A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
a. Về mặt lý luận
Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ
như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tu duy mà đặc
trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã
học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Chính vì vậy, nghị quyết
của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí thông
minh cho học sinh phổ thông đã chỉ rất rõ yêu cầu “ phát triển tư duy khoa học ”
và “ tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những
điều đã học ”.
Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc
lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi
đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động sáng tạo. Chính
vì vậy, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn toán là hết sức
cần thiết.
b. Về mặt thực tiễn
Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn toán nói riêng là
nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán
là khoa học suy diễn trừu tượng nhưng toán học THPT lại mang tính trực quan
cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng
toán học ban đầu và rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư
duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác toán học còn là khái
quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học toán ở trung học là hoàn
thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính
thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học. mỗi tiết học
là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kỹ năng mới, vận dụng một
cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau
này. Chính vì vậy người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh
của học sinh thông qua giờ học toán.
c. Về cá nhân
Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “Phát triển tư
duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách
thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua
thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường, tôi nhận thấy việc hình thành
những kiến thức và kỹ năng mới trong “Giải bài toán hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ”, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất
trong việc học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan
trọng của người giáo viên. Đó là lí do tại sao tôi chọn đề tài này.
2. Mục đích nghiên cứu
Một vấn đề thường gặp trong hình học, làm cho học sinh lúng túng, ngại
khó, ngại khổ và rất đau đầu ngay từ khi mới nhắc đến đó là các bài toán về
hình học không gian. Thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề
không dễ giải quyết và cần huy động hệ thống các kiến thức liên quan, phải vận
dụng chúng linh hoạt và sáng tạo. Với mục đích đơn giản hóa một số các bài
toán hình học không gian, tạo cho học sinh sự hứng thú với môn toán đặc biệt là
phần hình học không gian, không ngại khó, ngại khổ đối với các bài toán này.
Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã đơn giản hóa được phần lớn các bài toán
hình học không gian. Thông qua phương pháp tọa độ, phương pháp véctơ có thể
xây dựng thêm một công cụ giải toán mới cho phép đại số hóa hình học và hình
học hóa đại số.
Tác giả viết sáng kiến kinh nghiệm này nhắm cung cấp một cách tiếp cận
và giải quyết khác của một số bài toán hình học không gian cho các bạn yêu
thích toán học, các thầy cô giáo, các em học sinh lớp 12 làm tài liệu tham khảo
và tiếp tục phát triển hơn nữa.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
là một phần quan trọng của hình học 12 trong chương trình toán THPT. Các em
đã được làm quen với phương pháp tọa độ vì thế có thể sử dụng phương pháp
tọa độ để giải các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện.
4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm
Đối tượng khảo sát và thực nghiệm là một số các bài toán hình học không
gian trong chương trình phổ thông đối với học sinh lớp 12, học sinh ôn thi tốt
nghiệp, học sinh ôn thi đại học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận: “phát triển tư duy khoa học” và “tăng
cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng thông minh những điều đã học”.
Nhìn nhận kết quả của học sinh trong năm học vừa qua dối với môn toán
đặc biệt là hình học từ đó đưa ra phương pháp để nâng cao kết quả học tập cho
học sinh, và nhằm thiết lập mối quan hệ giữa hình học không gian và hình học
giải tích.
6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là một số các bài toán hình học không gian trong
chương trình phổ thông và một số các bài toán liên quan trong chương trình ôn
thi tốt nghiệp, ôn thi đại học.
Kế hoạch nghiên cứu: Trong năm học 2010 – 2011 đối với các em học sinh
lớp 12A13 tại trường THPT Mỹ Đức A.
