Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
Bài số 1
Giới hạn và tính liên tục của hàm số
I. Giới hạn của hàm số:
1. Ví dụ 1: Xét hàm số y = f ( x) = x 2 − x + 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những điểm
x gần x0 = 2 .
Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 4 khi x → x0 = 2 .
2. Định nghĩa giới hạn hàm số
Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn L (hữu hạn) khi x → x0 và viết lim f ( x) = L nếu
x → x0
với bất kỳ dãy { xn } mà xn → x0 thì lim f ( xn ) = L .
n →∞
Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ − ε .
lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ
x → x0
⇒ f ( x) − L < ε
Chú ý
+ Nếu hàm f ( x) không thoả mãn định nghĩa, ta nói rằng f ( x) không có giới hạn khi x → x0 ,
hoặc lim f ( x) không tồn tại
x → x0
+ Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0 ” chứ không phải xét khi x = x0 .
Do đó f ( x) có thể không xác định tại x = x0 nhưng phải xác định tại các điểm thuộc lân cận
của điểm đó.
x −1
không xác định tại x = 1 . Ta lập bảng tính các giá trị của f ( x)
x2 − 1
khi x → 1 . Từ đó xem f ( x) dần đến giá trị nào.
Ví dụ 2: Hàm số f ( x) =
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
Hàm số có giới hạn bằng 0,5 khi x → x0 = 1 .
Sử dụng định nghĩa, chỉ ra rằng
lim
x →1
x −1 1
=
x2 −1 2
Thật vậy, cho trước ε > 0 , chọn δ = ε . Ta có: x − 1 < δ thì
x −1 1
x −1
− =
< x − 1 < ε ( với x
2
x −1 2
x +1
trong lân cận của 1).
Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim cos
x →0
1
x
1
Giải: Đặt f ( x) = cos .
x
1
+ Với x =
, n = 1, 2, 3… thì f ( x) = 1 .
2nπ
1
+ Với x =
, n = 1, 2, 3… thì f ( x) = 0 .
π
+ 2nπ
2
1
Vậy lim cos không tồn tại.
x →0
x
3. Giới hạn ở vô cực
Định nghĩa:
+ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x > N ⇒ f ( x) − L < ε .
x →+∞
+ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x < − N ⇒ f ( x) − L < ε .
x →−∞
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
Ví dụ 4: Chứng minh rằng
lim
x →+∞
GV Lê Thị Minh Hải
1
=0.
x
Giải:
1
1
−0 <ε ⇔ x > 2 .
ε
x
+ Từ
+ Ta có: ∀ε > 0 , chọn N =
1
ε2
. Khi đó ∀x > N ⇒ f ( x) − 0 < ε .
4. Các tính chất của giới hạn
Định lí 1: Giả sử c là hằng số và lim f ( x) = L,
x→a
lim g ( x) = M . Khi đó
x→a
1. lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M
x→a
2. lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M
x→a
3. lim c. f ( x) = cL
x→a
4.
lim f ( x).g ( x) = L.M
x→a
5. lim
x→a
f ( x) L
=
nếu M ≠ 0 .
g ( x) M
Định lý 2: ( về giới hạn kẹp)
Giả sử các hàm số f ( x), g ( x), h( x) thoả mãn bất đẳng thức f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) trong lân cận
của điểm a. Khi đó nếu lim f ( x) = lim h( x) = L thì lim g ( x) = L .
x→a
Ví dụ 5: Chứng minh rằng lim
x →∞
Ta có: 0 ≤
x→a
x →a
sin x
= 0.
x
1
sin x 1
sin x
≤ . Mà lim = 0 nên lim
= 0 , hay ta có đpcm.
x →∞ x
x →∞
x
x
x
5. Phương pháp tính giới hạn
+ Các giới hạn không vô định thường cho ra ngay kết quả.
+ Khi gặp các dạng vô định ta phải khử.
