Tài liệu Bài giảng toán v

Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài1 Bài1: KHÁI NIỆM NIỆM CƠ CƠ BẢN BẢN VỀ XÁC SUẤT 1. KHÔNG GIAN MẪU. BIẾN CỐ 1.1 Không gian mẫu 1.1.1. Định nghĩa
Các hành động mà kết quả của nó không thể dự đoán được đều gọi chung là Phép thử ngẫu nhiên.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của một phép thử được gọi là không gian mẫu. Kí hiệu : S hoặc Ω
Mỗi một kết quả của không gian mẫu được gọi là một phần tử, hay một điểm mẫu.
Nếu không gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta có thể liệt kê các phần tử (giống như tập hợp). Nếu không gian mẫu có quá nhiều hoặc vô hạn phần tử thì ta có thể mô tả nó bởi 1 mệnh đề hoặc quy tắc. Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng sơ đồ cây (ví dụ 2). 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Xét phép thử “tung 1 đồng xu”. Tìm không gian mẫu? Không gian mẫu: Ω = { N , S } (S: biểu thị mặt sấp xuất hiện, N: biểu thị mặt ngửa xuất hiện). Ví dụ 2: Xét phép thử “tung 1 đồng xu , nếu mặt sấp xuất hiện thì tung tiếp lần thứ 2, nếu mặt ngửa xuất hiện thì tung 1 con xúc xắc”. Tìm không gian mẫu? Không gian mẫu : Ω = {SS , SN , N1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6} Ví dụ 3: Xét phép thử “tung 1 con xúc xắc”. Tìm không gian mẫu? Ví dụ 4: Lấy ngẫu nhiên 1 điểm (x,y) nằm trên biên hoặc thuộc miền trong của hình tròn tâm O bán kính 2. Tìm không gian mẫu? Ví dụ 5: Một hộp có 5 viên bi: 2 xanh, 3 đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 viên bi trong số 5 viên đó. Tìm không gian mẫu? 1 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 1.2. Biến cố 1.2.1 Định nghĩa
Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Kí hiệu: A, B, C…
Một tập con của không gian mẫu không chứa bất kì một phần tử nào gọi là biến cố không thể. Kí hiệu: ∅
Tập hợp toàn bộ không gian mẫu gọi là biến cố chắc chắn.
Mỗi một phần tử của không gian mẫu cũng là một biến cố, gọi là biến cố sơ cấp. 1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến cố A, B là 2 biến cố của không gian mẫu S
Phần bù của biến cố A trong S là biến cố chứa tất cả những phần tử nằm trong S nhưng không nằm trong A. A A Kí hiệu: A . A còn được gọi là biến cố đối của biến cố A.
Giao của 2 biến cố A và B là biến cố chứa tất cả các phần tử chung của A và B. Kí hiệu: A ∩ B (hoặc AB). AB A, B được gọi là 2 biến cố xung khắc (rời nhau) nếu A ∩ B = ∅ .
