Tài liệu Bài tập không gian vecto có lời giải

Chuyên đề Không gian vecto Bài 04.02.1.001.T168 Các tập sau đây là ĐLTT hay PTTT: a)u1  1,2  và u2   3, 6  trong 2 b)u1   2,3 , u2   5,8 và u3   6,1 trong 2 c) p1  2  3x  x 2 và p2  6  9x  3x 2 trong P2 1 3  1 3 d)A   ,B     trong M2 2 0  2 0     Lời giải: Họ vecto v1 , v2 ,...., vm  của không gian vecto V là ĐLTT nếu phương trình: c1v1  c2v2  ...  cmvm   (*) Đối với các ẩn ci chỉ có nghiệm tầm thường ci  0 Họ trên là phụ thuộc tuyến tính nếu phương trình (*) có nghiệm không tầm thường tức là nghiệm  c1, c2 ,...., cm  với ít nhất một ci  0 a) Xét  u1   u2   0,0    1, 2     3, 6    0,0     3 , 2  6     0,0    3  0 Do đó  ,  là nghiệm hệ:  2  6  0   3 Hệ phương trình này là một hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường    1 Vậy họ u1, u2  là PTTT. b) Xét  u1   u2   u3   0,0     2,3    5,8     6,1   0,0    2  5  6 ,3  8      0,0  2  5  6  0 Do đó  ,  là nghiệm hệ  3  8    0 Đây là một hệ phương trình thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn nên ta có vô số nghiệm chẳng hạn xem  tùy ý ta tính được  và  theo  . Do đó nó có nghiệm không tầm thường. Vậy hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính. c) Xét  p1   p2  0  0 x  0 x 2  P2    2  3x  x 2     6  9 x  3x 2   0  0 x  0 x 2   2  6    3  9      3   0  0 x  0 x 2 2  6   0  Do đó  ,  là nghiệm hệ 3  9   0   3  0  Ba phương trình trên tương đương với một phương trình cuối:   3  0   3 Nó có nghiệm không tầm thường    1 Vậy họ  p1 , p2  là PTTT. d) Xét 0 0  0 0 1 3  1 3   0 0       2 0    0 0   2 0     3  3   0 0         2   2  0  0    0 0  A B       0 3  3  0  Do đó  ,  là nghiệm hệ  2  2   0 0  0   0 Bốn phương trình này tương đương phương trình đầu     0   1 Nó có nghiệm không tầm thường    1 Vậy họ  A, B đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.002.T169 Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT: a) 1,2,3 ,  3,6,7  trong 3 b)  4, 2,6  ,  6, 3,9  trong 3 c)  2, 3,1 ,  3, 1,5 , 1, 4,3 trong d)  5,4,3 ,  3,3,2  , 8,1,3 trong 3 3 Lời giải: a) Xét  1, 2,3    3,6,7    0,0,0     3 , 2  6 ,3  7     0,0,0    3  0  Do đó  ,  là nghiệm hệ 2  6   0 3  7   0  2  6  0 Hệ này tương đương hệ hai phương trình cuối  3  7   0 Hệ này có định thức   2 6 3 7  14  18  4  0   0 nên chỉ có nghiệm tầm thường    0 Vậy họ vecto 1,2,3 ,  3,6,7  là ĐLTT trong 3 b) Xét   4, 2,6     6, 3,9    0,0,0    4  6 , 2  3 ,6  9    0,0,0  4  6   0  Do đó  ,  là nghiệm hệ 2  3  0  2  3  0 6  9  0    3 Nó có nghiệm không tầm thường     2 Vậy họ  4, 2,6  ,  6, 3,9  là PTTT. c) Xét   2, 3,1    3, 1,5   1, 4,3   0,0,0    2  3   , 3    4 ,  5  3    0,0,0  2  3    0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 3    4  