+ Sử dụng giới hạn kẹp
+ Sử dụng một số giới hạn cơ bản sau:
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
+∞ khi a > 1
♦ lim a u =
u →+∞
khi 0 < a < 1
0
♦
khi a > 1
0
lim a u =
u →−∞
+∞ khi 0 < a < 1
khi a > 1
+∞
♦ lim log a u =
u →+∞
−∞ khi 0 < a < 1
♦
khi a > 1
−∞
lim+ log a u =
u →0
+∞ khi 0 < a < 1
a x −1
ex −1
= ln a ⇒ lim
= 1,
x →0
x →0
x
x
sin x
sin x
= 1, lim
=0
x →0
x →∞
x
x
♦ lim
log a ( x + 1)
1
ln( x + 1)
=
⇒ lim
= 1,
x →0
x →0
x
ln a
x
1/ x
a
♦ lim 1 + = lim (1 + ax ) = ea ,
x →∞
x →0
x
♦ lim
x
♦ lim
n
(1 + x) n − 1
1 + x −1 1
= n ⇒ lim
= .
x →0
x
→
0
x
x
n
♦ lim
6. Một số phương pháp khử dạng vô định:
0 ∞
,
, 0.∞, ∞ − ∞, 1∞.
0 ∞
a. Dạng
0
u
: là lim khi u, v cùng tiến đến 0.
0
v
* Phương pháp: + Làm xuất hiện thừa số giống nhau ở tử và mẫu để rút gọn.
+ Dùng những giới hạn đã biết.
Ví dụ 6: Tìm lim
x →1
Giải: + Dạng
x6 − 1
.
x2 − 1
0
.
0
x 2 − 1)( x 4 + x 2 + 1)
(
x6 − 1
+ lim 2
= lim
x →1 x − 1
x →1
( x 2 − 1)
= lim ( x 4 + x 2 + 1) = 3
x →1
Ví dụ 7: Tìm lim
x →0
1 − x −1
x
;
sin 5 x
x →0 e3 x − 1
lim
.
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
Ví dụ 8: Tìm lim
x→2
x −1 − 2x − 3
x−2
+ Dạng
GV Lê Thị Minh Hải
0
0
1 − cos x.cos 2 x
.
x →0
1 − cos x
Ví dụ 9: Tìm giới hạn sau lim
+ Dạng
0
.
0
b. Dạng
∞
u
: là lim khi u, v tiến đến vô cùng.
∞
v
* Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho một lượng vô cùng lớn thích hợp.
Ví dụ 10: Tính:
3x + 7 x
,
x →+∞ 3x +1 − 7 x
a ) lim
Ví dụ 11: Tìm lim
x →+∞
( x + 1)10 (2 x − 1) 20
x →+∞
(3 x + 2)30
b) lim
x+ x
x +1
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
c. Dạng ∞ − ∞ là lim(u − v) khi u, v tiến đến vô cùng.
* Phương pháp: - Nhân chia với lượng liên hợp để đưa về dạng
- Quy đồng mẫu số để đưa về
Ví dụ 12: Tìm
lim
x →+∞
(
x2 + x − x
)
cos x
Ví dụ 13: Tìm lim 2 − cot 2 x .
x → 0 sin x
d. Dạng 0.∞ là lim uv khi u → 0, v → ∞ .
PP: Đưa về dạng
0
∞
hoặc .
0
∞
Ví dụ 14 : Tìm
1
a ) lim x 2 1 − cos ;
x →∞
x
b) lim (π − x ) tan
x →π
x
2
e. Dạng 1∞ là lim u v khi u → 1, v → ∞ .
x
1
PP:+ Đưa về dạng lim 1 + = e .
x →∞
x
+ Sử dụng công thức lim u v = elim v (u −1) .
0
0
∞
.