B. NỘI DUNG VÀ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. Thực trạng thực tế khi thực hiện đề tài
Từ trước đến nay, các bài toán hình học không gian trong các đề thi tốt
nghiệp, đề thi đại học vốn không phải là phần khó. Tuy nhiên với việc giảng dạy
và học tập của học sinh phổ thông có thể chưa phù hợp, chưa đủ kích thích học
sinh, tạo cho các em sự hứng thu và say mê với môn hình học, từ đó học sinh
thấy hình học “khó và khổ”, và tạo cho học sinh một tâm lý không tốt khi đối
mặt với các bài toán hình học và đặc biệt hơn đó là các bài tập hình học không
gian. Nhiều em thường không biết bắt đầu từ đâu khi trước mặt các em là một
hình vẽ rối tung rối mù như bụi cây tầm gai…
Trước khi thực hiện đề tài tôi đã thực hiện khảo sát chất lượng học sinh
thông qua việc cho các em học sinh làm một bài kiểm tra viết với đề bài như
sau:
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Tính khoảng cách giữa hai
mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có:
A(0; 0; 0);
B(1; 0; 0);
C(1; 1; 0);
D(0; 1; 0);
A’(0; 0; 1);
B’(1; 0; 1);
C’(1; 1; 1);
D’(0; 1; 1).
x y z
1 hay x y z 1 0 .
1 1 1
uuuu
r
uuuuu
r
uuuur uuuuu
r
B ' C 0;1; 1 ; B ' D ' 1;1; 0 ; B ' C , B ' D ' 1;1;1 .
uuuur uuuuu
r
B
'
C
,
B
'
D
' 1;1;1 có
Mặt phẳng (B’CD’) đi qua C và có véc tơ pháp tuyến
Mặt phẳng (A’BD) có phương trình là:
phương trình là: 1 x 1 1 y 1 1 z 0 0 x y z 2 0 .
Ta có:
1 1 1 1
, vậy A ' BD / / B ' CD ' .
1 1 1 2
d A ' BD , B ' CD ' d B, B ' CD '
1 0 0 2
12 12 12
1
.
3
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) bằng
Kết quả:
1
.
3
Kiểm tra 45 học sinh lớp 12A12 trường THPT Mỹ Đức A có kết quả sau:
Có 47% học sinh biết dựa vào đề bài để chon hệ trục tọa độ sao cho tọa độ
các điểm trong bài toán được thuận tiện.
Có 33% học sinh tìm được chính xác tọa độ các điểm của bài toán trên hệ
trục đã chọn.
Có 13% học sinh trình bày hoàn chỉnh bài toán.
Chất lượng các bài giải của các em còn thấp, kỹ năng giải các bài toán dạng
này của các em còn yếu.
2. Các biện pháp thực hiện đề tài
Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức liên quan.
Bước 2: Hướng dẫn học sinh làm một số ví dụ điển hình.
Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải các bài tập tương tự cho học sinh thông qua một
số các bài tập bổ sung, nâng cao. Gợi cho học sinh hướng phát triển và mở rộng.
a) Các kiến thức cơ bản
1. Hệ trục tọa độ
Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc từng đôi một tại
r r r
O. Gọi i, j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục trục x’Ox, y’Oy, z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong
không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.
z
Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ.
O
Trục x’Ox gọi là trục hoành.
Trục y’Oy gọi là trục tung.
O
O
O
y
Trục z’Oz gọi là trục cao.
x
2. Tọa độ của một vec tơ
r
r
r
r
r
u x; y; z u xi y j zk
r
r
r
Ta có: i 1; 0; 0 ; j 0;1; 0 ; k 0; 0;1 .
ur
uu
r
v
v
(
x
;
y
;
z
)
Tính chất: Nếu có hai vectơ 1
1
1
1 và 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) thì:
ur uu
r
v
v
1 2 x 1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2
ur uu
r
v1 v2 x 1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2
ur
kv1 (kx1 ; ky1 ; kz1 )
ur uu
r
v1.v2 x 1.x2 y1. y2 z1.z2
ur uu
r
c
os
v
,
v
1 2
x 1.x2 y1. y2 z1.z2
x12 y12 z12 . x22 y22 z22
ur uu
r
ur uu
r
v1 v2 v1.v2 0 x1 x2 y1 y2 z1 z2 0
ur
ur 2
v1 v1 x12 y12 z12
ur uu
r y1
v
,
v
1 2
y2
z1 z1
;
z2 z2
x1 x1
;
x2 x2
y1
y2
3. Tọa độ của một điểm
uuuu
r
M x; y; z OM x; y; z
Ta có: Gốc tọa độ O 0; 0; 0 .