Hợp của 2 biến cố A và B là biến cố chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Kí hiệu: A ∪ B . A∪B Chú ý: 1. A và A là các biến cố xung khắc. 2. Một số tính chất:  A ∪ A = A, A ∪ S = S, A∪∅ = A A ∩ A = A, A ∩ S = A, A∩∅ = ∅ A ∪ A = S, A ∩ A = ∅, A= A  Giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, AB = BA  Kết hợp: A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C , A ( BC ) = ( AB ) C  Phân phối: A ( B ∪ C ) = ( AB ) ∪ ( AC ) , A ∪ ( BC ) = ( A ∪ B )( A ∪ C )  Định lí De Morgan: A ∪ B = A ∩ B, A∩ B = A∪ B 1.2.3 Ví dụ Ví dụ 6: Xét phép thử “tung 1 con xúc xắc”, A là biến cố “số chấm xuất hiện là chẵn”, B là biến cố “ số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4 ”. Tìm các biến cố A ∪ B, A ∩ B, A ∪ B ? Lời giải: 2 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 7: Xét 1 học sinh bất kì của lớp 12A thi tốt nghiệp môn Toán và Văn, gọi A là biến cố “học sinh đó đỗ môn Toán ”, B là biến cố “ học sinh đó đỗ môn Văn”. Biểu diễn các biến cố sau: a) “Học sinh đó đỗ môn Toán và trượt môn Văn”. b) “Học sinh đó đỗ ít nhất 1 trong 2 môn Toán, Văn”. c) “Học sinh đó không đỗ môn nào trong 2 môn Toán, Văn”. d) “Học sinh đó đỗ đúng 1 môn”. Lời giải: 2. ĐẾM CÁC ĐIỂM MẪU 2.1 Quy tắc nhân Nếu một công việc được chia ra k giai đoạn, giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện, giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện, … giai đoạn k có nk cách thực hiện, thì số cách thực hiện xong công việc là n1 n2 ...nk cách. giai đoạn 1: n1 cách giai đoạn 2: n2 cách 1 công việc : k giai đoạn .…. giai đoạn k: nk cách Ví dụ: Để đi từ nhà đến trường, An phải đi qua hợp tác xã. Từ nhà đến hợp tác xã có 3 con đường, từ hợp tác xã đến trường có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu con đường để An đi từ nhà đến trường? Lời giải: 3.4 = 12 cách. 2.2 Quy tắc cộng Nếu một công việc được chia ra k trường hợp, trường hợp 1 có n1 cách thực hiện, trường hợp 2 có n2 cách thực hiện, … trường hợp k có nk cách thực hiện, thì số cách thực hiện xong công việc là n1 + n2 + ... + nk cách. trường hợp 1: n1 cách trường hợp 2: n2 cách 1 công việc : k trường hợp .…. trường hợp k: nk cách Ví dụ: Một nhà máy cần mua thiết bị sản xuất, họ có thể mua của 1 trong 3 công ty A, B, C. Công ty A có 2 loại thiết bị, công ty B có 4 loại thiết bị, công ty C có 5 loại thiết bị. Hỏi họ có bao nhiêu cách lựa chọn thiết bị? 3 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Lời giải: 2 + 4 + 5 = 11 cách. 2.3 Hoán vị Định nghĩa: Một hoán vị là một sắp xếp của toàn bộ hoặc một bộ phận của một tập phần tử. Định lý:
Số hoán vị của n phần tử phân biệt là Pn = 1.2.3....n = n !
Số hoán vị của k phần tử phân biệt trong n phần tử (chỉnh hợp chập k của n phần tử) là: Ank = n! ( n − k )!
Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được sắp xếp theo 1 vòng tròn là (n - 1)!
