CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG
Email:
[email protected]
Bỉm sơn: 10 – 02 – 2014
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
Phương trình lượng giác và ứng dụng của nó là một phần rất quan trọng trong đề thi đại học và ứng dụng
của nó trong đại số cũng như hình học. Và đặc biệt là giải phương trình lượng giác là một câu không thể
thiếu trong đề thi đại học các năm. Vậy muốn làm tốt lượng giác trước tiên ta phải nắm được công thức
lượng giác
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Các công thức lượng giác cần nhớ
1. Các công thức cơ bản
sin a
tan a
với a k
cos a
2
tan a.cot a 1
1
cos 2 a
2. Công thức cộng và trừ
a. Với sin và cos
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
1 tan 2 a
cot a
cos a
với a k
sin a
sin 2 a 1 cos 2 a (1 cos a )(1 cos a )
sin 2 a cos 2 a 1 2
2
cos a 1 sin a (1 sin a )(1 sin a )
1
1 cot 2 a
sin 2 a
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
b. Với tan
tan a tan b
1 tan a.tan b
3. Công thức tính tích thành tổng
1
cos a.cos b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.sin b cos( a b ) cos(a b)
2
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
a. Công thức sin và cos
ab
ab
cos a cos b 2cos
cos
2
2
ab
ab
sin a sin b 2sin
cos
2
2
b.Công thức tan và cot
sin( a b)
tan a tan b
cos a.cos b
sin( a b )
cot a cot b
sin a.sin b
5. Công thức nhân đôi và nhân ba, nhân bốn
sin 2a 2sin a.cos a
tan a b
(sin a cos a ) 2 1 1 (sin a cos a ) 2
tan 2a
2 tan a
3tan a tan 3 a
;
tan
3
a
=
1 tan 2 a
1 3 tan 2 a
tan a b
tan a tan b
1 tan a.tan b
1
sin(a b) sin(a b)
2
1
cos a.sin b sin(b a ) sin(a b)
2
sin a.cos b
ab
ab
sin
2
2
ab
ab
sin a sin b 2 cos
sin
2
2
cos a cos b 2sin
sin( a b)
cos a.cos b
sin(b a )
cot a cot b
sin a.sin b
tan a tan b
cos 2 a 2cos 2 a 1 1 2sin 2 a cos 2 a sin 2 a
cos 4 a sin 4 a
sin 3a 3sin a 4sin 3 a sin a 3 4sin 2 a
sin a 4cos 2 a 1 sin a 2cos a 1 2cos a 1
3
cos 3a 4cos a 3cos a cos a 4 cos 2 a 3
cos a 1 4sin 2 a cos a 1 2sin a 1 2sin a
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
1
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
sin 4a 4sin 4 a 2sin 2 a
6. Công thức hạ bậc
1 cos 2a
cos 2 a
2
2
sin
a 1 cos 2a
tan 2 a
2
cos a 1 cos 2a
cos 3a 3cos a
cos 3 a
4
Email:
[email protected]
cos 4 a 8cos a 8cos 2 a 1
4
1 cos 2a
2
2
cos
a 1 cos 2a
cot 2 a
2
sin a 1 cos 2 a
3sin a sin 3a
sin 3 a
4
sin 2 a
II. Giá tri lượng giác của các góc liên quan đặc biệt
1. Bỏ chẵn lần pi thì không thay đổi
sin x k 2 sin x
tan x k 2 tan x
cos x k 2 cos x
cot x k 2 cot x
2. Bỏ pi hay lẻ lần pi thì thành cộng biến thành trừ
sin x sin x
sin x sin x
cos x cos x
cos x cos x
tan x tan x
tan x tan x
cot x cot x
TQ: sin( k 2 x) sin x
cos( k 2 x) cos x
cot x cot x
TQ: sin( k 2 x) sin x
cos( k 2 x) cos x
3. Bỏ pi trên hai
sin x cos x
2
cos x sin x
2
tan x cot x
2
cot x tan x
2
d. Đổi dấu
sin x sin x
sin x cos x
2
cos x sin x
2
tan x cot x
2
cot x tan x
2
tan x tan x
cos x cos x
cot x cot x
III. Công thức tính sina, cosa theo t tan
a
2
2t
sin a 1 t 2
1 t2
1 t2
Ta có cos a
cot
a
1 t2
2t
2t
tan a 1 t 2
Một số công thức khác
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
2
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
2
cos a sin a cos a cos a 2 cos .cos a 2.
