Định nghĩa và tính chất của ánh xạ tuyến tính
Bài 04.03.1.001
Cho A là ma trận cấp m n trên K. Ánh xạ : K n K m xác định bởi x Ax.
Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính.
Giải:
Với mọi x, y K n và a K . Ta có:
x y A x y Ax Ay x y
ax A ax aAx a x .
Vậy là ánh xạ tuyến tính.
Bài 04.03.1.002
Kiểm tra ánh xạ
h:
2
( x; y)
2
(2 x y; x 2 y)
có phải là ánh xạ tuyến tính không?
Giải:
Với x, y
2
suy ra x ( x1, x2 ) và y ( y1, y2 ) với ; K . Khi đó,
h( x y ) h( x1 y1 , x2 y2 ) (2( x1 y1 ) x2 y2 , x1 y1 2( x2 y2 ))
(2 x1 x2 , x1 2 x2 ) (2 y1 y2 , y1 2 y2 ) h( x) h( y )
Khi đó, h( x) (2 x1 x2 , x1 2 x2 )
Vậy ánh xạ h cho bởi công thức trên là ánh xạ tuyến tính.
Hơn nữa đây còn là một phép biến đổi tuyến tính, hay toán tử tuyến tính từ không
gian vector 2 vào chính nó.
Bài 04.03.1.003
Cho A là ma trận cấp n trên K. Ánh xạ : M n K M n K xác định bởi
X XA AX , với X M n K . Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính
Giải:
Với mọi X , Y M n K , a K . Ta có:
X Y X Y A A X Y XA YA AX AY
XA AX YA AY X Y
aX aX A A aX a XA a AX a XA AX a X .
Vậy là ánh xạ tuyến tính.
Bài 04.03.1.004
Ánh xạ f
2
2
dưới đây có phải là tuyến tính không:
x, y x , y
4) f x, y 0, y
6) f x, y 2x y, x y
8) f x, y x , y
x, y 2 x, y
3) f x, y y, x
5) f x, y x, y 1
7) f x, y y, y
2
2) f
1) f
3
3
Giải:
1) Xét f
x, y x ', y ' f x x ', y y ' 2 x x ' , y y '
2 x, y 2 x ', y ' f
f k x, y f
x, y f x ', y '
kx, ky 2kx, ky k 2x, y kf x, y
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
2) Xét f
x, y x ', y ' f x x ', y y ' x x ' , y y '
2
x 2 , y x '2 , y ' f
x, y f x ', y '
Vậy ánh xạ đã cho không phải là tuyến tính.
3) Xét f
x, y x ', y ' f x x ', y y ' y y ', x x '
y, x y ', x ' f
f k x, y f
x, y f x ', y '
kx, ky ky, kx k y, x kf x, y
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
4) Xét f
x, y x ', y ' f x x ', y y ' 0, y y '
0, y 0, y ' f
f k x, y f
x, y f x ', y '
kx, ky 0, ky k 0, y kf x, y
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
5) Xét f
x, y x ', y ' f x x ', y y ' x x ', y y ' 1
x, y 1 x ', y ' 1 f
x, y f x ', y '
Vậy ánh xạ đã cho không phải là tuyến tính.
6) Xét f
x, y x ', y ' f x x ', y y ' 2 x x ' y y ', x x ' y y '
2 x y, x y 2 x ' y ', x ' y ' f
f k x, y f
x, y f x ', y '
kx, ky 2kx ky, kx ky k 2x y, x y kf x, y
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính
7) Xét f
x, y x ', y ' f x x ', y y ' y y ', y y '
y, y y ', y ' f
f k x, y f
x, y f x ', y '
kx, ky ky, ky ' k y, y ' kf x, y
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính
8) Theo đầu bài f
x, y
3
x, 3 y
3
Do đó xét f k x, y f kx, ky
kx , 3 ky k
3
Vậy ánh xạ đã cho không phải là tuyến tính.
