 dx
1
1
3
x4
dx
9. 2
2
2 ( x 1)
10.
2
1
4 x
x 2n 3
dx
2 n
0 (1 x )
2
x2 3
dx
11. 4
2
1 x ( x 3 x 2)
13.
12.
1
x(1 x
1
1
dx
x
0
1 x
2
1
2
14.
16.
x
(1 x
1
1 x2
dx
19.
4
1
x
1
2 x4
dx
22.
2
0 1 x
1
4
24.
�
3
26.
4 x 11
dx
x2 5x 6
�
0
dx
x2 x 1
x2
x 1 dx
2
1
2x 2
3 dx
27.
0
x 2
28.
2 x 1 dx
2
3x 1
x 1dx
x
2
0
30.
0
x 1
1
1
1
2x 1
2
x 2x 3
dx
x 3
0
2
x x 1
2 x 1dx
31.
1
dx
1
23. 1 x dx
6
0 1 x
29.
3
0
x6 x5 x4 2
dx
21.
x6 1
0
x 1
1
1 x
20.
1
0
dx
)3
3x 2 3x 3
dx
18. 3
2 x 3x 2
2
0
2
3
1
dx
17. 3
2
2 x 2x x
25.
dx
)
dx
4
0
4
1
4
0
1
dx
15. 2
x
2
x
2
0
1
1
dx
( x 3) 2
2
0
2008
2
1
( x a)( x b) dx
2
2x x 2
x 1dx
32.
0
x 1
33.
1
x
dx
4x 3
2
0
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1.
2
sin
2
x cos 4 xdx
2.
0
3.
2
sin
sin
2
x cos 3 xdx
0
4
x cos 5 xdx
4.
0
5.
2
2
(sin
3
x cos 3 )dx
0
2
cos 2 x(sin
4
2
6.
x cos 4 x) dx
(2 sin
0
2
1
dx
7.
sin x
9.
3
2
0
11.
2
sin 3 x
dx
2
0 1 cos x
2
8. (sin 10 x cos 10 x cos 4 x sin 4 x)dx
0
2
10.
1
2 sin x dx
0
3
12.
sin
4
dx
x. cos x
6
4
dx
13.
2
2
0 sin x 2 sin x cos x cos x
15.
2
0
17.
cos x
dx
cos x
2
2
cos 3 x
dx
1 cos x
0
2
19.
cos xdx
cos x) 2
(1
16.
18.
3
tg xdx
tg
25.
2
1
sin x cos x 1 dx
20.
22.
sin x cos x 1
sin x 2 cos x 3 dx
cot g
3
xdx
6
4
xdx
24.
4
1
1 tgx dx
0
4
4
sin x
2 sin x dx
2
0
23.
0
2
2
4
4
cos x
1 cos x dx
0
3
14.
2
0
3
21.
x sin x cos x cos 2 x )dx
0
dx
cos x
2
2
dx
0 cos x cos( x
)
4
26.
2
sin x 7 cos x 6
4 sin x 5 cos x 5 dx
0
2
27.
1 sin x dx
28.
0
29.
31.
33.
4
dx
2 sin x 3 cos x
13
0
4
4 sin 3 x
dx
4
0 1 cos x
2
1 cos 2 x sin 2 x
dx
sin x cos x
0
30.
2
2
sin 3x
dx
1 cos x
0
4
sin 3 x
dx
2
0 cos x
dx
sin 2 x sin x
32.
4
2
34.
sin 2 x(1 sin
3 3
cos x
sin x dx
36.
0
4
2
dx
37.
1 sin x cos x
0
2
39.
cos
3
x sin 5 xdx
2
38.
0
4
40.
3
45.
47.
49.
2.
sin
sin x sin( x
dx
x cos x
3
4.
)
6
sin xdx
6
x
46.