∞
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
Ví dụ 15: Tìm
x2 + 1
lim 2
x →+∞ x − 1
GV Lê Thị Minh Hải
x2 + 2 x
,
+ Dạng 1∞
x2 + 1
lim 2
x →+∞ x − 1
x2 + 2 x
=e
x 2 +1
lim ( x 2 + 2 x ) 2 −1
x −1
x→+∞
=e
lim 2.
x2 + 2 x
x→+∞
x 2 −1
= e2
1
Ví dụ 16: Tìm giới hạn sau lim ( cos x ) x2 .
x →0
+ Dạng 1
∞
+ Ta có: cos x = 1 − (1 − cos x ) = 1 − 2 sin 2
1
1
x 2x
+ lim ( cos x ) x2 = lim 1 − 2sin 2 −2sin 2
x →0
x →0
2
−2sin 2
lim
= e x→0
x
2
x2
=e
−
x
2
−2sin 2
.
x
2
x2
1
2
BÀI SỐ 2:
GIỚI HẠN MỘT PHÍA
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn một phía
1.a. Định nghĩa: Giới hạn của f(x) khi x → a, x < a (hoặc x → a, x > a ) nếu tồn tại gọi là giới
hạn trái (hoặc giới hạn phải).
Ký hiệu: lim− f ( x) = f (a − ), lim+ f ( x) = f (a + ) .
x→a
Ký hiệu khác:
lim f ( x) = f (a − 0),
x → a −0
x →a
lim f ( x) = f (a + 0) .
x→a +0
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
b. Định lý: Tồn tại lim f ( x) = L khi và chỉ khi
x →a
∃ lim f ( x)
x → a−
f ( x)
∃ xlim
+
→a
f ( x) = lim+ f ( x) = L
xlim
→ a−
x →a
Ví dụ 1: Xét sự tồn tại của lim
x →0
Ta có: lim+
x →0
x
x
= lim+
Ví dụ 2: Nếu
x →0
lim− f
x→ 4
.
x − 4, x ≥ 4
f ( x) =
8 − 2 x, x < 4
GIẢI: + l i m + f
+
x
x
x
x
−x
= 1 , lim− = lim−
= −1 . Vậy lim
không tồn tại.
x →0 x
x →0 x
x→0
x
x
Xác định sự tồn tại của
x → 4
x
lim
(x ) =
(x ) =
x→ 4
(x ).
f
x − 4 =
lim+
x → 4
lim−
x→ 4
,
(8
− 2 x
4 − 4 = 0
)=
8 − 2 .4 = 0
Giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau. Vì vậy, giới hạn tồn tại và li m f
x→ 4
(x ) =
0
.
2. Vô cùng lớn, vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi x → x0 nếu lim f ( x) = 0 .
x → x0
Hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn, viết tắt là VCL khi x → x0 nếu lim f ( x) = +∞ .
x → x0
Chú ý:
+ x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
+ lim f ( x) = ∞ ⇔ lim
x → x0
x → x0
♦ Nếu lim
x → x0
GV Lê Thị Minh Hải
1
=0.
f ( x)
f ( x)
= 1 ta nói rằng f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f ( x) ∼ g ( x) khi x → x0 .
g ( x)
Ta có:
sin x ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, e x − 1 ∼ x khi x → 0
Định lý: Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x → x0 . Khi đó : lim
x → x0
Ví dụ 3: Tính
f ( x)
f * ( x)
= lim *
.
g ( x) x→ x0 g ( x)
e2 x − 1
lim
.
x → 0 ln(1 + sin 3 x )
1
x
Ví dụ 4: Tính: lim
x →0
1
ln 1 + 2
x
tan 2
II. Tính liên tục của hàm số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0
Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D.
Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục tại điểm x0 cần đến 3 điều kiện:
1. x0 thuộc tập xác định của hàm số.
2. Tồn tại lim f ( x) .
x → x0
3. lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Nhận xét:
+ Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit là các hàm
số liên tục trên miền xác định của nó.
+ Hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đường cong trơn trên khoảng này
(tức là không bị gãy, không bị đứt đoạn).
Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số
x2 − x − 2
f ( x) = x − 2
1
x≠2
x=2
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
+ Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 .