Bài 04.03.1.005
Ánh xạ f :
3
2
x , 3 y kf x, y
dưới đây có phải là tuyến tính không:
x, y, z 0,0
4) f x, y, z 2 x y,3 y 4 z
x, y , z x, x y z
3) f x, y, z 1,1
1) f
2) f
Giải
1)Xét
x, y, z x ', y ', z ' f x x ', y y ', z z ' x x ', x x ' y y ' z z '
x, x y z x ', x ' y ' z ' f x, y, z f x ', y ', z '
f k x, y, z f kx, ky, kz kx, kx ky kz kx, k x y z
k x, x y z kf x, y, z
f
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
2) Xét f
x, y, z x ', y ', z ' f x x ', y y ', z z ' 0,0 0,0 0,0
f
x, y, z f x ', y ', z '
f k x, y, z f kx, ky, kz 0,0 kf
x, y, z
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
3) Xét f k x, y, z f
kx, ky, kz 1,1 kf x, y, z trừ khi k 1.
Vậy ánh xạ đã cho là không tuyến tính.
4) Xét f x, y, z x ', y ', z ' f
x x ', y y ', z z '
2 x x ' y y ' ,3 y y ' 4 z z '
2 x y,3 y 4 z 2 x ' y ',3 y ' 4 z '
f
x, y, z f x ', y ', z '
f k x, y, z f kx, ky, kz 2kx ky,3ky 4kz
k 2 x y , k 3 y 4 z kf
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
Bài 04.03.1.006
x, y , z
Ánh xạ f : M2
dưới đây có phải là tuyến tính không:
a b
1) f
a d
c
d
a b
a b
2) f
det
c d
c d
a b
3) f
2a 3b c d
c
d
a b
2
2
4) f
a b
c d
Giải:
a b a ' b '
a a ' b b '
1) Xét f
f
c d c ' d '
c c ' d d '
a b
a ' b '
a a ' d d ' f
f
c d
c ' d '
a b
ka kb
f k
f
ka kd k a d kf
c d
kc kd
a b
c d
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
a b
ka kb ka kb
b
2 a
f
k
2) Xét f k
c d
c d
kc kd kc kd
k
a b
kf
trừ khi k 1.
c d
c
d
a b
Vậy ánh xạ đã cho không tuyến tính.
a b a ' b '
a a ' b b '
3) Xét f
f
c d c ' d '
c c ' d d '
2 a a ' 3 b b ' c c ' d d ' 2a 3b c d 2a ' 3b ' c ' d '
a b
a ' b '
f
f
c d
c ' d '
a b
ka kb
f k
f
2ka 3kb kc kd k 2a 3b c d kf
c
d
kc
kd
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính
a b
c d
a b
ka kb
2
2
2
2
2
f
4) Xét f k
ka kb k a b
c d
kc kd
a b
k a 2 b 2 kf
trừ khi k 1.
c
d
Vậy ánh xạ đã cho không tuyến tính.
Bài 04.03.1.007
Ánh xạ f : P2 P2 dưới đây có phải là tuyến tính không:
1) f a0 a1 x a2 x 2 a0 a1 a2 x 2a0 3a1 x 2
2) f a0 a1 x a2 x 2 a0 a1 x 1 a2 x 1
2
3) f a0 a1 x a2 x 2 0
4) f a0 a1 x a2 x 2 a0 1 a1 x a2 x 2
Giải
1) Xét
f
a
0
a1 x a2 x 2 b0 b1 x b2 x 2 f
a
0
b0 a1 b1 x a2 b2 x 2
a0 b0 a1 b1 a2 b2 x 2 a0 b0 3 a1 b1 x 2
a0 a1 a2 x 2a 0 3a1 x 2 b0 b1 b2 x 2b0 3b1 x 2
f a0 a1 x a2 x 2 f b0 b1 x b2 x 2
f k a0 a1 x a2 x 2 f ka0 ka1 x ka2 x 2 ka0 ka1 ka2 x 2ka0 3ka1 x 2
k a0 a1 a2 x 2a0 3a1 kf a0 a1 x a2 x 2
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
2) Xét
f
a
0
a1 x a2 x 2 b0 b1 x b2 x 2 f
a
0
a0 b0 a1 b1 x 1 a2 b2 x 1
b0 a1 b1 x a2 b2 x 2
2
a0 a1 x 1 a2 x 1 b0 b1 x 1 b2 x 1
2
2
f a0 a1 x a2 x 2 f b0 b1 x b2 x 2
f k a0 a1 x a2 x 2 f ka0 ka1 x ka2 x 2 ka0 ka1 x 1 ka2 x 1
k a0 a1 x 1 a2 x 1
2
2
kf a a x a x
2
0
1
2
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
3) Xét
f
a
0
a1 x a2 x 2 b0 b1 x b2 x 2 f
a
0
b0 a1 b1 x a2 b2 x 2
0 0 0 f a0 a1 x a2 x 2 f b0 b1 x b2 x 2
f k a0 a1 x a2 x 2 f ka0 ka1x ka2 x 2 0 k 0
kf a0 a1 x a2 x 2
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
4) Xét
f k a0 a1 x a2 x 2 f ka0 ka1 x ka2 x 2 ka0 1 ka1 x ka2 x 2
k a0 1 a1 x a2 x 2 kf a0 a1x a2 x 2 trừ khi k 1
Vậy ánh xạ đã cho không tuyến tính.