cos a
4
4
2
4
2
3
3
2.sin a 2.sin
a 2.sin
a 2.sin a
4
4
4
4
2
Vậy cos a sin a 2 cos a 2 sin a 2 cos x
4
4
4
Tương tự: cos a sin a 2 cos a 2 cos a 2 sin a 2 sin a
4
4
4
4
3
3
2
2
sin x cos x sin x cos x sin x sin x.cos x cos x sin x cos x 1 sin x.cos x
sin 3 x cos 3 x sin x cos x sin 2 x sin x.cos x cos2 x sin x cos x 1 sin x.cos x
1
1 1
3 1
sin 4 x cos 4 x 1 2sin 2 x.cos 2 x 1 sin 2 2 x cos 2 2 x cos 4 x
2
2 2
4 4
4
4
2
2
2
2
cos x sin x cos sin x cos sin x cos 2 x
3
1 3
3
5
sin 6 x cos 6 x sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 2 x cos 2 2 x cos 4 x
4
4 4
8
8
cos 6 x sin 6 x cos 2 x(sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x)
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 2sin x cos x sin x cos x
2
1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 2sin x cos x (sin x cos x)2
sin 2 x
sin x cos x
,1 cos 2 x 2 cos 2 x,1 cos 2 x 2sin 2 x
2
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc) đặc biệt (ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để
ghi nhớ các giá trị đặc biệt)
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
3
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
y
t
3
- 3
- 3 /3
-1
u'
B
3 /3
/2
1
2/3
u
/4
3 /2
3/4
2 /2
5/6
x'
3
1
/3
/6
3 /3
1/2
1/2
- 3 /2 - 2 /2 -1/2
-1
2 /2
3 /2
x
1 A (Ñieåm goác)
O
-1/2
-/6
- 2 /2
- 3 /3
-/4
- 3 /2
-1
-1
-/3
-/2
y'
t'
- 3
Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt
Góc
00
0
Hslg
sin
0
cos
1
tan
0
cot
kxđ
300
6
1
2
3
2
3
3
3
450
4
2
2
2
2
1
1
600 900 1200
2
3
2
3
1
3
3
2
2
0
1
1
2
2
3 kxđ 3
135 0
3
4
2
2
2
2
-1
0
-1
3
3
3
3
1500
5
6
1
2
3
2
3
3
3
1800 3600
2
0
0
-1
1
0
0
kxđ
kxđ
Hoặc: Đường tròn lượng giác
Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M cos ;sin ứng với mỗi góc ta sẽ được
một điểm M cụ thể trên đường tròn
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
4
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
Để giải được phương trình lượng giác chúng ta nắm được các bước giải sau
Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (nếu có). Điều kiện gồm, phương trình chứa
mẫu, chứa cot hoặc tan, chứa căn bậc chẵn…
Cụ thể:
- Phương trình chứa tan x , điều kiện: cos x 0 x k ,k .
2
- Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin x 0 x k , k .
- Phương trình chứa cả tan x và cot x , điều kiện: x k , k .
2
Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác. Các phương pháp giải
phương trình nói chung, tìm ra nghiệm của phương trình
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ban đầu để tìm ra nghiệm thỏa mãn và kết luận (xem mục kĩ
năng 5 loại nghiệm và kết hợp nghiệm)
Chú ý:
1
1
2
cos x 2
cos x 2
Đối với phương trình
ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm,
sin 2 x 1
sin x 1
2
2
khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
1
2
cos x 2
2 cos 2 x 1 0
cos 2 x 0
cos 2 x 0 .
2
2sin x 1 0
sin 2 x 1
2
sin 2 x 1
sin x 1
Tương tự đối với phương trình 2
ta không nên hạ bậc, mà nên biến đổi dựa vào
cos x 1 cos x 1
sin 2 x 1
cos 2 x 0
cos x 0
công thức sin 2 x cos 2 x 1 . Lúc đó: 2
2
cos x 1 sin x 0
sin x 0
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
5
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
Đối với phương trình cos x cos 2 x 0 . Chúng ta có thể chuyển về dạng cos x cos 2 x
nhưng đơn giản hơn là thay cos 2 x 2 cos 2 x 1 để phương trình trở thành phương trình bậc hai với cosx
Tương tự với phương trình sin x cos 2 x 0
Khi đặt ẩn phụ t sin x, t cos x thì điều kiện của t là t 1 . Khi đặt ẩn phụ t sin 2 x, t cos 2 x
thì điều kiện của t là 0 t 1 . Khi đặt ẩn phụ t sin x cos x thì điều kiện của t là t 2 .
