Tài liệu Bài giảng toán kinh tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI BỘ MÔN KINH TẾ ***** BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Biên soạn: Th.S Đào Văn Khiêm Th.S Trần Văn Khiêm Hà Nội, 2015 MỤC LỤC Chƣơng 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN HỌC ................................................................. 3 1.1 KÝ HIỆU VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA MỞ ĐẦU ................................................................ 3 1.2 TẬP HỢP VÀ CHUỖI TRONG n ................................................................................. 7 1.3 MA TRẬN ...................................................................................................................... 18 1.4 HÀM SỐ ......................................................................................................................... 27 1.5 DẠNG TOÀN PHƢƠNG ............................................................................................... 34 Chƣơng 2: TỐI ƢU TRONG n ............................................................................................ 40 2.1 CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU TRONG n .......................................................................... 40 2.2 CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU DƢỚI DẠNG THAM SỐ ................................................... 42 2.3 CÁC BÀI TOÁN: MỘT SỐ VÍ DỤ ............................................................................... 43 2.4 CÁC MỤC TIÊU CỦA LÝ THUYẾT TỐI ƢU............................................................. 47 2.5 LỘ TRÌNH ..................................................................................................................... 48 Chƣơng 3: TỒN TẠI NGHIỆM: ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS ........................................... 50 3.1 ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS ............................................................................................ 50 3.2 ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS TRONG ỨNG DỤNG ...................................................... 51 3.3 CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS ................................................................. 54 Chƣơng 4: TỐI ƢU KHÔNG RÀNG BUỘC ....................................................................... 56 4.1 TỐI ƢU “KHÔNG RÀNG BUỘC” ............................................................................... 56 4.2 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC NHẤT ...................................................................................... 57 4.3 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC HAI .......................................................................................... 58 4.4 SỬ DỤNG CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ........................................... 59 Chƣơng 5: CÁC RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE................... 62 5.1 BÀI TOÁN TỐI ƢU CÓ RÀNG BUỘC ........................................................................ 62 5.2 CÁC RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE ................................ 63 5.3 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC HAI .......................................................................................... 66 5.4 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE ............................................................................ 69 5.5 HAI VÍ DỤ TỪ KINH TẾ HỌC .................................................................................... 75 Chƣơng 6:CÁC RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER ... 82 6.1 ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER .......................................................................................... 82 6.2 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER ....................................................................... 85 6.3 MINH HỌA TỪ KINH TẾ HỌC ................................................................................... 91 6.4 TRƢỜNG HỢP TỔNG QUÁT: CÁC RÀNG BUỘC HỖN HỢP ................................ 98 Chƣơng 7: CÁC CẤU TRÚC LỒI TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƢU................................. 99 7.1 TÍNH LỒI XÁC ĐỊNH .................................................................................................. 