Bài 04.03.1.008
Cho f :
2
2
là ánh xạ biến mỗi điểm của mặt phẳng thành điểm đối xứng của
nó đối với trục y. Hãy tìm công thức cho f và chứng tỏ rằng nó là một toán tử tuyến
tính trong
Giải
2
.
Nếu x, y
xạ: f
thì điểm đối xứng của nó đơi với trục y là x, y . Do đó có ánh
2
x, y x, y
Ta xét: f x, y x ', y ' f
x x ', y y ' x x ' , y y '
x, y x ', y ' f
f k x, y f
x, y f x ', y '
kx, ky kx, ky k x, y kf x, y
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
Bài 04.03.1.009
Gọi Mmn là tập các ma trận cỡ m n. Cho B là một ma trận cỡ 2x3 hoàn toàn xác
định. Chứng minh rằng ánh xạ T : M22 M23 định nghĩa bởi T A AB là ánh
xạ tuyến tính.
Giải
Giả sử A M2x2 có cỡ 2 x 2, B M2x3 có cỡ 2 x 3.
Vậy A nhân với B được và AB có cỡ 2 x 3.
Ánh xạ T A AB là một ánh xạ từ M2x2 tới M2x3
Theo tính chất của phép nhân ma trận và phép nhân ma trận với một số, ta có:
A, A ' M2x2 T A A ' A A ' B AB A ' B T A T A '
A M2x2 , k
T kA kA B k AB kT A
Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.
Bài 04.03.1.010
Cho ánh xạ T :
phẳng xy.
3
W là một phép chiếu trực giao các điểm của
a) Tìm công thức của T.
b) Tìm T 2,7, 1
3
lên mặt
Giải
a) Nếu x, y, z là tọa độ của một điểm của không gian xyz thuộc hình chiếu của
nó lên mặt phẳng xy sẽ có tọa độ x, y,0 .
Vậy có T x, y, z x, y,0
b) Áp dụng công thức trên ta có:
T 2,7, 1 2,7,0
Bài 04.03.1.011
S là một cơ sở trong không gian n chiều V
a) Chứng minh rằng nếu v1, v2 ,..., vr là một họ độc lập tuyến tính trong V thì các
vecto tọa độ v1 S , v2 S ,..., vr S cũng tạo thành một họ độc lập tuyến tính và
ngược lại.
b) {v1,..., vr } sinh ra V thì { v1 S ,..., vr S cũng sinh ra R n và ngược lại.
Giải
Theo đầu bài ta xét hai tập E {v1, v2 ,...vr }
vi V
F { v1 S , v2 S ,..., vr S },
vi S
Ta phải chứng minh:
1) Nếu E ĐLTT trong V thì F ĐLTT trong
2) Nếu F ĐLTT trong
n
n
thì E ĐLTT trong V.
Trước hết ta nêu 2 nhận xét:
w V wS 0,0,..,0
n
c1 v1 S ... cr vr S c1v1 ... cr vr S , vi V
(a)
(b)
Để chứng minh phần 1) ta giả sử E ĐLTT trong V và xét:
c1 v1 S ... cr vr S 0,0,...0
(c)
n
Từ đó với nhận xét (b) ta suy ra
c1v1 ... cr vr S 0,0,...0
(d)
Với nhận xét (a) thì (d) cho
c1v1 c2v2 .... cr vr V
(e)
Nhưng ta đã giả sử E ĐLTT trong V nên phương trình (e) buộc
c1 c2 ... cr 0
(f)
Vậy (c) (f). Điều đó chứng tỏ F ĐLTT và phần 1) chứng minh xong.