Liên hệ tọa độ của vec tơ và tọa độ của hai điểm mút:
Cho hai điểm A x A ; y A ; z A và B xB ; y B ; z B , ta có
uuu
r
uuu
r
OA x A ; y A ; z A ; OB xB ; yB ; z B .
uuu
r
AB xB x A ; y B y A ; z B z A .
x A xB y A yB z A z B
;
;
Trung điểm I của đoạn thẳng AB: I
.
2
2
2
x A xB xC y A yB yC z A z B zC
;
;
Trọng tâm G của ABC : G
.
3
3
3
4. Phương trình mặt cầu
Phương trình tổng quát của mặt cầu tâm I a; b; c , bán kính R 0 có dạng:
x a
2
y b z c R2
2
2
5. Phương trình mặt phẳng
r r
r
Vec tơ n 0 gọi là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của n
vuông góc với mặt phẳng .
Trong không gian Oxyz phương trình Ax By Cz D 0 , với
A 2 +B2 +C2 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Mặt phẳng có phương trình tổng quát Ax By Cz D 0 thì
r
nó có vec tơ pháp tuyến n A; B; C .
Mặt phẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và có vectơ pháp tuyến
r
n A; B; C phương trình viết dạng:
A x x0 B y y0 C z z0 0
6. Phương trình đường thẳng
r r
Vec tơ u 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của
r
u song song hoặc trùng với d.
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và có
x x0 at
r
vec tơ chỉ phương u a; b; c dạng: y y0 bt , với t là tham số.
z z ct
0
7. Công thức về góc
uu
r uur
Giả sử các đường thẳng , ' lần lượt có vec tơ chỉ phương là u , u ' . Mặt
uu
r uur
phẳng , lần lượt có các vec tơ pháp tuyến n , n .
rr
r r
r r
u.v
Góc giữa hai vec tơ u , v : cos u; v r r
u.v
uu
r uur
u .u '
r uur
Góc giưa hai đường thẳng , ' : cos ; ' uu
u . u '
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : sin ;
uu
r uu
r
u .n
uu
r uu
r
u . n
góc giữa hai mặt phẳng và : cos ;
uur uur
n .n
uu
r uur
n . n
8. Công thức về khoảng cách
uuuuur uu
r
MM 0 , u
uu
r
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : d M ;
u
uu
r
Với M 0 , u là vec tơ chỉ phương của đường thẳng .
Khoảng
:
cách
từ
điểm
M x0 ; y0 ; z0
Ax By Cz D=0 bằng d M ;
đến
mặt
phẳng
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau , ' :
uu
r uur uuuuu
r
u , u ' .MM '
d , '
uu
r uur
u , u '
Với M, M’ lần lượt là các điểm thuộc , ' .
9. Công thức về diện tích và thể tích
uuu
r uuur
Diện tích hình bình hành ABCD bằng: S ABCD AB, AD
uuur uuur uuuu
r
V
AB,
AD
.AA
'
Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:
uuu
r uuur uuur
AB, AC . AD
Thể tích tứ diện ABCD bằng: VABCD
6
b) Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng
chúng ta hải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song
song, vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể
chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ,
vectơ với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hướng
rõ ràng hơn và khả năng tìm được lời giải nhanh hơn. Để thực hiện được điều
đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm
được quy trình giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp.
Phương pháp giải toán:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ.
Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán.
Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ
hình học.
Trong các bước trên, bước 2 và bước 4 học sinh có thể hoàn toàn làm
được nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở
bước 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo
để giải các bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phương
pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa
vào một số đặc điểm của bài toán để khai thác theo hướng thuận lợi nhất. Dưới
đây là một số nguyên tắc căn bản để lập hệ trục tọa độ:
Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đố tìm một quan hệ vuông góc ở mặt
đáy điều náy có nghĩa là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc
với nhau. Nơi giao nhau và vuông góc đó chính là gốc tọa độ cần chọn và đồng
thời hai trục kia chính là trục hoành và trục tung.
