Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (3)

  • Số trang: 24 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
hoangtuavartar

Đã đăng 24838 tài liệu

Mô tả:

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (PPCT: 58 ) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong va trục hoành. 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. 1 BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Bài toán: Tính diện tích hp b  S =  f(x) dx a y y = f(x)  y = f(x) liên t u' c /[a;b]   y = 0 ( Ox )  x = a; x = b  S a o A’ - Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì S =  f(x).dx =  f(x) dx a - Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì S = S' = b  -f(x).dx =  f(x) dx a -Nếu trên [a;b] pt f(x) = 0 có hai nghiệm x = c, x = d , với a < c < d < b và f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì S = S1 + S2 + S3 a d b c -f(x).dx + d f(x).dx c d b b a c d a =  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) .dx y = - f(x) B’ S’ a b o a S A y = f(x) a =  f(x).dx + x y b b c b b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành  y = f(x) lt u' c /[a;b]  Bài toán: Tính diện tích hp  y = 0 ( Ox )  x = a; x = b  Ví dụ 1: Tính diện tích hp giới hạn bởi y = x3   y = 0 ( Ox )  x = -2; x = 1  y y = f(x) S b  S =  f(x) dx a o a b x BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =   y =  x=   f (x) liên t u' c /[a;b] b f (x) liên t u' c /[a;b]  S =  f1(x) - f 2 (x).dx a a; x = b 1 2 BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y =  Bài toán: Tính diện tích hình phẳng  y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b 1 2 b a f1(x) - f 2 (x).dx Chú ý: Nếu x  c - Giải pt f1(x) = f2(x)   [a;b] x  d  (f1(x) - f2(x) = 0) Với ; a < c < d < b - Thì tách tích phân thành b S= c d b a f1(x) - f 2 (x).dx = a f1(x) - f 2 (x)dx + c f1(x) - f 2 (x) dx + d f1(x) - f 2 (x) dx c d b a c d = [f1(x) - f 2 (x)]dx + [f1(x) - f 2 (x)]dx + [f1 (x) - f 2 (x)]dx BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x = 0 ,x=π Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs 1 y  x, y  x 2 Ví dụ 3. Giải cách 2. Ta có: 1 y  x  x  2y 2 y x  x  y2 Giải pt : 2y – y2 = 0 ta được nghiệm y = 0 và y = 2 Khi đó: 2 S   2 y  y 2 dy 0   2 0 (2 y  y )dy 2 2  2 y  4  y    3 0 3  3 Tính diện tích của hình tròn và Elíp y Với hình tròn, ta có: R Ta có: S  4S1  4 R  x dx   0 Đặt x = Rsint t  0;  2   /2  S  4R2  2 R S1 2 R O x cos 2tdt 0  /2  2R2  1  cos2t  dt 0  sin 2t   2R2  t   2    /2 0   R2 8 Tóm lại I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành  y = f(x) lt u' c/[a;b]  Bài toán: Tính dt S  y = 0  x = a; x = b  y = f(x) S b  S =  f(x) dx a o a 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Bài toán: Tính dt S y =   y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b 1 2 b a f1(x) - f 2 (x).dx b x BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI TẬP: 1, 2, 3 SGK Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường elip: x2 y 2  2  1 , a > 0, b > 0 2 a b BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a  Ví dụ : (2) 1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y = x3 -3x va y = x Giải : Xét phương trình: x3 -3x = x  x3 - 4x = 0 x= 2  x= 0 x= -2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 0 2 S=  |x3- 4x|.dx= | (x3- 4x)dx|+| (x3- 4x)dx|   -2 x4 = ( -2x2) 4 | -2 0 -2 | x4 + ( -2x2) 4 | | 0 2 0 | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (đ.v.d.t) 2/ Tính diện tích hình tron x2 + y2 = R2 Giải  y  f ( x )  R2  x 2 (c ) 1 1 (1)    R  x  R  2 2  y  f ( x )   R  x (c )  2 2  x  R f1 ( x )  f2 ( x )  0   x  R S  R 2 2 2  R 2  R  x  R  x dx R R 2 2 2 R  x dx    t   ,   2 2 Đặt x = R sint; Với dx = R cost dt Ta cĩ x   R  sin t  1  t   x  R  sin t  1  t   S2 2     2 2  R 2 1  sin 2 t R cos tdt  2   1  cos 2t  2 R  cos tdt  2 R  dt 2   2 2 2 2 2 2 2   sin 2t  2  R2  t    R dvdt  2    2 2 BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong  y = f1 (x) lt u c/[a;b] ' Bài toán: Tính dt hình phẳng S Ví dụ: Tính diện tích hp: Giải:   y =  x=    y = ex  y = 1  x = 1;  f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b 2 x=2 - Ta có pt ex = 1  x = 0  [1;2] 2 2 - Ta có S =  e - 1dx =  (ex - 1)dx x 1 1 2 = (ex - x) 1 = e2 - e - 1 (đvdt) b  S =  f1 (x) - f 2 (x).dx a II.Thể tích của caùc vật thể: II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ b CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH y V   S  x  dx a    S(x) S(X) O a x b x 15 THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt và chóp cụt Cho khối chóp (nón) có diện tích đáy là S, đường y cao là h. Tính thể tích khối chóp (nón) đó.  Ta có:  b V   S  x  dx S a Xét phép: x h O x2 V : S  S  x  S  x  2 S h h S Sh  V  2  x 2 dx  h 0 3 O S(x) x x h 16 THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt và chóp cụt • Từ công thức và cách tính thể tích khối nón, chóp, hãy xác định công thức tính thể tích khối nón cụt và chóp cụt? y  Ta có:  h S S 2 V  2  x dx  2  h3  h '3  h h' 3h S 2 2 h  h '  h  hh ' h '   S . S’ 2 3 h H V  S  SS '  S ' 3   O h’ h x 17 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY a) Vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho y = f(x) ltục trên [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox có thể tích: y S(x) O x a b x b V   S  x  dx    y dx 2 Ta có: a b Vậy: b a V    y dx 2 a 18 Ví dụ: 1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đđồ thị hàm số y = sin2x , trục hoành và x = -π/6; x = /2 quay quanh Ox  2  V    sin 2 x.dx  2  2  6  2  2  1  cos 4 x  .dx   6   sin 4 x    2 3   x       (dvtt) 2 4  2 3 8  6 2/ Tính thể tích giữa y = x2 - 4x quay quanh Ox, với 1  x  4 Giải: 4 V= π ∫ (x 1 4 2 2 - 4 x ) dx = π (x 4 - 8x 3 + 16 x 2 ) dx ∫ 1 1 5 16 3 4 = π ( x - 2x + x ) 5 3 4 153 (đđ.v.t.t)  5 1
- Xem thêm -