Tài liệu Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (6)

GV:Trần Trọng Tiến Định nghĩa 1. Nguyên hàm Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R . ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K. Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K(với C là hằng số) Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C ( với C là hằng số) 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 f ' x dx = f x + C      Ví dụ 3. Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .  (cos x)' dx   ( sin x)dx  cos x  c Tính chất 2 k f x dx = k f x dx       Tính chất 3:  f  x  g  x dx =  f  x  dx   g  x  dx Tự chứng minh t/c này. I. Lí thuyết II. Bài tập 3 SGK tr 101. Tính Các phương pháp tính nguyên a )  1  x  dx hàm 1. Đổi biến số  f (u(x)).u'(x)dx  F(u(x))  C 2. Công thức nguyên hàm từng phần  udv  u.v   vdu 9 đặt u=1-x => du = -dx => dx = -du 9 9   1  x dx  u   (du )    u 9du  u10 (1  x)10  C  C 10 10 b )  x1  x đặt  dx 3 2 2 u=1+x2  x1  x  3 2 2 5 du => du = 2xdx  xdx  2 3 3 2 du 1 2   u du  dx   u 2 2 5 1 2 2 1 . u  C  (1  x 2 ) 2  C 2 5 5 I. Lí thuyết II. Bài tập 3 SGK tr 101. Tính Các phương pháp tính nguyên c )  cos 3 x sin xdx hàm 1. Đổi biến số  f (u(x)).u'(x)dx  F(u(x))  C 2. Công thức nguyên hàm từng phần  udv  u.v   vdu đặt u=cos x => -du = sin x dx 3 3 3 cos x sin xdx  u (  du )   u    du  u4 cos x 4  C  C 4 4 e x dx dx  x d ) x x (e  1) 2 e e 2 đặt u=1+ex => du = exdx 1 du e x dx  C   (e x  1) 2   u 2 u 1  x C e 1 II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính a )  x ln(1  x )dx b )  ( x 2  2x  1)e x dx c )  x sin( 2x  1)dx d )  (1  x ) cos xdx Giải dx  du   u  ln( 1  x )   1 x a) Đặt    2 x dv  xdx v   2 x2 x 2dx  x ln(1  x)dx  2 ln(1  x)   2(1  x) x2 1  1   ln(1  x)    x  1  dx 2 2  1 x  x2 1 x2   ln(1  x)    x  ln | 1  x |   C 2 2 2  II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính a )  x ln(1  x )dx b )  ( x 2  2x  1)e x dx c )  x sin( 2x  1)dx d )  (1  x ) cos xdx Giải u  x 2  2 x  1 du  ( 2x  2)dx b) Đặt    x x v  e dv  e dx  2 x x 2 x ( x  2 x  1 ) e  ( 2 x  2 ). e dx ( x  2 x  1 ) e dx    u'  2x  2  x dv '  e dx  du'  2dx   x v '  e   2 x x x 2 x ( x  2 x  1 ) e  ( 2 x  2 ) e  2 . e ( x  2 x  1 ) e dx   dx    ( x 2  3)e x  2 e x dx  ( x 2  3)e x  2e x  C  ( x 2  1)e x  C II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính a )  x ln(1  x )dx b )  ( x 2  2x  1)e x dx c )  x sin( 2x  1)dx d )  (1  x ) cos xdx Giải du  dx u  x  c) Đặt    1 dv  sin( 2x  1)dx  v   2 cos(2x  1) 1  1  x (  cos( 2 x  1 ))   cos( 2 x  1 ) x sin( 2 x  1 ) dx   dx   2  2  1 1   x cos(2x  1)   cos(2x  1)dx 2 2 1 1 sin( 2x  1)   x cos(2x  1)  C 2 2 2 1 sin( 2x  1)   x cos(2x  1)  C 2 4 II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính a )  x ln(1  x )dx b )  ( x 2  2x  1)e x dx c )  x sin( 2x  1)dx d )  (1  x ) cos xdx d) Đặt Giải u  1  x du  dx    dv  cos xdx  v  sin x  (1  x) cos xdx  (1  x) sin x   sin x( dx )  (1  x) sin x   sin x.dx  (1  x) sin x  cos x  C Bài tập khác. Tính a )  x 2 x 3  1dx b )  sin 4 x cos 3 xdx c )  x 2 sin xdx d )  x 2 ln( x  1)dx Giải a )  x 2 x 3  1dx b )  sin 4 x cos 3 xdx Đặt u  x 3  1  u 3  x 3  1   sin 4 x(1  sin 2 x ) cos xdx  3u 2du  3x 2dx  x 2dx  u 2du Đặt 2 3 x x  1dx   4 2 uu  du  u u du  C  4 3 4 x 1 C 4 3 u  sin x  du  cos xdx 4 2 sin x ( 1  sin x ) cos xdx   4 2 4 6  du  u ( 1  4 ) du  u  u   u5 u7 sin 5 x sin 7 x  C  C 5 7 5 7 Bài làm thêm. Tính a )  x 2 x 3  1dx b )  sin 4 x cos 3 xdx c )  x 2 sin xdx d )  x 2 ln( x  1)dx c )  x sin xdx 2 Giải u  x 2 du  2xdx Đặt   dv  sin xdx  v   cos x 2 2 2 x (  cos x )  (  cos x ) 2 xdx   x cos x  2 x cos xdx x sin xdx    du'  dx u'  x  Đặt   v'  sin x dv'  cos xdx 2 2  x cos x  2( x sin x   sin xdx) x sin xdx     x 2 cos x  2x sin x  2 sin xdx   x 2 cos x  2x sin x  2 cos x  C Bài làm thêm. Tính a )  x 2 x 3  1dx b )  sin 4 x cos 3 xdx c )  x 2 sin xdx d )  x 2 ln( x  1)dx Giải dx  du   u  ln( x  1) x1 2 Đặt  d )  x ln( x  1)dx  3 2 x dv  x dx v   3 x3 x 3 dx 2  x ln( x  1)dx  3 ln( x  1)   3 x  1 x3 1  2 1   ln( x  1)    x  x  1  dx 3 3  x  1 x3 1 1 1   ln( x  1)   x 3  x 2  x  ln | x  1 |   C 3 3 3 2  CỦNG CỐ Qua bài học học sinh cần nắm được + Phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến số. + Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần.