Tài liệu Bài tập chuỗi lũy thừa có lời giải

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi hàm Bài 03.04.1.001  Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n2 2n n 2   1 n n 3 n xn 2 Lời giải: 1 Có lim n  n an  lim n n n 2/3  n1/2  1 2 1     2 n  lim n Vậy bán kính hội tụ là R  n n n 2/3  n1/2   1  2 1        2   n  1 2 1 2 Bài 03.04.1.002  Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n  1   2n !!  x  2  n 1 n0 Lời giải: an n  1  2n  2 !! n 1 .  lim .  2n  2    Có lim n1  lim n a n  2n !! n n n Vậy bán kính hội tụ là R   Bài 03.04.1.003 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa    1 n 1 Lời giải: Có lim n an n  2 n 1  lim . 1 an1 n n n  1 Vậy bán kính hội tụ là R  1 n 1  2 n 1   x  n Bài 03.04.1.004  x2n Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n n 1 3 .n Lời giải:   x2n 1 Có  n   a n x 2 n ,ta xét: lim  lim3 n n  3  R  3 n  n n a n 1 3 .n n 1 n Vậy bán kính hội tụ là R  3 Bài 03.04.1.005  n2 xn Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n1  31ln n n2 8 Lời giải: 1/ n ln n   8 8  3 n  n n 1 1 8  3ln n 8   lim  lim  Có lim n 2 n 2 n n n an n n n 8.80  8 1 Vậy bán kính hội tụ là R  8. Bài 03.04.1.006  n 1  Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa    n2  n  2   2 n2  3 n 1 Lời giải: lim n  n n2  lim   an n   n  1  1 2 n 2  3 n 1 n  3    lim 1   n    n 1  n 1 3 3    lim 1   n   n 1     3 2 n 2  3 n 1 . n 1 n  e6 2 n 2  3 n 1 n xn Vậy bán kính hội tụ là R  e6 Bài 03.04.1.007  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa xn  2 n 1 n Lời giải: an an 1 1  n 1  2:  1   nlim 2  a an 1 n  n  1  n  n 1 2 R  1, chuỗi hội tụ với x  1 , phân kì với x  1 x2 1 Tại x  1 có 2  2 mặt khác n n  1 n n 1 2 hội tụ Do đó chuỗi lũy thừa hội tụ tại x  1 Vậy miền hội tụ là  1;1 Bài 03.04.1.008 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n2 n x n 3 n0   Lời giải: an a n2 n3 n2  n : n 1  3  lim n  3 n  a an 1 3 3 n3 n 1 R  3, chuỗi hội tụ khi x  3, phân kì khi x  3. Tại x  3 có    a x    n  2 phân kỳ. n n0 Tại x  3 có n n0    a x    1  n  2 phân kỳ. n n0 n n0 n Miền hội tụ  3;3 Bài 03.04.1.009  xn Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n0 n  1 Lời giải: an a 1 1 n2  :   lim n  1 n  a an 1 n  1 n  2 n  1 n 1 R  1, chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x  1. Khi x  1 có  1  n  1 phân kỳ. n 1 Khi x  1 có   1 n  n 1 là chuỗi đan dấu hội tụ. n 1 Miền hội tụ là [  1; 1). Bài 03.04.1.010  x2n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   1  2n ! n0 n Lời giải: Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0: a2 n 1  0. Đặt y  x  1 y n có chuỗi lũy thừa:  n  0  2n !  2 n  2  n  1 !  2n  1 2n  2 a  1 :  1 Có n      an 1  2n !  2  n  1 !  2n ! n  lim n  an  an 1 n 1 Miền hội tụ  ;   Bài 03.04.1.011  x  2  5 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n 1 n3 n * 3n  1 Lời giải: Ta đặt X  x  2, an  1 Ta có:  1 5 n3 3n  1 chuỗi (*) trở thành a X n n n 1 n  5 n 31/3 n n1/3  5  n 5n 3 3n  1 an n Nên bán kính hội tụ là R = 5 X   5;5  x  2   5;5  x   3;7  Xét x  3 chuỗi (*) trở thành 5 n3 n 1 Xét x  7 chuỗi (*) trở thành  5 n 1 an  1 3 3n  1 1 3 3n1/ 3 (   5   3n  1  5 n3 n n 3 n0  3n  1 3 n0  1 n 3n  1 1 3n  1 1  1) 3 Vậy miền hội tụ là [  3, 7) Bài 03.04.1.012 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   n 1  x  5 n  * 3n n! Lời giải: 1 Ta đặt X  x  5, an  n chuỗi (*) trở thành 3 n!  a X n 1 n n hội tụ theo Leibniz phân kỳ do 3  n  1! a n  Ta có: n   3  n  1   n an 1 3 n! n 1 Khi đó X  x  5   ,    x   ,   Vậy miền hội tụ của chuỗi là . Bài 03.04.1.013 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa và tính tổng   n0 2n  x  2 n Lời giải: 1  Đặt X  , an  2n thì (1) trở thành x2   a .X n0 n n (2) an 2n 1 1 Ta có lim  lim n 1   R  n  a n  2 2 2 n 1 n    1 1 Tại X    2n X n   2n    1n phân kỳ. 2  2  n0 n0 n0 n    1 n n n n 1 Tại X     2 X   2       1 phân kỳ. 2  2  n0 n0 n0  1 1 Do vậy miền hội tụ của (2) là   ,   2 2 x  0 1 1 1 Ta có:     2 x2 2  x  4 Vậy miền hội tụ của (*) là  , 4   0,    Tính tổng: 1   n0 n0 Xét (2) có S  x    2n X n    2X  1   2X   S  x   1   2X   ....   2X   1 n  S  x   lim Sn  x   lim n   S  x  1   2X  n  1 a 2  b2 1  2X Xét (1): Thay X  n n 1 1  2X n 1  1  2X 1  1 1 (Vì X    ,  ) 1  2X  2 2  * 1 vào (*): x2  S  x  1 1 x2   1  2X 1  2 1 x x2 Bài 03.04.1.014 n2   n  n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    x n 1  n  3  * Lời giải: Xét an  n n3 Ta có: 3 lim n  n 1 1  n  an  lim   lim  3  R  e3  n n  n  3 e   n   n  3     n   n2  n  n   n  Tại x  e     x    n 1  n  3  n 1  n  3  3  lim n an  1  0 n  n2  e  3 n   n     1    n  3 n 1 n n2 e  3 n Vậy miền hội tụ của chuỗi là D   e3 , e3  Bài 03.04.1.015  n 1  Tìm miền hội tụ của chuỗi    n  0  2n  3   n2  x  2 * 2n Lời giải: Đặt X   x  2  , X  0. 2  n 1  n Ta tìm miền hội tụ của chuỗi    X n  0  2n  3  n  Xét an  n 1 1 n 1 có lim n an  lim  R2 n  n  2n  3 2n  3 2 n  2n  2   n 1  n  Tại X  2 chuỗi (*) thành   1   2    1    2n  3   2n  3  n0 n0  n n 2n  2  1  0 nên chuỗi phân kỳ. n  2n  3  lim n un  lim n  Vậy miền hội tụ theo X là  2, 2   miền hội tụ x  2  2  2  2  x  2  2 Bài 03.04.1.016 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   n  x  2 * n n n 1 Lời giải: Ta đặt X  x  2, a n  nn chuỗi (*) thành  a X n 1 n n n 1 n  an 1 n nn  1 n   0  R n Khi đó X  x  2  0  x  2 Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là {2} Bài 03.04.1.017 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   x  1 2 n 1 n n  *  3n Lời giải:  1 Ta đặt X  x  1, an  n chuỗi (*) thành 2  3n 1 Ta có: n  n 2n  3n n a X n n n 1 n  3n  3 an Suy ra bán kính hội tụ là R  3  X   3, 3  Tại X  3 chuỗi (*) trở thành:  n 1  3 n 2n  3n    un là chuỗi phân kỳ n 1 3n n  Vì un  n  1  0  lim un  0 n x  2 3 Vậy miền hội tụ là  2, 4  Bài 03.04.1.018 n2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    n 1  n  1   n  n 1 xn Lời giải: n2 Đặt an     n 1  n  1   n  n 1 khi đó (*) trở thành  a x n 1 n n * Ta có lim n  n 1   an  lim 1   n   n 1  1 n2 Tại x       e n 1  n  1   lim n  n n  n 1 n 1 e R 1 e n n n 1 n   1   n1  1        1     1   n  1  e    e n 1   1   an  lim 1   n   n 1 n 1 1 1 .  e.  1  0 e e  1 1 Vậy miền hội tụ là D    ,   e e Bài 03.04.1.019 n  n 1  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  2 n 1  3n  2   n  * Lời giải:  n 1  Đặt X  x  2, an    chuỗi (*) trở thành 3 n  2   Xét lim n an  lim n  n   a X n 1 n n (**) n 1 1  R3 3n  2 3  n n  n 1   3n  3  Tại X  3 ta được     3      1 n 1  3n  2  n 1  3n  2   Có lim n un  lim n  n  n 3n  3  1  0 nên tại X  3 chuỗi không hội tụ. 3n  2 Vậy miền hội tụ của chuỗi (**) là  3, 3 do đó miền hội tụ của chuỗi (*) là  1, 5 Bài 03.04.1.020 n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n n2 1  x  1 1 n  ln n  2 Lời giải: Đặt X  x  1, an   