99 7.2 CÁC HÀM Ý CỦA TÍNH LỒI .................................................................................... 102 7.3 TÍNH LỒI VÀ TỐI ƢU HÓA...................................................................................... 109 7.4 SỬ DỤNG TÍNH LỒI TRONG TỐI ƢU HÓA ........................................................... 112 Bài giảng Toán kinh tế ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Chƣơng 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN HỌC 1.1 KÝ HIỆU VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA MỞ ĐẦU 1.1.1 Số nguyên, Hữu tỷ, và Thực, n Tập số nguyên dƣơng đƣợc ký hiệu là Tập các số hữu tỷ đƣợc ký hiệu bởi và tập tất cả các số nguyên là : : Cuối cùng, tập tất các các số thực, cả vô tỷ lẫn hữu tỷ, đƣợc ký hiệu là . Nhƣ đã đƣợc nhắc tới trƣớc đây, giả sử rằng ít nhất độc giả đã có hiểu biết trực giác về trục số thực và các thuộc tính của chúng. (Xem thêm Phụ lục B để biết chi tiết). Khi đã cho một số thực z , thì giá trị tuyệt đối của nó sẽ đƣợc ký hiệu là: { Khoảng cách Euclid giữa hai điểm x và y trong tuyệt đối của hiệu số của chúng. đƣợc định nghĩa là – |, tức là giá trị Đối với bất kỳ số nguyên dƣơng nào, tích Đề các n-chiều của sẽ đƣợc ký n n hiệu là . Chúng ta sẽ gọi là không gian Euclid n-chiều. Khi , chúng ta sẽ tiếp tục viết thay cho 1. Một điểm trong là một số thực. Số n là một véc tơ trong đó đối với mỗi đƣợc gọi là tọa độ thứ của véc tơ . , n Chúng ta sử dụng 0 để ký hiệu số thực 0 cũng nhƣ véc tơ . Ký hiệu này tuy hơi tùy ý, nhƣng ý nghĩa đúng sẽ thƣờng là rõ ràng cho từng hoàn cảnh. Cộng véc tơ và nhân vô hƣớng đƣợc định nghĩa trong n nhƣ sau: đối với và Hình 1.1 cung cấp lời giải thích bằng đồ thị cho cộng véc tơ và nhân vô hƣớng trong Khi đã cho một cặp n-véc tơ bất kỳ và 2 . , chúng ta viết 3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lƣu ý:   không loại trừ khả năng là , và đối với , các véc tơ và không nhất thiết là so sánh đƣợc trong bất kỳ phân loại nào nói trên; ví dụ, các véc tơ và trong 2 không thỏa mãn , mà cũng không thỏa mãn Các góc phần tƣ không âm và dương ngặt của cách tƣơng ứng, đƣợc định nghĩa là n , đƣợc ký hiệu là n  và n  một và 1.1.2 Tích trong, Chuẩn, Mê tric Mục con này mô tả 3 cấu trúc trong không gian n: tích trong Euclid của hai véc tơ và trong n, chuẩn Euclid của một véc tơ trong n, và mê tric Euclid đo lƣờng khoảng cách giữa hai điểm và trong n. Mỗi một trong số các cấu trúc này tổng quát một khái niệm quen thuộc từ . Cụ thể, khi , và và chỉ là những số thực; chuẩn Euclid của đơn giản chỉ của của hiệu của chúng. Khi đã cho đƣợc định nghĩa là: , tích trong Euclid của các véc tơ và , đƣợc ký hiệu là ∑ Từ đây trở đi, chúng ta sẽ gọi tích trong Euclid đơn giản là tích trong. Định lý 1.1: Đối với bất kỳ véc tơ các thuộc tính sau: , và các số vô hƣớng , tích trong có 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Đối xứng: 2. Song tuyến (bilinearity): ( . 3. Tính dương: và x , với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Chứng minh: Tính đối xứng và song tuyến có thể dễ kiểm tra từ định nghĩa của tích trong. Để kiểm tra tính dƣơng, nhận xét là bình phƣơng của một số thực luôn là không âm, và có thể bằng không khi và chỉ khi bản thân số đó bằng không. Từ đó suy ra là tổng của ∑ các bình phƣơng của các số thực luôn, là không âm, và bằng không khi và chỉ khi cho mỗi i, tức là, khi và chỉ khi . Tích trong cũng thỏa mãn một điều kiện rất hữu ích có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: Định lý 1.2: (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) Đối với bất kỳ có bất phương trình sau: nào, chúng ta Chứng minh: Để dễ dàng trong việc ký hiệu, ta sử dụng ký hiệu sau , và . Khi đó kết quả sẽ đƣợc chứng minh nếu chúng ta chỉ ra là , vì bất phƣơng trình đƣợc yêu cầu sẽ đƣợc suy ra bằng cách lấy căn bậc hai cả hai vế. Nếu , thì và bất phƣơng trình đƣợc bảo đảm một cách dễ dàng. Do vậy, giả sử . Nhận xét rằng theo tính dƣơng của tích trong, chúng ta khi đó phải có . Thuộc tính tính dƣơng cũng hàm ý là đối với bất kỳ số vô hƣớng nào, chúng ta có Nói riêng, bất phƣơng trình này phải bảo toàn cho dụng trong phƣơng trình ở trên, chúng ta có ( ) hoặc . Vì ( ) . Khi giá trị này của . / , điều này đến lƣợt mình hàm ý là  đpcm. Chuẩn Euclid (từ đây trở đi sẽ gọi đơn giản là chuẩn) của một véc tơ ký hiệu là , đƣợc định nghĩa là (∑ đƣợc sử , đƣợc ) Chuẩn liên hệ với tích trong thông qua đồng nhất thức cho tất cả ; nói riêng, bất phƣơng trình Cauchy-Schartz có thể đƣợc viết là 5 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Kết quả tiếp theo của chúng ta, là điều mô tả một số thuộc tính hữu ích của chuẩn, sử dụng quan sát này. Định lý 1.3: Chuẩn thỏa mãn các thuộc tính sau tại tất cả các 1. Tính dương: , và : , với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2. Tính thuần nhất (homogeneity): . 