Số những hoán vị của n phần tử phân biệt mà trong đó n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, …., nk phần tử thuộc kiểu thứ k là n! n1 ! n2 ! ... nk ! Chú ý: Khi ta sắp xếp n phần tử thành r tập con (r ngăn), mà thứ tự các phần tử bên trong 1 ngăn là không quan trọng, các tập con này đôi một giao nhau bằng tập ∅ , còn hợp tất cả các tập con chính là tập ban đầu, thì ta gọi đó là 1 phân hoạch. Khi đó số cách phân hoạch 1 tập hợp n phần tử thành r ngăn, trong đó n1 phần tử thuộc ngăn thứ 1, n2 phần tử thuộc ngăn thứ 2, …, nr phần tử thuộc ngăn thứ r là: Cnn1 ,n2 ,..., nr = n! , n1 !n2 !...nr ! (n 1 + n2 + ... + nr = n ) Vì thế khi ta chọn k phần tử trong n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự (ta gọi là tổ hợp chập k của n phần tử Cnk ) thì về bản chất chính là ta đã thực hiện một phân hoạch với 2 ngăn: một ngăn chứa k phần tử, một ngăn chứa n – k phần tử. Khi đó: Cnk = n! k !( n − k ) ! Ví dụ 8: Hai vé số được rút ra từ 20 vé số. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn? ( C202 ) . Ví dụ 9: Hai vé số được rút ra từ 20 vé số dành cho giải nhất và nhì. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn? ( A202 ). Ví dụ 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau để tạo thành 1 xâu đèn cây thông Noel có 3 bóng  9!  đèn đỏ, 4 bóng đèn vàng, 2 bóng đèn xanh với 9 ổ cắm?    3! 4! 2!  Ví dụ 11: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 nhà toán học vào 3 phòng họp: 1 phòng 3 người, 2 phòng  7!  đôi?    3! 2 ! 2!  Ví dụ 12: Một lục giác lồi có bao nhiêu đường chéo? 4 (C 2 6 − 6) . Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 3. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ 3.1. Định nghĩa Định nghĩa: Xác suất của biến cố A là tổng xác suất của tất cả các điểm mẫu trong A. Kí hiệu P(A). Khi đó: 0 ≤ P ( A ) ≤ 1, P ( ∅ ) = 0, P (Ω) = 1 . Ví dụ 13: Tung 1 đồng xu đồng chất 2 lần. Xác suất để ít nhất 1 mặt ngửa xuất hiện là bao nhiêu? Lời giải: Không gian mẫu : Ω = {SS,SN,NS,NN} Vì đồng xu đồng chất nên các kết cục như trên có đồng khả năng xuất hiện, do đó xác suất của từng điểm mẫu là 1/4 . Gọi A là biến cố “ít nhất 1 mặt ngửa xuất hiện”, thì 1 1 1 3 + + = 4 4 4 4 Chú ý: Khi không gian mẫu đối với 1 phép thử chứa N điểm mẫu, mà tất cả là đồng khả năng, ta gán P ( A) = cho mỗi điểm mẫu xác suất 1 . Khi đó xác suất của 1 biến cố A gồm n điểm trong N điểm mẫu là: N 1 1 1 n + + ... + = N N N N Định lý: Nếu 1 phép thử có thể dẫn đến bất kỳ 1 trong N kết quả phân biệt đồng khả năng và trong đó có đúng n kết quả thuận lợi cho biến cố A, thì xác suất của biến cố A là P ( A) = n N Nói cách khác P(A) = Số khả năng thuận lợi cho A Tổng số khả năng có thể xảy ra Ví dụ 14: Rút 5 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất để trong đó có 2 cây Át và 3 cây J. Lời giải: Ví dụ 15: Lấy lần lượt 2 quân bài từ một bộ bài theo phương thức không hoàn lại. Tính xác suất để 2 quân bài đều là quân cơ. 5 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Lời giải: Ví dụ 16: Trong ngăn bàn có 10 quyển sách: 3 quyển Toán, 4 quyển Văn, 3 quyển Tiếng Anh. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển. Tìm xác suất để trong 3 quyển sách lấy được có đúng 1 quyển Văn được chọn? Lời giải: 6 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài 2: CÁC ĐỊNH ĐỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT 1. QUY TẮC CỘNG 1.1. Định lý 1: Nếu A, B là hai biến cố tùy ý thì : A P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) B Hệ quả 1: Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Hệ quả 2: Nếu A1 , A2 ,..., An là các biến cố đôi một xung khắc với nhau thì: P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ) Hệ quả 3: Nếu A1 , A2 ,..., An là một phân hoạch của không gian mẫu S thì: P ( A1 ∪ A1 ∪ ... ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ) = P(S) = 1 S Chú ý: Khái niệm một phân hoạch của không gian mẫu Hệ biến cố {B1 , B2 ,..., Bk } gọi là 1 phân hoạch (hệ đầy đủ) của không gian mẫu S nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: ….. B1 B2 Bk +) Hệ biến cố {B1 , B2 ,..., Bk } đôi một xung khắc, tức là Bi ∩ B j = ∅, ∀i, j = 1, k , i ≠ j . +) Hệ biến cố {B1 , B2 ,..., Bk } hợp lại thành không gian mẫu, tức là B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bk = S . 1.2. Định lý 2: Nếu A, A là hai biến cố đối lập thì P ( A) + P ( A) = 1 Chú ý: Trong một số trường hợp tính trực tiếp xác suất của biến cố A là khó khăn, ta có thể tính gián tiếp thông qua biến cố A dựa vào công thức trên. Ví dụ 1: Xác suất để Paula thi đỗ môn toán là 2/3, thi đỗ môn tiếng anh là 4/9, và xác suất để cô ấy thi đỗ cả 2 môn là 1/4. Tính xác suất để Paula thi đỗ ít nhất 1 môn? Không thi đỗ môn nào trong 2 môn trên? Lời giải: 7 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 2: Trong 1 nhà tù liên bang có 2/3 số tù nhân dưới 25 tuổi. Biết rằng 3/5 số tù nhân là nam, 5/8 số tù nhân là nữ hoặc trên 25 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 1 tù nhân, tìm xác suất để tù nhân đó là nữ và trên 25 tuổi? Lời giải: 2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Ta xét ví dụ nhỏ sau đây: Có 10 người tham gia một cuộc tuyển kỹ sư công trình: vòng 1 có 4 người đạt, 6 người trượt. Những người qua vòng 1 sẽ thi tiếp vòng 2, vòng 2 có 2 người đạt, 2 người trượt. Khi đó nếu ta chọn bất kỳ 1 người trong 10 người thì xác suất anh ta đạt qua cả 2 vòng sẽ là 2/10. Nhưng nếu ta biết trước điều kiện, anh ta đã qua vòng 1 thì khi đó xác suất anh ta đạt qua cả 2 vòng sẽ là 2/4. Rõ ràng khi biến cố A “anh ta đã qua vòng 1” đã xảy ra, thì xác suất của biến cố B “anh ta qua cả 2 vòng” đã bị thay đổi. Khi đó ta nói xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra là 2/4. 2.1.Định nghĩa Cho A, B là hai biến cố của một phép thử, P(A) > 0. Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra rồi được xác định như sau: P ( B | A) = P ( AB ) P( A) Ta gọi ngắn gọn P ( B | A ) là xác suất của B với điều kiện A Ví dụ 3: Trở lại ví dụ trên, rõ ràng P ( B | A) = P ( AB ) 2 / 10 = 2/4 = P( A) 4 / 10 Rõ ràng xác suất để người đó qua cả 2 vòng đã tăng rất nhiều (0,5 > 0,2) khi biết điều kiện anh ta đã qua vòng 1. 8 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 4: Xác suất để 1 chuyến bay khởi hành đúng giờ là P(A) = 0,83. Xác suất để 1 chuyến bay đến đúng giờ là P(B) = 0,82. Xác suất để nó khởi hành và đến đúng giờ là P(AB) = 0,78. Tính xác suất để 1 chuyến bay: a) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành đúng giờ b) Khởi hành đúng giờ biết rằng nó đến đúng giờ c) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành không đúng giờ 2.2. Các biến cố độc lập Trong các ví dụ trên, ta thấy P( A | B) ≠ P ( A ) điều này có nghĩa là hai biến cố A, B phụ thuộc vào nhau. Nhưng cũng có những trường hợp P( A | B) = P ( A ) , nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B