1 n  ln n  chuỗi (1) thành 2 n2 Ta có: n  n (2) n 1 n n  ln n  an 1  lim  lim 2 n  n  1 an  n  1  ln  n  1  2ln  n  1 . n 1 2 lim a X ln n n  ln  n  1 Với lim 2ln n. Lopi tan 1  lim n  1  R  1 n  1 n 1 Lopi tan Tại X  1 ta được chuỗi  n n2 1  ln n  2  1 n (*) n  ln n  a lim n 1  lim 1  2 n  Từ đó ta có: n  an chuỗi (*) phân kỳ.  n  1  ln  n  1  2 Vậy miền hội tụ của (2) là  1, 1 nên miền hội tụ của (1) là  2, 0  Bài 03.04.1.021  n 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi    n2  n  1   n  n 1  x  1 * n Lời giải:  n 1 Ta đặt X  x  1, an     n 1 n  n 1  chuỗi (*) thành a X n2 n n  n 1     n 1 an 1 Ta có: n n  n 1  n 1    n 1 n n 1 2    1    n 1 n 1 n    e2 Suy ra bán kính hội tụ là R  e2 .  n 1 Ta xét tại X  e . chuỗi (*) thành    n2  n  1   n  n 1 2   e    u 2 n n2 n Ta có:  n 1 un     n 1 n  n 1 e  2n  n 1 Suy ra chuỗi    n2  n  1   n  n 1 un     n 1 n  n 1 n 1 e  e2 2  n 1    n 1 n 1  e  phân kì. 2 n Vậy miền hội tụ là  1  e2 ,  1  e2  Bài 03.04.1.022  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n0 2  1 n xn  n  5 .3 n  * Lời giải: Có R  3  x   3,3  Xét x  3 (*) trở thành  n0  1  3 n 2 n    n  5 .3n  Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với n 1 1 n n 1 1/ 2 2 1 n 5   e2 2   1    n 1 n 1  1, n  2 Xét x  3 (*) trở thành  n0 Chuỗi đan dấu với an    1  3 n  2 n  n  5 .3n 1 2 n 5    n 1 1 2 n 5   0 và giảm nên hội tụ theo Leibnitz. Vậy miền hội tụ là D  (3, 3] Bài 03.04.1.023 n  n3  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  1 n 1  2 n  1   n  * Lời giải: Có R  2  x  1  2, 2   x   1, 3   n n  n3   2n  6  Xét x  1 (*) trở thành     2       1   an n 1  2n  1  n 1  2n  1  n 1 n   5   5   2n  6    1   1  Mà        2 n  1   2 n  1   2 n  1   n n n 2 n 1 5     5 .n 2 n 1 n    e5/ 2  an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.   n  n3   2n  6  2   Xét x  3 (*) trở thành          an n 1  2n  1  n 1  2 n  1  n 1  n  an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần. Vậy miền hội tụ là D   1, 3 Bài 03.04.1.024 n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   2  x  5 * n n2 n0 Lời giải: 1 Có lim n  n an  lim n  n 1 2n 1 0 n  2n  lim 2 Khi đó bán kính hội tụ R  0 Vậy chuỗi chỉ hội tụ tại 5 Bài 03.04.1.025  2n 3n  n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   n  2  x n  n 1  3  * Lời giải: Có R  1  1 1  x ,  3  3 3 n n n     2n.n 2  9n   1  1  2   1  Xét x   (*) trở thành             2  3n.n 2   3  n 1  9  n  3 n 1  n   2 Do chuỗi     và n 1  9    n 1  1 n n2  2n.n2  9n   1  hội tụ nên       hội tụ. 3n.n2   3  n 1  n  n n     2n.n 2  9n   1  1 1 2   Xét x  (*) trở thành          3n.n 2   3  n 1  9  n 2  3 n 1   n 2 Do chuỗi    và n 1  9   1 hội tụ nên  2 n 1 n  1 1 Vậy miền hội tụ là D    ,   3 3  2n.n2  9n   1       hội tụ. 3n.n2   3  n 1   n Bài 03.04.1.026  x  8 * Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    2n n 1  n ! n  Lời giải: Dễ dàng nhận thấy bán kính hội tụ R   Vậy miền hội tụ là D   , +  Bài 03.04.1.027 n  2 n 1  n  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  1 n 1  2n  1   * Lời giải: Hiển nhiên với x  0, 1 chuỗi hội tụ. n 2n  n  Xét chuỗi (*) có an     x  1 , n   2n  1  Khi đó n  x  1 n 2 an   x  1  2n  1 2 2  TH1:  x  1  2 chuỗi hội tụ. 2  TH2:  x  1  2 chuỗi phân kỳ. 2  TH3:  x  1  2 2   1 2n  n   2n   x  1   1          2 n 1   2n  1   2n  1    2n  1   n  Vậy miền hội tụ là D  