3. Bất đẳng thức (bất phương trình) tam giác Chứng minh: Thuộc tính tính dƣơng của chuẩn suy ra từ thuộc tính tính dƣơng của tích trong, và sự kiện . Tính thuần nhất có đƣợc vì (∑ ) ( ∑ ) Bất phƣơng trình tam giác đôi chút khó hiểu hơn; chúng ta sẽ cần bất phƣơng trình Cauchy-Schwartz để thiết lập nó. Hãy quan sát rằng đối với x và y bất kỳ trong n, chúng ta có Theo bất phƣơng trình Cauchy-Schwartz, phƣơng trình trƣớc đó, chúng ta đạt đƣợc Thế bất phƣơng trình này vào Chứng minh đƣợc rút ra bằng cách lấy căn bậc hai cho cả hai vế. Đpcm giữa hai véc tơ x và y trong Khoảng cách (mê tric) Euclid (∑ n đƣợc cho bởi ) Hàm khoảng cách d đƣợc gọi là độ đo (hay mê tric), và đƣợc liên hệ với chuẩn qua đồng nhất thức thông – cho tất cả các Định lý 1.4: Độ đo d thỏa mãn các thuộc tính sau cho tất cả 1. Tính dương: với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , . 2. Đối xứng: 3. Bất phương trình tam giác: các , cho tất cả Chứng minh: Thuộc tính tính dƣơng của độ đo suy ra từ thuộc tính tính dƣơng của chuẩn, và quan sát là – . Tính đối xứng là trực tiếp từ định nghĩa. Bất phƣơng trình là giống hệt nhƣ – – 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Đây chỉ là bất phƣơng trình tam giác cho các chuẩn, là điều mà chúng ta đã thiết lập Đpcm. Các khái niệm tích trong, chuẩn, và độ đo có thể đƣợc định nghĩa trên bất kỳ không gian véc tơ trừu tƣợng nào, chứ không chỉ n. Trên thực tế, các thuộc tính mà chúng ta vừa liệt kê trong các Định lý 1.1, 1.3 và 1.4, trong các không gian véc tơ trừu tƣợng, xác định ra các đặc trƣng của các khái niệm tƣơng ứng. Bởi vậy, ví dụ, một tích trong trong một không gian véc tơ đƣợc xác định là bất kỳ toán tử nào thỏa mãn ba thuộc tính đối xứng, song tuyến và tính dƣơng; trong khi chuẩn trong không gian đó đƣợc định nghĩa là bất kỳ toán tử nào đáp ứng các điều kiện tính dƣơng, tính thuần nhất, và bất phƣơng trình tam giác. Để biết chi tiết thêm, xem Phụ lục C. n 1.2 TẬP HỢP VÀ CHUỖI TRONG 1.2.1 Chuỗi và giới hạn Một chuỗi (sequence) trong n là một dãy các điểm Chuỗi thƣờng đƣợc viết là hoặc, súc tích hơn, đơn giản là cho mỗi số nguyên . Thình thoảng, chúng ta ký hiệu chuỗi là 1. Chuỗi các điểm trong n đƣợc nói là hội tụ tới một giới hạn (viết là ) nếu khoảng cách giữa và tiến tới không khi k tiến ra vô hạn, tức là, nếu đối với tất cả , tồn tại một số nguyên sao cho đối với tất cả , chúng ta có . Một chuỗi hội tụ tới một giới hạn đƣợc gọi là một chuỗi hội tụ. Ví dụ, chuỗi trong đƣợc xác định bởi hội tụ, với lim . Để thấy điều này, chúng ta hãy lấy số nguyên nào sao cho . Khi đó, , do vậy, quả thực cho tất cả các k là chuỗi bất kỳ . Cho là bất kỳ chúng ta có . Định lý 1.5: Một chuỗi có thể có nhiều nhất một giới hạn. Tức là, nếu là một chuỗi n trong hội tụ tới một điểm nó không thể cũng hội tụ tới một điểm với Chứng minh: Điều này suy ra từ một ứng dụng đơn giản của bất phƣơng trình tam giác. Nếu , và , thì Vì và , bất phƣơng trình này chỉ ra là không khi k tiến tới vô hạn, do vậy , là không thể. Đpcm. không thể tiến tới Một chuỗi trong n đƣợc gọi là một chuỗi bị chặn nếu tồn tại một số thực M sao cho cho k. Một chuỗi không bị chặn đƣợc gọi là không bị chặn; tức là, là một chuỗi không bị chặn nếu tồn tại một k(M) sao cho Định lý 1.6: Mọi chuỗi hội tụ trong n đều bị chặn. 7 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh: Giả sử sao cho , tam giác sẽ tạo ra cho trong định nghĩa hội tụ. Khi đó, tồn tại k(1) , áp dụng bất phƣơng trình . Giả sử . Vì Bây giờ định nghĩa M là cực đại của tập hữu hạn các con số k đpcm. Khi đó, Trong khi Định lý 1.5 đã thiết lập rằng một chuỗi có thể có nhiều nhất một giới hạn, Định lý 1.6 hàm ý là một chuỗi có thể không có giới hạn nào. Quả thực, vì mỗi chuỗi hội thụ phải bị chặn, suy ra là nếu là chuỗi không bị chặn, thì không thể hội tụ. Do vậy, ví dụ, chuỗi trong đƣợc xác định bởi đối với mọi k là một chuỗi không-hội tụ. Tuy nhiên, tính không bị chặn không là nguyên nhân duy nhất để một chuỗi không thể hội tụ. Hãy xét một ví dụ sau: giả sử trong đƣợc cho bởi , Chuỗi này bị chặn vì chúng ta có | cho tất cả mọi k. Tuy nhiên, nó không có giới hạn. Nguyên nhân ở đây là các thành phần lẻ của chuỗi hội tụ tới không, trong