Để chứng minh phần 2) ta giả sử F ĐLTT trong
n
và xét:
c1v1 c2v2 ... cr vr V
(g)
Theo nhận xét (a) ta có:
(c1v1 c2v2 ... cr vr ) S S 0,0,...,0
Áp dụng nhận xét (b) ta được :
c1 v1 S c2 v2 S ... cr vr S 0,0,...,0
Nhưng ta đã giả sử F ĐLTT trong
n
. cho nên đẳng thức trên buộc có (f)
Vậy (g) (f) nghĩa là E ĐLTT trong V và phần 2) chứng minh xong.
Bài 04.03.1.012
Cho f : 3 3 là ánh xạ tuyến tính sao cho
f (1,1,2) (1,2,3), f (2,1,1) (0,1,1), f (2,2,3) (0, 1,0)
Hãy xác định công thức của f , nghĩa là tìm f ( x1, x2 , x3 ) .
Giải:
Đặt S {v1, v2 , v3} và T {u1, u2 , u3} , trong đó
v1 (1,1, 2),
u1 (1, 2,3)
v2 (2,1,1),
u2 (0,1,1)
v3 (2, 2,3), u3 (0, 1,0)
Do S là cơ sở của 3 nên tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : 3 3 sao
cho f (v1 ) u1, f (v2 ) u2 , f (v3 ) u3 . Do S là cơ sở nên tồn tại duy nhất các số
a1, a2 , a3 sao cho v a1v1 a2v2 a3v3 với mọi v ( x1, x2 , x3 ) 3 . Ta có
x1
1
2
2
x a 1 a 1 a 2
1
2
3
2
x3
2
1
3
Tương đương
x1 a1 2a2 2a3
a1 x1 4 x2 2 x3
x2 a1 a2 2a3 a2 x1 x2
x 2a a 3a
a x 3x x
1
2
3
1
2
3
3
3
Do đó công thức của f là
f (v) f ( x1 , x2 , x3 ) a1 f (v1 ) a2 f (v2 ) a3 f (v3 )
a1u1 a2u2 a3u3
( x1 4 x2 2 x3 , 2 x1 4 x2 x3 , x1 x2 )
Bài 04.03.1.013
Cho ánh xạ tuyến tính f :
2
2
xác định bởi f (3, 1)=(2, -4) và f (1, 1) =(0, 2).
Xác định f ( x1 , x2 ) .
Giải:
Nhận thấy u (3,1); v (1,1) là hệ độc lập tuyến tính và là cơ sở của
Khi đó, x ( x1 , x2 )
2
2
.
, giả sử x u v . Khi đó,
x1 x2
x1 3
x1
3
1
2
x
1
1
2
x2
3x2 x1
2
f ( x) f (u v) f (u ) f (v) (do f là ánh xạ tuyến tính).
Vậy, f ( x) f ( x1 , x2 )
Bài 04.03.1.014
x1 x2
2
2 3x2 x1 0
4
2 ( x1 x2 , 3x1 5 x2 )
2
Cho ánh xạ tuyến tính f :
3
2
và g :
3
2
xác định bởi f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 x3 ) và g ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x2 , x3 )
Hãy xác định các ánh xạ f + g; 3f; 2f – 5g.
Giải:
Ma trận của f và g đối với cơ sở chính tắc trong
3
,
2
lần lượt là A; B.
1 1 0
1 0 0
và
B
A
0 0 1
0 1 1
2 1 0
Ma trận của f + g đối với cặp cơ sở chính tắc trên: A B
0 1 2
Suy ra, f g (2 x1 x2 , x2 2 x3 )
3 0 0
Ma trận 3 f đối với cơ sở chính tắc trên: 3A
0 3 3
Suy ra, 3 f 3x1,3x2 3x3
3 5 0
Ma trận của 2 f 5 g đối với cặp cơ sở chính tắc trên: 2 A 5B
0 2 3
Suy ra, 2 f 5g 3x1 5x2 ,2 x2 3x3
Bài 04.03.1.015
Trong
3
cho cơ sở chính tắc {e1 (1,0,0); e2 (0,1,0); e3 (0,0,1)} , trong
3 vectơ v1 (1,1); v2 (2,3); v3 (4,5) . Hãy xác định ánh xạ f :
3
2
2
cho
thỏa tính
chất f (ei ) vi , i 1,2,3 .