+ Xét tại x = 2.
( x − 2 )( x + 1)
x2 − x − 2
= lim
x →2
x→2
x−2
x−2
= lim ( x + 1) = 3, f (2) = 1
+ lim f ( x ) = lim
x→2
x →2
Nhưng lim f ( x ) ≠ f ( 2 ) . Nên f không liên tục tại 2.
x→2
Định nghĩa 2:
♦ Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim+ f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
♦ Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim− f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
♦ Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại x0
Ví dụ 6: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R
sin 2 x
f ( x) = x
aeax + x 2 − 1
x>0
x≤0
+ Hàm số liên tục với mọi x ≠ 0 , để hàm số liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x = 0 .
+ Tại x = 0 :
lim+ f ( x ) = lim+
x →0
x→0
sin 2 x
=2
x
,
lim− f ( x ) = lim− ( ae ax + x 2 − 1) = a − 1 = f (0)
x →0
x →0
+ Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
f (0+ ) = f (0− ) = f (0) ⇔ a − 1 = 2 ⇔ a = 3 .
Ví dụ 7: Hàm số f(x) không xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để hàm số f(x) liên tục tại x = 0
1
với :
f ( x) = (1 + 2 x ) x
Giải: Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
1
f (0) = lim f ( x) = lim(1 + 2 x) x = e2 .
x →0
x →0
2. Điểm gián đoạn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a nếu tại x = a hàm số không liên tục.
♦ Nếu tồn tại f (a + ), f (a − ) và f (a + ) ≠ f (a − ) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn loại 1.
♦ Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi là gián đoạn loại 2.
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
Ví dụ 9: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau:
x
1
a. f ( x) =
b. f ( x) = x
x
e1− x − 1
Giải: a. Xét tại x = 0, lim+ f ( x ) = 1, lim− f ( x ) = −1 nên x = 0 là gián đoạn loại 1.
x →0
x →0
b. Tại x = 1. lim+ f ( x ) = −1, lim− f ( x ) = 0 nên x = 1 là gián đoạn loại 1.
x →1
x →1
Tại x = 0. lim+ f ( x ) = +∞, lim− f ( x ) = −∞ nên x = 0 là gián đoạn loại 2.
x →0
x →0
Ví dụ 10: Khảo sát sự liên tục của hàm số và tính chất điểm gián đoạn:
πx
x ≤1
cos
f ( x) =
2
x −1
x >1
Giải:
▪ Với x > 1; x < −1 hàm số liên tục.
▪ Tại x = 1: lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 1) =0; lim− f ( x ) = lim− cos
x →1
x →1
x →1
x →1
Nên hàm số liên tục tại x = 1.
▪ Tại x = -1:
lim− f ( x ) = lim− ( x − 1) = − 2; lim+ f ( x ) = lim+ cos
πx
2
=0
πx
=0
2
Nên hàm số gián đoạn tại x = -1, và là điểm gián đoạn loại 1.
x →−1
x →−1
x →−1
x →−1
Bài số 3
Đạo hàm của hàm số một biến
I. Định nghĩa về đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f ( x) , đạo hàm f '( x) của hàm số f ( x) là một hàm mới có giá trị tại điểm x
được xác định bởi (khi giới hạn tồn tại):
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f '( x) = lim
.
∆x → 0
∆x
+ Nếu giới hạn tồn tại với x = a, thì hàm số y = f ( x) được gọi là khả vi tại a.
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
+ Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó.
dy
df ( x)
d
+ Ký hiệu: f '( x) , y’ ,
,
,
f ( x) .
dx
dx
dx
y = f(x)
y
Q
f(x 0 +∆x) - f(x 0)
P
∆x
x0 + ∆x
x0
x
● Chú ý :
+ f '( x) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f ( x) tại P.
dy
+ Nếu y = f ( x) thì
còn được gọi là suất biến đổi của y theo x .
dx
+ Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3, ta viết :
dy
dx x =3
hoặc
dy
dx
,
x =3
+ ∆x = x − x0 nên
f '( x) = lim
∆x → 0
f ( x) − f ( x0 )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim
.
x → x0
∆x
x − x0
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của hàm số y =
1
x
Ví dụ 2 : Xét tính khả vi của hàm số
y = f ( x) = x x .
hoặc f’(3) .