khi các thành phần chẵn hội tụ tới 1. Vì một chuỗi có thể chỉ có một giới hạn, chuỗi này không hội tụ. Kết quả tiếp theo của chúng ta chỉ ra rằng tính hội tụ của một chuỗi trong n tƣơng đƣơng với sự hội tụ theo mỗi tọa độ. Điều này mang lại cho chúng ta một cách thức khác để thiết lập sự hội tụ trong n. Chúng ta sử dụng các chỉ số trên để ký hiệu chuỗi trong kết quả này để tránh sự nhầm lẫn giữaphần tử thứ k là của chuỗi, và tọa độ thứ i là tọa độ của một véc tơx. Định lý 1.7: Một chuỗi trong đối với mọi trong đó Chứng minh: x trong n n hội tụ tới một giới hạn x khi và chỉ khi và Chúng ta sẽ sử dụng sự kiện là khoảng cách Euclid giữa hai điểm và có thể đƣợc viết là (∑ trong đó là khoảng cách Euclid giữa ) và trong . 8 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Thứ nhất, giả sử . Chúng ta sẽ chỉ ra là cho mỗi i , tức là, với bất kỳ i và đã cho nào, tồn tại sao cho , chúng ta có Do vậy giả sử đã cho. Theo định nghĩa cho cho tất cả . Do vậy, đối với ta có đƣợc , chúng ta sẽ tồn tại sao và với bất kỳ i, chúng (∑ Đặt cho mỗi i, chứng minh rằng Bây giờ giả sử tồn tại sao cho Định nghĩa chúng ta có hội tụ tới ) cho mỗi i. Đpcm. cho mỗi i . Giả sử đã cho. Chúng ta sẽ chỉ ra là cho tất cả , là điều thiết lập rằng sao cho đối với , √ Đối với mỗi i , tồn tại . Định nghĩa cực đại của tập hữu hạn các con số Khi đó, đối với chúng ta có cho mọi i. do vậy (∑ ) (∑ √ ) và đó là đpcm. Định lý 1.7 tạo điều kiện dễ dàng chứng minh kết quả quá trình sau đây: Định lý 1.8: Giả sử là một chuỗi trong k , chúng ta có , trong đó và n tơ cố định trong . Khi đó, n hội tụ tới giới hạn x . Giả sử đối với mỗi là một số véc Chứng minh: Định lý sẽ đƣợc chứng minh nếu chúng ta chỉ ra là cho mỗi Giả sử kết quả này là sai, do vậy, đối với một i nào đó, chúng ta có . Vì , theo Định lý 1.7 thì cho mỗi ; nói riêng . Nhƣng kết hợp với hàm ý là đối với mọi k lớn, chúng ta phải có này mâu thuẫn với giả thiết là cũng dẫn tới mâu thuẫn. Do vậy, . Điều cho mọi k. Một lý lẽ tƣơng tự thiết lập rằng . Đpcm. 1.2.2 Các chuỗi con và các điểm giới hạn Giả sử đã cho một chuỗi trong n. Giả sử m là một quy tắc bất kỳ gán cho mỗi k một giá trị , Giả sử tiếp theo là m là tăng, tức là, đối với mỗi , chúng ta có . Khi đã cho chúng ta bây giờ có thể xác định một chuỗi mới { , mà phần tử thứ k của nó là phần tử thứ của chuỗi . Chuỗi mới này đƣợc gọi là chuỗi con của . Nói một cách khác, chuỗi con của một chuỗi là bất kỳ một tập con vô hạn nào của chuỗi nguyên thủy bảo tồn sắp đặt trật tự của các thành phần. Thậm chí nếu một chuỗi không là hội tụ, nó có thể chứa các chuỗi hội tụ. Ví dụ, chuỗi không có giới hạn, nhƣng các chuỗi con và , là những chuỗi đạt đƣợc từ chuỗi nguyên thủy bằng cách lựa chọn các phần tử chẵn và lẻ một cách tƣơng ứng đều là các chuỗi hội tụ. 9 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Nếu một chuỗi có chứa một chuỗi con hội tụ, giới hạn của chuỗi con hội tụ đƣợc gọi là một điểm giới hạn của chuỗi nguyên thủy. Do vậy, chuỗi có hai điểm giới hạn là 0 và 1. Kết quả sau đây đơn giản là lời phát biểu lại định nghĩa của điểm giới hạn: Định lý 1.9: Điểm x là điểm giới hạn của một chuỗi bất kỳ, có nhiều vô số các chỉ số m mà đối với nó khi và chỉ khi đối với mọi Chứng minh: Nếu x là điểm giới hạn của thì phải có một chuỗi { hội tụ tới x . Theo định nghĩa hội tụ, đó là trƣờng hợp với mọi bất kỳ, tất cả vô số các phần tử của chuỗi { phải nằm bên trong khoảng của x. Do vậy, có vô số phần tử của chuỗi cũng phải nằm bên trong khoảng của x. Ngƣợc lại, giả sử đối với mọi bất kỳ, có vô số m sao cho . Định nghĩa một chuỗi { nhƣ sau: gọi m(1) là một m bất kỳ sao cho . Bây giờ đối với hãy định nghĩa một cách kế tiếp m(k) là bất kỳ m nào thỏa mãn các điều kiện (a) , và (b) – . Các xây dựng này là khả thi, vì đối với mỗi k, tồn tại vô hạn m thỏa mãn . Hơn nữa, chuỗi { hiển nhiên hội tụ tới x, do vậy x là Nếu một chuỗi là hội tụ (ví dụ, tới một giới hạn x), thì rõ ràng là mỗi chuỗi con của phải một điểm giới hạn của . hội tụ tới x. Kém rõ ràng hơn, nhƣng cũng sẽ đúng là, nếu mỗi chuỗi co { của một chuỗi đã cho hội tụ tới giới hạn x, thì tự thân hội tụ tới x. Chúng tôi không đƣa ra lời chứng minh của sự kiện này ở đây, vì nó có thể dễ đƣợc rút ra nhƣ một hậu quả của các xem xét khác. Hãy xem Hệ quả 1.19 dƣới đây. Nói chung, một chuỗi có thể có một số lƣợng bất kỳ các điểm giới hạn. Ví dụ, mỗi số nguyên dƣơng phát sinh nhƣ một điểm giới hạn của chuỗi. Tất nhiên, cũng có khả năng là không có chuỗi nào từ một chuỗi đã cho hội tụ, do