www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Bài tập tự luyện
Bài tập 1. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy.
a. Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y + 2 = 0 sao cho ∆ABC vuông tại C , biết
A (1; −2) ,B (1; −3) .
b. Cho tam giác ABC có A ( 3; 2 ) và phương trình hai đường trung tuyến
BM : 3x + 4y − 3 = 0,CN : 3x − 10y − 17 = 0 . Tính tọa độ các điểm B, C.
c. Cho tam giác ABC có A ( −3; 0 ) và phương trình hai đường phân giác trong
BD : x − y − 1 = 0,CE : x + 2y + 17 = 0 . Tính tọa độ các điểm B, C.
d. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A . Xác định tọa độ
3 đỉnh của tam giác để đường thẳng AC đi qua điểm N ( 7; 7 ) , M ( 2; −3 ) thuộc
AB và nằm ngoài AB , phương trình BC : x + 7y − 31 = 0 .
e. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có B ( 1; 5 ) , đường cao
có phương trình x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ
AH : x + 2y − 2 = 0, phân giác ACB
điểm A .
Bài tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( −1;3) và
đường thẳng ( ∆ ) : x − 2y + 2 = 0 .Người ta dựng hình vuông ABCD sao cho 2 điểm B
và C
nằm trên đường thẳng ( ∆ ) và các tọa độ của đỉnh C đều dương.
a. Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D ;
b. Tìm chu vi và diện tích hình vuông ABCD .
Bài tập 3. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác MNP có N ( 2; −1) , đường cao hạ từ M xuống NP có phương
trình: 3x − 4y + 27 = 0 và đường phân giác trong đỉnh P có phương trình:
x + 2y − 5 = 0 . Viết phương trình các cạnh chứa các cạnh tam giác.
b. Cho tam giác ABC có C ( 5; −3 ) và phương trình đường cao AA' : x − y + 2 = 0 ,
đường trung tuyến BM : 2x + 5y − 13 = 0 .Tính tọa độ các điểm A, B.
c. Cho tam giác ABC có B ( 1; −3 ) và phương trình đường cao AD : 2x − y + 1 = 0 ,
đường phân giác CE : x + y − 2 = 0 .Tính tọa độ các điểm A, C.
549
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
d. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E ( 1; −1) là tâm của một hình vuông, một
trong các cạnh của nó có phương trình x − 2y + 12 = 0 . Viết phương trình các cạnh
còn lại của hình vuông.
e. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có chu vi bằng 6 2 , đỉnh A
thuộc trục Ox ( A có hoành độ dương) và hai đỉnh B,C thuộc đường thẳng
d : x − y + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BD .
Bài tập 4. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
2
a. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm G 0; . Viết phương trình
3
1 1
chứa các cạnh tam giác để I ; − là trung điểm cạnh BC .
2 2
b. Cho tam giác ABC có M ( 2; 0 ) là trung điểm của cạnh AB . Đường trung tuyến
và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0
và
6x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC .
c. cho điểm C ( 2; −5 ) và đường thẳng ∆ : 3x − 4y + 4 = 0 .Tìm trên ∆ hai điểm A
5
và B đối xứng nhau qua I 2; sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.
2
?
d. Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , tâm I
là giao điểm của đường thẳng ( d1 ) : x − y − 3 = 0, ( d 2 ) : x + y − 6 = 0 . Trung điểm
của một cạnh là giao điểm của ( d1 ) với trục Ox .Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD .
e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh
AB : x − 2y − 1 = 0 , đường chéo BD : x − 7y + 14 = 0 và đường chéo AC đi qua
điểm E ( 2;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Bài tập 5. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác ABC có 3 cạnh theo thứ tự nằm trên 3 đường thẳng là :
( d1 ) : x + y − 6 = 0 , ( d2 ) : x − 4y + 14 = 0, ( d3 ) : 4x − y − 19 = 0 .
Hãy xét hình dạng của
tam giác.
b. Cho điểm A ( 2; 2 ) và hai đường thẳng: d1 : x + y − 2 = 0, d 2 : x + y − 8 = 0 . Tìm
tọa độ điểm B,C lần lượt thuộc d1 ,d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .
550
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
c. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2
cạnh AB, AC lần lượt là: x + 2y − 2 = 0 và 2x + y + 1 = 0 , điểm M (1; 2 ) thuộc đoạn
BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC có giá trị nhỏ nhất.
d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2x − 2y − 14 = 0 có
tâm I và đường thẳng ( d ) : x + y + m = 0 . Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm phân
biệt A, B đồng thời diện tích tam giác IAB lớn nhất.
e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình
đường thẳng AB, BD lần lượt là: x − 2y + 1 = 0 và x − 7y + 14 = 0 , đường thẳng
AC đi qua M ( 2; 1) . Tìm toạ độ điểm N thuộc BD sao cho NA + NC nhỏ nhất.
Bài tập 6. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác ABC có A ( 4; −1) và phương trình hai đường trung tuyến BB1 :
8x − y − 3 = 0, CC1 : 14x − 13y − 9 = 0 . Tính tọa độ các điểm B, C.
4
b. Cho hình chữ nhật ABCD, với toạ độ các đỉnh A ( 1;1) . Gọi G 2; là trọng
3
tâm tam giác ABD. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật biết D nằm trên
đường thẳng có phương trình: x − y − 2 = 0.
c. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 .
Đường thẳng AB có phương trình 3x + 4y + 1 = 0, đường thẳng BD có phương
trình x + y − 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C, D?.
d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M ( 4; 6 ) là trung
điểm của AB .Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng ( d ) có
phương trình 3x – 5y + 6 = 0, điểm N ( 6; 2 ) thuộc cạnh CD . Hãy viết phương
trình cạnh CD biết tung độ điểm I lớn hơn 4 .
Bài tập 7. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác ABC có A ( 4; −1) , phương trình hai đường phân giác
BE : x − 1 = 0,CF : x − y − 1 = 0 . Tính tọa độ các điểm B, C.
b. Cho tam giác ABC vuông tại C , biết A ( 3; 0 ) , đỉnh C thuộc trục tung, điểm B
nằm trên đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 12 = 0. Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC ,
biết diện tích tam giác ABC bằng 6.
551
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
c. Cho hình bình hành ABCD có B ( 1; 5 ) và đường cao AH có phương trình
có phương
x + 2y − 2 = 0 , với H thuộc BC, đường phân giác trong của góc ACB
trình là x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A,C, D.
d. Cho tam giác ABC với hai điểm A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) và trọng tâm G nằm trên
đường thