Bài giảng toán kinh tế

  • Số trang: 210 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 110 |
  • Lượt tải: 0
thuvientrithuc1102

Đã đăng 15341 tài liệu

Mô tả:

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG PT IT BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Chủ biên: TS. Trần Ngọc Minh Hà Nội 11- 2013 MỤC LỤC Nội dung Lời mở đầu CHƯƠNG I: MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học. 1.1.1 Khái quát về tối ưu hoá: 1.1.2 Nội dung nghiên cứu của môn học 1.2 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 1.2.1 Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế. 1.2.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế 1.2.3 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 1.2.4 Phân loại mô hình toán kinh tế 1.2.5 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 1.2.6 Phương pháp phân tích mô hình – Phân tích so sánh tĩnh 1.2.7 Áp dụng phân tích đối với một số mô hình kinh tế phổ biến PT IT CHƯƠNG 2:MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH – QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH. 2.1. Một số tình huống trong hoạt động kinh tế và mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính. 2.1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 2.1.2. Bài toán đầu tư đạt hiệu quả cao nhất 2.1.3 Bài toán vận tải 2.1.4 Bài toán lập kế hoạch sử dụng phương pháp sản xuất khác nhau 2.2 Mô hình bài toán qui hoạch tuyến tính. 2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 2.2.2 Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc 2.2.3 Chuyển đổi dạng bài toán qui hoạch tuyến tính 2.2.4 Phương pháp hình học giải qui hoạch tuyến tính 2 biến 2.3 Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính 2.3.1 Tính chất chung 2.3.2 Phương án cực biên 2.4 Phương pháp đơn hình. 2.4.1 Đường lối chung 2.4.2 Cơ sở của phương pháp 2.4.3 Thuật toán đơn hình 2.4.4 Tìm phương án cực biên và cơ sở ban đầu 2.4.5 Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ 2.5. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.5.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu 2.5.2 Các định lý đối ngẫu 2.5.3 Các ứng dụng Trang 1 3 3 3 3 4 4 5 6 8 9 10 17 43 43 43 44 45 45 46 46 47 48 50 51 51 51 53 53 54 57 63 70 71 71 75 76 2.5.4 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 2.5.5 Ứng dụng lý thuyết đối ngẫu. CHƯƠNG 3:MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI 3.1 Nội dung và đặc điểm 3.2. Tìm phương án cực biên ban đầu 3.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 3.4 Một số dạng đặc biệt của bài toán vận tải PT IT CHƯƠNG 4:BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 4.1 Một số khái niệm cơ bản 4.1.1 Định nghĩa về đồ thị hữu hạn 4.1.2 Các yếu tố khác của đồ thị 4.1.3. Biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận 4.2 Bài toán đường đi ngắn nhất 4.2.1 Ý nghĩa và nội dung bài toán 4.2.2 Thuật toán Difktra 4.3 Mạng liên thông 4.3.1 Nội dung và ý nghĩa của bài toán 4.3.2 Thuật toán Prim 4.4 Bài toán luồng lớn nhất 4.4.1 Nội dung bài toán 4.4.2 Thuật toán Ford – Fulkerson 4. 5. Bài toán luồng nhỏ nhất 4.5.1 Bài toán 4.5.2 Phương pháp giải 4.6 Phương pháp sơ đồ mạng lưới (Pert) 4.6.1 Một số khái niệm và quy tắc lập sơ đồ mạng lưới 4.6.2 Các chỉ tiêu thời gian của sơ đồ mạng lưới 4.6.3 Kết hợp các ước tính thời gian xác suất 4.6.4 Tối ưu hóa quá trình rút ngắn đường găng CHƯƠNG 5:MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG 5.1 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng 5.2 Mô hình hoá hệ thống phục vụ công cộng. 5.2.1. Hệ thống phục vụ công cộng và các yếu tố cấu thành 5.2.2 Phân loại hệ thống 5.2.3 Trạng thái hệ thống, quá trình chuyển trạng thái 5.2.4 Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái 5.3 Một số hệ thống phục vụ công cộng. 5.3.1 Hệ thống phục vụ công cộng từ chối cổ điển (Hệ thống Eclang) 5.3.2 Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế. 5.3.3 Hệ thống chờ thuần nhất 79 85 92 92 95 98 105 119 119 119 120 122 124 124 124 127 127 128 128 128 130 134 134 134 136 136 140 145 148 156 156 157 157 158 159 161 163 163 168 171 Chương 6. MÔ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ 6.1 Bài toán điều khiển dự trữ và các khái niệm 6.2 Một số mô hình dự trữ tất định 6.2.1 Mô hình dự trữ với việc tiêu thụ đều, bổ sung tức thời (mô hình Wilson). 6.2.2 Một số mô hình mở rộng từ mô hình Wilson 6.3 Mô hình dự trữ tiêu thụ đều 6.4 Mô hình dự trữ trong trường hợp giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua mỗi lần (Mô hình dự trữ nhiều mức giá) 6.5 Bài toán dự trữ nhiều loại hàng và bài toán với các điều kiện ràng buộc 6.6 Một số mô hình dự trữ với yếu tố ngẫu nhiên. 6.6.1 Mô hình dự trữ một giai đoạn 6.6.2 Mô hình dự trữ có bảo hiểm PT IT Tài liệu tham khảo 176 176 177 177 182 186 191 196 198 298 201 LỜI MỞ ĐẦU Trước xu thế toàn cầu hóa, hội nhập kinh tế quốc tế, buộc các doanh nghiệp trong đó có doanh nghiệp bưu chính viễn thông không thể thờ ơ trước cuộc chiến dành miếng bánh thị phần. Các doanh nghiệp phải tìm mọi biện pháp tối ưu hóa hiệu quả sản xuất kinh doanh để tồn tại và phát triển trong môi trường cạnh tranh ngày càng khốc liệt. Các doanh nghiệp cần có chiến lược kinh doanh đúng đắn vừa đảm bảo hiệu quả đầu tư, vừa đảm bảo yêu cầu về chất lượng của sản phẩm, dịch vụ mà mình cung cấp phù hợp với nhu cầu thị trường. Để giải quyết được vấn đề này đòi hỏi doanh nghiệp phải xem xét về mọi mặt của quá trình sản xuất kinh doanh trên quan điểm tối ưu hóa kể cả trong ngắn hạn và dài hạn. PT IT Trong thực tế vấn đề tối ưu hóa rất đa dạng và phức tạp, không có một phương pháp vạn năng hữu hiệu nào có thể giải quyết, tìm lời giải tối ưu cho mọi trường hợp mà ta phải sử dụng nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế cả ở tầm vĩ mô và vi mô, mỗi phương pháp, mỗi công cụ có những ưu nhược điểm riêng. Toán kinh tế là một phương pháp, một công cụ hữu hiệu, kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đặc