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
Ví dụ 3: Hàm số
(x -1) x − 1 + 1
f ( x) =
2 x − 1
x >1
x ≤1
có khả vi tại x = 1 không.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu hàm f(x) có tính chất f ( x) ≤ x 2 với mọi x thì f(x) khả vi tại x = 0.
Giải:
Từ f ( x) ≤ x 2 , ∀x nên f (0) ≤ 0 ⇔ f (0) = 0 .
f (0 + ∆x) − f (0)
f ( ∆x )
=
≤ ∆x , mà lim ∆x = 0
∆x → 0
∆x
∆x
f (0 + ∆x) − f (0)
Nên f '(0) = lim
= 0 . Vậy hs khả vi tại x = 0.
∆x → 0
∆x
Ta có 0 ≤
Chú ý: + Nếu hàm số y = f ( x) liên tục tại điểm x thì :
lim ∆y = 0
∆x → 0
+ Một hàm kh vi t i m t đi m thì liên t c t i đi m đó vì:
∆y
∆y
dy
lim ∆y = lim
⋅ ∆x = lim
lim ∆x = ⋅ 0 = 0
∆x → 0
∆x → 0 ∆x
∆x →0 ∆x ∆x →0 dx
+ Một hàm có thể liên tục tại một điểm mà không khả vi tại điểm đó.
+ Một hàm số không liên t c tại x0 thì sẽ không khả vi tại điểm đó.
2. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC
1.
d
c=0
dx
2.
d α
du
u = α u α −1
dx
dx
3.
d u
du
a = a u ln a
dx
dx
4.
d
1 du
ln u = .
dx
u dx
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
5.
d
du
sin u = cos u.
dx
dx
6.
d
1
du
tan u =
.
2
dx
cos u dx
7.
d
du
cos u = − sin u.
dx
dx
8.
d
du dv
(u + v) =
+
dx
dx dx
9.
d
du
dv
(uv) = v
+u
dx
dx
dx
11.
10.
GV Lê Thị Minh Hải
d u u 'v − v 'u
=
dx v
v2
dy dy du
=
.
(Quy tắc dây chuyền hay đạo hàm hàm hợp)
dx du dx
Ví dụ 5. Tính y’ của hàm số:
a.
y = 1 + 1 + x2 .
b.
y = ln sin ( ln x )
II. Hàm ẩn và đạo hàm hàm ẩn
1. Hàm ẩn Dạng: F ( x, y ) = 0
(1)
Khi đó, ta nói phương trình (1) xác định y như là một (hoặc nhiều) hàm ẩn của x.
Ví dụ 6.
+ P/trình xy = 1 xác định một hàm ẩn của x mà ta có thể viết một cách tường minh là y =
+ P/trình 2x2 - 2xy = 5 - y2 xác định hai hàm ẩn: y = x + 5 − x 2
và
y = x − 5 − x2 .
2. Đạo hàm của hàm ẩn :
Cách 1: Từ F ( x, y ) = 0 rút y = f ( x) và tính y ' .
Cách 2: Đạo hàm 2 vế F ( x, y ) = 0 theo biến x, với y = y ( x) . Sau đó rút ra y ' .
Ví dụ 7 Tính đạo hàm của các hàm ẩn sau:
a. 4 x 3 − 2 xy 2 + y − 2 = 0
b. x 2 + ln y − x 3e y = 0 .
1
.
x
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
Ví dụ 8: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 3 + 2 x 2 y − 27 = 0 tại điểm có hoành độ
x =0.
Ví dụ 9: Tìm đạo hàm hàm ẩn y = y(x) tại (1, 1) với: x ln y − xy 2 + 2 x − 1 = 0 .