vậy một chuỗi đã cho có thể không có điểm giới hạn nào. Một ví dụ đơn giản là chuỗi trong đƣợc xác định bởi cho tất cả các k: mỗi chuỗi con của chuỗi này đều phân kỳ tới + 1.2.3 Chuỗi Cauchy và tính đầy đủ Một chuỗi trong n đƣợc nói là thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy nếu với mọi , tồn tại một số nguyên sao cho chúng ta có Một cách không chính thức, một chuỗi thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy nếu, bằng cách lựa chọn k đủ lớn, khoảng cách giữa bất kỳ hai phần tử và nào trong đuôi của chuỗi đều có thể đƣợc làm nhỏ một cách tùy ý. Một chuỗi , thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy đƣợc gọi là một chuỗi Cauchy. Một ví dụ của chuỗi Cauchy đƣợc cho bởi chuỗi trong đƣợc xác định bởi cho mọi k. Để kiểm tra chuỗi này có thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy trong thực tế 10 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------hay không, hãy cho trƣớc một bất kỳ. Giả sử là một số nguyên k bất kỳ thỏa mãn . k( ), chúng ta có | | | và thành phần cuối cùng này nhỏ hơn | | | khi lựa chọn Kết quả đầu tiên của chúng ta làm việc với tƣơng tự của Định lý 1.7 cho các chuỗi Cauchy. Nó khẳng định rằng một chuỗi trong n là chuỗi Cauchy khi và chỉ khi mỗi một chuỗi tọa độ của nó là chuỗi Cauchy trong .k Định lý 1.10: Chuỗi trong n là chuỗi Cauchy khi và chỉ khi với mọi chuỗi là một chuỗi Cauchy trong . , Chứng minh: Giả sử là một chuỗi Cauchy trong n . Chúng ta sẽ chỉ ra là đối với i bất kỳ và bất kỳ, tồn tại sao cho chúng ta có | |. Do vậy giả sử và i đã cho trƣớc. Vì là chuỗi Cauchy, tồn tại sao cho chúng ta có . Do vậy, với bất kỳ chúng ta có | | (| bằng cách đặt cho từng i. | ) (∑ ) , chúng ta đã chứng minh đƣợc là là một chuỗi Cauchy Bây giờ giả sử là chuỗi Cauchy cho mỗi i. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng đối với bất kỳ, tồn tại sao cho hàm ý . Do vậy hãy giả sử đã cho trƣớc. Định nghĩa là một chuỗi Cauchy, tồn tại √ . Vì mỗi sao cho chúng ta có| | Định nghĩa Khi đó, chúng ta có (∑ ) (∑ √ ) và đó là đpcm. Quan sát thấy rằng khác biệt quan trọng giữa định nghĩa chuỗi hội tụ và chuỗi Cauchy là giới hạn của chuỗi đƣợc liên quan tới một cách công khai trong chuỗi hội tụ, nhƣng không đóng vai trò gì trong chuỗi Cauchy. Kết quả tiếp theo của chúng ta, tuy nhiên, chỉ ra là hai khái niệm này quan hệ với nhau một cách mật thiết: n Định lý 1.11: Chuỗi trong tức là khi và chỉ khi tồn tại một x là chuỗi Cauchy khi và chỉ khi nó là một chuỗi hội tụ, n sao cho . Chứng minh: Chứng minh rằng mỗi chuỗi hội tụ cũng phải là một chuỗi Cauchy là đơn giản. Giả sử . Hãy giả sử đã đƣợc cho trƣớc. Định nghĩa . Vì , tồn tại sao cho , chúng ta có Từ đó suy ra là bằng cách sử dụng bất phƣơng trình tam giác , chúng ta có ( ) ( ) 11 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Bởi vậy, đặt Đpcm. , chúng ta đã chứng minh đƣợc rằng là một chuỗi Cauchy. Chứng minh mỗi chuỗi Cauchy phải hội tụ thật không may đòi hỏi nhiều công cụ hơn so với những thứ mà chúng ta đã xây dựng. Nói riêng, nó yêu cầu một định nghĩa chính thức của khái niệm “số thực”, và các thuộc tính của các số thực. Phụ lục B, là phụ lục trình mày mô tả hình thức này, chứng minh rằng mỗi chuỗi Cauchy trong phải hội tụ. Sự viện dẫn tới Định lý 1.10 cho phép chúng ta hoàn thành chứng minh này. Đpcm. Bất kỳ một không gian metric nào có thuộc tính mỗi chuỗi Cauchy cũng là một chuỗi hội tụ đƣợc nói là đầy đủ. Bởi vậy, theo Định lý 1.11, n là đầy đủ. Một điều quan trọng là cần phải lƣu ý là không phải tất cả các không gian metric đều là đầy đủ (do vậy định nghĩa không là vô nghĩa). Xem thêm về vấn đề này, hãy xem Phụ lục C. Thậm chí không viện dẫn tới tính đầy đủ của n, vẫn có khả năng chỉ ra là chuỗi Cauchy phải có hai thuộc tính mà tất cả các chuỗi hội tụ phải có: cụ thể, nó phải bị chặn, và nó có nhiều nhất một điểm giới hạn. Định lý 1.12: Giả sử là một chuỗi Cauchy trong Rn. Khi đó, 1. bị chặn 2. có nhiều nhất một điểm giới hạn Chứng minh: ! 