4
3
)
4
tgxtg ( x 6 )dx
6
0
4 sin xdx
3
0 (sin x cos x )
2
3
48.
sin 2 x
( 2 sin x )
50.
x dx
2
sin 2 x.e
2
2
2
x
2
cos xdx
0
2 x 1
dx
52.
0
sin 3 x sin 4 x
dx
53.
tgx cot g 2 x
2
1 sin x
1 cos x e
x
dx
0
4
6
sin x cos( x
3
2
0
51.
dx
4
cos
sin
4
6
dx
6
sin 4 xdx
2
x
1 cos
6
dx
5 sin x 3
0
3
43.
dx
0
2
sin 3 x sin x
dx
sin 3 xtgx
2 sin x 1
4
41.
x ) 3 dx
0
35.
2
54.
2
sin
0
2
sin 2 xdx
x 5 sin x 6
2
55. cos(ln x ) dx
56.
1
57.
59.
3
ln(sin x)
dx
2
cos
x
6
2
(2 x 1) cos
0
4
2
58.
xdx
xtg
60.
xdx
2
e
sin 2 x
4
62.
sin x cos 3 xdx
dx
64.
2
66.
69.
4
ln(1 tgx)dx
2
(1 sin x ) cos x
(1 sin x)(2 cos
x)
dx
�
cos x(sin 4 x cos 4 x) dx
0
2
3
4sin x
dx
1
cos
x
0
68.
cos 5 x. cos 3 xdx
2
2
2
2
sin 2 x sin 7 xdx
�
�
sin 2 xdx
0
2
67.
2x
0
(sin x 2 cos x)
2
2
e
0
0
65.
xdx
2
0
63.
2
0
0
61.
x sin x cos
4
70. sin x cos xdx
sin 7 x. sin 2 xdx
2
0
2
4
71. sin 2 xdx
0
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b
R( x, f ( x))dx
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
a
+) R(x,
+) R(x,
) §Æt x = a cos2t, t [0; ]
a x
ax
+) R(x,
2
a x
n
2
2
ax b
cx d
+) R(x, f(x)) =
) §Æt x =
) §Æt t =
a2 x2
n
( ax b) x 2 x
x 2 x
) §Æt x =
a cos t
ax b
cx d
1
Khi ®ã ®Æt t =
+) R(x,
hoÆc x =
a sin t
a tgt
Víi ( x 2 x )’ = k(ax+b)
, hoÆc ®Æt t =
, t [ ; ]
2 2
1
ax b
+) R(x,
+) R
2 3
1.
5.
n
3
x 2008dx
7. x 2 1 x 2 dx
8.
0
x
1
2
1
2
x 1
1 x
2
2
0
19.
7
2
2
0
21.
2
2
25.
14.
dx
1 x2
0
2
18. sin 2 x sin x dx
2 cos 2 x
7
20.
2
3
x
x
x 3 dx
x 2 1
1
24. x 15 1 3x 8 dx
2x 1 1
3
dx
x 2 1
1
12 x
1
0
dx
1 x
10 x 2 dx
22.
2x 1
0
5
1 cos x sin x cos xdx
1
3
0
xdx
6
1 3 cos x
0
x dx
2
2
16. sin x cos x cos 2 x dx
cos xdx
3
1
5
4
x 2 dx
2
7 cos 2 x
1
29.
(1 x 2 ) 3
2
2
26.
ln 3
0
0
27.
dx
0
3
0
23.
1 x
dx
1 x
12.
cos xdx
1 x
x 2 ) 3 dx
(1
0
0
17.
x 2008
1
0
15.
2
0
1
2
x3 1
dx
10.
dx
(1 x 2 ) 3
0
dx
0
dx
11.
13.
2
x
1
1
1
1
2
4.
6.
2
x2 1
x2 1
2
2
3
dx
2. x
4 x 2 12 x 5
1
2
2
, t [0; ] \ { }
dx
(2 x 3)
9.
n
cos x
2
1
2
a
) §Æt x =
x ; 2 x ;...; i x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)
§Æt x = tk
x2 4
5
n1
dx
x
3.
x2 a2
4 x 2 8dx
28.
ln 2
0
e
30.