0   5  3  0  2 3 1 Hệ này có định thức   3 1 4  35  0 1 5 3   0  Nên chỉ có nghiệm không tầm thường    0   0  Vậy hệ đã cho là ĐLTT. d)Xét   5, 4,3    3,3, 2    8,1,3   0,0,0    5  3  8 , 4  3   ,3  2  3    0,0,0  5  3  8  0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 4  3    0 3  2  3  0  5 3 8 Hệ này có định thức   4 3 1  0 3 2 3 Nên hệ có nghiệm không tầm thường. Vậy họ đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.003.T169 Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT: a)  4, 5,2,6  ,  2, 2,1,3 ,  6, 3,3,9  ,  4, 1,5,6  trong 4 b) 1,0,0,2,5 ,  0,1,0,3,4  ,  0,0,1,4,7  ,  2, 3,4,11,12 trong Lời giải: a) Xét 5   4, 5, 2,6     2, 2,1,3    6, 3,3,9     4, 1,5,6    0,0,0,0    4  2  6  4 , 5  2  3   , 2    3  5 ,6  3b  9  6  Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ 4  2   6  4  0 5  2   3    0   2    3  5  0 6  3b  9  6  0 4 Hệ này có định thức   2 6 4 5 2 3 1 2 1 3 5 6 3 9 6 0 Nên không có nghiệm tầm thường. Vậy họ vecto đã cho là PTTT. b) Xét:  1,0,0, 2,5    0,1,0,3, 4     0,0,1, 4,7     2, 3, 4,11,12    0,0,0,0,0     2 ,   3 ,   4 , 2  3  4  11 ,5  4  7  12    0,0,0,0,0  Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ   2  0   2  0    3  0      3  0    4  0 2  3  4  11  0   4  0  14  0 5  4   7  12  0   0   0  Do đó nó có nghiệm duy nhất  là nghiệm tầm thường.   0    0 Vậy hệ đã cho là ĐLTT. Bài 04.02.1.004.T169 Tập nào trong P2 dưới đây là PTTT: a) 2  x  4 x 2 , 3  6 x  2 x 2 , 1  10 x  4 x 2 b) 3  x  x 2 , 2  x  5 x 2 , 4  3 x 2 c) 6  x 2 , 1  x  4 x 2 d ) 1  3x  3x 2 , x  4 x 2 , 5  6 x  3x 2 , 7  2 x  x 2 Lời giải: a) Xét:   2  x  4 x 2     3  6 x  2 x 2    1  10 x  4 x 2   0  0 x  0 x 2  P2   2  3        6  10  x   4  2   4  x 2  0  0 x  0 x 2 2  3    0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ   6   10  0 4  2   4  0  2 3 1 Hệ này có định thức 1 6 10  6  0 4 2 4   0  Nên chỉ có nghiệm tầm thường    0   0  Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT. b) Xét:   3  x  x 2     2  x  5 x 2     4  3x 2   0  0 x  0 x 2   3  2   4       x    5  3  x 2  0  0 x  0 x 2 3  2   4  0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ     0   5  3  0  3 2 4 Hệ này có định thức 1 1 0  39  0 1 5 3   0  Nên chỉ có nghiệm tầm thường    0   0  Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT. c) Xét:   6  x 2    1  x  4 x 2   0  0 x  0 x 2   6      x     4  x 2  0  0 x  0 x 2  6    0   0 Do đó  ,  là nghiệm hệ  a  4  0    0 Hệ này chỉ có nghiệm tầm thường    0 Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT. d) Xét:  1  3x  3x 2     x  4 x 2     5  6 x  3 x 2     7  2 x  x 2   0  0 x  0 x 2    5  7    3    6  2  x   3  4   3    x 2  0  0 x  0 x 2 Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ   5  7  0  3    6  2  0 3  4   3    0  Đây là một hệ thuần nhất mà số phương trình ít hơn số ẩn nên có nghiệm không tầm thường. Vậy họ vecto đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.005.T169 Tập nào trong C  ,   dưới đây là PTTT: a) 2, 4sin 2 x,cos 2 x b) x,cos x c) 1,sin x,sin 2 x d ) cos 2 x,sin 2 x,cos 2 x e) 1  x  , x 2  2 x,3 f ) 0, x, x 2 2 Lời giải: a) Ta có: 1  sin 2 x  cos 2 x 1 4sin 2 x   2cos 2 x  2 1  2   4sin 2 x   2cos 2 x  0 2 2 Vậy họ đã cho là PTTT. b) Xét:  x   cos x  0 Thay x  0    0 Thay x   2   2  0  0 Vậy họ đã cho là ĐLTT. c) Xét:    sin x   sin 2 x  0 Thay x  0    0 Thay x  Thay x   2  4  0  0 Vậy họ đã cho là ĐLTT. d) Xét:  cos 2 x   sin 2 x   cos 2 x  0    cos 2 x  sin 2 x    sin 2 x   cos 2 x  0      cos 2 x       sin 2 x  0 Thay x  0      0 Thay x   2     0   1  Ta suy ra chẳng hạn    1 thỏa mãn, nên có nghiệm không tầm thường.   1  Vậy họ đã cho là PTTT e) Xét:  1  x     x 2  2 x    .3  0 2    3   2  2   x      x 2  0  0 x  0 x 2   3  0   3  0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 2  2   0       0     0    3  Hệ có nghiệm không tầm thường    3   1  Vậy họ đã cho là PTTT. f) Ta thấy 1.0  0 x  0 x 2  0 Vậy họ đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.006.T169 Tìm  thực làm cho các vecto sau đây phụ thuộc tuyến tính trong 1 1  v1    ,  ,   2 2  1  1 v2    ,  ,   2  2  1 1  v3    ,  ,    2 2  Lời giải: Xét  v1   v2   v3   0,0,0  1 1 1   1  1 1      ,  ,       ,  ,       ,  ,     0,0,0  2 2 2   2  2 2  1 1 1 1 1 1          ,       ,          0,0,0  2 2 2 2 2 2   Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 1 1       0  2 2  1  1        0 2  2 1  1        0  2 2  Hệ này là một hệ thuần nhất có 3 phương trình phụ thuộc tham số  . Định thức của hệ là 3  1 2 1  2    1 2   1 2 1 2 1 3 1 1 2    3        1 2  1 2 4 4 4   Vậy:   1  Nếu  1 thì   0 hệ chỉ có nghiệm tầm thường,     2 do đó họ đã cho là ĐLTT.   1  Nếu  1 thì   0 hệ có nghiệm không tầm thường,     2 Do đó họ đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.007 Cho hệ véctơ 1 , 2 ,..., m ĐLTT trong không gian véctơ V . Chứng minh: a)Hệ vecto 1  1, 2   2   2 ,..., m  1   2  ...   m cũng ĐLTT b)Hệ vecto:  1  a111  ...  a1m m  2  a211  ...  a2 m m  m  am11  ...  amm m ĐLTT khi và chỉ khi det A  0 , trong đó:  a11 a A   22    am1 a12 a22 am 2 a1m  ... a2 m     ... amm  ... Lời giải: a) Giả sử b11  b2 2  ...  bm m  0, bi   b11  b2 1   2   ...  bm 1   2  ...   m   0   b1  ...  bm 1   b2  ...  bm  2  ...  bm m  0 Vì 1,....,m ĐLTT nên ta có: b1  b2  ...  bm 1  bm  b2  ...  bm 1  bm    bm 1  bm  bm  0 0 0 0 Suy ngược từ dưới lên, ta có: bm  bm1  ...  b1  0 Vậy 1,...., m ĐLTT. b) Giả sử c1 1  c2 2  ...  