1.2.4 Suprema, Infirma, Maxima, Minima Giả sử A là một tập con không rỗng của đƣợc định nghĩa là . Tập các biên trên của A , ký hiệu là U ( A) trong khi tập các biên dưới của A , đƣợc ký hiệu là L(A), đƣợc cho bởi Nói chung U(A) và/hoặc L(A) có thể là rỗng. Ví dụ, nếu A = , tập các số nguyên dƣơng, thì U(A) là rỗng; nếu A= , tập tất cả các số nguyên, thì cả U(A) lẫn L(A) đều là rỗng. Nếu U ( A) là không rỗng, thì A đƣợc nói là bị chặn trên. Nếu L(A) là không rỗng, thì A đƣợc nói là bị chặn dưới. Supremum của A , đƣợc viết là sup A, đƣợc định nghĩa là biên trên nhỏ nhất của A. Cụ thể là, nếu U(A) là không rỗng, thì sup A đƣợc định nghĩa là điểm duy nhất , sao cho . Mặt khác, nếu U(A) là rỗng, thì A không có giới hạn trên hữu hạn, do vậy, theo truyền thống, chúng ta đặt Tƣơng tự, infimum của A , đƣợc ký hiệu là inf A đƣợc định nghĩa là biên thấp nhất của A . Tức là, khi L(A) là không rỗng, thì inf A là điểm duy nhất ̂ sao cho ̂ cho mọi . Nếu L(A) là rỗng, thì A không có các biên dƣới, do vậy, theo tập tục, chúng ta đặt . Định lý 1.13: Nếu U(A) là không rỗng, supremum của A được xác định tốt, tức là, tồn tại sao cho cho tất cả các . Tương tự, nếu L(A) là không rỗng, 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------infimum của A được xác định tốt, tức là tồn tại ̃ sao cho ̃ cho tất cả các Nhận xét 1: Theo các tập tục của chúng ta là khi U(A) là rỗng và . khi L(A) là rỗng, điều này sẽ thiết lập rằng sup A và inf A đƣợc xác định cho bất kỳ tập không rỗng A  nào. Nhận xét 2: Để tránh sự rắc rỗi hợp lệ, chúng ta cần nhấn mạnh một điểm là một số tác giả (ví dụ nhƣ Apostol, 1967, hoặc Bartle, 1964) sử dụng một tiếp cận xấp xỉ cho trục số thực. Trong tiếp cận này, Định lý 1.13 là một tiên đề (axiom), quả thực, một tiên đề then chốt. Các tác giả khác chấp nhận một tiếp cận xây dựng cho trục số thực, khi xây dựng các số thực từ các số hữu tỷ bằng các sử dụng, ví dụ nhƣ, phƣơng pháp lát cắt Dedekind (Rudin, 1976), hoặc các chuỗi số hữu tỷ Cauchy tƣơng đƣơng (Hewitt và Stromberg, 1965; Strichartz, 1982; Phụ lục B trong cuốn sách này). Trong trƣờng hợp đó, kết quả rằng các tập bị chặn có các supremum đƣợc xác định tốt , quả Chứng minh: Chúng ta chứng minh rằng sup A đƣợc xác định tốt bất cứ khi nào A bị chặn trên. Một thủ tục tƣơng tự có thể đƣợc sử dụng để chỉ ra là inf A đƣợc xác định tốt bất cứ khi nào A bị chặn dƣới. Các chi tiết đƣợc để lại nhƣ một bài tập. Do vậy giả sử A bị chặn trên và U(A) là không rỗng. Chúng ta sẽ xây dựng hai chuỗi { và { có chung một giới hạn . Chuỗi { sẽ bao gồm toàn bộ những điểm từ A và sẽ hội tụ “hƣớng lên” tới ., trong khi chuỗi { sẽ chỉ bao gồm những điểm từ U(A), và sẽ hội tụ “hƣớng xuống” tới .,. Điều này dễ dàng đƣợc suy ra từ việc xây dựng các chuỗi này là giới hạn chung .,, trên thực tế, là sup A. Các chuỗi đƣợc yêu cầu (nhƣ trên) đƣợc xây dựng bằng cách sử dụng một thủ tục “chia và chiếm” (divide-and-conquer). Chọn một điểm trong A và một điểm trong U(A). Giả sử =( là trung điểm của chúng. Tất nhiên, . Có hai trƣờng hợp có thể xảy ra: và . Trong trƣờng hợp 1, khi mà , đặt và .= Trong trƣờng hợp 2, khi mà ., phải tồn tại một điểm a nào đó sao cho a ≥ . Trong trƣờng hợp này, đặt và (Xem Hình 1.2). 13 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Lƣu ý là trong trƣờng hợp nào đi chăng nữa chúng ta có và . Hơn nữa, chúng ta cũng phải có và . Cuối cùng, trong trƣờng hợp thứ nhất, ( chúng ta có , trong khi trong trƣờng hợp thứ hai, ) chúng ta có trƣờng hợp nào đi chăng nữa, chúng ta có d( . Bởi vậy, trong , vì . Chúng ta lặp lại thủ tục này. Đặt là trung điểm của và . Nếu , đặt và . Nếu , thì sẽ phải tồn tại sao cho ≥ ; trong trƣờng hợp này, đặt và . Khi đó, lại một lần nữa đúng là ba điều kiện sau đây đƣợc thỏa mãn trong bất kỳ trƣờng hợp nào: thứ nhất, chúng ta có và ; thứ hai, và ; cuối cùng, . Cứ tiếp tục theo mạch này, chúng ta đạt đƣợc các chuỗi 1. đối với mỗi k, 2. 3. d( và và sao cho ; là chuỗi không giảm, và là một chuỗi không tăng; và . Thuộc tính 2 nói riêng hàm ý là và là các chuỗi bị chặn. Từ thuộc tính 3 suy ra và là các chuỗi Cauchy tƣơng đƣơng, và, do vậy, chúng có cùng một * giới hạn a . Chúng ta sẽ chỉ ra là , bằng cách đầu tiên chỉ ra là , và sau đó cho tất cả các u . . bất kỳ. Vì cho mỗi k, chúng ta có cho mỗi k, do vậy . Vì a là tùy ý, bất phƣơng trình này hàm ý . Bây giờ chọn u bất kỳ. Vì cho mỗi k, chúng ta phải có u ≥ cho mỗi k. Do vậy, chúng ta cũng phải có . Vì là tùy ý, bất phƣơng trình này hàm ý cho tất cả . Chọn Tóm lại, nghĩa là và cho tất cả các . Đó là đpcm. . Theo định nghĩa, điều này có Kết quả sau đây là một hậu quả trực tiếp của định nghĩa supremum. Chúng tôi nâng nó lên mức định lý, vì đó là một quan sát hay gặp một cách khá thƣờng xuyên: Định lý 1.14: Giả sử sup A là hữu hạn. Khi đó, đối với bất kỳ cho a( )> sup A - . , tồn tại sao Chứng minh: Để dễ ký hiệu, giả sử . Giả sử định lý không đúng cho một > 0 nào đó, tức là, giả sử tồn tại sao cho cho tất cả . Khi đó, sẽ là một biên trên của A. Nhƣng điều này vi phạm định nghĩa của nhƣ là một