Giải:
Với x ( x1 , x2 , x3 )
Do
f
3
ta có x x1e1 x2e2 x3e3 .
là ánh xạ tuyến tính thỏa f (ei ) vi , i 1,2,3
f ( x) x1 f (e1 ) x2 f (e2 ) x3 f (e3 ) x1v1 x2v2 x3v3
nên
( x1 , x1 ) (2 x2 ,3x2 ) (4 x3 ,5 x3 ) ( x1 2 x2 4 x3 , x1 3 x2 5 x3 )
Vậy f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 2 x2 4 x3 , x1 3x2 5x3 )
có
Bài 04.03.1.016
Xét cơ sở S {v1, v2 , v3} trong
v1 1,2,3
3
, trong đó
v2 2,5,3
v3 1,0,10
Tìm công thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính T :
T v1 1,0 , T v2 1,0 , T v3 0,1
Tính T 1,1,1 trong các cơ sở chính tắc của
3
,
2
3
2
xác định bởi
.
Giải:
Trước hết ta tìm biểu diễn của x, y, z
3
trong cơ sở S:
x, y, z c1v1 c2v2 c3v3 c1 1,2,3 c2 2,5,3 c3 1,0,10
Như vậy c1 , c2 , c3 là nghiệm hệ
c1 2c2 c3 x
2c1 5c2 y
3c 3c 10c z
2
3
1
Lấy phương trình cuối trừ đi 10 lần phương trình đầu ta được 7c1 17c2 z 10 x
2c1 5c2 y
c1 50 x 17 y 5 z
7c 17c2 z 10 x c2 20 x 7 y 2 z
Vậy hệ trên thu về 1
Suy ra c3 9 x 3 y z
T x, y, z c1T v1 c2T v2 c3T v3
Vì x, y, z c1v1 c2v2 c3v3 nên
c1 1,0 c2 1,0 c3 0,1
Nhờ các biểu thức về c1 , c2 , c3 đã tìm ra ta có:
T x, y, z 30 x 10 y 3z, 9 x 3 y z
Áp dụng T 1,1,1 30 10 3, 9 3 1 17, 5
Bài 04.03.1.017
Tìm
ánh
xạ
tuyến
tính
T : P2 P2
xác
định
bởi
T 1 1 x, T x 3 x 2 , T x 2 4 2 x 3x 2. Tính T 2 2 x 3x 2
Giải:
Ta có p P2 p a0 a1x a2 x 2
Khi đó
T p a0T 1 a1T x a2T x 2 a0 1 x a1 3 x 2 a2 4 2 x 3x 2
Do đó T p a0 3a1 4a2 a0 2a2 x a1 3a2 x 2
Áp dụng
T 2 2 x 3x 2 2 3 2 4.3 2 2.3 x 2 3.3 x 2 8 8 x 7 x 2
Bài 04.03.1.018
Trong
3
cho hai hệ vectơ {u1 (1,1,0); u2 (0,1,1); u3 (1,0,1)}
và {v1 (1,1,1); v2 (0,0,1); v3 (1,2,1)} . Hỏi có tồn tại một phép biến đổi tuyến
tính f :
3
3
thỏa f (ui ) vi , i 1,2,3 không? Nếu có hãy xác định công thức
của f
Giải:
Hệ vectơ {u1 (1,1,0); u2 (0,1,1); u3 (1,0,1)} độc lập tuyến tính do
1 1 0
0 1 1 2 0.
1 0 1
nên suy ra u1 , u2 , u3 là một cơ sở của
tuyến tính từ f :
3
3
sao cho f (ui ) vi .
3
. Do đó, tồn tại một phép biến đổi
x ( x1 , x2 , x3 ) 3 , giả sử
x1
1
0
1 1 3
x 1 1 0
1
2
3
2
2
1
x3
0
1
1 2 3
Cho
x 1u1 2u2 3u3 .