Một số phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ
sin x 0 x k
u v k 2
Dạng 1: sin u sin v
Đặc
biệt:
,k
,k
sin x 1 x k 2
2
u v k 2
sin x 1 x 2 k 2
u v k 2
Dạng 2: cos u cos v
,k
Đặc biệt:
u v k 2
cos x 0 x 2 k 2 k 2
,k
cos x 1 x k 2
cos x 1 x k 2
tan u tan v u v k
Dạng 3:
,k
u , v 2 k
cot u cot v u v k
Dạng 4:
,k
u , v k
tan x 0 x k
Đặc biệt:
,k
tan x 1 x 4 k
cot x 0 x 2 k
Đặc biệt:
,k
cot x 1 x k
4
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
6
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
§ 1: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc nhất đối với sin x,cos x
a. Định nghĩa: Phương trình a sin x b cos x c (1) trong đó a, b, c và a 2 b 2 0 được gọi là
phương trình bậc nhất đối với sin x,cos x
b. Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Kiểm tra
- Nếu a 2 b 2 c 2 phương trình vô nghiệm
- Nếu a 2 b 2 c 2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho a 2 b 2 , ta được
a
b
c
sin x
cos x
a 2 b2
a 2 b2
a 2 b2
a
Vì
2
2
a b
2
b
2
2
a b
2
1 nên tồn tại góc sao cho
Khi đó phương trình (1) có dạng sin x.cos sin .cos x
a
a b
2
cos ,
b
sin
a b2
c
c
sin( x )
a 2 b2
a 2 b2
2
2
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải
Cách 2: Thực hiện theo các bước
x
Bước 1: Với cos 0 x k 2 , k thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
2
x
Bước 2: Với cos 0 x k 2 , k
2
2t
1 t2
x
Đặt t tan suy ra sin x
,
cos
x
2
1 t2
1 t2
Khi đó phương trình (1) có dạng
2t
1 t2
a
b
c (c b)t 2 2at c b 0 (2)
1 t2
1 t2
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t, sau đó giải tìm x.
Dạng đặc biệt:
sin x cos x 0 tan x 1 x k , k
4
sin x cos x 0 tan x 1 x k , k .
4
sin x cos x k k 0 sử dụng công thức sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
a 2 b 2 a sin x b cos x a 2 b 2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các
a sin x b cos x
hàm số có dạng y a sin x b cos x , y
và phương pháp đánh giá cho một số phương
c sin x d cos x
trình lượng giác .
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1: Giải phương trình: sin 2 x 3cos 2 x 3
Giải:
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
7
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Cách 1:
Email:
[email protected]
Chia cả hai vế phương trình cho 12 32 10 ta được
1
3
3
sin 2 x
cos 2 x
10
10
10
3
1
sin ,
cos . Lúc đó phương trình viết được dưới dạng
Đặt
10
10
cos sin 2 x sin cos 2 x sin sin(2 x ) sin x
x k
2 x k 2
, k
x k
2
x
k
2
2
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Cách 2:
Ta nhận thấy cos x 0 là nghiệm của phương trình
Với cos x 0 x k , k .
2
2t
1 t2
Đặt t tan x , lúc đó sin 2 x
,
cos
2
x
1 t2
1 t2
2t
1 t2
Phương trình sẽ có dạng
3
3 2t 3(1 t 2 ) 3(1 t 2 ) t 3
1 t2
1 t2
Hay tan x 3 tan x k , k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng
sin 2 x 3(1 cos 2 x) 2sin x.cos x 6 cos 2 x
cos x 0
cos x 0
(sin x 3cos x) cos x 0
sin x 3cos x 0
tan x 3 tan
x k
,k
2
x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý:
Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có
một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Thí dụ 2: (Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội 2000) Giải phương trình sau:
2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2 x
Giải:
Phương trình 2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2 x
b 2 2 1
3 2 11 6 2
2 sin x
a 2
Ta có
c 2
2 1 cos 2 x 3 2
2
2
2
52 2
2
Ta sẽ chứng minh: a 2 b 2 c 2 5 2 2 11 6 2 4 2 6 4 2
2
6 2 32 36 (đúng)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn
chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Thí dụ 3: Giải phương trình (1 3) sin x (1 3) cos x 2
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
8
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Giải:
Cách 1:
Thực hiện phép biến đổi
1 3
1 3
2