1
dx
e x 1
e 2 x dx
e x 1
1 3 ln x ln x
dx
x
31.
3
x5 x3
1 x
0
33.
2
32.
dx
34.
2x
3
x(e x 1)dx
1
35.
0
37.
3
39.
7
0
x2
3
x 3
ln 2 x
x
ln x 1
(e x 1) 3
0
38.
2
cos xdx
1 cos
0
40.
dx
dx
e x dx
36.
2 cos 2 x
0
ln 3
ln 2
cos xdx
x 3 2 x 2 x dx
ln 2
cos 2 x
2 3tgx
cos 2 x
dx
cos 2 x
0
0
3
4
2
x
2a
x 2 a 2 dx
0
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- 3
2
;
3
2
] tháa m·n f(x) + f(-x) =
2 2 cos 2 x
3
2
TÝnh:
f ( x)dx
3
2
+) TÝnh
1
x 4 sin x
dx
2
1 1 x
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã:
a
f ( x)dx = 0.
a
1
2
1
cos x ln( x
VÝ dô: TÝnh: ln( x 1 x 2 )dx
1 x 2 )dx
2
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
a
f ( x)dx = 2
a
a
f ( x)dx
0
VÝ dô: TÝnh
1
x
1
x dx
4
2
x 1
2
x cos x
dx
4 sin 2 x
�
2
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
a
a
f ( x)
dx f ( x )dx
x
a1 b
0
(1 b>0, a)
,
3
VÝ dô: TÝnh:
2
2
x 1
1 2
x
dx
3
2
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;
VÝ dô: TÝnh
sin x sin 3 x cos 5 x
dx
1 ex
2
2
], th×
2
f (sin x) f (cos x)dx
0
0
2
2
sin 2009 x
dx
2009
x cos 2009 x
0 sin
0
sin x
sin x cos x
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: xf (sin x)dx
2
0
VÝ dô: TÝnh
x
1 sin x dx
Bµi to¸n 6:
a
VÝ dô: TÝnh
x sin x
1 cos
2
0
b
f (b x)dx f ( x)dx
0
0
4
dx
x
0
x sin x
b
f (a b x)dx f ( x)dx
f (sin x)dx
0
b
a
2 cos x dx
0
b
dx
sin 4 x ln(1 tgx)dx
0
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:
a T
T
nT
f ( x)dx f ( x)dx
a
0
VÝ dô: TÝnh
1.
3.
2
1 x
dx
x
1 1 2
1
(1 e
1
x
dx
)(1 x 2 )
1 x
) dx
5. cos 2 x ln(
1 x
1
4.
x7 x5 x3 x 1
dx
cos 4 x
4
2
x cos x
dx
2
x
4 sin
2
2
6. sin(sin x nx)dx
0
2
7.
4
2.
1
2
cos 2 x dx
0
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1
0
2008
1
2
2
sin 5 x
1 cos x
tga
dx
xdx
8. 1 x 2
1
e
cot ga
dx
x(1 x
1
e
2
)
1 (tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3
1.
2
x 1 dx
2
2.
3
x
2
4 x 3 dx
0
1
3. x x m dx
0
2
4.
sin x dx
2
T
f ( x)dx n f ( x)dx
0
5.
1
sin x dx
6.
3
tg
2
x cot g 2 x 2dx
6
3
4
7.
8.
sin 2 x dx
2
1 cos x dx
0
4
5
9.
( x 2
x 2 )dx
10.
2
x
4 dx
0
2
11.
3
3
12.
3
cos x cos x cos x dx
2)
2
5
3
2
x
4dx
0
2
17.
1 sin xdx
0
2
3x 2dx
1
2dx
x2
14.
x
16.
