Tài liệu Bài tập cơ bản về thiết diệnn

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP §ång Th¸i L©m – www.mathvn.com 1. ThiÕt diÖn cña h×nh chãp 1.1. ThiÕt diÖn qua ba ®iÓm cho tr­íc 1.1.1.Ba ®iÓm n»m trªn ba c¹nh kh«ng ®ång ph¼ng cña h×nh chãp C¸ch gi¶i: X¸c ®Þnh mÆt ph¼ng chøa hai ®iÓm cho tr­íc. X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ®ã víi giai tuyÕn cña mÆt ph¼ng chøa nã víi mÆt ph¼ng chøa ®iÓm cßn l¹i Nèi c¸c ®o¹n th¼ng víi c¸c giao ®iÓm vµ ®iÓm cho tr­íc ®Ó x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng c¾t c¸c c¹nh cña h×nh chãp * Chó ý trong khi x¸c ®Þnh thiÕt diÖn cÇn dù ®o¸n mÆt ph¼ng sÏ c¾t nh÷ng c¹nh nµo cña h×nh chãp ®Ó dÔ x¸c ®Þnh Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh, gäi M,N,P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, BC, CD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp khi c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) Bµi 2: Cho h×nh chãp tø gi¸c SABCD víi AD kh«ng song song víi CB. Gäi M, N lµ trung ®iÓm cña SB vµ SC. T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (AMN) Bµi 3: Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD ba ®iÓm A’; B’; D’ n»m trªn ba c¹nh SA ; SB ; SD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp khi c¾t bëi mÆt ph¼ng (A’B’D’) Bµi 4: Cho tø diÖn ABCD . Gäi H, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC. Trªn ®­êng th¼ng CD lÊy ®iÓm M sao cho KM kh«ng song song víi BD. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn ABCD víi mÆt ph¼ng (HKM). Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD trªn SA, SB lÊy hai ®iÓm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 2SN vµ trªn trung ®iÓm DC lÊy ®iÓm Q. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn t¹o bêi h×nh chãp vµ mÆt ph¼ng (MNQ) Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD , M lµ ®iÓm trªn BC, N lµ ®iÓm trªn SD x¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (BMN) Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD AD kh«ng song song víi BC. Gäi trung ®iÓm SC lµ M , trªn SB lÊy ®iÓm N sao cho 3SN = 2NB. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp SABC c¾t bëi mÆt ph¼ng (DMN). Bµi 8: Cho h×nh chãp S.ABCD . M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh SC, N vµ P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD. T×m thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) Bµi 9: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a. Trªn BC vµ BD kÐo dµi lÊy E vµ F sao cho CE=DF=a. Gäi M lµ trung ®iÓm AB . T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(MEF) vµ tÝnh tØ sè diÖn tÝch thiÕt diÖn víi BCD Bµi 10: Cho h×nh chãp S.ABCD trªn SD lÊy ®iÓm N x¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (BCN) 1.1.2.Cã hai ®iÓm n»m trªn hai c¹nh cßn mét ®iÓm n»m trªn mét mÆt cña h×nh chãp X¸c ®Þnh giao tuyÕn cña c¸c mÆt, x¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®­êng nèi hai ®iÓm trªn 2 c¹nh ®· cho víi giao tuyÕn. X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®­êng nèi ®iÓm ®ã víi ®iÓm thø ba trªn mÆt ®· cho víi c¸c c¹nh cña h×nh chãp. NÕu hai ®iÓm trªn hai c¹nh kh«ng cïng thuéc mét mÆt bªn th× t×m giao víi c¸c c¹nh kÐo dµi vµ x¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng c¾t. §Æc biÖt hai ®iÓm n»m trªn hai ®­êng chÐo nhau cÇn x¸c ®Þnh mét mÆt ph¼ng chøa mét ®iÓm trªn c¹nh vµ ®iÓm trªn mÆt ®· cho. Bµi 1: Cho tø diÖn ABCD gäi M lµ trung ®iÓm AB, N lµ ®iÓm trªn BC sao cho BN = 2NC, K lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng (MNK). www.MATHVN.com §ång Th¸i L©m www.mathvn.com Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD cã AB kh«ng song song víi CD . Trªn SA lÊy ®iÓm M, SB lÊy ®iÓm N sao cho MN//AB. Gäi O lµ ®iÓm bÊt kú n»m trong tam gi¸c SCD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNO) Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD. LÊy M, N trªn AC vµ AD sao cho AM = 3MC, AN =2ND, O lµ ®iÓm n»m trªn ®­êng trung tuyÕn BB’ cña BCD sao cho OB’=2OB. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNO) víi tø diÖn. Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y ABCD lµ tø gi¸c cã hai cÆp c¹nh ®èi kh«ng song song. Gäi M vµ P lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC. G lµ träng t©m tam gi¸c SCD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MPG) Bµi 5: Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn AD vµ SC lÊy hai ®iÓm E vµ F sao cho AE = 3ED ; SF = 2SC. Gäi K lµ träng t©m cña tam gi¸c SAB . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (EFK) Bµi 6: Cho h×nh chãp S.ABCD .Trªn c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ SC lÊy hai ®iÓm E vµ F. Gäi K lµ ®iÓm bÊt kú n»m trong tam gi¸c SAB thuéc mÆt ph¼ng (SAB) . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (EFK). Bµi 7: Cho tø diÖn ABCD gäi M vµ N lµ hai ®iÓm trªn c¹nh BC vµ CD. E lµ ®iÓm bÊt kú trong tam gi¸c ABD x¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (EMN) 1.1.3.Cã mét ®iÓm n»m trªn c¹nh cßn hai ®iÓm kia n»m trªn hai mÆt kh¸c T×m mÆt ph¼ng chøa hai trong ba ®iÓm ®· cho sau ®ã t×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng nèi hai ®iÓm Êy víi mét mÆt thÝch hîp cña h×nh chãp. X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña c¸c c¹nh h×nh chãp víi mÆt ph¼ng thiÕt diÖn. Bµi 1: Cho tø diÖn ABCD . Gäi E, F ,M lµ trung ®iÓm cña BD , CD vµ BC. Trªn AE, AF lÊy hai ®iÓm I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi tø diÖn c¾t bëi mp(MIJ) Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABC gäi E,F lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c SBC, vµ SCD. M lµ trung ®iÓm cña SA . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MEF) Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD , M lµ ®iÓm trªn c¹nh AB, N vµ P lÇn l­ît n»m trong tam gi¸c BCD vµ tam gi¸c ACD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn c¾t tø diÖn bëi mÆt ph¼ng MNP. Bµi 4: Cho h×nh chãp S.ABCD . M lµ trung ®iÓm cña SA, N vµ P lÇn l­ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SBC vµ tam gi¸c ACD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP). 1.1.4.Ba ®iÓm n»m trªn ba mÆt kh¸c nhau X¸c ®Þnh mÆt ph¼ng chøa hai trong ba ®iÓm vµ giao tuyÕn cña nã víi mÆt kh«ng chøa ®iÓm nµo. X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng nèi hai ®iÓm víi giao tuyÕn trªn vµ x¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng nèi c¸c giao ®iÓm víi c¸c c¹nh cña h×nh chãp. Bµi 1: Cho tø diÖn ABCD. Gäi E, F, G lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BD, BC, CD. Trªn AE, AF, AG lÊy c¸c ®iÓm M,N,P sao cho mÆt ph¼ng (MNP) kh«ng song song víi mÆt ph¼ng (BCD). X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP). Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lÊy c¸c ®iÓm M, N, P n»m trong tam gi¸c t¹o bëi ba ®Ønh t­¬ng øng cña c¸c mÆt sao cho mÆt ph¼ng (MNP) kh«ng song song víi mÆt ph¼ng ®¸y. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) Tuú theo vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm M,N,P biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n. Bµi 3: Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lÊy c¸c ®iÓm M,N,P n»m trong tam gi¸c t¹o bëi ba ®Ønh t­¬ng øng. Sao cho mÆt ph¼ng (MNP) kh«ng song song víi bÊt kú www.MATHVN.com 2 www.mathvn.com §ång Th¸i L©m c¹nh nµo cña h×nh chãp. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n. Bµi 4: Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lÊy c¸c ®iÓm M,N,P n»m trong tam gi¸c t¹o bëi ba ®Ønh t­¬ng øng. Sao cho mÆt ph¼ng (MNP) kh«ng song song víi bÊt kú c¹nh nµo cña h×nh chãp. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n. Bµi 5: Cho h×nh chãp S.ABCD trªn mp(SAB), mp(SCD) lÊy c¸c ®iÓm M,N n»m trong tam gi¸c t¹o bëi ba ®Ønh t­¬ng øng vµ lÊy ®iÓm P n»m trong ®o¹n BC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) 1.1.5.ThiÕt diÖn cã mét ®iÓm n»m trong khèi cña h×nh chãp T×m c¸ch chuyÓn ®iÓm trong khèi chãp ra mÆt ngoµi cña h×nh chãp b»ng c¸ch x¸c ®Þnh giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng chøa ®iÓm n»m trong khèi chãp vµ mét ®iÓm n»m trªn mÆt hoÆc c¹nh cña khèi chãp. X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng giao tuyÕn víi ®­êng th¼ng nèi hai ®iÓm cña mÆt ph¼ng thiÕt diÖn cho tr­íc. ChuyÓn vÒ bµi x¸c ®Þnh thiÕt diÖn cã c¸c ®iÓm cho tr­íc n»m trªn mÆt cña h×nh chãp ®· nªu trªn. Bµi 1: Cho h×nh chãp S.ABCD , tø gi¸c ABCD cã AB kh«ng song song víi CD. Gäi G lµ träng t©m cña ABD, I lµ trung ®iÓm cña SG. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (CDI) Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi I = AC  BD, O lµ trung ®iÓm SI, gäi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC vµ CD x¸c ®Þnh thiÕt diÖn c¾t bëi h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNO) Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ trung ®iÓm cña AG, M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC vµ BD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI). Bµi 4: Cho Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ ®iÓm trªn ®o¹n AG sao cho 2AI = IG, M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña CD vµ AD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI). Bµi 5: Cho Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ ®iÓm trªn ®o¹n AG sao cho AI = 2IG, M vµ N lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm trªn AB vµ CD sao cho MB = 2AM, DN = 3NC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI). Bµi 6: Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm cña SG. Gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) Bµi 7: Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm cña SG. Gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña BC vµ CD . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) Bµi 8: Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm cña SG. Gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) Bµi 9: Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm cña SG. Gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) Bµi 10: Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm cña SG. Gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña SA vµ SC . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) www.mathvn.com www.MATHVN.com 3 www.mathvn.com §ång Th¸i L©m 1.2.ThiÕt diÖn song song §Ó x¸c ®Þnh thiÕt diÖn song song cÇn x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng thiÕt diÖn song song víi nh÷ng ®­êng th¼ng chøa c¹nh nµo cña h×nh chãp. VËn dông tÝnh chÊt song song ®ã x¸c ®Þnh c¸c ®­êng th¼ng t­¬ng øng vµ t×m giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng thiÕt diÖn víi h×nh chãp. 1.2.1.§i qua hai ®iÓm vµ song song víi mét ®­êng th¼ng X¸c ®Þnh mÆt ph¼ng chøa mét ®iÓm ®­êng cho tr­íc, x¸c ®Þnh ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm vµ song song víi ®­êng cho tr­íc qua ®ã x¸c ®Þnh giao ®iÓm víi c¸c c¹nh cña h×nh chãp 1.2.2.§i qua mét ®iÓm vµ song song víi mét mÆt Dùng c¸c ®­êng th¼ng song song víi c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng cho tr­íc víi c¸c mÆt bªn víi ®iÒu kiÖn c¸c ®­êng th¼ng nµy cÇn dùng ph¶i ®i qua c¸c ®iÓm cho tr­íc. X¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm víi c¸c c¹nh cña h×nh chãp víi c¸c ®­êng th¼ng ®­îc x¸c ®Þnh. 1.2.3.§i qua mét ®iÓm vµ song song víi cÆp ®­êng th¼ng chÐo nhau Tõ c¸c ®iÓm ®· cho lÇn l­ît dùng c¸c ®­êng th¼ng song song víi hai ®­êng th¼ng chÐo nhau víi ®iÒu kiÖn c¸c ®­êng th¼ng ®ã ph¶i n»m trªn c¸c mÆt cña h×nh chãp ®Ó x¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm víi c¸c c¹nh C¸c bµi tËp minh ho¹ cho thiÕt diÖn song song Bµi 1: Cho h×nh chãp S.ABCD . M vµ N lµ hai ®iÓm trªn AB vµ CD,  lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SA. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng . Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD . M vµ N lµ hai ®iÓm bÊt kú trªn SB vµ CD,  lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (). Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD cã AB = a, CD = b. §o¹n IJ nèi trung ®iÓm I cña AB vµ trung ®iÓm J cña CD. Gi¶ sö AB  CD , mp() qua diÓm M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña ABCD víi mÆt ph¼ng (). ThiÕt diÖn lµ h×nh g× ? Bµi 4: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. M lµ trung ®iÓm cña SB. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD c¾t bëi mÆt ph¼ng () trong hai tr­êng hîp sau. a) () qua M vµ song song víi SO vµ AD. b) () qua O vµ song song víi AM vµ SC Bµi 5: Cho h×nh chãp SABC. Gäi M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB vµ SC. Trªn ®o¹n BM lÊy ®iÓm H, mÆt ph¼ng (P) qua H vµ song song víi CM vµ BN c¾t h×nh chãp theo mét thiÕt diÖn . T×m thiÕt diÖn ®ã. Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi H lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng chÐo cña ®¸y. I lµ ®iÓm trªn ®o¹n AH. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng (P) ®i qua I vµ song song víi c¸c ®­êng th¼ng SA vµ BD c¾t h×nh chãp. Bµi 7: Cho h×nh chãp SABC gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SB vµ SC; E lµ ®iÓm tuú ý trªn AB. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng () ®i qua E vµ song song víi c¸c ®­êng AM vµ BN c¾t h×nh chãp. Bµi 8: Cho h×nh chãp SABC. Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm c¹nh SB. Trªn ®o¹n th¼ng SM lÊy ®iÓm E. MÆt ph¼ng () ®i qua E vµ song song víi c¸c ®­êng th¼ng AM, SG. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mp() c¾t h×nh chãp. Bµi 9: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi H lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo ®¸y. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mp(P) ®i qua H, song song víi AB vµ SC c¾t h×nh chãp Bµi 10: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c SBC, M lµ ®iÓm trªn ®o¹n AC. MÆt ph¼ng P ®i qua M song song víi c¸c ®­êng th¼ng AG vµ BD c¾t h×nh chãp theo mét thiÕt diÖn. T×m thiÕt diÖn ®ã. Bµi 11: Cho h×nh chãp SABC . Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, SC. Trªn ®o¹n AM ta lÊy ®iÓm H. MÆt ph¼ng (P) ®i qua H song song víi CM vµ BN c¾t h×nh chãp theo mét thiÕt diÖn. H·y t×m thiÕt diÖn ®ã. Bµi 12: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸u ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi H lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng chÐo ®¸y. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua H vµ song song víi mÆt ph¼ng (SAB) c¾t h×nh chãp. www.MATHVN.com 4 §ång Th¸i L©m www.mathvn.com Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¹nh AB vµ CD , E lµ ®iÓm chia BC theo tØ sè BE:EC = 2 : 1. Trªn ®o¹n th¼ng AM lÊy ®iÓm H. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua H vµ song song víi mÆt ph¼ng (MNE) c¾t tø diÖn ®· cho. Bµi 14: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD . Gäi M, N, E lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AD, SC. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm K . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua K song song víi (MNE) c¾t h×h chãp. Bµi 15: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AD. Trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm K . T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua K song song víi mp(AMN) c¾t h×nh chãp. Bµi 16: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi E lµ trung ®iÓm SC, H lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng chÐo ®¸y h×nh chãp. Trªn ®o¹n AH lÊy ®iÓm M . T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua M song song víi mp(BDE) c¾t h×nh chãp. Bµi 17: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi C’ lµ trung ®iÓm cña SC , M lµ mét ®iÓm di déng trªn c¹nh SA , () lµ mÆt ph¼ng lu«n ®i qua C’M vµ song song víi BC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn mµ () c¾t h×nh chãp S.ABCD . Khi nµo thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh ? Bµi 18: Cho tø diÖn ABCD gäi G1; G2 ; G3 lÇn l­ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, ACD, ADB. T×m thiÐt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng G1G2G3 1.3.ThiÕt diÖn vu«ng gãc 1.3.1.ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng MÆt ph¼ng ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng vËn dông vÊn ®Ò ®ã mÆt ph¼ng còng ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt hai ®­êng th¼ng c¾t nhau, hai ®­êng th¼ng song song víi nhau, biÕt mét ®iÓm thuéc nã vµ mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nã. Do vËy mÆt ph¼ng ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt mét ®iÓm thuéc nã vµ mét ®­êng vu«ng gãc víi nã cho ta x¸c ®Þnh ®­îc mét mÆt ph¼ng ®i qua mét ®iÎm vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng vµ cã thÓ ph¸t biÓu thµnh mÖnh ®Ò nh­ sau : “NÕu n ®­êng th¼ng trong kh«ng gian cïng ®i qua mét ®iÓm M vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng  cho tr­íc th× chóng ®ång ph¼ng” X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng d cho tr­íc cã hai tr­êng hîp s¶y ra : Tr­êng hîp 1: NÕu cã hai ®­êng th¼ng a vµ b cïng vu«ng gãc víi d vµ a kh«ng song song víi b th× ta cã (P) // a vµ (P) // b (Cã thÓ (P) chøa mét hoÆc hai ®­êng th¼ng ®ã). VËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p x¸c ®Þnh thiÕt diÖn song song ®· nªu tr­íc ®Ó x¸c ®Þnh thiÕt diÖn Tr­êng hîp 2: NÕu kh«ng cã hai ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi d ta dùng hai ®­êng th¼ng c¾t nhau cïng vu«ng gãc víi d trong ®ã cã Ýt nhÊt mét ®­êng ®i qua ®iÓm cho tr­íc. MÆt ph¼ng ®­îc x¸c ®Þnh chÝnh lµ (P) sau ®ã vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· nªu x¸c ®Þnh thiÕt diÖn. Chó ý : §Õ x¸c ®Þnh ®­êng th¼ng thø hai trong tr­êng hîp hai cÇn n¾m tr¾c ®Þnh lÝ ba ®­êng vu«ng gãc vµ ®iÒu kiÖn ®Ó ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng, hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc Bµi 1: Cho tø diÖn ABCD cã AB  AD, AB  AC, AD  AC, gäi G lµ träng t©m t©m tam gi¸c BCD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn c¾t bëi mp(P) ®i qua G vµ vu«ng gãc víi AD. Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABC ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu cã SA (ABC). Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua C vµ vu«ng gãc víi SB. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(). Bµi 3: Cho tø diÖn SABC cã tam gi¸c ABC nhän vµ SA  (ABC). X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng qua S vµ vu«ng gãc víi BC. www.MATHVN.com 5 www.mathvn.com §ång Th¸i L©m Bµi 4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng vµ SA (ABCD). Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SB. Hái (P) cÊt h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× ? Bµi 5 : Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng vµ SA (ABCD). Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC. Hái (P) cÊt h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× ? Bµi 6: Cho h×nh chãp S.ABCD ®Êy ABCD cã ACBD = O, SO  mp(ABCD), gäi I lµ trung ®iÓm cña SO. X¸c ®Þnh thiÕt diÖt cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua I vµ vu«ng gãc víi SA. Bµi 7: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ AB//DC. Cã SA mp(ABCD) . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng () qua A vµ vu«ng gãc víi SC. 1.3.2.ThiÕt diÖn ®i qua hai ®iÓm vµ vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng Bµi 1: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi kh«ng song song. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua A,B vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SCD). Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi kh«ng song song. Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ träng t©m cña hai tam gi¸c SBC vµ SAB. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD. Bµi 3: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi kh«ng song song. Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ träng t©m cña hai tam gi¸c SBC vµ SAD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD. Bµi 4: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi kh«ng song song. Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ träng t©m cña hai tam gi¸c SAC vµ SAB. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD. Bµi 5. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi kh«ng song song.Gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña SA vµ SC . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng chøa M,N vµ vu«ng gãc víi mp(SBD). Bµi 6: Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA mp(ABCD) gäi I lµ ®iÓm trªn ®o¹n SA sao cho 2AI = IS. J lµ ®iÓm trªn ®o¹n DC sao cho DJ = 2 JC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng qua I,J vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBD). www.mathvn.com www.MATHVN.com 6