Khi
đó,
tính
f
1
1 2 ( x1 x2 x3 )
1
2 ( x1 x2 x3 )
2
1
3 2 ( x1 x2 x3 )
1
0
1 1 3
f ( x) 1v1 2v2 3v3 1 1 2 0 3 2 1 23 .
1
1
1 1 2 3
Vậy
công thức biểu diễn của phép
1
1 1
1
1
3
f ( x) x1; x1 x2 x3 ; x1 x2 x3
2
2 2
2
2
2
đổi
biến
tuyến
Bài 04.03.1.019
Cho f : V V ' là một ánh xạ tuyến tính và hệ vecto 1 , 2 ,...., r của V. Chứng
minh rằng nếu hệ vecto f 1 , f 2 ,...., f r độc lập tuyến tính trong V’ thì hệ
vecto đã cho cũng độc lập tuyến tính.
Giải:
Ta giả sử V và V’ là hai không gian vecto K. Giả sử có x1, x2 ,..., xr K để
x11 x2 2 ....xr r 0
f x ... f x x f ... x f f 0 0
Lấy ảnh bởi f của hai vế ta được f x11 x2 2 ....xr r
1
1
r
r
1
1
r
r
độc lập tuyến tính nên x x
Nhưng f 1 ,..., f r
1
2
... xr 0.
Điều đó cho ta kết luận hệ 1 ,..., r độc lập tuyến tính.
Bài 04.03.1.020
Cho V và V’ là hai không gian vecto trên trường K với số chiều của V’ hữu hạn,
f : V V ' là một toàn cấu. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính
g : V ' V sao cho fg là ánh xạ đồng nhất trên V’. Ánh xạ g có duy nhất không?
Giải:
Giả sử 1 ,..., n là một cơ sở của V’. Vì f là toàn cấu nên
f 1 i 0, mọi i 1,..., n
Với mỗi i, chọn 1 f 1 i , ta có f 1 i , i 1,2,..., n
Xét ánh xạ tuyến tính g : V ' V xác định bởi:
g : i
g i i , i 1,2,..., n.
Ta có, với mỗi x x11 x2 2 ... xn n V ' :
n
fg x fg xi i
1
n
f xi g i
i
n
n
n
f xi i xi f i xi i x
i
i
i
Vậy fg là ánh xạ đồng nhất trên V’.
.g có thể không duy nhất vì mỗi f 1 i có thể có nhiều hơn một phần tử.
Ta lấy ví dụ toàn cấu sau đây: f :
3
x1, x2 , x3
1 của . Ta có
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 đều thuộc
Xét cơ sở
Chẳng hạn: x
x,0,0 ; x
x1 x2 x3
f 1 1 với rất nhiều phần tử, chẳng hạn
f 1 1 , từ đó ta có rất nhiều g sao cho fg 1
0, x,0 ; x
0,0, x ....
Ta chú ý bài toán có thể bỏ giả thiết dimV ' hữu hạn.
Bài 04.03.1.021
Giả sử E K X là không gian vecto đa thức ẩn X trên trường K, và p là một số
tự nhiên. Xét tự đồng cấu f : E E
f P 1 pX P X 2 P '
P
Trong đó P’ là đạo hàm của đa thức P. Chứng minh f là đơn cấu, nhưng không phải
toàn cấu.
Giải:
n
n
n 1
i
i 1
i
P a0 ai X
pXP pa0 X pai X pai 1 X
i 1
i 1
i 1
Ta có
n
n
n 1
P ' ia X i 1
X 2 P ' ia X i 1 i 1 a X i
i
i
i 1
i 1
i 1
i 1
n
Từ đó f P P pXP X 2 P ' a0 ai ai 1 p 1 i X i an n p X n1
i 1
Giả sử f P 0 thì ta phải có a0 0, ai p 1 i ai1, i=1,2,...,n
nghĩa là
a0 a1 ... an 0 P 0 hay f là đơn ánh.
.f không phải là toàn ánh. Thật vậy ta xét bậc P n thì có 2 trường hợp xả ra là
n p thì bậc f P n hoặc n p thì bậc f P n 1
Từ đó ta thấy ngay rằng không có một đa thức P nào để bậc của f P bằng p 1
Vậy f không toàn ánh.
Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính.
Bài 04.03.1.022
Cho toán tử tuyến tính f :
3
3
xác định bởi f ( x, y, z ) ( x y z,2 x y 3z,4 x y 5z )
Hãy tìm Kerf và Imf.
Giải
1 1 1
Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là A 2 1 3
4 1 5
Do các cột của ma trận A là tọa độ của f (ei ) nên thực hiện các phép biến đổi sơ
cấp trên cột đối với ma trận A, từ đó suy ra rank(A).
1 1 1
1 0 0
1 0 0
A 2 1 3 2 3 1 0 1 0
4 1 5
4 3 1
2 1 0
Khi đó, Imf = rank(A) = 2, ta chọn hai cột độc lập tuyến tính trong ma trận làm cơ
sở của Imf. Khi đó,
Im f (1,0,2),(0,1,1) { , ,2 | , } .
Để tìm Kerf ta xét hệ phương trình sau:
x y z 0
x y z 0
x 4
x y z 0
x y z
y
2 x y 3z 0 3 y z 0
3 y z 0
z 3 y
4 x y 5 z 0
3 y z 0
z 3
4
Cho 1 ta được X 1 .
3
Vậy Kerf {(4 , , 3 ) | } với cơ sở là u1 (4,1, 3) .
Bài 04.03.1.023
Cho T :
2
2
2 1
là ánh xạ nhân với ma trận
8 4
1) Hỏi vecto nào dưới đây Im T ?
a) 1, 4
b) 5,0
c) 3,12
2) Vecto nào dưới đây Ker T ?
a) 5,10
Giải:
b) 3,2
c) 1,1
2 1 x a
1) Nếu hệ
có nghiệm x, y thì a, b là ảnh của x, y và do
8 4 y b
đó a, b Im T ; nếu hệ trên vô nghiệm thì a, b không phải là ảnh của x, y
nào, nên a, b Im T Ở đây:
2 1 x 1
1 y
a) Hệ
có nghiệm y tùy ý và x
2
8 4 y 4
Vậy 1, 4 Im T
2 1 x 5
b) Hệ
y 0 không có nghiệm
8
4
Vậy 5,0 Im T
2 1 x 3
3 y
c) Hệ
có
nghiệm
y
tùy
ý
và
x
2
8 4 y 12
Vậy 3,12 Im T
2 1 0
8 4 0
thì , Ker T ; nếu không có đẳng thứuc trên thì
2) Nếu
, có ảnh 0,0 nên , Ker T . Ở đây:
2 1 5 0
8 4 10 0
nên 5,10 Ker T .
a)
2 1 3 4 0
8 4 2 16 0
nên 3,2 Ker T .
b)
2 1 5 1 0
8 4 10 4 0
nên 1,1 Ker T .
c)
Bài 04.03.1.024
1) Cho ánh xạ tuyến tính T : P2 P3 xác định bởi T p x xp x . Hỏi phần tử
nào dưới đây thuộc Ker T :
a) x 2
c)1 x
b)0
2) Hỏi phần tử nào dưới đây thuộc Im T :
a) x x 2
b)1 x
c)3 x 2
Giải:
1) Ker T { p P2 , T p 0 P3}
Ở đây T p xp vậy nếu xp 0 thì p Ker T , nếu xp 0 thì p Ker T .
Ở đây:
a)
p x 2 xp x3 0 x 2 Ker T
b) p 0 xp x.0 0 0 Ker T
c) p 1 x xp x 1 x 0 1 x Ker T
2) Im T {q P3 | p P2 , T p q}
Vì T p xp nên nếu phương trình xp q có nghiệm p P2 thì q Im T , nếu
phương trình này vô nghiệm thì q Im T . Vậy có:
2
x x 2 Im T .
a) xq x x có nghiệm q 1 x P2 nên
b) xq 1 x không có nghiệm q P2 nên 1 x Im T
2
3 x 2 Im T .
c) xq 3 x không có nghiệm q P2 nên
Bài 04.03.1.025
V là không gian n chiều. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính T : V V xác định bởi:
a)T x x
b)T x
c)T x 3x
- Xem thêm -
.PDF 
64 
2638 
121 