Từ gốc (đã xác định ở trên) ta dựng trục vuông góc với mặt đáy để hoàn
thành việc thiết lập hệ trục, trục vuông góc với mặt đáy chính là trục cao.
Nhìn vào hình vẽ khai tọa độ các điểm liên can đến yêu cầu bài toán, để
ý rằng với một số điểm không dễ khai tọa độ ta cần chú ý đến các quan hệ cùng
phương, đồng phẳng, vuông góc và sử dụng các công thức định lượng để khai
bằng được tọa độ các điểm liên quan tới bài toán.
1. Hình chóp tam giác
1.1. Dạng tam diện vuông
Trường hợp này việc chọn hệ trục khá đơn giản: Gốc tọa độ là đỉnh tam
diện vuông, các trục tọa độ là ba cạnh tương ứng của góc tam diện vuông.
Ví dụ 1: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a,
OB = b, OC = c.
a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC.
b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
z
Giải
C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0;
y
B
c).
a)
A
Giả sử điểm I(x; y; z) là tâm của
O
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC, khi
đó:
OI 2 AI 2
OI AI
2
2
OI BI OI BI
OI CI
OI 2 CI 2
a
x
x2 y 2 z 2 x a 2 y 2 z 2
2
b
a b c
I ; ; .
x 2 y 2 z 2 x 2 ( y b) 2 z 2 y
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
(
z
c
)
c
z 2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC bằng
2
2
2
a 2 b2 c2
a b c
.
OI =
2
2
2
2
b)
Ta có phương trình mặt phẳng (ABC):
x y z
1 hay bcx acy abz abc 0
a b c
d O, ABC
abc
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
.
Ví dụ 2: (Trích đề thi đại học khối D – năm 2002)
x
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC =
AD = 4 cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng
(BCD).
Giải
Trong tam giác ABC, ta có: AB 2 AC 2 32 42 52 BC 2
ABC vuông tại A. Như vậy AB, AC, AD đôi một vuông góc tại A.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với gốc O trùng với điểm A. Ta có:
z
y
D
C
A
B
x
A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 4; 0), D(0; 0; 4).
Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
x y z
1 4 x 3 y 3 y 12 0.
3 4 4
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng :
d A,( BCD)
4.0 3.0 3.0 12
42 32 32
12
6 34
.
17
34
1.2. Có đáy là một tam giác vuông
Trong tình huống này ta có thể chọn luôn hai cạnh vuông góc ở mặt đáy
lần lượt là trục hoành và trục tung, lúc này gốc tạo độ chính là đỉnh vuông của
tam giác đáy, từ đó ta hãy dựng trục vuông góc với mặt đáy lên và đây chính là
trục cao.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác
� 60, BC SA a . Tính cosin của góc giữa hai mặt
ABC vuông tại B, BCA
phẳng SAC và SBC .
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
S
Ta có:
z
B(0; 0; 0), C(a; 0; 0)
BA BC.tan 60 a 3
y
A 0; a 3;0 , S 0; a 3; a .
(
A
x
C
B
uur
uur
SA 0; 0; a , SB 0; a 3; a ,
uuu
r
SC a; a 3; a
uur uuu
r
ur uur uuu
r
r
SA, SC a 2 3; a 2 ; 0 m, SB, SC 0; a 2 ; a 2 3 n
ur
Mặt phẳng SAC có véc tơ pháp tuyến m , mặt phẳng SBC có véc tơ pháp
r
tuyến n . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC , ta có:
ur r
m.n
1
cos ur r .
m.n 4
Trong ví dụ trên ta cũng có thể lấy cạnh bên AS vuông góc với đáy làm trục
uuur
cao, AB làm trục hoành, A là gốc tọa độ và tia Ax cùng hướng với BC làm
trục tung.