biên trên nhỏ nhất, vì rõ ràng là nhỏ hơn hẳn so với . Một kết quả tƣơng tự với Định lý 1.14 hiển nhiên đúng cho infimum. Điều này đƣợc để lại cho độc giả nhƣ một bài tập để điền đủ các chi tiết. Hai khái niệm liên quan một cách chặt chẽ với supremum và infimum là maximum và minimum của một tập không rỗng A  . Maximum của A, đƣợc ký hiệu là max A , đƣợc định nghĩa là một điểm sao cho cho tất cả . Minimum của A, đƣợc ký 14 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------hiệu là min A, đƣợc định nghĩa là một điểm sao cho w ≤ a cho tất cả các . Theo định nghĩa, maximum phải là biên trên của A, và minimum phải là một biên dƣới của A. Do vậy, chúng ta có thể định nghĩa một cách tƣơng đƣơng , và . Một điều quan trọng là chỉ ra rằng trong khi sup A và inf A luôn đƣợc định nghĩa cho một tập A bất kỳ không rỗng nào (chúng có thể là vô hạn), và đều có thể là rỗng, do vậy max A và min A không phải luôn tồn tại. Điều này là đúng thậm chí nếu sup A và inf A đều là hữu hạn. Ví dụ, nếu A = (0,1) , chúng ta có và , do vậy và nhƣng max A và min A không tồn tại. Quả thực, một điều đƣợc suy ra từ định nghĩa là nếu max A (tƣơng ứng là min A) đƣợc xác định tốt, chúng ta phải có (tƣơng ứng là ), do vậy max A tồn tại khi và chỉ khi (tƣơng ứng là min A tồn tại khi và chỉ khi ). 1.2.5 Các chuỗi đơn điệu trong Chuỗi trong đƣợc nói là một chuỗi đơn điệu tăng nếu đó là trƣờng hợp mà for all k Chuỗi này đƣợc gọi là đơn điệu giảm nếu for all k Chúng ta cũng coi chuỗi đơn điệu tăng là không giảm, và chuỗi đơn điệu giảm là không tăng. Các chuỗi đơn điệu có một cấu trúc tiệm cận (tức là giới hạn) đơn đặc biệt, và đó là một trong những nguyên nhân mà chúng là đối tƣợng đƣợc quan tâm đặc biệt. Phát biểu kết quả hình thức yêu cầu phải có thêm một định nghĩa. Ví dụ một chuỗi trong phân kỳ tới (viết là ) nếu với mọi các số nguyên dƣơng , tồn tại k(p) sao cho với mọi , chúng ta có ; và phân kỳ tới (viết là ) nếu với mọi số nguyên dƣơng bất kỳ , tồn tại k(p) sao cho với mọi , chúng ta có . Quan sát thấy trong khi một chuỗi phân kỳ tới phải nhất thiết không bị chặn, nhƣng điều ngƣợc lại không phải luôn đúng: chuỗi xk đƣợc xác định bởi { là một chuỗi không bị chặn nhƣng nó không phân kỳ tới (Tại sao?). Mặt khác, một điều đúng là nếu là một chuỗi không bị chặn, nó phải chứa ít nhất một chuỗi phân kỳ (hoặc tới   hoặc tới ). Kết quả sau phân loại hành vi tiệm cận của chuỗi tăng đơn điệu. Định lý 1.15: Giả sử là một chuỗi đơn điệu tăng trong . Nếu không bị chặn, nó phải phân kỳ tới . Nếu bị chặn, nó phải hội tụ tới giới hạn x , trong đó x là supremum của tập các điểm . Chứng minh: Đầu tiên giả sử là tồn tại một số nguyên k(p) sao cho là một chuỗi không bị chặn. Khi đó, với mọi , .Vì là đơn điệu tăng, bây giờ sẽ là 15 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------trƣờng hợp với mọi xác là phân kỳ tới , chúng ta có . Điều này nói một cách chính . Giả sử tiếp theo, là một chuỗi bị chặn. Chúng ta sẽ chỉ ra , trong đó, nhƣ đƣợc định nghĩa trong phát biểu định lý, x là supremum của tập các điểm . Giả sử đã đƣợc cho. Lời chứng minh sẽ đƣợc hoàn thành nếu chúng ta chỉ ra là tồn tại k( ) sao cho cho tất cả . Vì x là biên trên nhỏ nhất của tập các điểm ., không là một biên trên của tập này. Do vậy, tồn tại sao cho . Vì là là đơn điệu tăng, suy ra là cho tất cả . Mặt khác, vì x là một biên trên, rõ rằng sẽ đúng là cho mọi k. Kết hợp những phát biểu này, chúng ta có là điều, tất nhiên, hàm ý rằng cho tất cả . Đpcm Vì một chuỗi trong là đơn điệu tăng khi và chỉ khi Định lý 1.15 có hệ quả trung gian sau: là đơn điệu giảm. Hệ quả 1.16: Giả sử là một chuỗi đơn điệu giảm trong . Nếu không bị chặn, nó phải phân kỳ tới . Nếu bị chặn, nó phải hội tụ tới giới hạn x , trong đó x là infimum của tập các điểm . 1.2.6 Cầu mở, Tập mở, Tập đóng Giả sử . Cầu mở với tâm x và bán kính đƣợc cho bởi Nói cách khác, là tập các điểm trong có khoảng cách tới x nhỏ hơn hẳn so với . Nếu chúng ta thay bất phƣơng trình ngặt bằng bất phƣơng trình yếu , thì chúng ̃ ta có đƣợc cầu đóng . Một tập S trong đƣợc nói là mở nếu với mọi , tồn tại một sao cho . Một cách trực giác, S là mở nếu với mọi , ai đó có thể dịch chuyển một khoảng nhỏ ra khỏi x theo bất kỳ hƣớng nào mà không rời khỏi S. Định lý 1.20:Một tập S  nbị đóng khi và chỉ khi với mọi chuỗi mọi k và , thì . sao cho cho Chứng minh: Giả sử S là đóng. Giả sử là một chuỗi trong S và giả sử . Chúng ta sẽ chỉ ra là . Giả sử , tức là, . Khi đó, vì S là đóng, phải là mở, do vậy tồn tại sao cho . Mặt khác, theo