Tài liệu Bài tập mặt nón_hình nón_khối nón

Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: HD: a) * Sxq = πRl = π.OB.AB = 15π A Tính: AB = 5 ( ∆ ∨ AOB tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15π + 9π = 24π 4 b) V = O 3 B 1 2 1 2 1 πR h = π.OB2 .OA = π.3 .4 = 12π 3 3 3 Ví dụ 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: HD: a) * Sxq = πRl = π.OB.SB = 2πa2 S * Stp = Sxq + Sđáy = 2πa2 + πa2 = 23πa2 b) V = 2a A B Tính: SO = 1 2 1 1 πa3 3 πR h = π.OB2 .SO = π.a2 .a 3 = 3 3 3 3 2a 3 =a 3 2 (vì SO là đường cao của tam giac SAB đều cạnh 2a) Ví dụ 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng ∧ ∧ HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A = B S = 450 * Sxq = πRl = π.OA.SA = πa2 2 A Tính: SA = a 2 ; OA = a ( ∆ ∨ SOA tại O) 45 B ( ) * Stp = Sxq + Sđáy = πa2 2 + πa2 = 1 + 2 πa2 b) V = 1 2 1 1 πa3 πR h = π.OA 2 .SO = π.a2 .a = 3 3 3 3 Ví dụ 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên ∧ ∧ A = B = 450 S * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . l l Tính: OA = 2 A 45 O B l 2 .l = πl 2 2 ( ∆ ∨ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = πl 2 πl 2  1 1  2 + = +  πl 2 2  2 2 1 2 1 1 l2 l πl3 2 b) V = πR h = π.OA .SO = π. . = 3 3 3 2 2 6 2 Tính: SO = l 2 ( ∆ ∨ SOA tại O) Ví dụ 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
=B
= 300 a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A S  = BSO  = 600 hay ASO 120 * Sxq = πRl = π.OA.SA = π. a 3 .2a = 2πa2 3 a Tính: OA = a 3 ; SA = 2a ( ∆ ∨ SOA tại O) A O ( ) * Stp = Sxq + Sđáy = 2πa2 3 + 3 π a2 = 2 3 + 3 πa2 B b) V = 1 2 1 1 πR h = π.OA 2 .SO = π.3a2 .a = πa3 3 3 3 Ví dụ 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: ∧ ∧ a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A = B = α S * Sxq = πRl = π .OA.SA = π. lcos α .l = πℓ 2 cos α Tính: OA = lcos α ( ∆ ∨ SOA tại O) l A * Stp = Sxq + Sđáy = πℓ 2 cos α + π l2cos2 α = α O B (1 + cos α ) πl b) V = 2 cos α 1 2 1 πR h = π.OA 2 .SO 3 3 = 1 2 2 πl3cos2 α sin α π.l cos α .l sin α = 3 3 Tính: SO = lsin α ( ∆ ∨ SOA tại O) Ví dụ 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2πa2. Tính thể tích của hình nón Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 2πa2 2a2 * Sxq = πRl ⇔ πRl = 2πa ⇒ R = = =a πl 2a S 2 * Tính: SO = a 3 ( ∆ ∨ SOA tại O) 2a *V= A 1 2 1 1 πa3 3 πR h = π.OA 2 .SO = π.a2 .a 3 = 3 3 3 3 O Ví dụ 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9π. Tính thể tích của hình nón Hướng dẫn giải: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều S * Sđáy = π R2 ⇔ 9 π = π R2 ⇔ R2 = 9 ⇔ R = 3 60 * SO = A *V= B O AB 3 2R 3 = =3 3 2 2 1 2 1 1 πR h = π.OA 2 .SO = π.32.3 3 = 9π 3 3 3 3 Ví dụ 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này Hướng dẫn giải: a) Stp = Sxq + Sđáy = S πa2 2 +  1 1 2 πa2 = +  πa 2 2 2  1 2 1 1 a2 a πa3 2 b) V = πR h = π.OA .SO = π. . = 3 3 3 2 2 6 2 a Tính: SO = a 2 A 45 M B O ( ∆ ∨ SOA tại O)  = 600 c) Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600: SMO C Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng HD: a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB ∧ * Sxq = π Rl = π .OA.SA = .a = πa2 2 1 1 a 6 2a 3 a2 2 SM.AC = . . = 3 3 2 2 3 ∧ vuông cân tại Snên A = B =450 πa * SSAC = * Tính: SM = a 6 ( ∆ ∨ SMO tại O). 3 * Tính: AC = 2AM = 2 OA 2 − OM 2 = * Tính: AM = * Tính: OM = 2a 3 a Tính: OA = ( ∆ ∨ SOA tại O) 3 2 a 3 3 a 6 ( ∆ ∨ SMO tại O) 6 Ví dụ 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích của thiết diện đó Hướng dẫn giải: a) * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π .25.SA = 25 π 1025 (cm2) S Tính: SA = 1025 ( ∆ ∨ SOA tại O) Stp = Sxq + Sđáy = 25 π 1025 + 625 π b) V = l H 1 2 1 1 πR h = π.OA 2 .SO = π.252.202 (cm3) 3 3 3 h c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH = 12cm O * SSAB = A 1 1 .AB.SI = .40.25 = 500(cm2) 2 2 I B * Tính: SI = * Tính: OS.OI 20.OI = = 25(cm) ( ∆ ∨ SOI tại O) OH 12 1 1 1 = − ⇒ OI = 15(cm) ( ∆ ∨ SOI tại O) 2 2 OI OH OS2 * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = OA 2 − OI 2 = 20 (cm) ( ∆ ∨ AOI tại I) Ví dụ 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một ∆ vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC Hướng dẫn giải: ∧ ∧ a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB vuông cân tại S nên A = B = 450 S πa 2 πa2 2 * Sxq = πRl = π .OA.SA = .a = 2 2 Tính: OA = A O a2 B Tính: SA = a ( ∆ ∨ SOA tại O) πa2 2 πa2 ( 2 + 1)πa2 * Stp = Sxq + Sđáy = + = 2 2 2 M C AB a 2 = ; 2 2 b) V = 1 2 1 1 a2 a 2 πa3 2 = πR h = π.OA 2 .SO = π. . 3 3 3 2 2 12 Tính: SO = a 2 ( ∆ ∨ SOA tại O) 2  = 600 c) * Kẻ OM ⊥ BC ⇒ SMO a 2 1 1 a 2 2a . = * SSBC = SM.BC = . 2 2 3 3 3 2 * Tính: SM = a 2 ( ∆ ∨ SOM tại O) 3 * Tính: BM = a 3 ( ∆ ∨ SMB tại M) Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95