III. VI PHÂN
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x) , tích số f '( x).∆x gọi là vi phân của f(x) tại điểm x, kí
hiệu dy = f '( x).∆x .
Khi y = f ( x) = x thì f '( x) = 1 nên :
dy = dx = ∆x , do đó : dy = df = f '( x)dx .
Nếu hàm số f(x) khả vi tại x thì
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = f '( x).∆x + o ( ∆x )
2. Công thức vi phân. Quy tắc tính đạo hàm dẫn đến các công thức vi phân tương ứng.
d
c=0
dx
d(c) = 0
d n
du
u = nu n −1
dx
dx
d(xn) = nxn-1dx
d
du
(cu ) = c
dx
dx
d(cu) = cdu
d
du dv
(u + v) =
+
dx
dx dx
d
dv
du
(uv) = u + v
dx
dx
dx
d u
( )=
dx v
v
du
dv
−u
dx
dx
2
v
d n
du
u = nu n −1
dx
dx
d(u + v) = du + dv
d(uv) = vdu + udv
u
vdu − udv
d( ) =
v
v2
d(un) = nun-1du
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
Ví dụ 10 : Giả sử y = x 4 + 3x 2 + 7 . Tìm dy
Giải:
+ Cách 1 : Tìm đạo hàm
dy
= 4 x 3 + 6 x ⇔ dy = (4 x 3 + 6 x)dx
dx
+ Cách 2: Chúng ta cũng có thể dùng các công thức vi phân ở trên:
dy = d ( x 4 + 3 x 2 + 7 ) = dx 4 + 3 d ( x 2 ) + d ( 7 )
= 4 x3 dx + 3.2 xdx + 0 =
Ví dụ 11. Tính d (
x2
x2 + 1
( 4x
3
+ 6 x ) dx
)
Ví dụ 12: Giả thiết rằng y là một hàm khả vi đối với x và thỏa mãn: x 2 y 3 − 2 xy + 5 = 0.
dy
Hãy sử dụng vi phân để tìm
.
dx
3. Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng
Xét hàm số y = f ( x) khả vi trong lân cận của x0 ∈ (a, b) . Theo công thức số gia của hàm khả
vi ta có:
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x
Ví dụ 13: Tính xấp xỉ ln11 .
Giải: + Xét f ( x) = ln x, x0 = 10, ∆x = 1
+ Áp dụng: f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x
Ta có:
ln11 = ln(10 + 1) ≈ ln10 +
1
.1 ≈ 1, 043
10.ln10
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
Bài số 4
Đạo hàm hàm lượng giác ngược. Đạo hàm cấp cao
I. Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược
1. Định nghĩa: Cho hs y = f ( x) , nếu phương trình (đối với biến x) y = f ( x) có nghiệm duy
nhất x = ϕ ( y ) thì ta nói y = ϕ ( x) là hàm ngược của hàm số y = f ( x) . Kí hiệu : ϕ = f −1 .
2. Cách tìm hàm ngược.
B1. Từ y = f ( x) giải ra x = ϕ ( y ) .
B2. Hoán đổi vai trò của x và y, ta được hàm ngược y = ϕ ( x) .
Chú ý : đồ thị của hàm y = f ( x) và y = ϕ ( x) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất y =
x.
Ví dụ : Tìm hàm ngược của hàm số y = 2 x 3 − 1 .
3. Các hàm lượng giác ngược.
a) Hàm số ngược của hàm y = sin x :
Xét hàm số :
sin : [ −π / 2, π / 2] →
x
→
[ −1,1]
y = sin x
Khi đó tồn tại hàm số ngược :
sin −1 : [ −1,1] →
y
[ −π / 2, π / 2]
→ x = sin −1 y
Ký hiệu khác : sin −1 x = arcsin x .
Chú ý : a = sin −1 b = arcsin b chính là số đo góc mà sin a = b .
Ví dụ : Tìm sin −1
1
3
, sin −1 −
.