1  2, 1+ 2 Bài 03.04.1.028  2 n 1     n 2 n 1   e1/ 2  0 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n2 n x  3   2 n 1 n   Lời giải: Có U n  n2 n2 n , ta xét: lim U  lim ( x  3) n  0 ( x  3) ( x  3) n 2 2 n  n  n n Nhận thấy Un  1 (n  3)( x  3) n .n 2 (n3  3n 2 )( x  3)   Un (n  1)2 (n  2)( x  3) n n3  4n 2  5n  2 Theo dấu hiệu D’lambe có:  U  n 1 n là hội tụ  4  x  2  x  2 là phân kỳ  U  n  x  4 n 1     Vậy miền hội tụ của U n 1 n là (-4,-2) Bài 03.04.1.029 n  n 1  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  1 n 1  2n  1   Lời giải: Có U n  ( n 1 n ) ( x  1) n 2n  1 n 1 n  n 1  Un   x 1  x 1  2n  1  2n  1  n Xét n n  Theo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụ n 1 n n 1 x 1  1 n  2n  1  lim n U n  1  lim n   x  1  2  1  x  2  Vậy miền hội tụ của U n 1 là (-1,2) n Bài 03.04.1.030  x3n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n n 1 n.4 Lời giải: Có U n  Mà: n x3n n.4n Un  x n 3 n .4  1 n n .4 x 3  Theo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụ n 1  x 4 x  3 4 3  vậy miền hội tụ của U n 1 n là ( 3 4, 3 4) Bài 03.04.1.031 ( x  2) 2 n 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  2n  1 n0  Lời giải: Có: U n  ( x  2) 2 n 1 2n  1 U n  1 ( x  2)2 n  3 (2n  1) (2n  1) 2   Xét Un (2n  3)( x  2) 2 n 1 2n  3  Theo dấu hiệu Dalambe ta có U n 1 n là hội tụ Un  1  1  x  2  1  3  x  1 x  Un lim  U Vậy miền hội tụ của n0 n là  3,  1 . Bài 03.04.1.032.A745 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:    1 n nx n n 1 Lời giải: Với an   1 nx n có: n 1  n  1 x n 1 an 1  n 1  1  lim  lim  lim  1 x  lim 1      x x n  n n  a n  n  n  n n     1 nx    n n 1 Từ đó, chuỗi    1 n nx n hội tụ khi x  1 với bán kính hội tụ R  1. n 1 Xét tại x  1 được chuỗi     1 n  1    1 n n 1 n n  1 n  n phân kỳ do lim n 1 n n  Vậy miền hội tụ là D   1, 1 Bài 03.04.1.033.A745 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   n 1 Lời giải:  1 3 n n xn Với an  1  3 n xn xét: n 3 1 x n 1 1 x 3 n an 1   n 1 3 lim  lim 3 .  lim  lim x  x n 3 n n  a n  n  n  1  1 / n n  1 n  1  1 x n n 1  Chuỗi  n 1  1 3 n xn hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1. n Tại x  1 chuỗi    1 n 1 Tại x  1 chuỗi n   n 1 3 n n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. 1   phân kì do     1 3  n  1 3 Vậy miền hội tụ là (1, 1] Bài 03.04.1.034.A745  xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  n 1 2n  1 Lời giải: xn Với an  xét: 2n  1 an 1 x n 1 2n  1  2n  1  lim  lim . n  lim  x x n  a n  2n  1 n  2n  1 x   n  Chuỗi xn hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1.  2 n  1 n 1 Tại x  1 chuỗi  1 1 1 1  1  phân kỳ do mà phân kỳ.   2 n  1 2 n 2 n  1 2 n n 1 n 1 Tại x  1 chuỗi   1 n  2n  1 hội tụ theo chuẩn Leibnitz. n 1 Vậy miền hội tụ là [  1, 1). Bài 03.04.1.035.A745 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:    1 n 1 n xn n2 Lời giải: Với an  1  n xn xét: n2 n 1  n  2  2 1 x n 1 an 1  n2 lim  lim .  lim   x  1 x  x 2 n n  a n   n  1  1 x n n   n  1   n Tại x  1 chuỗi    1 n 1 Tại x  1 chuỗi  n2 1 n n 1 2 n hội tụ theo chuẩn Leibnitz. hội tụ (do   2  1 ) Vậy miền hội tụ là  1, 1 Bài 03.04.1.036.A745  xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  n  0 n! Lời giải: Với an  xn xét: n! an 1 x n 1 n! x 1 lim  lim . n  lim  x lim  x .0  0  1 n  a n   n  1! x n  n  1 n  n  1 n Nên bán kính hội tụ là R   Vậy miền hội tụ là  ,  