1
PT
sin x
cos x
2 2
2
2 2
2 2
Đặt
1 3
2 2
cos x;
1 3
2 2
Email:
[email protected]
sin x
Phương trình được viết thành sin x.cos sin .cos x
1
sin( x ) sin
2
x 4 k 2
x 4 k 2
,k
x k 2
x 3 k 2
4
4
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Cách 2:
Biến đổi phương trình về dạng
(sin x cos x) 3(sin x cos x) 2 2 sin x 6 cos x 2
4
4
4
1
3
1
1
sin x
cos x
sin x cos cos x sin
2
4 2
4
4
3
4
3
2
2
x k 2
x k 2
12 4
3
sin x sin
, k
4 3
4
x 5 k 2
x k 2
12
4
6
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
x
Bài trên cũng có thể sử dụng cách đặt t tan và ta cũng thu được nghiệm chẵn
2
2
x
x
Thí dụ 4: (ĐH – D 2007) Giải phương trình: sin cos 3 cos x 2
2
2
Giải:
x
x
x
x
Phương trình sin 2 2sin cos cos 2 3 cos x 2
2
2
2
2
1
3
1
sin x 3 cos x 1 sin x
cos x
2
2
2
1
1
sin x.cos cos x.sin sin x
3 2
3
3 2
x 3 6 k 2
x 6 k 2
,k
x 5 k 2
x k 2
3
6
2
Vậy phương trình có các nghiệm là x k 2 , x k 2 , k
2
6
Chú ý:
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
9
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
Đối với phương trình dạng a sin P( x) b cos Q( x) c sin Q ( x) d cos P( x) (*) trong đó a, b, c, d
thoả mãn a 2 b 2 c 2 d 2 0 và P x , Q x không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho
a 2 b 2 ta có (*) sin P ( x) sin Q( x) hoặc
(*) cos P ( x ) cos Q( x) trong đó , là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:
Thí dụ 5: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos5 x 2sin 3x cos 2 x sin x 0
Giải:
3
1
PT 3 cos 5 x sin 5 x 2sin x
cos 5 x sin 5 x sin x sin 5 x sin x
2
2
3
k
3 5 x x 2k
x 18 3
,k
5 x x 2k
x k
3
6
2
k
k
Vậy phương trình có nghiệm là x
,x
,k
18 3
6
2
Thí dụ 6: Giải phương trình: cos 7 x sin 5 x 3(cos 5 x sin 7 x)
Giải:
PT cos 7 x 3 sin 7 x 3 cos 5 x sin 5 x
1
3
3
1
cos 7 x
sin 7 x
cos 5 x sin 5 x
2
2
2
2
cos cos 7 x sin sin 7 x cos cos 5 x sin sin 5 x
3
3
6
6
7 x 5 x k 2
3
6
cos 7 x cos 5 x
3
6
7 x 5 x k 2
3
6
2 x 6 k 2
x 12 k
,k
12 x 3 k 2
x k
2
8
6
Vậy phương trình có hai nghiệm
Thí dụ 7: (ĐH – B 2012) Giải phương trình 2(cos x 3 sin x) cos x cos x 3 sin x 1.
Giải:
Nhận xét 1: Sau khi nhân phá ra ta nhóm cụm 2 cos 2 x 1 cos 2 x và 2 3 sin x cos x 3 sin 2 x , không
còn hệ số tự do và chuyển cung 2x sang một bên, cung 1x sang một bên thì bài toán trở thành bài toán cơ
bản nhưng mở rộng của bài phương trình bậc nhất đổi với sin và cos nên ta có lời giải sau
Cách 1:
2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 cos 2 x 3 sin 2 x cos x 3 sin x (*)
Chia hai vế cho 2 và biến đổi thành
2
x
k 2
3
cos 2 x cos x 2 x x k 2
,k
3
3
3
3
x k 2
3
Chú ý:
- Ta có thể biến đổi về sin như sau
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
10
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
cos 2 x 3 sin 2 x cos x 3 sin x
2
2 x x k 2
x
k 2
6 6
3
sin 2 x sin x
,k
6
6
2 x x k 2
x k 2
6
3
6
- Có thể giải phương trình (*) như sau
cos 2 x cos x 3 sin 2 x sin x 0
3x
x
3x
x
sin 2 3 sin cos 0
2
2
2
2
2
3x
x k 3
sin 2 0
,k
x 2 k 2
tan x 3
2
3
Nhận xét 2: Sau khi nhân phá ra chuyển về một vế và nhóm thành hai cặp 2 cos 2 x cos x 1 và
2sin
3 sin x 2 cos x 1 ta thấy chúng có nhân tử chung là 2 cos x 1 và ta có lời giải sau
Cách 2:
2(cos x 3 sin x) cos x cos x 3 sin x 1 2cos 2 x cos x 1 3 sin x 2 cos x 1 0
2cos x 1 cos x 1 3 sin x 2 cos x 1 0 2cos x 1
3 sin x cos x 1 0
2
x
k 2
1
cos x
3
2
cos
x
1
0
2
x k 2
,k
cos x 1
3 sin x cos x 1 0
2
3 2
k 2
x
3
Sử dụng đường tròn lượng giác tổng hợp nghiệm ta thấy
M2
Với nghiệm x k 2 tương ứng trên đường tròn là điểm
M1
2
Với nghiệm x
k 2 tương ứng trên đường tròn là điểm M2
3
2
Với nghiệm x
k 2 tương ứng trên đường tròn là điểm
M1
3
M3
Nhận thấy 3 điểm nghiệm không trùng với hai điểm điều kiện mà
2
3 điểm nghiệm này cách đều nhau một góc
nên ta có gộp 3 điểm
3
M3
2
nghiệm thành x k
,k .