biệt hữu ích khi có sự trợ giúp của phương tiện xử lý thông tin hiện đại. Trong khuôn khổ chương trình môn học “Toán kinh tế” dành cho chuyên ngành kinh tế và quản trị kinh doanh bậc cao đẳng và đại học, bài giảng toán kinh tế sẽ trang bị cho người học những kỹ năng cơ bản về phương pháp mô hình các vấn đề kinh tế đương đại, từ đó áp dụng các thuật toán thích hợp để tìm lời giải hoặc phân tích, dự báo. Để phục vụ tốt cho việc dạy và học, tác giả biên soạn bài giảng này trên cơ sở chọn lọc những tài liêu, giáo trình đã có trước đây, bổ sung cập nhật những kiến thức mới cho phù hợp với mục tiêu đào tạo. Để có thể tiếp thu được các nội dung của môn học này, người học cần được trang bị những kiến thức cơ bản về các học thuyết kinh tế, kinh tế học. Ngoài ra, với cách tiếp cận toán học, người học cần có những kiến thức tối thiểu về giải tích toán học, xác suất thống kê và kinh tế lượng. Bài giảng này gồm 6 chương, đề cập đến những kiến thức cơ bản nhất và có hệ thống về tối ưu hóa với thời lượng 60 tiết. Bao gồm: Chương 1 trình bày về mô hình toán kinh tế, phân tích tìm lời giải cho các mô hình kinh tế phổ biến. Chương 2 giới thiệu về quy hoạch tuyến tính, đây là lớp bài toán phổ biến trong thực tế sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp, nó bao gồm bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu. Ngoài ra, trong chương 3, 4 trình bày một số dạng đặc biệt của bài toán quy hoạch tuyến tính như bài toán vận tải, bài toán tối ưu trên mạng. Chương 5 giới thiệu về mô hình hệ thống phục vụ công cộng, một hệ thống phổ biến trong đời sống kinh tế - xã hội và an ninh quốc phòng. Chương 6 giới thiệu lớp bài toán quản lý dự trữ về các yếu tố đầu vào của mọi quá trình sản xuất. Việc xử lý và phân tích các mô hình giúp cho người học có thể tự giải quyết các vấn đề trong từng trường hợp, đồng thời tạo khả năng vận dụng một cách sáng tạo phương pháp giải quyết trong các tình huống tương tự ở bất kỳ lĩnh vực nào. Toàn bộ bài giảng cũng như trong các chương các kiến thức được kết cấu theo dạng modul do đó có thể sử dụng, lựa chọn phù hợp với đối tượng, thời lượng cụ thể. Để tạo hứng thú trong học tập, việc xây dựng và phân tích các mô hình đều bắt đầu từ nội dung kinh tế kèm theo các thí dụ minh họa. Các công cụ toán học được sử dụng ở mức vừa đủ hỗ trợ trong quá trình phân tích và tìm lời giải. Mặc dù tác giả đã bỏ nhiều công sức biên soạn bài giảng này, nhưng trong điều kiện hạn chế về tư liệu, thời gian và kiến thức, bên cạnh đó nội dung đề cập rất đa dạng nên bài giảng không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự đồng tình và những ý kiến đóng góp của độc giả. 1 Hà Nội – 2013 Tác giả PT IT TS. Trần Ngọc Minh 2 Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế CHƯƠNG 1 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học. 1.1.1 Khái quát về tối ưu hoá: PT IT ● Khái niệm tối ưu: dùng để chỉ mức độ khả dĩ đạt tới cao nhất của mục tiêu do một chủ thể đề ra và được xét trong những điều kiện nhất định. - Với mỗi sự vật, mục tiêu là một khái niệm mang tính chủ quan, tùy thuộc vào mục đích riêng của chủ thể. Thí dụ, khi nghiên cứu mạng viễn thông, người sử dụng lấy chất lượng dịch vụ làm mục tiêu. Trái lại, người quản lý khái thác mạng lấy hiệu suất sử dụng tài nguyên làm mục tiêu. - Điều kiện cụ thể gồm toàn bộ những yếu tố tác động trực tiếp đến mục tiêu của chủ thể. Thí dụ khi lập kế hoạch sản xuất tối ưu, các điều kiện ảnh hưởng trực tiếp đến mục tiêu là tình trạng máy móc thiết bị, khả năng cung cấp các yếu tố đầu vào, khả năng tiêu thụ hàng hóa trên thị trường,vv... Tối ưu hóa: là quá trình đi đến cái "tốt nhất", là sự vận động từ chưa tốt đến tốt hơn, từ tốt hơn đến tốt nhất. Phương pháp tối ưu hóa là các biện pháp, các thuật toán, các kỹ xảo, các thao tácv.v... nhằm đi đến điểm tối ưu. Phương pháp tối ưu hóa là công cụ của tối ưu hóa. Do tính đa dạng và phức tạp của các vấn đề tối ưu hóa trong thực tế, không tồn tại một phương pháp vạn năng hữu hiệu để giải quyết vấn đề để tìm lời giải tối ưu trong mọi trường hợp. ● Tối ưu hóa là quy luật khách quan của giới tự nhiên và xã hội, gắn liền với quá trình tiến hóa. Qui luật chọn lọc tự nhiên chỉ ra rằng, chỉ có những sinh vật nào thích nghi tốt nhất với điều kiện môi trường thì mới có khả năng tồn tại và phát tiển. Cái cây luôn luôn phải vươn lên để nhận được ánh sáng mặt trời nhiều nhất. Con cá có hình dáng thích hợp để bơi thuận tiện nhất. Nhà kinh doanh luôn luôn phải làm cho lợi nhuận của danh nghiệp lớn nhất. Nhà chính trị luôn luôn tìm cách điều hành xã hội phát triển nhanh nhất và ổn định nhất. ● Đối với các quá trình phức tạp, mục tiêu cuối cùng của tối ưu hóa thường không rõ ràng ngay từ đầu. Thứ nhất, khái niệm "tốt nhất" phụ thuộc vào nhận thức chủ quan của con người. Thứ hai, sự vật luôn luôn biến đổi không ngừng theo thời gian khiến cho các điều kiện luôn luôn thay đổi. Một đối tượng đang là "tốt nhất", khi điều kiện thay đổi có thể trở trhành "xấu nhất". Vì vậy, đối với quá trình phức tạp, mục tiêu tối ưu hóa thường được hiệu chỉnh theo thời gian để có ý nghĩa thiết thực. Điều này có thể được nhận thấy rất rõ trong lý thuyết kinh tế học, trong điều khiển tự thích nghi,... ● Tối ưu hóa có tính phân thân, nghĩa là nó tác động vào chính nó. Nói cách khác, các quá trình tối ưu hóa và các phương pháp tối ưu hóa cũng phải có tính tối ưu khi đặt nó vào các điều kiện và hoàn cảnh cụ thể của vấn đề mà chủ thể đặt ra để giải quyết. ● Các phương pháp tối ưu thường được nghiên cứu dưới dạng mô hình toán học, đó là các phương trình, bất phương trình, phương trình vi phân, tích phân,... 