cm m  0, c j    a11c1  a21c2  ...  am1cm 1   a12c1  a22c2  ...  am 2cm  2   a1mc1  a2 mc2  ...  ammcm  m  0  a11c1  a21c2  ...  am1cm  0  a c  a c  ...  a c  0  22 2 m2 m   12 1 (*)  a1m c1  a2 mc2  ...  ammcm  0 Hệ vecto  1 ,  2 ,...,  m ĐLTT khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (*) có nghiệm duy nhất (0, 0, …, 0) khi và chỉ khi ma trận các hệ số của hệ (*) không suy biến hay det A  0 Bài 04.02.1.008 Cho V là không gian vectơ trên R và x, y, z thuộc V. Chứng minh rằng {x,y,z} ĐLTT khi và chỉ khi { x + y, y + z, z + x } cũng ĐLTT. Lời giải: 1) Giả sử x, y, zx, y, z ĐLTT. Ta sẽ chứng minh x  y, y  z, z  xx  y, y  z, z  x ĐLTT. Ta có: 1  x  y    2  y  z    3  z  x   0  1   3  x  1   2  y   2   3  z  0 1   3  0   1   2  0 vì  x, y, z ĐLTT     0 3  2 Vậy x  y, y  z, z  xx  y, y  z, z  x ĐLTT. 2) Giả sử x  y, y  z, z  x ĐLTT. Ta sẽ chứng minh  x, y, z ĐLTT Ta có: 1x  2 y  3 z  0                1  2  3  x  y    1  2  3  y  z    1  2  3  z  x  0 2 2 2 2 2 2   2  2  2  1  2  3  2  2  2 0        1  2  3  0 Vì  x  y, y  z, z  x ĐLTT 2 2  2  1  2  3  2  2  2 0   1   2  3  0 Vậy  x, y, z ĐLTT Bài 04.02.1.009.T170 Hãy giải thích tại sao các tập sau không phải là cơ sở của không gian tương ứng. a) u1  1,2  , u2   0,3 , u3   2,7  đối với b) u1   1,3,2  , u2   6,1,1 đối với 2 3 c) p1  1  x  x2 , p2  x  1 đối với P2 d)  1 1 A , 2 3    6 0 B ,  1 4   5 1  D , 4 2   7 1 E=    2 9 3 0  C  1 7  đối với M 2 Lời giải: Muốn cho một họ vecto là cơ sở của một không gian hữu hạn chiều thì một điều kiện cần là số vecto của họ phải bằng số chiều của không gian. Do đó nếu một họ vecto có số vecto khác số chiều của không gian thì nó không thể là một cơ sở được. a) Số vecto của họ u1 , u2 , u3 là 3 trong khi số chiều của không gian b)Số vecto của họ u1, u2  là 2 trong khi số chiều của không gian 3 2 là 2   3 là 3   2 c)Số vecto của họ  p1 ,p2  là 2 trong khi số chiều của không gian P2 là 3   2 d)Số vecto của họ  A, B,C,D,E là 5 trong khi số chiều của không gian M 2 là 4   5 Bài 04.02.1.010.T170 Họ nào dưới đây là cơ sở trong 2 : a )  2,1 ,  3,0  b)  4,1 ,  7,8  c)  0,0  , 1,3 d )  3,9  ,  4, 12  Lời giải: n Muốn cho một họ gồm n vecto của không gian là một cơ sở của n , điều kiện cần và đủ là nó ĐLTT. Muốn cho một họ gồm n vecto của n là ĐLTT, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận có các hàng hay cột tạo bởi các vecto của họ viết thành hàng hay cột phải khác 0. a) 2 1 3 0  3  0 Vậy họ  2,1 ,  3,0  là một cơ sở b) 4 1 7 8 2  32  7  25  0 Vậy họ  4,1 ,  7, 8 là một cơ sở c) 0 0 1 3 2 0 Vậy họ  0,0  , 1,3 không phải là cơ sở d) 3 9 4 12 2 0 Vậy họ  3,9  ,  4, 12  không phải là cơ sở Bài 04.02.1.011.T170 Họ nào dưới đây là cơ sở