định nghĩa của , phải tồn tại sao cho với mọi , chúng ta có , tức là, sao cho . Điều đó mâu thuẫn với giả thiết là một chuỗi trong S, là đpcm. Bây giờ giả sử đối với tất cả các chuỗi trong S sao cho , chúng ta có . Chúng ta sẽ chỉ ra là S phải là đóng. Nếu S không là đóng, thì không là mở. Vì tính mở của không còn đúng nữa, phải tồn tại một điểm sao cho không có cầu mở với tâm x nào đƣợc chứa hẳn bên trong , tức là mỗi cầu mở với tâm x và bán kính có ít nhất một điểm không nằm trong . Với định nghĩa , và giả sử . Khi đó, theo cách xây dựng cho mỗi k, do 16 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------vậy, cho mỗi k. Hơn nữa, vì cho mỗi k, đó là trƣờng hợp do vậy . Nhƣng điều này hàm ý là x phải nằm trong S, và điều này là mâu thuẫn  đó là đpcm. Trong số những tập mở và đóng hay gặp có “khoảng đơn vị đóng” đƣợc định nghĩa là . Hãy để ý rằng tồn tại các tập không đóng mà cũng không mở nhƣ các khoảng , và . 1.2.7 Tập bị chặn và tập compact Một tập S trong n đƣợc nói là bị chặn nếu tồn tại sao cho  , tức là, nếu n S đƣợc chứa hoàn toàn trong một cầu mở nào đó trong , có tâm là gốc tọa độ. Ví dụ, khoảng là một tập con bị chặn trong , nhƣng tập các số nguyên thì không. Một tập  đƣợc nói là compact nếu với mọi chuỗi các điểm{ } sao cho cho mỗi k, tồn tại một chuỗi con { } của{ } và một điểm sao cho . Nói bằng lời, định nghĩa này đƣợc nói tắt là “một tập là compact nếu mọi chuỗi có chứa một chuỗi con hội tụ”.Nếu là compact, dễ thấy là S phải bị chặn. Vì nếu S không bị chặn, sẽ có khả năng chọn đƣợc một chuỗi { } trong S sao cho‖ ‖ , và một chuỗi nhƣ thế không thể chứa một chuỗi hội tụ (Tại sao?). Tƣơng tự, nếu S là compact, nó cũng phải bị đóng. Nếu không, sẽ tồn tại một chuỗi { } trong S sao cho , trong đó . Tất cả các chuỗi con của chuỗi này khi đó cũng hội tụ tới x, và vì , định nghĩa compact bị vi n phạm. Do vậy, mỗi tập compact trong phải là bị đóng và bị chặn. Định lý 1.21: Một tập là compact khi và chỉ khi nó bị đóng và bị chặn. Chứng minh: Xem Rudin (1976, Định lý 2.41, tr. 40) 1.2.8 Tổ hợp lồi và các tập lồi Cho trƣớc một tập hữu hạn các điểm lồi của các điểm nếu tồn tại ∑ (ii)∑ , sao cho , một điểm thỏa mãn (i) đƣợc gọi là tổ hợp và 17 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Một tập  là lồi nếu tổ hợp lồi của bất kỳ 2 điểm nào trong S cũng nằm trong S. Một cách trực giác, S là lồi nếu đƣờng thẳng nối 2 điểm bất kỳ trong S cũng hoàn toàn đƣợc chứa trong S. Ví dụ, các khoảng đơn vị đóng và mở trong khi đĩa đơn vị đều là các tập con lồi của và , ‖ ‖ là một tập con lồi của 2 . Mặt khác, vòng đơn vị ‖ ‖ không phải là một tập con lồi của 2 vì và , nhƣng tổ hợp lồi . Các ví dụ bổ sung về các tập lồi và không lồi đƣợc cho trên Hình 1.3. 1.3 MA TRẬN 1.3.1 Tổng, Tích, Chuyển vị Một ma trận Akích thƣớc là một bảng [ ] trong đó là một số thực cho mỗi và . Chúng ta sẽ thƣờng coi nhƣ là phần tử của ma trận A. Viết bởi ký hiệu súc tích hơn, ta có ma trận là . Véc tơ đƣợc gọi là hàng thứ i của ma trận A, và sẽ đƣợc ký hiệu là Véc tơ: 18 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL Bài giảng Toán kinh tế -----------------------------------------------------------------------------------------------------------[ ] đƣợc gọi là cột thứ j của ma trận A, và sẽ đƣợc ký hiệu là . Do vậy, một ma trận A kích thƣớcn có n hàng và m cột, và có thể đƣợc thể hiện khác nhau nhƣ [ ] [ Nếu A và B là hai ma trận kích thƣớcn thƣớcn , có phần tử thứ là : ] , tổng của chúng [ Nhận xét là là ma trận kích ] chỉ đƣợc xác định nếu A và B có cùng số hàng và số cột. Nếu A là một ma trận và B là ma trận , tích của chúng AB là ma trận có phần tử thứ là tích nội của hàng thứ i của A và cột thứ j của B: [ ] ∑ Tất nhiên, đối với và bất kỳ, . Lƣu ý là để cho tích AB đƣợc xác định tốt, số các cột trong A phải giống hệt nhƣ số hàng trong B. Cũng lƣu ý là tích AB nói chung không là giống nhƣ tích BA. Quả thực, nếu A là ma trận , và B là ma trận thì AB đƣợc xác định tốt, nhƣng BA thậm chí không đƣợc xác định trừ phi Định lý 1.39: Tổng ma trận A + B và tích AB có các thuộc tính sau đây: 1. 2. Phép cộng có tính kết hợp: 3. Phép nhân có tính kết hợp: 4. Phép nhân phân phối theo phép cộng: Chứng minh: Trực tiếp từ các định nghĩa.Đpcm. Chuyển vị của một ma trận A, đƣợc ký hiệu là , là ma trận mà phần tử thứ là . Do vậy, nếu A là một ma trận , A' là một ma trận Ví dụ, nếu A là ma trận [ Thì ] là ma trận 19 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên: Đào Văn Khiêm – Trần Văn Khiêm. Bộ môn Kinh tế- ĐHTL