1.1.2 Nội dung nghiên cứu của môn học. Khi nghiên cứu các bài toán tối ưu người ta có thể chia ra làm ba hướng: ● Các vấn đề công nghệ hay thực tiễn: Xây dựng các mô hình toán học, thu thập dữ liệu, giải thích và phân tích kết quả tính toán,v.v... ● Các vấn đề toán học: Nghiên cứu các phương pháp toán học để giải các lớp bài toán tối ưu nhất định. 3 Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế ● Các vấn đề tính toán: Nghiên cứu sơ đồ tính toán cho các phương pháp toán học đã đề xuất và hoàn thiện các chương trình phần mềm tương ứng,v.v.... Dĩ nhiên ba hướng này không hoàn toàn tách biệt nhau. Chẳng hạn, các mô hình toán học cho các vấn đề thực tiễn cần được xây dựng sao cho phù hợp nhất với các phương pháp tính toán hiện có. Việc nghiên cứu các sơ đồ tính toán theo các phương pháp toán học đã có và thực tiễn tính toán thường giúp hòan thiện bản thân phương pháp toán học. Trong khuôn khổ môn học này ta sẽ tập trung chủ yếu vào các khía cạnh toán học và tính toán của một số mô hình tối ưu sau đây: - Mô hình Micro và Macro: Xây dựng mô hình toán đối với các mối quan hệ kinh tế đã được kinh tế học chứng minh, áp dụng phương pháp thích hợp khi phân tích các mô hình. - Quy hoạch tuyến tính: Bao gồm bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc và chính tắc, các tính chất cơ bản, thuật toán đơn hình giải bài toán, lý thuyết đối ngẫu, bài toán vận tải, bài toán tối ưu trên mạng. - Mô hình hệ thống phục vụ công cộng - Mô hình quản lý dự tữ tối ưu. 1.2 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 1.2.1 Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế. PT IT Loài người từ lâu đã biết cách tìm hiểu, khám phá những hiện tượng tự nhiên, họ biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết thành kinh nghiệm và lưu truyền qua các thế hệ. Đó là phương pháp trực tiếp quan sát trong nghiên cứu. Đối với sự vật, hiện tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu các hiện tượng mà còn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt động của mình thì phương pháp quan sát chưa đủ. Trong trường hợp này, khi nghiên cứu các đối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng, hoặc sử dụng các mô hình tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) như đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả để xác lập quy luật chi phối sự vận động của đối tượng. Đó là phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương pháp nghiên cứu phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Khi nghiên cứu các hiện tượng, vấn đề kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không đem lại kết quả như mong muốn, vì: - Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp, đặc biệt là những vấn đề kinh tế đương đại, trong đó có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta không thể chỉ bằng quan sát là có thể giải thích được. - Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế xã hội nhiều khi rất rộng và đa dạng, vì vậy khi dùng phương pháp thử nghiệm đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian và tiền bạc và nhiều khi những sai sót trong quá trình thử nghiệm sẽ gây ra hậu quả không thể lường trước được. - Ngay cả trong trường hợp có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong nghiên cứu kinh tế thì kết quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của con người. Khi điều kiện thực tế khác biệt với điều kiện thử nghiệm, con người có phản ứng khác hẳn nhau. Để nghiên cứu các hiện tượng, các vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan đến hiện tượng, vấn đề chúng ta quan tâm nghiên cứu sẽ được thay thế bởi :”hình ảnh” của chúng: các mô hình của đối tượng và ta sử dụng mô hình làm công cụ phân tích và suy luận. Phương pháp này có tên gọi là phương pháp mô hình. Nội dung chính của phương pháp mô hình là: Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng. Quá trình này gọi là mô hình hoá đối tượng. 4 Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế - Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu. Quá trình này gọi là phân tích mô hình. Phương pháp mô hình khắc phục được hạn chế của các phương pháp trên, đồng thời với việc phân tích mô hình, phương pháp tạo khả năng phát huy tốt hiệu quả của tư duy logic, kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp phân tích truyền thống với hiện đại, giữa phân tích định tính với phân tích định lượng. Để có thể sử dụng có hiệu quả phương pháp mô hình hoá trong nghiên cứu kinh tế vấn đề cốt lõi là xác lập được mô hình của đối tượng nghiên cứu. Để hiểu rõ vấn đề này chúng ta cần đề cập đến một số khái niệm cơ bản có liên quan. 1.2.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế PT IT ● Mô hình kinh tế: Có nhiều quan niệm về mô hình của đối tượng, từ hình thức đơn giản, trực quan đến hình thức khái quát, có sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng. Với yêu cầu bước đầu làm quen với phương pháp mô hình, chung ta sẽ đề cập tới quan điểm khá đơn giản về mô hình. Theo quan điểm này thì: mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối tượng; sự hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ,…hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành. Như vậy mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiện nội dung. Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế. ● Mô hình toán kinh tế. Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận, phân tích toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này cũng như trong các lĩnh vực khoa học có liên quan. Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu, phân tích chẳng những về mặt định tính mà cả về mặt định lượng thì phương pháp suy nghĩ thông thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết. Chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học. Đây chính là điểm mạnh của các mô hình toán kinh tế. Chúng ta có thể minh hoạ bằng thí dụ sau: Thí dụ 1.1. Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu, phân tích quá trình hình thành giá cả của loại hàng A trên thị trường với giả định là các yếu tố khác như điều kiện sản xuất hàng hoá A, thu nhập, sở thích, thị hiếu của người tiêu dùng,… đã cho trước và không đổi. Đối tượng liên quan đến vấn đề nghiên cứu là thị trường hàng hoá A và sự vận hành của nó trên thị trường. Chúng ta cần mô hình hoá đối tượng này. a. Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hoá A, nơi đó người bán, người mua gặp nhau và xuất hiện mức giá ban đầu. Với mức giá đó lượng hàng hoá người bán muốn bán gọi là mức cung và lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi là mức cầu. Nếu cung lớn hơn cầu, do người bán muốn bán được nhiều hàng hơn nên phải giảm giá vì vậy hình thành mức giá mới thấp hơn. Nếu cầu lớn hơn cung thì người mua sẵn sang trả giá cao hơn để mua được hàng do vậy một mức giá cao hơn được hình thành. Với mức giá mới, xuất hiện mức cung, cầu mới. Quá trình tiếp diễn đến khi cung bằng cầu ở một mức giá gọi là giá cân bằng. b. Mô hình bằng hình vẽ: (Mô hình mạng nhện) Từ mô hình bằng lời trên ta sẽ thể hiện bằng hình vẽ: Vẽ đường cung S và đường cầu D trên cùng hệ trục toạ độ trong đó trục hoành biểu thị các mức giá, trục tung biểu thị mức cung, mức cầu hàng hoá A ứng với các mức giá. Quá trình hình thành giá cân bằng được thể hiện qua sơ đồ minh hoạ dưới đây 5 Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế D, S D P2 P4 p S P3 P1 Hình 1.1 p Giải thích sơ đồ: Nếu ở thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng là p1 và giả sử S1 = S(p1) > D1 = D(p1) khi đó dưới tác động của quy luật cung – cầu, giá p1 sẽ phải hạ xuống mức p2. Ở mức giá p2 do S2 = S(p2) < D2 = D(p2) nên giá sẽ tăng lên mức p3. Ở mức giá p3 do S3 = S(p3) > D3 = D(p3) nên giá sẽ giảm xuống mức p4…. PT IT Quá trình cứ tiếp diễn cho đến khi p = p , tại mức giá này cung cầu cân bằng. c. Mô hình toán kinh tế (Mô hình cân bằng một thị trường). Gọi S, D là đường cung, đường cầu tương ứng. Như vậy ứng với từng mức giá p ta có S = S(p), do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn nên S là hàm tăng theo p, tức là S’(p) > 0. D = D(p), do người mua sẽ mua ít hơn nếu giá cao hơn nên D là hàm giảm theo p, tức là D’(p) < 0. Tình huống cân bằng thị trường (mức cung bằng mức cầu) sẽ có nếu S = D. Viết gọn lại ta sẽ có mô hình cân bằng thị trường hàng hoá A, Ký hiệu là MHIA dưới đây: S = S(p); S’(p) = dS/Dp > 0. D = D(p); D’(p) = dD/dp < 0. S=D Với mô hình diễn đạt bằng lời và bằng hình vẽ ta không thể biết chắc rằng liệu quá trình hình thành giá trên thị trường có kết thúc hay không, tức là liệu có cân bằng thị trường hay không. Đối với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ có câu trả lời thông qua việc giải phương trình S = D và phân tích đặc điểm của nghiệm. Khi muốn đề cập tới tác động của giá hàng hoá thay thế (pj), thu nhập (M), thuế (T),… tới quá trình hình thành giá, ta có thể mở rộng mô hình bằng cách đưa các yếu tố tham gia vào các mối liên hệ với các yếu tố sẵn có trong mô hình phù hợp với các quy luật trong lý thuyết kinh tế, chẳng hạn: S = S(p, T); D = D(p, pj, M, T) Khi này mô hình, Ký hiệu là MHIB sẽ có dạng: S S = S(p, T); >0 p D = D(p, pj, M, T); D <0 p S = D 1.2.3 Cấu trúc mô hình toán kinh tế. 6 PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế Cùng là sản phẩm của quá trình mô hình hoá nhưng mô hình toán kinh tế có những điểm khác biệt so với các loại mô hình khác. Quan sát mô hình MHIA trong thí dụ 1.1 chúng ta có thể thấy rõ điều này. Mô hình chứa một số yếu tố mang tính định lượng (S, D, p, S’, D’) và các hệ thức toán học giữa chúng (các phương trình và bất phương trình). Đây là đặc trưng cơ bản, là hình thức kết cấu của mô hình toán kinh tế, do đó ta có thể dung đặc trưng này để hình dung một cách cụ thể hơn về mô hình toán kinh tế so với khái niệm đã giới thiệu ở mục trước. Ta sẽ quan niệm mô hình toán kinh tế là một tập các biến số và các hệ thức toán học liên hệ giữa chúng nhằm diễn tả đối tượng liên quan tới sự kiện, hiện tượng kinh tế. Chúng ta sẽ phân tích chi tiết cấu trúc này của mô hình để định rõ vai trò của từng bộ phận cấu thành nhằm trợ giúp cho quá trình mô hình hoá. ● Các biến số của mô hình. Để mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề kinh tế liên quan tới đối tượng, ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng. Các yếu tố này gọi là các đại lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị trong phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất của các biến, mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về nguồn dữ liệu liên quan, các biến số kinh tế trong một mô hình được phân loại thành: - Biến nội sinh (biến được giải thích): đó là các biến về bản chất chúng phản ánh, thể hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc giá trị của các biến khác có trong mô hình. Nếu biết giá trị của các biến khác trong mô hình, ta có thể xác định giá trị cụ thể bằng số của các biến nội sinh bằng cách giải các hệ thức. Trong mô hình MHIA, chúng ta thấy các biến S, D, p, S’, D; đều trực tiếp phản ánh trạng thái của thị trường và chúng phụ thuộc lẫn nhau do đó chúng đều là các biến nội sinh. - Biến ngoại sinh (biến giải thích) Đó là các biến độc lập với các biến khác trong mô hình, giá trị của chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô hình. Trong mô hình MHIB, các biến M, T có giá trị không phụ thuộc vào các biến khác do đó chúng được gọi là biến ngoại sinh. Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến đều là nội sinh gọi là mô hình đóng, thí dụ, mô hình MHIA; mô hình có biến nội sinh và ngoại sinh gọi là mô hình mở, thí dụ mô hình MHIB là mô hình mở. - Tham số (thông số): Đó là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể là giả thiết là như vậy của đối tượng. Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh. Thí dụ, nếu trong mô hình MHIB ta có S = αpβTγ, khi này các biến α, β, γ là các tham số của mô hình vì giá trị của chúng quyết định mức độ tác động của biến ngoại sinh T tới biến nội sinh S, D, S’, D’. Lưu ý rằng cùng một biến số, trong các mô hình khác nhau có thể đóng vai trò khác nhau, thậm chí trong cùng một mô hình nó cũng có thể có vai trò khác nhau do mục đích sử dụng mô hình khác nhau. ● Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình. Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh tế (tác nhân kinh tế), giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, các bộ phận của nền kinh tế và giữa nền kinh tế của các quốc gia,… tạo ra quan hệ giữa các biến số liên quan. Các mối quan hệ này là sự phản ánh, thể hiện tác động của các quy luật trong hoạt động kinh tế. Chúng ta có thể dùng các 7 PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế biểu thức, các hệ thức toán học một cách thích hợp từ đơn giản đến phức tạp để thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong mô hình. Hệ thức thường được sử dụng phổ biến là phương trình hoặc bất phương trình. - Phương trình của mô hình có thể tồn tại dưới dạng hàm số, phương trình đại số, phương trình vi phân hoặc sai phân. Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức): Thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình. Thí dụ: Lợi nhuận (Π) được định nghĩa là hiệu số giữa tổng doanh thu (TR) và tổng chi phí (TC) và được tính trtong một khoảng thời gian nhất định; ta có thể viết: Π = TR – TC, phương trình này là một đồng nhất thức. Một thí dụ khác, xuất khẩu ròng của một quốc gia (NX) là khoản chênh lệch giữa xuất khẩu (EX) và nhập khẩu (IM) của quốc gia đó trong một thời kỳ nhất định. Thông thường xuất, nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập (Y), mức giá cả (p), tỷ giá hối đoái (ER),…do đó theo định nghĩa của xuất khẩu ròng, ta có thể viết: NX = EX(Y, p, ER) – IM(Y, p, ER). Trong mô hình MHIA, các phương trình S’(p) = dS/dp, D’(p) = dD/dp cũng là các phương trình định nghĩa. Phương trình hành vi: Mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của các quy luật hoặc giả định. Từ phương trình hành vi ta có thể biết sự biến động của biến nội sinh. – “hành vi” của biến này – khi các biến khác thay đổi giá trị. Sự biến động này có thể ám chỉ sự phản ứng trong hành vi của con người (thí dụ: trong hành vi tiêu dùng, nếu thu nhập tăng lên thì người tiêu dùng sẽ chi tiêu nhiều hơn), nhưng cũng có thể chỉ là thể hiện quy luật về mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số. Trong mô hình MHIA, các phương trình S = S(p), D = d(p) là các phương trình hành vi vì chúng thể hiện sự phản ứng của người sản xuất và người tiêu dùng trước sự thay đổi của giá cả. Phương trình điều kiện: mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình huống có điều kiện, ràng buộc cụ thể mà mô hình đề cập. Trong mô hình MHIA, phương trình S = D là phương trình điều kiện cân bằng thị trường. - Bất phương trình thường là mô tả quan hệ giữa các biến số có liên quan với nhau và trong điều kiện cụ thể. Trong mô hình bài toán lập kế hoạch thì điều kiện ràng buộc là các bất phương trình thể hiện việc sử dụng các yếu tố đầu vào của quá trình sản xuất không vượt quá khả năng của doanh nghiệp. 1.2.4 Phân loại mô hình toán kinh tế a) Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng - Mô hình tối ưu: phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hoá một hoặc một số chỉ tiêu định trước. Cấu trúc cơ bản của mô hình là bài toán tối ưu có thể bao gồm bài toán toán quy hoạch, bài toán điều khiển tối ưu. Khi phân tích mô hình tối ưu, công cụ chính được sử dụng là các phương pháp tối ưu trong toán học. - Mô hình cân bằng: Trong mô hình liên quan đến đối tượng, nếu quan hệ giữa các biến số được thiết lập, giá trị của các biến nội sinh được xác định và chúng không thay đổi nếu giá trị của biến ngoại sinh, tham số cho trước là cố định thì đối tượng được gọi là ở trạng thái cân bằng. Trong nhóm mô hình này bao gồm các mô hình cân bằng thị trường, mô hình cân đối. Công cụ thường sử dụng để phân tích mô hình là các phương pháp giải hệ phương trình, tìm điểm bất động. Lưu ý rằng có nhiều chuyên gia toán kinh tế với quan niệm tổng quát về trạng thái cân bằng coi nhóm mô hình tối ưu thuộc lớp mô hình cân bằng. Tuy nhiên theo đặc điểm cấu trúc toán học, chúng ta sẽ tách riêng hai nhóm này. - Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên: Mô hình với các biến là tất định (phi ngẫu nhiên) gọi là mô hình tất định, nếu mô hình có chứa biến ngẫu nhiên thì gọi là mô hình ngẫu nhiên. 8 PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế - Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng: Với quan niệm trình bày ở trên về mô hình toán kinh tế, về mặt hình thức, ta có thể xem các mô hình kinh tế lượng cũng là các mô hình toán kinh tế và thuộc lớp mô hình ngẫu nhiên. Tuy nhiên, trong thực tế người ta thường phân biệt chúng vì lý do kỹ thuật phân tích và ứng dụng. Đối với các mô hình toán kinh tế, các tham số của mô hình hoặc là cho trước hoặc được giả định rằng đã biết và khi phân tích ta sử dụng các phương pháp toán học thuần tuý; trong khi đó đối với mô hình kinh tế lượng thì các tham số chính là các ẩn số, giá trị của chúng được xác định nhờ các phương pháp suy đoán thống kê căn cứ vào giá trị quá khứ của các biến khác trong mô hình. - Mô hình tĩnh (theo thời gian), mô hình động: mô hình có các biến mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm hay một khoảng thời gian đã xác định (thời gian cố định) gọi là mô hình tĩnh. Mô hình mô tả hiện tượng kinh tế trong đó các biến phụ thuộc vào thời gian gọi là mô hình động. b) Phân loại mô hình theo quy mô yếu tố, theo thời hạn: Theo quy mô của các yếu tố ta có các mô hình: - Mô hình vĩ mô: mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế, một khu vực kinh tế gồm một số quốc gia,. - Mô hình vi mô: Mô tả một chủ thể kinh tế, hoặc những hiện tượng kinh tế với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết, cụ thể. Theo thời hạn mà mô hình đề cập ta có: Mô hình ngắn hạn (tác nghiệp), mô hình dài hạn (chiến lược). 