trong a) 1,0,0  ,  2, 2,0  ,  3,3,3 b)  3,1, 4  ,  2,5,6  , 1, 4,8  c)  2, 3,1 ,  4,1,1 ,  0, 7,1 d ) 1,6, 4  ,  2, 4, 1 ,  1, 2,5  Lời giải: 3 : 2 1 0 0 a) 2 2 0  6  0 3 3 3 Vậy họ 1,0,0  ,  2,2,0  ,  3,3,3 là một cơ sở của 3 3 1 4 b) 2 5 1 4 6  26  0 8 Vậy họ  3,1, 4  ,  2,5,6  , 1,4,8 là một cơ sở của 3 2 3 1 c) 4 1 1  0 0 7 1 Vậy họ  2, 3,1 ,  4,1,1 ,  0, 7,1 không phải là cơ sở của 1 6 3 4 d) 2 4 1  0 1 2 5 Vậy họ 1,6,4  ,  2,4, 1 ,  1,2,5  không phải là cơ sở của Bài 04.02.1.012.T170 Họ nào dưới đây là cơ sở trong P2 : a) 1  3x  2 x 2 ,1  x  4 x 2 ,1  7 x b) 4  6 x  x 2 , 1  4 x  2 x 2 ,5  2 x  x 2 c) 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2 d )  4  x  3x 2 ,6  5 x  2 x 2 ,8  4 x  x 2 Lời giải: P2 là một không gian 3 chiều. Muốn cho 3 vecto: 3 p  a0  a1 x  a2 x 2 q  b0  b1 x  b2 x 2 r  c0  c1 x  c2 x 2 Là một cơ sở của P2 điều kiện cần và đủ là   0 :   0 thì họ  p, q, r là một cơ sở   0 thì họ  p, q, r không phải là cơ sở của P2 1 1 1 a) 3 1 7  0 2 4 0 Vậy họ 1  3x  2 x 2 ,1  x  4 x 2 ,1  7 x không phải là một cơ sở của P2.. 4 1 b) 6 1 5 4 2 0 2 1 Vậy họ 4  6 x  x 2 , 1  4 x  2 x 2 ,5  2 x  x 2  không phải là một cơ sở của P2.. 1 0 0 c) 1 1 0  1  0 1 1 1 Vậy họ 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2  là một cơ sở của P2.. 4 6 8 d) 1 3 5 4  26  0 2 1 Vậy họ 4  x  3x 2 ,6  5 x  2 x 2 ,8  4 x  x 2  là một cơ sở của P2.. Bài 04.02.1.013.T170 Chứng minh rằng họ sau đây là cơ sở trong M 2 3 6   0 1  0 a)   ,  1 0  ,  12 3  6      1 0   0 1  0 0  0 b)   ,  0 0  , 1 0  ,  0 0 0        8   1 0  , 4   1 2  0 1  Lời giải: M 2 là không gian 4 chiều. Một họ 4 ma trận cấp hai  A, B, C , D là cơ sở của M 2 nếu  A, B, C , D độc lập tuyến tính tức là nếu phương trình  A   B   C   D  0 (*) Chỉ có nghiệm tầm thường         0 a) Phương trình (*) viết thành: 3 6   0 1  0 8   1 0  0 0            0 0  3  6  1 0  12  4  1 2           3   6    8  0 0      0 0  3     12     6   4   2       Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ 3    0 6    8  0   3    12    0 6  4  2  0 Hệ này có định thức  3 0 0 1 6 1 8 0 3 1 12 1 6 0 4  48  0 2 Do đó hệ chỉ có nghiệm tầm thường         0 Vậy họ  A, B, C , D đã cho là một cơ sở của M 2 b) Phương trình (*) viết: 1 0  0   0 0  0     0    0       1  0  0 0  0 0  0 0  0 0  1 0     0 1    0 0        Ta suy ra         0  1 0   0 1   0 0   0 0   Vậy họ    , 0 0  , 1 0  , 0 1   là một cơ sở của M 2 0 0         Bài 04.02.1.014.T171 Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau: 2 x1  x2  3 x3  0  x  y  z  0 1)  x1  2 x2  0 3 x  2 y  z  0 x  x  0  3  2 3) 2 x  4 y  z  0  x1  3 x2  x3  0 4 x  8 y  3 z  0   2) 2 x1  6 x2  2 x3  0 2 x  y  2 z  0 3 x  9 x  3 x  0 2 3  1 Lời giải: 1) Xét hệ