3
2
2
Vậy phương trình có nghiệm là x
k 2 , x k
,k
3
3
Chú ý:
- Ta cũng có thể biến đổi về sin như sau
1
3 sin x cos x 1 0 sin x sin
6 2
6
- Ta có bài toán tổng quát như sau khi xuất hiện cos 2x (hoặc sin 2 x hoặc cos 2 x ), sin 2 x,sin x, cos x và
hệ số tự do ta có bài toán tổng quát sau a sin 2 x b cos 2 x c sin x d cos x e 0 ta biến đổi về một
trong hai dạng
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
11
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
2a sin x cos x b 2 cos 2 x 1 c sin x d cos x e 0
2a sin x cos x b 1 2sin 2 x c sin x d cos x e 0
Email:
[email protected]
2b cos 2 x d cos x b e sin x 2a cos x c 0
2
2b sin x c sin x b e cos 2a sin x d 0
Từ đó sẽ xuất hiện nhân tử chung (với các hệ số a, b, c, d , e theo một tỉ lệ nào đó), với dạng bài này đề
thi khối D năm 2010 (xem ở mục kĩ năng đưa về phương trình tích)
Tương tự: Giải phương trình 8 sin 6 x cos 6 x 3 3 sin 4 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11
3
Phương trình 8 1 sin 2 2 x 6 3 sin 2 x cos 2 x 3 3 cos 2 x 9sin 2 x 11 0
4
3 cos 2 x 2sin 2 x 1 2sin 2 2 x 3sin 2 x 1 0
3 cos 2 x 2sin 2 x 1 sin 2 x 1 2sin 2 x 1 0
2sin 2 x 1
3 cos 2 x sin 2 x 1 0
2sin 2 x 1 0
3 cos 2 x sin 2 x 1 0
1
sin 2 x 2
sin 2 x sin
3
6
x 12 k
x 5 k
12
,k
x k
4
5
k
x
12
Thí dụ 8: (ĐH – B 2009) Giải phương trình: sin x cos x sin 2 x 3 cos3x 2 cos 4 x sin 3 x
Giải:
Phương trình
sin x 1 2sin2 x cos x.sin 2 x 3 cos3x 2cos 4 x
1
3
sin 3 x
cos3 x cos 4 x
2
2
cos 4 x cos 3 x 4 x 3 x k 2
6
6
x 6 k 2
,k
x k 2
42
7
Hoặc: Phương trình
1
3
1
sin x sin 3 x sin x 3 cos 3 x 2 cos 4 x sin x sin 3 x
2
4
4
1
3
3
1
sin 3 x sin x 3 cos 3 x 2 cos 4 x sin x sin 3 x
2
2
2
2
sin 3 x 3 cos3 x 2 cos 4 x
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
12
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
1
3
sin 3 x
cos3 x cos 4 x
2
2
2 k
Vậy phương trình có nghiệm là x
, x 2k , k
42
7
6
Thí dụ 9: Giải phương trình 8sin x tan x cot x 4cot 2 x
6
Giải:
sin x 0
Điều kiện:
sin 2 x 0 (*)
cos x 0
sin 3 x 3 cos3 x 2 cos 4 x
2
4cot 2 x
Phương trình 8sin x
6 sin 2 x
4sin x sin 2 x 1 2cos 2 x 2 3 sin x cos x .sin 2 x 3sin 2 x – cos 2 x 0
6
( 3 sin x cos x)(2sin 2 x 3 sin x cos x) 0
3 sin x cos x 0
2sin 2 x 3 sin x cos x 0
k , k
6
3
1
TH2: 2sin 2 x 3 sin x cos x 0
sin x cos x sin 2 x
2
2
5
x
k 2
6
sin x sin 2 x
,k
6
x k 2
18
3
Các nghiệm trên đều thỏa mãn (*). Vậy phương trình có 3 nghiệm trên
TH1:
3 sin x cos x 0 cot x 3 x
Thí dụ 10: Giải phương trình tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x
Giải:
1
sin 2 x 3cos 2 x
3
8 sin x
cos x
sin x cos x
2
2
1 2 cos 2 x 4sin 2 x.sin x
3
2
cos
cos 2 x cos x cos 3 x
3
3
3
Phương trình
2
cos 2 x cos x cos 3 x cos 0
3
3
3
3x x
3x
2cos cos cos 0
2 6 2 6
2 2
x
3x
4cos sin x sin 0
3 2 6
2 6
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
13
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
x
sin 2 6 0
x 3 k
sin x 0
,k
4
k
2
3
x
9
3
3x
4 cos 0
2 6
4 k 2
Vậy nghiệm của phương trình là x k ; x
,k
3
9
3
Vậy phương trình có ba nghiệm trên
Chú ý: Cách khác xem ở Ví dụ 3 trang 23
Dạng 2: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x .
a. Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x , cos x là phương trình.
a sin 2 x b sin x.cos x c cos 2 x d (1) trong đó a, b, c, d
b. Cách giải :
Cách 1:
Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin 2 x hoặc cos 2 x hoặc sin x.cos x .
Chẳng hạn nếu chia cho cos 2 x ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra: cos x 0 x k , k xem nó có phải là nghiệm của phương trình (1) hay
2
không?
Bước 2: Với cos x 0 chia cả hai vế cho cos 2 x lúc đó phương trình (1) trở thành
a tan 2 x b tan x c d (1 tan 2 x) (a d ) tan 2 x b tan x c d 0
Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải bằng cách đặt t tan x .
Cách 2:
1 cos 2 x
1 cos 2 x
sin 2 x
Dùng công thức hạ bậc sin 2 x
;cos 2 x
;sin x.cos x
đưa phương trình đã
2
2
2
cho về phương trình b sin 2 x (c a) cos 2 x d c a
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải (dạng 1)
Chú ý:
- Khi d 0 thì a sin 2 x b sin x.cos x c cos 2 x 0 gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2
- Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát
A(sin n x, cos n x,sin k x cos h x) 0 trong đó k h n; k , h, n
Khi đó ta cũng làm theo 2 bước:
Bước 1: Kiểm tra xem cos x 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Nếu cos x 0 . Chia cả hai vế của phương trình trên cho cos n x ta sẽ được phương trình bậc n
theo tan. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: sin 3 x 3 cos 3 x sin x cos 2 x 3 sin 2 x cos x
Giải:
Nhận xét 1: Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên ta giải như sau
Cách 1:
Thay cos x 0 x k , k vào phương trình ta được sin 3 x 0 sin x 0 nên x k , k
2
không phải là nghiệm của phương trình
Khi cos x 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos 3 x ta được
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
14
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
tan x 3 tan x 3. tan x tan x tan x 1 3 tan x 1 0
3
2
2
2
x k
tan
x
1
4
tan 2 x 1 tan x 3 0
,k
x k
tan x 3
3
Nhận xét 2: Ta nhận thấy có các nhân tử chung và các hệ số tương ứng tỉ lệ nên ta có lời giải sau
Cách 2:
Phương trình sin 3 x sin x cos 2 x 3 cos3 x 3 sin 2 x cos x 0
sin x sin x cos x 3 cos x cos x sin x 0
2
2
2
2
sin x sin x cos x sin x cos x 3 cos x cos x sin x cos x sin x 0
sin x cos x sin x cos x sin x 3 cos x 0
x 4 k
;k
x k
3
Vậy phương trình có các nghiệm là x k ; x k , k
4
2
3
Chú ý:
- Kết hợp hai nghiệm x k thành một nghiệm x k vì chúng hợp với nhau một góc
4
4
2
2
- Cũng có thể biến đổi
Phương trình sin 3 x sin x cos 2 x 3 cos3 x 3 sin 2 x cos x 0
sin x cos x 0
tan x 1
sin x cos x 0
tan
x
3
sin x 3 cos x
sin x sin 2 x cos 2 x 3 cos x cos 2 x sin 2 x 0
sin x cos 2 x 3 cos x cos 2 x 0
cos 2 x sin x 3 cos x 0
x 2 k 2
;k
x k
3
Thí dụ 2: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình 1 3 tan x 2sin 2 x
Giải:
Cách 1: Điều kiện: cos x 0 (*)
sin x
Phương trình 1 3
4sin x cos x cos x 3sin x 4sin x cos 2 x
cos x
Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho cos 3 x
Ta được
1
tan x
3
4 tan x 1 tan 2 x 3tan 1 tan 2 x 4 tan x
2
2
cos x
cos x