2
2
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
b) Hàm ngược của hàm cosine :
Tương tự, nếu xét
cos : [ 0, π ] →
x →
[ −1,1]
y = cos x
Tồn tại hàm ngược : y = cos −1 x = arccos x .
c. Hàm ngược của hàm tang
π π
tan : − , → (−∞, ∞)
Xét hàm số :
2 2
x
→ y = tan x
Tồn tại hàm số ngược
π π
tan −1 : (−∞, + ∞) → − , .
2 2
d. Hàm ngược của hàm cotang :
Khi xét
cotan : ( 0, π ) → (−∞, ∞)
x
−1
Tương tự: Hàm y = arccot x = ( cot ) ( x)
→
y = cot x
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
4. Đạo hàm hàm ngược
a. Định lý : Giả sử y = f ( x) có đạo hàm tại x0 và f '( x0 ) ≠ 0 , thì hàm ngược (nếu tồn tại)
'
1
x = f −1 ( y ) sẽ có đạo hàm tại y0 và f −1 ( y0 ) =
.
f ' ( x0 )
Ví dụ 1 : Hàm số y = sin −1 x ⇒ x = sin y . Ta có :
x ' = cos y ⇒ y ' =
1
1
1
1
=
=
=
x ' cos y
1 − sin 2 y
1 − x2
b. Đạo hàm hàm lượng giác ngược
Cho u là hàm khả vi của x, ta có :
d
1 du d
1 du
(sin −1 u ) =
;
(cos −1 u ) = −
dx
1 − u 2 dx dx
1 − u 2 dx
d
1 du
d
1 du
(tan −1 u ) =
;
(co tan −1 u ) = −
2
dx
1 + u dx dx
1 + u 2 dx
Ví dụ 2: Tính dy/dx của hàm số
y = x tan −1 x − ln 1 + x 2 .
Ví dụ 3: Tính dy/dx của hàm số
y = sin −1 x + x 1 − x 2 .
II. Đạo hàm và vi phân cấp cao
1. Định nghĩa:
Cho hs f ( x) xác định trong khoảng (a, b). Giả sử y = f ( x) có đạo hàm y ' = f '( x) và f '( x)
có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của f '( x) là đạo hàm cấp hai của hàm f(x).
Kí hiệu
y” = f ” ( x ) = f’ ( x ) ’
Tương tự, đạo hàm cấp n của hàm y = f ( x) :
y ( n ) ( x) = y ( n −1) ( x) ′
Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
GV Lê Thị Minh Hải
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y = e − x . Tính y′′′ .
Ta có:
2
y ' = −2 xe − x
2
2
2
y′′ = −2e − x + 4 x 2 e− x = e − x (4 x 2 − 2)
2
2
2
y′′′ = −2 xe− x (4 x 2 − 2) + 8 xe− x = 4e− x (3 x − 2 x3 ).
2. Các quy tắc lấy đạo hàm cấp cao:
a. Với f, g là các hàm số có đạo hàm cấp n và λ , µ ∈ R , ta có:
(λ f ( x) + µ g ( x))( n ) = λ f ( n ) ( x) + µ g ( n ) ( x)
b. Quy tắc Leibniz: Với f, g là các hàm số có đạo hàm cấp n, ta có:
n
( fg )( n ) = ∑ Cnk f ( n − k ) g ( k )
k =0
Ví dụ 5: Tìm công thức tính đạo hàm cấp n của:
1
a. y =
,
b. y = x k , với k ∈ ℝ
x −1
Giải:
a.
b. Nếu k ∉ N thì
y ' = kx k −1 , y " = k (k − 1) x k − 2 ,...,
y ( n ) = k (k − 1)...(k − n + 1) x k − n
.
Nếu k ∈ N thì
y
(n)
k (k − 1)...(k − n + 1) x k − n
= k !
0
k >n
k =n
k
- Xem thêm -
.PDF 
89 
3 
77 