Ví dụ 3. (Trích đề thi đại học khối D – năm 2003)
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường
thẳng . Trên lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm
C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với và
AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Giải
Trong mặt phẳng (Q) vẽ tia Ay vuông góc với AB và chọn hệ trục tọa độ như
hình vẽ, với gốc O trùng với điểm A. ta có:
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; 0; a), D(a; a; 0).
Giả sử tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I(x; y; z). Ta có
a
x
2
x2 y2 z 2 x a 2 y 2 z 2
AI 2 BI 2
a
2
2
2
2
2
2
2
2
y
AI CI x y z x y ( z a )
2
AI 2 DI 2
x 2 y 2 z 2 ( x a )2 ( y a )2 z 2
a
z 2
a a a
Vậy I ; ; .
2 2 2
Bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng:
2
2
2
a
a
a
a 3
.
r AI 0 0 0
2
2
2
2
uuur
Ta có: BC a; 0; a ;
uuur
BD 0; a; 0 ;
uuur uuur
BC , BD a 2 ; 0; a 2 .
Mặt phẳng (BCD) có phương trình đi qua B và có vec tơ pháp tuyến
r uuur uuur
n BC , BD , có phương trình dạng:
a 2 x a 0. y 0 a 2 z 0 0
xza0
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng:
d A, ( BCD )
00a
12 12 02
a 2
2
1.2. Có đáy là một tam giác cân
Đối với trường hợp này ta có thể lợi dụng quan hệ vuông góc ở mặt phẳng
đáy giữa đường cao và đáy của tam giác cân và coi đó là hai trục hoành, trục
tung của hệ trục. Lưu ý tới việc chọn gốc tọa độ để thuận lợi cho việc xây dựng
z
trục cao.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân
S tại B, AC = a 3 ,
AB = SA = SC = a. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC).
C
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
y
b) Tìm cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và
O (ABC).
Giải
A
B
x
Gọi O là trung điểm của AC. Ta có OB, OC, OS đôi một vuông góc và:
OA OC
a
a 3
; OB OS .
2
2
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:
a
a
a 3
a 3
O(0; 0; 0), B( ; 0; 0), C(0;
; 0), S(0; 0; ), A(0;
; 0).
2
2
2
2
x
y
z
1
Phương trình mặt phẳng (SBC): a a 3 a
2
2
2
3x y 3z
a 3
0
2
a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
d A,( SBC )
3.0
a 3
a 3
3.0
2
2
2
3 12
3
2
a 21 .
7
b) Mặt phẳng (ABC) chính là mặt phẳng tọa độ (Oxy), do vậy nó có một vectơ
r
k
pháp tuyến là 0; 0;1 .
r
Mặt phẳng (SBC) có một vec tơ pháp tuyến n 3;1; 3 .
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Ta có:
rr
k .n
3
cos r r
7
k .n
z
Ví dụ 4: (Trích đề thi đại học khối A – năm 2002)
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a.
Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện
N
M góc với mặt phẳng
tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông
(SBC).
Giải
I
C
B
O
y
A
x
Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) O là tâm của tam
giác đều ABC.
Gọi I là trung điểm của BC, ta có:
AI
a 3
2
a 3
1
a 3
; OA AI
; OI AI
.
2
3
3
3
6
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Khi đó OA, Oy, OS
đôi một vuông góc, chọn hệ trục như hình vẽ và đặt OS = h, ta có:
a 3
a 3
a 3 a
O 0;0;0 , A
;0;0 , I
; 0; 0 , B
; ; 0 , S 0; 0; h ,
3
6
6
2
a 3 a
a 3 a h a 3 a h
C
; ; 0 , M
; ; , N
; ; .
6
2
12
4
2
12
4 2
uuuu
r 5a 3 a h uuur 5a 3 a h
AM
; ; , AN
; ; ,
Ta có:
12
4
2
12
4 2
uur a 3 a
r a 3 a
uuu
SB
; ; h , SC
; ; h .
2
6 2
6
r uuuu
r uuur ah
5a 2 3
n
AM
,
AN
;
0;
Mặt phẳng (AMN) có vec tơ pháp tuyến là
.