3
3 tan x tan 2 x tan x 1 0 tan x 1 3tan 2 x 2 tan x 1 0
cos 2 x 0
sin x 3 cos x
tan x 1 x
k , k (thỏa mãn (*)) vì 3tan 2 x 2 tan x 1 0 vô nghiệm
4
Chú ý:
- Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho cos 2 x
- Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
15
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
2sin x cos x
2sin x cos x
2 tan x
cos 2 x 2 tan x từ đó ta đặt
sin 2 x
hoặc
sin
2
x
2sin
x
cos
x
1
sin 2 x cos 2 x 1 tan 2 x
1 tan 2 x
cos 2 x
t tan x
Cách 2:
2t
Đặt t tan x sin 2 x
1 t2
4t
Khi đó ta được 1 3t
3t 3 t 2 t 1 0 (t 1)(3t 2 2t 1) 0
2
1 t
t 1 tan x 1 x k , k (thỏa mãn (*))
4
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm x k , k
4
Cách 3: Phân tích hệ số 3 1 2
Ta có phương trình 1 tan x 2 tan x 4sin x cos x
sin x cos x
2 cos 2 x 1
2sin x
0
cos x
cos x
sin x cos x 1 2sin x cos x sin x 0
sin x cos x 0
tan x 1
sin 2 x cos 2 x 2
1 2sin x cos x sin x
x k , k (Vì phương trình sin 2 x cos 2 x 2 vô nghiệm)
4
Cách 4: Phân tích hệ số 1 3 2
Ta có phương trình 3 1 tan x 2 1 sin x
sin x cos x
2
2 sin x cos x sin x cos x 3 sin 2 x 2cos 2 x 0
cos x
sin x cos x 0
tan x 1
2
sin 2 x cos 2 x 2
3 sin 2 x 2 cos x 0
x k , k (Vì phương trình sin 2 x cos 2 x 2 vô nghiệm)
4
Thí dụ 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình: sin 3 x 2 sin x
4
Giải:
Cách 1:
Ta nhận thấy sin x có thể biểu diễn được qua sin x cos x . Luỹ thừa bậc ba biểu thức
4
sin x cos x
ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải
3
3
Phương trình 2 2 sin 3 x 4sin x 2 sin x 4sin x
4
4
3
(sin x cos x) 4sin x (*)
Xét với cos x 0 x k 2 , k . Khi đó phương trình có dạng
2
sin 3 k 4sin k mâu thuẫn
2
2
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
16
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
k 2 làm nghiệm
2
Với cos x 0 . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos 3 x ta được:
(tan x 1) 3 4(1 tan 2 x) tan x 3 tan 3 x 3 tan 2 x tan x 1 0 .
Đặt t tan x phương trình có được đưa về dạng:
3t 3 3t 2 t 1 0 (t 1)(3t 2 1) 0 t 1 x k , k
4
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình .
Cách 2:
Từ phương trình (*)
(*) (sin x cos x )3 4sin x (sin x cos x)(sin x cos x)2 4sin x
(sin x cos x)(1 2 sin x cos x) 4 sin x cos x 3sin x 2 sin 2 x cos x 2 sin x cos 2 x 0
cos x(2sin 2 x 1) sin x(2cos 2 x 3) 0 cos x(cos 2 x 2) sin x(cos 2 x 2) 0
(cos 2 x 2)(cos x sin x) 0 cos 2 x 2 (loại) hoặc tan x 1 x k , k
4
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm x k , k
4
Cách 3.1: Đặt t x x t khi đó ta được phương trình
4
4
sin 3 t 2 sin t sin t cos t (**)
4
Vậy phương trình không nhận x
sin t sin 2 t 1 cos t sin t cos 2 t cos t
cos t sin 2t 2 0 cos t 0 t
k , k
2
3
k x
k , k
2
4
Cách 3.1: Từ phương trình (**) ta thấy nếu sin x 0 cos x 1 thì phương trình (**) vô nghiệm nên
sin x 0 .
Chia
cả
hai
vế
của
(**)
cho
sin 3 x
ta
được
phương
trình
2
2
1 1 cot t cot t 1 cot t cot t 0
Với t
3
k x
k , k
2
4
Chú ý:
Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng
phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất, khoa học nhất.