không ảnh hưởng gì đến khả năng xuất hiện của biến cố A. Khi đó ta nói hai biến cố A, B độc lập với nhau. Định nghĩa: Hai biến cố A, B gọi là độc lập với nhau nếu P( A | B) = P ( A ) hoặc P( B | A) = P ( B ) 3. QUY TẮC NHÂN 3.1. Định lý Định lý 1: Nếu trong một phép thử, các biến cố A, B có thể cùng xảy ra thì P ( AB ) = P ( A ) .P ( B | A ) = P ( B ) .P ( A | B ) Định lý 2: Hai biến cố A, B là độc lập với nhau khi và chỉ khi P ( AB ) = P ( A) P ( B ) Định lý 3: Nếu trong một phép thử, các biến cố A1 , A2 ,..., Ak có thể cùng xảy ra thì P ( A1 A2 ... Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) ....P ( Ak | A1 A2 ... Ak −1 ) Nếu các biến cố A1 , A2 ,..., Ak là độc lập với nhau thì P ( A1 A2 ... Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) ....P ( Ak ) 9 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 3.2. Ví dụ Ví dụ 5: Hộp 1 có 2 bi xanh, 5 bi trắng. Hộp 2 có 3 bi xanh, 3 bi trắng. Từ mỗi hộp ta lấy ra 1 viên bi. Tính xác suất 2 viên bi lấy ra cùng màu? Lời giải: Ví dụ 6: Xác suất để 1 người phải đến nha sĩ điều trị bằng tia X là 0,6. Xác suất để 1 người đang điều trị bằng tia X phải hàn răng là 0,3. Xác suất để 1 người đã điều trị xong bằng tia X và hàn răng sẽ phải nhổ răng là 0,1. Tính xác suất để 1 người đến nha sĩ sẽ phải điều trị bằng tia X, được hàn và phải nhổ răng? Lời giải: 4. QUY TẮC BAYES 4.1. Định lý Xác suất đầy đủ Hệ biến cố {B1 , B2 ,..., Bk } là một phân hoạch của không gian mẫu S, P ( Bi ) ≠ 0, i = 1, k . Khi đó với một biến cố A bất kì trong S ta có: P ( A) = P ( AB1 ) + P ( AB2 ) + ... + P ( ABk ) = P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P ( B2 ) P ( A | B2 ) + ... + P ( Bk ) P ( A | Bk ) 10 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải B2 B1 B3 B4 A Bk Bi Ví dụ 7: Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương ứng. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất để nó là phế phẩm. Lời giải: Ví dụ 8: Có 2 lô sản phẩm, lô 1 có 5 chính phẩm, 5 phế phẩm; lô 2 có 6 chính phẩm, 4 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ra 1 sản phẩm. Sau đó từ 2 sản phẩm thu được lại lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm sau cùng là chính phẩm? Lời giải 11 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 4.2. Quy tắc Bayes Hệ biến cố {B1 , B2 ,..., Bk } là một phân hoạch của không gian mẫu S, P ( Bi ) ≠ 0, i = 1, k . Khi đó với một biến cố A bất kì trong S thỏa mãn P ( A ) ≠ 0 , ta có: P ( Bi | A ) = P ( ABi P ( A) )= P ( Bi ) .P ( A | Bi ) k ∑ P ( B ) .P ( A | B ) i , i = 1, k i j =1 Ví dụ 9: Trở lại ví dụ 7, nếu chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy nó bị lỗi, thì xác suất để sản phẩm đó thuộc B3 thế nào? Lời giải Chú ý: 1. Dấu hiệu để nhận biết hệ biến cố {B1 , B2 ,..., Bk } là phân hoạch (hệ đầy đủ): +) {B1 , B2 ,..., Bk } là các biến cố xung khắc (tách rời nhau). +) P ( B1 ) + P ( B2 ) + ... + P ( Bk ) = 1 2. Dấu hiệu nhận biết một số biến cố quan trọng: +) Biến cố giao thường được diễn đạt bởi các từ: và, đồng thời … +) Biến cố hợp thường được diễn đạt bởi các từ: hoặc, ít nhất… +) Biến cố điều kiện thường được diễn đạt bởi các từ: biết rằng, với điều kiện… 12 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài 3: BIẾN BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN Đặt vấn đề Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3 sản phẩm (có thể có chính phẩm C hoặc phế phẩm P) của 1 lô hàng, với yêu cầu nếu xuất hiện sản phẩm lỗi thì lô hàng bị loại. Khi đó không gian mẫu là: Ω = {CCC , CCP, CPC , PCC , CPP, PCP, PPC , PPP} Từ yêu cầu bài toán, rất tự nhiên ta quan tâm tới số phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra là bao nhiêu? Điểm mẫu CCC CCP CPC PCC CPP PCP PPC PPP Số phế phẩm 0 1 1 1 2 2 2 3 Ta thấy mỗi điểm mẫu sẽ xác định 1 giá trị thực duy nhất: 0, 1, 2, hoặc 3. Các giá trị này là các con số ngẫu nhiên được xác định từ kết quả của phép thử. Ở đây nếu ta gọi X là số phế phẩm có trong 3 sản phẩm kiểm tra, thì X có thể nhận giá trị 0, 1, 2, 3. Khi đó ta nói X là 1 biến ngẫu nhiên. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một hàm số đặt tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với một và chỉ một số thực. - Kí hiệu: Biến ngẫu nhiên (bnn) X, Y, Z…Các giá trị của biến ngẫu nhiên: x, y, z… - Khi đó: X :Ω →
s  X (s) = x Trong đó, s là 1 điểm mẫu của không gian mẫu. - Tập tất cả các số thực mà biến ngẫu nhiên X nhận được gọi là tập giá trị - Dựa vào đặc điểm của tập giá trị, người ta chia biến ngẫu nhiên thành 2 loại: +) Biến ngẫu nhiên rời rạc: là bnn mà tập giá trị là tập đếm được. +) Biến ngẫu nhiên liên tục: là bnn mà tập giá trị là 1 khoảng thực (tập không đếm được). - Trong thực tế, bnn liên tục thường biểu diễn cho các dữ liệu đo được như chiều cao, cân nặng, nhiệt độ, lượng mưa…Bnn rời rạc thường biểu diễn cho các dữ liệu đếm được như số sản phẩm lỗi, số tai nạn giao thông, số sinh viên… 13 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BNN rời rạc BNN liên tục 2.1. Hàm phân phối xác suất 2.1. Hàm mật độ xác suất Định nghĩa: Hàm số f(x) là hàm phân phối xác suất Định nghĩa: Hàm số f (x) là hàm mật độ xác của bnn rời rạc X nếu với mỗi kết cục có thể có x ta suất của bnn liên tục X xác định trên tập số có: thực nếu thỏa mãn: 1. f ( x ) ≥ 0, ∀x 1. f ( x ) ≥ 0, ∀x 2. ∑ +∞ ∫ f ( x ) dx = 1 2. f ( x) = 1 x −∞ b 3. P ( a < X < b ) = ∫ f ( x ) dx 3. P ( X = x ) = f ( x ) a Ví dụ 1: Một hộp kẹo sôcôla có 8 chiếc: 3 chiếc kẹo Ví dụ 4: Cho hàm mật độ xác suất của bnn nhân sữa, 5 chiếc kẹo nhân hạt điều. Lấy ngẫu nhiên X kx 2 , x ∈ ( −1, 2 ) f ( x) =  x ∉ ( −1, 2 ) 0, ra 4 chiếc. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo nhân sữa lấy được. Lời giải: a) Tính k? b) Tính P ( X ≤ 1) Lời giải: Ví dụ 2: Một thiết bị gồm 2 bộ phận, xác suất trong cùng khoảng thời gian t các bộ phận bị hỏng là 0,2; 0,35. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong khoảng thời gian t. Tìm phân phối xác suất của X? Ví dụ 5: Thời gian mà một gia đình cho chạy máy hút bụi trong một năm là bnn liên tục X có hàm mật độ như sau (đơn vị: 100h)  x, 0 < x < 1  f ( x ) = 2 − x,1 ≤ x < 2 0, x ∉ 0, 2 ( )  14 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Tính xác suất để trong 1 năm, thời gian một gia đình cho chạy máy hút bụi của họ từ 50h đến 150h? Lời giải: 2.2 Hàm phân phối tích lũy Định nghĩa: Bnn rời rạc X có hàm phân phối xác suất f ( x ) . Khi đó hàm số: F ( x) = P ( X ≤ x) = ∑ f ( t ), − ∞ < x < +∞ t≤x gọi là hàm phân phối tích lũy của X. Chú ý: +) P ( a < X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) − P ( X ≤ a ) = F ( b ) − F ( a +) P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b ) − P ( X ≤ a ) − P ( X = b ) = F (b ) − F ( a ) − P ( X = b) 2.2. Hàm phân phối tích lũy Định nghĩa: Bnn liên tục X có hàm mật độ xác suất f ( x ) . Khi đó hàm số: +) P ( X > a ) = 1 − P ( X ≤ a ) F ( x) = P ( X ≤ x) Ví dụ 3: Trở lại ví dụ 2, tìm hàm tích lũy của biến x = ngẫu nhiên X ∫ f ( t ) dt , − ∞ < x < +∞ −∞ Lời giải: gọi là hàm phân phối tích lũy của X. Chú ý: +) P ( a < X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a +) f ( x ) = dF ( x ) dx Ví dụ 6: Trở lại ví dụ 4, tìm hàm tích lũy của biến ngẫu nhiên X Lời giải: 15 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Chú ý: Hàm phân phối tích lũy là hàm không giảm, luôn bắt đầu từ 0 và kết thúc tại 1. 2.3 Biểu đồ xác suất Ta xét 1 hàm phân phối xác suất của 1 bnn rời 2.3 Chú ý: Với bnn liên tục thì tập giá trị là rạc X nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4. Trong đó: 1 4 6 4 1 một khoảng thực, không đếm được. Vì thế , f (1) = , f ( 2 ) = , f ( 3) = , f ( 4 ) = xác suất để X nhận 1 giá trị cụ thể thuộc tập 16 16 16 16 16 Khi đó f (x) có thể được biểu diễn bởi 1 trong 2 giá trị luôn bằng 0: P ( X = x ) = 0 . Ta chỉ dạng dưới đây: quan tâm tới giá trị của hàm f (x) trên 1 f ( 0) = - Biểu đồ hình cây khoảng (tức là P ( a < X < b ) ) .Do đó: P ( a < X < b) = P ( a < X ≤ b) = P ( a ≤ X ≤ b) Trên đồ thị, giá trị đó chính bằng diện tích của miền in đậm. - Biểu đồ hình cột - Nhìn vào biểu đồ hàm phân phối xác suất người ta có thế thấy được sự phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X: tại vị trí nào xác suất xảy ra là lớn, tại vị trí nào là nhỏ. 16 P (a < X < b) Cũng tương tự như biến ngẫu nhiên rời rạc, dựa vào đồ thị, ta cũng thấy được mật độ phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X: Miền có diện tích lớn là miền có xác suất xảy ra cao, và ngược lại. Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 3. HÀM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Định lý: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f (x). Giả sử Y = u (X) xác định phép biến đổi một một giữa các giá trị của X, Y sao cho y = u (x) giải được duy nhất nghiệm x tính theo y là x = w(y). Khi đó phân phối xác suất của Y là i) g ( y ) = f  w ( y )  nếu X là bnn rời rạc. ii) g ( y ) = f  w ( y )  . | J | nếu X là bnn liên tục, trong đó J=w ' ( y ) được gọi là Jacobi của phép đổi biến. Ví dụ 7: Cho X là biến ngẫu rời rạc với phân phối xác suất là 31 f ( x) =   44 x −1 , x = 1, 2,3,.... 2 Tìm phân phối xác suất của biến Y = X . Lời giải: Ví dụ 8: Cho X là biến ngẫu liên tục với phân phối xác suất là x  , 1< x < 5 f ( x ) = 12 0, trái lại. Tìm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên của Y = 2X – 3 Lời giải: 17 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài 4: CÁC SỐ SỐ ĐẶC TRƯNG TRƯNG CỦA CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI PHỐI NHỊ THỨC VÀ SIÊU BỘI 1. KỲ VỌNG TOÁN HỌC Ta xét một ví dụ: Điều tra về điểm thi Toán V tại một lớp bài tập cho ta bảng số liệu sau: Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số