1 cos 2xdx
3
15.
x
1
2
13. ( x 2 x 2 )dx
4
1
2
2
0
2
18. x 2 x dx
0
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh
ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch
ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhau
x x3
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y o x 1
y 0
Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch
mçi phÇn
x 2 2ax 3a 2
y
4
1
a
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
T×m a ®Ó
2
y a ax
1 a 4
diÖn tÝch lín nhÊt
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
x2
y 4
4
1) (H1):
2
y x
4 2
4)
7)
2
y x
(H4):
2
x y
ln x
y 2 x
(H7): y 0
x e
x 1
y 2 2y x 0
10) (H10):
x y 0
13)
y 2 2 x 1
y x 1
x2
y
2
16
y 1
1 x 2
y x 2 4x 3
2) (H2) :
y x 3
3x 1
y x 1
3) (H3): y 0
x 0
y x
5) (H5):
2
y 2 x
y 2 x 5 0
6) (H6):
x y 3 0
2
y x 2x
8) (H8) :
2
y x 4x
3
3
2
y x x
2
2
9) (H9):
y x
(C ) : y x
11) (d ) : y 2 x
(Ox)
14)
17
y 4 x 2
2
x 3 y 0
y 2 2 x
y x, y 0, y 3
(C ) : y e x
12) (d ) : y 2
() : x 1
y x
15) x y 2 0
y 0
18)
y ln x, y 0
1
x e , x e
1
1
y
;
y
sin 2 x cos 2 x
19.
20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
x ; x
6
3
2
y x 4x 5
21) y 2 x 4
y 4 x 11
y / x 2 1 /
24)
y / x / 5
2
y x 2
27)
y 4 x
y x3
30) y 0
x 2; x 1
2
y x 2x
33)
y x 2
y 2 x 2
36) y x 2 2 x 1
y 2
y / x 2 5 x 6 /
38)
y x 1
y e Ï
41) y e x
x 1
y x
y 1
23)
x
y 0
x e
2
y x 6 x 5
22) y x 2 4 x 3
y 3x 15
25)
3
y x
2
y x
26)
y 3 x 2 / x / 2
y 0
y x 2 2x 2
28) y x 2 4 x 5
y 1
y / x 2 1 /
29)
y x 2 7
y sin x 2 cos x
31) y 3
x 0; x
2
y
x
3
32)
x
y 0
y 2 x 2 2 x
34) y x 2 3x 6
x 0; x 4
35)
y / x 2 5 x 6 /
y 6
y / x 2 3x 2 /
37)
y 2
y / x 2 3x 2 /
39)
y x 2
40)
x2
y 2 6
42)
x x
x 0; x 1
y / x 2 4 x 3 /
y 3
43)
y sin/ x /
y / x /
y 2 x 2
44) y x 2 4 x 4
y 8
47)
y ( x 1)
x sin y
y 2 2 x
45) 2 x 2 y 1 0
y 0
2
x2
y 4
4 34)
2
y x
4 2
2
48)
2
y / x 1 /
x 2
49)
x / y 1 /
x 2
x ( y 1) 2
32) y sin x 33)
x 0
x 0;
1
x
2
x
; y 0
y
1 x4
x 2
y 5
35) y 0
36)
x 0; y 3 x
ax y 2
40)
ay x 2
y 2 x 2 (a 2 x 2 )
a 0
46)
(a>0)
2
y 6 x
2 2
x y 16
2
y x
2
x
37) y
27
27
y x
y x
41) y sin 2 x x 42)
0 x
2
y (4 x)
2
y 4 x
38)
3
y / log x /
39) y 0
1
x , x 10
10
y 2 2 x
43) x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp
2
2
27 y 8( x 1)
tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k
®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
45)
y x 3 2x 2 4x 3
y 0
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:
O
y
x a
a
x b
(C ) : y f ( x )
y 0
b
x
y
b
x 0
a
O
y b
(C ) : x f ( y )
y a
x
- Xem thêm -
.DOC 
23 
176 
132 