1 tan x
Thí dụ 4: Giải phương trình:
1 sin 2 x
1 tan x
Giải:
x k
cos x 0
2
Điều kiện
,k
tan
x
1
x k
4
Cách 1:
Biến đổi phương trình về dạng:
cos x sin x
2
3
cos x sin x cos x sin x cos x sin x
cos x sin x
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho cos3 x 0 ta được:
t
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
17
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
3
1 tan x 1 tan x tan x 1 tan x
2
2
tan 3 x tan 2 x 2 tan x 0 tan 2 x tan x 2 tan x 0 (*)
(do tan 2 x tan x 2 0 vô nghiệm) nên:
Phương trình (*) tan x 0 x k , k
Cách 2:
Biến đổi phương trình về dạng
cos x
cos x sin x
2
2
4
cos x sin x
2sin 2 x cot x
cos x sin x
4
4
sin x
1 cot 2 x
4
4
2
Đặt t cot x ta được: t
t 3 t 2 0 t 1 t 2 t 2 0 t 1
4
1 t2
Hay cot x 1 x k x k , k
4
4 4
Vậy phương trình có một họ nghiệm là x k , k
Cách 3:
2
Phương trình cos x sin x sin x cos x sin x cos x
cos x sin x sin 3 x cos3 x 3sin x cos x sin x cos x
cos x 1 cos 2 x sin x sin 3 x 3sin x cos x sin x cos x 0
cos x sin 2 x sin x sin 3 x 3sin x cos x sin x cos x 0
sin x sin 2 x cos 2 x 3 0
sin x 0 x k , k (Vì phương trình sin 2 x cos 2 x 3 0 vô nghiệm)
2t
Cách 4: Đặt t tan x sin 2 x
ta được phương trình
1 t2
1 t
2t
1
t 3 t 2 2t 0
2
1 t
1 t
2
t t t 2 0 t 0 (vì phương trình t 2 t 2 0 vô nghiệm)
Với tan x 0 x k , k
Thí dụ 5: (Đại học Y Dược Thành phố Hồ Chí Minh 1997)
Giải phương trình: sin x.sin 2 x sin 3x 6cos 3 x
Giải:
PT sin x 2sin x cos x 3sin x 4sin 3 x 6cos 3 x
4sin 3 x 3sin x 2sin 2 x cos x 6 cos3 x 0 (*)
Nếu cos x 0 là nghiệm (*) của thì:
sin x 1
cos x 0
sin x 1
vô lý
3
4sin x 3sin x 0
3
4sin x 3sin x 0
Chia 2 vế của (*) cho cos3 x 0 ta được phương trình tương đương:
* tan 3 x 2 tan 2 x 3 tan x 6 0 tan x 2 tan 2 x 3 0
tan x 2 tan
x k
,k
tan x 3 tan
x k
3
3
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
18
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
[email protected]
k , k với tan 2
3
cos 2 x
Thí dụ 6: Giải phương trình
tan x 2 sin 2 x 0
1 cot x
4
Giải:
1 cot x 0
Điều kiện: sin x 0
cos x 0
cos 2 x.sin x sin x
Phương trình
sin 2 x cos 2 x 0
sin x cos x cos x
sin x
1
cos 2 x
1 sin x 2 cos x
0
cos x
sin x cos x
cos 2 x.cos x sin x.cos 2 x
0
sin x cos x
cos x
cos x
sin x
cos 2 x
0
cos x sin x cos x
cos 2 x(sin 2 x sin x.cos x cos 2 x) 0
Vậy phương trình có các nghiệm là x k ; x
cos 2 x 0
2
2
sin x sin x.cos x cos x 0
(1) x k , k
4
2
(1)
(2)
1 5
1 5
x arctan
l , l
2
2
x 4 k
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là:
1 5
l
x arctan
2
(2) tan 2 x tan x 1 0 tan x
Dạng 3: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x .
a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng
a (sin x cos x ) b sin x cos x c 0 trong đó a, b, c
b. Cách giải:
Cách 1:
Do a (sin x cos x) 2 1 sin x cos x nên ta đặt
t sin x cos x 2 sin x 2 cos x . Điều kiện | t | 2
4
4
2
t 1
Suy ra sin x cos x
và phương trình được viết lại: bt 2 2at (b 2c) 0
2
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải
Cách 2:
Đặt t x thì sin x cos x 2 cos x 2 cos t
4
4
1
1
1
1
sin x cos x sin 2 x cos 2 x cos 2t cos 2 t nên phương trình trở thành
2
2
2
2
2
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
19
.PDF 
119 
225 
130 