lượng 3 2 1 4 8 15 9 8 4 5 1 Khi đó điểm thi toán V trung bình của lớp này là 3.0 + 2.1 + 1.2 + 4.3 + 8.4 + 15.5 + 9.6 + 8.7 + 4.8 + 5.9 + 1.10 60 3 2 1 4 8 15 9 8 4 5 1 = .0 + .1 + .2 + .3 + .4 + .5 + .6 + .7 + .8 + .9 + .10 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 Nếu ta gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ điểm thi của sinh viên thì khi đó ta có: 3 60 2 P ( X = 1) = f (1) = 60 ..... P ( X = 0) = f ( 0) = 1 60 Thay vào biểu thức trên, ta suy ra điểm thi trung bình chính là : P ( X = 10 ) = f (10 ) = 0. f ( 0 ) + 1. f (1) + 2. f ( 2 ) + ... + 10. f (10 ) = ∑ x. f ( x ) x Hay nói cách khác giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X (bnn rời rạc) chính là ∑ x. f ( x ) . x Tương tự, với bnn liên tục ta chỉ cần thay tổng bởi tích phân. Ta có định nghĩa tổng quát. BNN rời rạc BNN liên tục 1.1 Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu 1.1 Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với nhiên với phân phối xác suất f (x). Giá trị trung bình (hay kỳ vọng) của X, kí hiệu là phân phối xác suất f (x). Giá trị trung bình (hay kỳ vọng) của X, kí hiệu là µ hoặc E(X) và được xác µ hoặc E(X) và được xác định như sau: định như sau: +∞ µ = E ( X ) = ∑ x. f ( x ) µ = E(X ) = x ∫ x. f ( x ) dx −∞ 18 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Ví dụ 1: Trong một trò chơi cờ bạc, người ta tung ngẫu nhiên ba đồng xu. Người chơi sẽ nhận được 5 USD nếu tất cả các đồng xu đều sấp hoặc đều ngửa, người chơi sẽ mất 3 USD nếu ngược lại. Người chơi hy vọng sẽ kiếm được bao nhiêu? Lời giải: Lê Thị Minh Hải Ví dụ 2: Đặt X là tuổi thọ tính theo giờ của một thiết bị điện tử nào đó, X là một biến ngẫu nhiên. Hàm mật độ xác suất là  20000 , x > 100  f ( x) =  x 3  0, x ≤ 100 Hãy tính tuổi thọ trung bình của thiết bị điện tử loại này. Lời giải: - Chú ý: - Kỳ vọng của bnn X không nhất thiết là 1 giá trị của tập giá trị, mà nó thường nằm trong khu vực có phân phối xác suất cao. - Trong thực tiễn các giá trị của biến ngẫu nhiên X luôn biến đổi nhưng giá trị trung bình của X thì tương đối ổn định và là giá trị đại diện cho biến X. Ta nói E(X) là tâm của phân phối xác suất. - E ( aX + b ) = aE ( X ) + b , a,b là hằng số 19 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 1.2. Định lý: Cho X là bnn rời rạc với phân 1.2. Định lý: Cho X là bnn liên tục với phân phối xác suất f (x). Giá trị trung bình (hay kỳ phối xác suất f (x). Giá trị trung bình (hay kỳ vọng) của bnn g(X), xác định như sau: vọng) của bnn g(X), xác định như sau: +∞ µ g ( X ) = E  g ( X )  = ∑ g ( x ) . f ( x ) µ g ( X ) = E  g ( X )  = x ∫ g ( x ) . f ( x ) dx −∞ Ví dụ 3: X là bnn chỉ số lượng xe ôtô đến cửa Ví dụ 4: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ hàng rửa xe vào khoảng thời gian từ 4 giờ là chiều đến 5 giờ chiều của một ngày thứ sáu  x2  , khi x ∈ ( −1; 2), khô ráo, có phân phối xác suất như sau: f ( x) =  3 0, khi x ∉ (−1; 2) .  X 4 5 6 7 8 9 Hãy tìm kỳ vọng của g(X) = 4X + 3. P(X = x) 1 1 1 1 1 1 12 12 4 4 6 6 Lời giải: Đặt g(X) = 2X - 1 là số tiền (tính theo USD) mà người chủ cửa hàng phải trả cho công nhân rửa xe. Người công nhân rửa xe hy vọng sẽ kiếm được bao nhiêu tiền trong khoảng thời gian nói trên? Lời giải: 20