1.2.5 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế. a) Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình; Để áp dụng phương pháp mô hình, trong đó sử dụng mô hình toán kinh tế làm công cụ nghiên cứu, phân tích các vấn đề, các hiện tượng kinh tế, ta tiến hành các bước sau: ● Đặt vấn đề Cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế mà chúng ta quan tâm, mục đích là gì? Các nguồn lực có thể huy động để tham gia nghiên cứu (nhân lực, tài chính, thông tin, thời gian,…) ● Mô hình hoá đối tượng Sau khi xác định được mục đích, yêu cầu cần nghiên cứu, ta tiến hành quá trình mô hình hoá đối tượng liên quan đến vấn đề. Về cơ bản, quá trình này bao gồm: - Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa chúng mà ta có thể cảm nhận bằng trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lý luận đã lựa chọn. - Lượng hoá các yếu tố này, coi chúng là các biến của mô hình. Trong thực tế có nhiều yếu tố vốn dĩ mang bản chất định lượng vì vậy vấn đề chỉ là xác định đơn vị đo lường thích hợp; tuy nhiên có những yếu tố định tính mà nhiều khi ta cần sử dụng các phương pháp trong thống kê, kinh tế lượng để lượng hoá chúng. - Xét vai trò của các biến số và thiết lập các hệ thức toán học – chủ yếu là các phương trình và bất phương trình – mô tả quan hệ giữa các biến. Đây là phần quan trọng và khó khăn nhất của quá trình mô hình hoá. Để có thể làm tốt công việc này ta cần dựa vào cơ sở lý luận đủ mạnh và đáng tin cậy cả về phương diện kinh tế lẫn toán học. Kết thúc công việc này ta sẽ có được mô hình ban đầu. ● Phân tích mô hình 9 PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế Sử dụng phương pháp phân tích mô hình (được trình bày chi tiết ở phần sau) để phân tích. Kết quả phân tích có thể dùng để hiệu chỉnh mô hình (thay đổi vai trò của biến, thêm, bớt biến, thay đổi định dạng phương trình hoặc bất phương trình,..) cho phù hợp với thực tiễn. ● Giải thích kết quả Dựa vào kết quả phân tích mô hình ta sẽ đưa ra giải đáp cho vấn đề cần nghiên cứu. Nếu ta thay đổi vấn đề, hoặc mục đích nghiên cứu nhưng đối tượng liên quan không thay đổi thì vẫn có thể sử dụng mô hình sẵn có. b) Thí dụ: Khi điều chỉnh một sắc thuế đánh vào việc sản xuất và tiêu thụ một loại hàng hoá A (giả sử: tăng thuế suất), Nhà nước quan tâm tới phản ứng của thị trường đối với việc điều chỉnh này – thể hiện bởi sự thay đổi giá cả cũng như lượng hàng hoá tiêu thụ- và muốn dự kiến trước được phản ứng này, đặc biệt là về mặt định lượng. Từ đó có căn cứ tính toán mức điều chỉnh thích hợp tránh tình trạng bất ổn của thị trường. Đặt vấn đề: để đáp ứng yêu cầu trên, chúng ta cần phân tích tác động trực tiếp (ngắn hạn) của việc tăng thuế suất đối với sản xuất và tiêu thụ loại hàng A trên thị trường. Mô hình hoá: Đối tượng liên quan đến vấn đề cần phân tích là thị trường hàng hoá A cùng sự hoạt động của nó trong trường hợp có xuất hiện yếu tố thuế, Chúng ta mô hình hoá đối tượng này. Theo lý thuyết kinh tế vi mô, ta biết rằng có mối liên hệ khăng khít giữa việc sản xuất (mức cung), tiêu thụ (mức cầu) và giá cả hàng hoá trên thị trường và nó bị chi phối bởi quy luật cung – cầu, hơn nữa, thuế ảnh hưởng tới giá cả và do đó tác động tới mức cung và mức cầu. Mặt khác, thực tiến diễn biến của thị trường cũng cho thấy là các thị trường trong quá trình hoạt động có xu thế hướng về trạng thái cân bằng. Các yếu tố (biến số) ta cần xem xét là mức cung (S), mức cầu (D), giá cả (p) và thuế (T). Bằng cách lập luận tương tự như trong thí dụ 1.1, ta có mô hình: S S = S(p, T); S’= >0 p D = D(p, pj, M, T); D’ = D <0 p S=D Trong đó: S, D, S’, D’, p là các biến nội sinh, T là biến ngoại sinh. Để định dạng cụ thể cho các hàm trong mô hình ta có thể sử dụng các phương pháp trong kinh tế lượng. Phân tích: Giải phương trình cân bằng, giả sử được nghiệm là p . Rõ ràng p sẽ phụ thuộc vào T nên ta có thể viết p = p (T). Thay các biểu thức: d p /dT, d Q /dT, chúng phản ánh tác động của thuế T tới giá và lượng cân bằng. Giải thích kết quả: Để phân tích tác động của thuế tới giá cả và lượng hàng hoá lưu thông trên thị trường, về mặt định tính ta chỉ cần xét dấu của các biểu thức d p /dT, d Q /dT. Nếu muốn có đánh giá về lượng ta cần có thông tin, dữ liệu cụ thể về các biến để có thể định dạng chi tiết và ước lượng (dạng số) mô hình. 1.2.6 Phương pháp phân tích mô hình – Phân tích so sánh tĩnh. Sau khi đã xây dựng và hiệu chỉnh mô hình phù hợp với hiện tượng và quá trình kinh tế, ta có thể sử dụng mô hình vào các mục đích khác nhau. Trước tiên ta cần thực hiện công việc gọi là giải mô hình. Một cách tổng quát, giải mô hình là việc sử dụng các phương pháp toán học đã biết để giải 10 PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế các hệ thức của mô hình – có thể là giải phương trình (đại số hoặc vi, sai phân), giải bài toán quy hoạch,… nhằm xác định quan hệ trực tiếp giữa biến nội sinh và biến ngoại sinh cùng tham số, tức là ta phải biểu diễn dưới dạng các hệ thức khác giữa từng biến nội sinh theo biến ngoại sinh, tham số và có thể theo biến nội sinh khác. Cách biểu diễn này gọi là nghiệm của mô hình. Nghiệm có thể là chính xác hoặc xấp xỉ, dưới dạng lời giải bằng số nếu tất cả các biến ngoại sinh và tham số có giá trị bằng số, nhưng cũng có thể dưới dạng biểu thức, các hàm số (hiện hoặc ẩn) nếu biến ngoại sinh, tham số có giá trị quy ước trừu tượng. Rõ ràng là nghiệm của mô hình sẽ phụ thuộc vào các biến ngoại sinh và tham số. Điều chúng ta quan tâm phân tích là khi biến ngoại sinh thay đổi giá trị sẽ tác động như thế nào tới nghiệm. Phân tích này gọi là phân tích so sánh tĩnh. Trước hết, cần nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong toán học và kinh tế học ● Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế: - Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế. Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó y và x là các biến số kinh tế. Người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại điểm x0 khi biến độc lập x thay đổi một lượng rất nhỏ. Chẳng hạn, khi xét mô hình hàm sản xuất Q = f(L), người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vị lao động. Theo định nghĩa đạo hàm f(x + x) - f(x 0 ) Δy f ' (x 0 ) = lim = lim 0 x  0 Δx x 0 x Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có: f(x 0 + x) - f(x 0 ) Δy =  f ' (x 0 ) Δx x  y = f(x 0 + x) - f(x 0 )  f ' (x 0 ).x Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f’(x0). Như vậy, đạo hàm f’(x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị. Các nhà kinh tế gọi f’(x0) là giá trị y – cận biên của x tại điểm x0. Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể của nó. - Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần Xét mô hình y = f(x), trong đó y là biến số biễu diễn lợi ích kinh tế (chẳng hạn như thu nhập, lợi nhuận, số lượng sản phẩm,...) và x là biến số mô tả yêu tố đem lại lợi ích y. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng khi x càng lớn thì giá trị y – cận biên càng nhỏ, tức là My = f’(x) là hàm số đơn điệu giảm. Dưới góc độ toán học, điều kiện cần để My giảm dần theo x là: (My)’ = f’’(x) ≤ 0 ● Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá Một vấn đề được quan tâm trong kinh tế là phản ứng của cung và cầu đối với sự biến động giá trên thị trường. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sử phụ thuộc của lượng cầu Qd vào giá p được biểu diễn bằng hàm cầu: Qd = D(p) Trong mô hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q được đo bằng đơn vị hiện vật. Nếu gọi ∆Qd là mức thay đổi lượng cầu khi giá thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa của con số đó còn phụ thuộc vào đơn vị đo. Hơn nữa, đối với các hàng hóa khác nhau thì sự thay đổi giá thêm một đơn vị mang ý nghĩa khác nhau. Để đánh giá độ nhạy của cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. 11 Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1%. Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là: ΔQd /Qd ΔQd p ΔD(p) p ε Qp d = =  =  Δp/p Δp Q d Δp D(p) Chuyển qua giới hạn, khi ∆p→0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p là: dQd p dD(p) p p ε Qp d =  =  = D' (p) dp Qd dp D(p) D(p) Tương tự, hệ số co dãn của cung theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cung khi giá tăng 1%. Nếu biết hàm cung Qs = S(p) thì hệ số co dãn của cung theo giá tại điểm p được tính theo công thức: dQs p dS(p) p p ε Qp s =  =  = S' (p) dp Qs dp S(p) S(p) PT IT ● Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên Trong kinh tế người ta dùng hàm chi phí biểu diễn tổng chi phí ở mỗi mức sản lượng Q: TC = TC(Q) Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm chi phí, người ta sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân là lượng chi phí tính bình quân trên một đơn vị sản phẩm. TC(Q) AC = Q Chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản lượng. Hàm chi phí cận biên MC là đạo hàm bậc nhất của tổng chi phí (TC’) MC = TC’(Q) Ta có: TC (TC)' ' '  TC  (TC) Q - TC MC - AC Q AC' (Q) =   = =  2 Q Q Q  Q  Do Q > 0 nên dấu của AC’(Q) phụ thuộc dấu của MC – AC. Từ đây suy ra: - Nếu MC > AC thì AC’(Q) > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng. - Nếu MC < AC thì AC’(Q) < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giảm. - MC = AC khi và chỉ khi AC’(Q) = 0, tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt được cực tiểu tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân. TR(Q) Tương tự, doanh thu bình quân AR(Q) = và doanh thu cận biên MR(Q) = TR’(Q) liên hệ Q với nhau như sau: - Nếu MR > AR thì AR’(Q) > 0, tức lân khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân tăng. 12 PT IT Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế - Nếu MR < AR thì AR’(Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân giảm. - MR = AR khi và chỉ khi AR’(Q) = 0, tức là doanh thu bình quân chỉ có thể đạt cực đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân. Áp dụng các kiến thức trên ta sẽ xét chi tiết hơn phương pháp phân tích so sánh tĩnh a) Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh. Phân tích so sánh tĩnh đòi hỏi phải đo lường sự phản ứng, biến động (tức thời) cả về xu hướng, độ lớn của biến nội sinh khi một biến ngoại sinh trong mô hình có sự thay đổi nhỏ, còn các biến khác không đổi hoặc khi các biến ngoại sinh cùng thay đổi. Có thể dùng đạo hàm và vi phân để đo lường sự thay đổi này. Giả sử nghiệm của mô hình có biến nội sinh Y phụ thuộc vào các biến ngoại sinh X1, X2,…,Xn như sau Y = F(X1, X2,…,Xn), trong đó F có thể có các tham số α, β,… Ký hiệu X = (X1, X2,…,Xn), khi đó có thể viết Y = F(X, α, β,…). ● Đo lường sự thay đổi tuyệt đối: - Xét hàm Y = F(X1, X2,…,Xn), tại điểm X = X0, gọi sự thay đổi của Y là ΔYi khi chỉ có Xi thay đổi một lượng nhỏ ΔXi, tức là: ΔYi = F(X1, X2,… Xi + ΔXi,….,Xn) - F(X1, X2,… Xi,….,Xn) ΔYi gọi là số gia riêng của Y theo Xi tại X0. Ta có lượng thay đổi trung bình của Y theo Xi tại X0: Yi ρ= X i Trong trường hợp F khả vi theo Xi ta có tốc độ thay đổi tức thời tại X = X0 đang xét là: ρ(X i ) = F(X 0 ) X i Nếu ΔXi khá nhỏ thì ρ(Xi) = ρ, vì vậy nếu ΔXi = 1 thì có thể coi: ρ(Xi) = ΔYi ρ(Xi) gọi là giá trị cận biên của x tại x0 Thí dụ 1.2: Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là: Với L =100 đơn vị lao động (chẳng hạn 100 giờ lao động /tuần), mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm cận biên của lao động tại L =100 là: 5 MPL = Q ' = = 0,25 2 L Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần lên một đơn vị (từ 100 lên 101) thì sản lượng hàng tuần sẽ tăng thêm khoảng 0,25 đơn vị hiện vật. Thí dụ 1.3: Chi phí C(Q) phụ thuộc sản lượng Q và được mô hình hoá như sau: C(Q) = Q3 – 61,5Q2 + 1528,5Q + 2000 Sự thay đổi của C khi Q tăng (giảm) một đơn vị (chi phí cận biên), ký hiệu là MC, được xác định bằng công thức: C’(Q) = MC(Q) = 3Q2 - 122,5Q + 1528,5 - Trong trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các lượng khá nhỏ, ký hiệu là ΔX1, ΔX2,…., ΔXn, thì để tính sự thay đổi của biến nội sinh Y – ký hiệu là ΔY – ta dùng công thức xấp xỉ: 13 Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế F F F Y= X1 + X2 +.......+ Xn X1 X2 Xn - Nếu ΔX1, ΔX2,…., ΔXn là các vi phân của biến ngoại sinh thì ta có thể sử dụng công thức vi phân toàn phần: dY= F F F dX1 + dX2 +.......