4
24
ur uur uuu
r
a2 3
Mặt phẳng (SBC) có vec tơ pháp tuyến là m SB, SC ah; 0;
.
6
r ur
a 2 h 2 5a 4
5a 2
2
0 h
.
Do (AMN) (SBC) nên n.m 0
4
48
12
S AMN
r uuur
1 uuuu
a 2 10
AM , AN
.
2
16
(Trích đề thi đại học khối D – năm 2006)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =
2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp
A.BCNM.
2. Hình chóp tứ giác
2.1. Hình chóp tứ giác có một góc tam diện vuông
Ví dụ :
Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AC’
vuông góc với mặt phẳng (B’CD’).
z
Giải
A’
D’
C’
B’
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.
x
B
D y
A
O
C
Giả sử hình lập phương có cạnh a.
Ta có toạ độ các điểm là:
A(0;0;0); B’(a;0;a); C(a;a;0);
D’(0;a;a); C’(a;a;a).
Ta có:
uuuu
r
uuuu
r
AC a; a; a ; BC 0; a; a
uuuur
D ' C a;0; a .
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuur
AC .BC a.0 a.a a. a 0 AC ' B ' C AC ' B ' C
uuuu
r uuuur
uuuu
r uuuur
AC '.D ' C a.a a.0 a.( a) 0 AC ' D ' C AC ' D ' C
(1)
(2).
Từ (1) và (2) suy ra AC ' B ' CD ' .
Vậy suy ra điều phải chứng minh.
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh bằng a.
a.
Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC’.
b.
Gọi K là trung điểm DD’. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường
thẳng CK và A’D’.
c.
Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai
góc bằng nhau. Tính các góc này.
z
Giải.
A’
B’
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với
B Ax, D Ay và A Az , khi đó:
A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a;0 , D 0; a;0
A 0;0; a , B a;0; a , C a; a; a , D 0; a; a .
a.
uuur
uuuu
r
a; a; a
A
B
a
;0;
a
&
AC
Ta có
Gọi là góc tạo bở A’B và AC’ ta có:
x
B A
D’
C’
Dy
C
uuur uuuu
r
AB. AC
cos uuuur uuuu
r 0 .
2
A ' B . AC '
Gọi d1 là khoảng cách giữa A’B và AC’. ta có:
uuuur uuuur uuur
A ' B, A ' C . AA '
a
d1
uuuur uuuur
.
6
A ' B, A ' C
uuur
a uuuur
& A ' D 0; a; a .
b. Ta có: K 0; a; , KC a;0;
2
2
a
Gọi là góc tạo bởi CK và A’D, ta có:
uuur uuuur
KC. A ' D
1
cos uuur uuuur
.
10
KC . A ' D
Gọi d2 là khoảng cách giữa CK và A’D, ta có:
uuur uuuur uuur
KC , A ' D , KD a
d2
uuur uuuur
3
KC , A ' D
c. Ta có BB’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCC’B’) nên:
y 0
x a
x a 0
y 0
BB ' :
BB ' :
Mặt phẳng (P) qua BB’ có dạng:
P : x a my 0 P : x my a 0
r
vtpt n 1; m;0
ur
uu
r
Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp là u1 0;1;1 và u2 1; 1;1 ) hai góc bằng
nhau ( giả sử là ) nên:
sin
m
2 m 1
2
1 m
3 m 1
2
3 m 2 1 m m 2 4m 2 0
m 2 6 .
Với m 2 6 ta được:
sin
6 2
2
2
6 2 1
6 2
22 8 6
6 2
4 6
2
6 1
5
Với m 2 6 ta được:
6 2
sin
2
2 6 2 1
6 2
22 8 6
6 2
4 6
2
6 1
5 .
2.2. Hình chóp tứ giác chân đường cao trùng với tâm của đáy
3. Hình lăng trụ
3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
3.2. Lăng trụ khác
Ví dụ : (Trích đề thi Đại học khối A - 2009 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a,
CD = a; Góc giữ hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 . Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải
S
z
y
D
C
I
AO
B
x
- Xem thêm -
.DOC 
44 
98 
83 