+ dXn X1 X2 Xn - Nếu bản thân Xi lại là biến nội sinh phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến khác thì để đo lường sự thay đổi của biến Y theo sự thay đổi của Xi ta sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp. - Trong trường hợp quan hệ giữa biến nội sinh và biến ngoại sinh không thể hiện dưới dạng tường minh mà dưới dạng hàm ẩn, thì để tính sự thay đổi tuyệt đối ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn. Nếu biến nội sinh Y có liên hệ với các biến ngoại sinh Xi dưới dạng: F(Y, X1, X2,…., Xn) = 0 Khi đó để tính đạo hàm của Y theo Xi ta dùng công thức: Y F F : (i = 1,n) Xi Xi Y (1.4) Thí dụ 1.4. Giả sử Y và X1, X2 có liên hệ với nhau theo biểu thức: PT IT Y2 = X12 + X 22 Rõ ràng giữa Y và X1, X2 có mối liên hệ hàm số nhưng dưới dạng hàm ẩn. Ta cần tìm Y , i = 1, 2 . Ta có thể viết: X i Y2 – ( X12 + X 22 ) = 0 Áp dụng công thức trên ta có: X Y = - i (i = 1, 2) Xi Y +/ Đo lường thay đổi tương đối: Để đo tỷ lệ thay đổi tương đối (tức thời) của biến nội sinh với sự thay đổi tương đối của một biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co dãn (hệ số co giãn riêng). Hệ số co dãn (độ co giãn) của Y 0 biến phụ thuộc Y theo biến Xi tại X = X0, ký hiệu εXi (X ) - được định nghĩa bởi công thức: ε YXi (X 0 ) = F(X 0 ) X i0  X i F(X 0 ) (1.5) Hệ số này cho biết tại X = X0, khi biến Xi thay đổi 1% còn các biến khác không đổi thì Y thay Y 0 đổi bao nhiêu %. Nếu hệ số co dãn εXi (X ) > 0 thì Xi và Y thay đổi cùng hướng, ngược lại, εYXi (X0 ) < 0 thì Xi và Y thay đổi ngược hướng. Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi (tương đối) theo cùng một tỷ lệ ta dùng hệ số co dãn chung (toàn phần), tính theo công thức: n εY(X0) = εXYi (X0) (1.6) i=1 14 Bài giảng toán kinh tế Y Xi Chương 1: Mô hình toán kinh tế 0 Trong đó: ε (X ) là hệ số co dãn riêng của Y theo Xi tính tại điểm X0, εY(X0) cho ta biết tại X = X0 tỷ lệ phần trăm thay đổi của Y khi tất cả Xi cùng thay đổi 1%. Xu hướng thay đổi của Y phụ thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co dãn riêng. Nói chung hệ số co dãn của Y (riêng hoặc toàn phần) phụ thuộc vào điểm chúng ta tính, tức là phụ thuộc vào các biến ngoại sinh. Tuy nhiên, nếu quan hệ giữa Y và các biến ngoại sinh có dạng: Y = α0X1α1 Xα22 .......Xαnn với α0 ,α1.......αn là các tham số, thì có thể chứng minh được rằng: εYXi (X) = αi (i = 1,2) (1.7) n εY (X) = αi Và do đó: (1.8) i=1 Thí dụ 1.5: Với Q là mức sản lượng, K là vốn và L là số lượng lao động được sử dụng, ta có mô hình quen thuộc (mô hình hàm sản xuất)., giả sử có dạng: Q = aKάLβ với α, β > 0. Ta có εQK = α, εLQ = β và εQ = α + β . Nếu Y, Xi > 0, thì hệ số co dãn ε YXi (LnY) (LnXi ) PT IT ε YXi  có thể tính theo công thức: (1.9) Trong đó LnY, LnXi là lôgarit cơ số e của Y và Xi. Nếu gọi F Y là hàm cận biên – ký hiệu là MFi và gọi là hàm trung bình – ký hiệu AFi của Y X i Xi theo Xi thì ta có: ε YXi  MFi AFi (1.10) Thí dụ 1.6: Nếu hàm cầu là: 1400 – p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là: ε Qp = D ' (p) p (1400-p 2 ) ' p -2p 2 = = D(p) (1400-p 2 ) 1400-p 2 Nếu p = 20 ta có ε = -0,8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0,8%. b) Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) Trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, thì sự biến động của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng. Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỷ lệ biến động của biến đó theo thời gian. Giả sử Y = F(X1, X2, …., Xn, t) với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là rY – được định nghĩa bằng công thức: Y rY   t (1.11) Y Thông thường rY được tính theo tỷ lệ %. 15 Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế Thí dụ 1.7: Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t là Vt, tính theo công thức: Vt = V0ert; trong đó V0 là vốn gốc, r là lãi suất, t là thời gian. Hệ số tăng trưởng của Vt là: Vt rY  t = r Vt Nếu thời gian t không quá dài, hoặc lãi suất r tính theo từng chu kỳ thì công thức trên có dạng: Vt = V0(1 + r)t Do đó hệ số tăng trưởng của V là Ln(1 + r) = r Đầu tư một khoản tiền 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lãi là 214,358881 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu? Giải: Áp dụng công thức: r= n Vn 214.358.881 -1 = 8 - 1 = 10% V0 100.000.000 PT IT Tổng quát, nếu biến nội sinh phụ thuộc thời gian một cách gián tiếp thông qua sự phụ thuộc vào thời gian của các biến khác, tức là hàm số có dạng: Y = F(X1(t), X2(t),…., Xn(t)) thì hệ số tăng trưởng của Y có thể tính dựa vào hệ số tăng trưởng của các biến Xi theo công thức: n rY  ε Y Xi Xi r (1.12) i=1 Y Trong đó ε Xi là hệ số co giãn của Y theo Xi và rXi là hệ số tăng trưởng của Xi. c) Hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi). Giả sử Y = F(X1, X2, …., Xn), tại X = X0 giá trị tương ứng của Y là Y = F(X0) = Y0. Vấn đề đặt ra là nếu ta cho hai biến ngoại sinh thay đổi và cố định các biến còn lại sao cho Y không đổi, tức Y = Y0, thì sự thay đổi của hai biến này phải theo tỷ lệ nào? Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của hai biến, tỷ lệ này có thể gọi là tỷ lệ thay thế (thay thế giữa vốn và lao động), tỷ lệ bổ sung (bổ sung giữa hai mặt hàng), tỷ lệ chuyển đổi (chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện tại và tiêu dùng tương lai). Ta có thể tính hệ số này như sau: Theo công thức vi phân toàn phần, ta có: dY = F F F dX1 + dX2 +.....+ dXn X1 X2 Xn Giả sử cho hai biến Xi và Xj thay đổi, do Y và Xk (k ≠ i, j) không đổi, nên: F X j F F dXi 0= dXi + dX j  = F Xi X j dX j Xi (1.13) Nếu dXi/dXj < 0 thì ta nói rằng Xi có thể thay thế (chuyển đổi) được cho Xj (tại X = X0) với tỷ lệ dX i , tỷ lệ này cho ta biết khi giảm (tăng) mức sử dụng Xj một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức dX j sử dụng Xi bao nhiêu đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số thay thế (cận biên) của Xi cho Xj. 16
- Xem thêm -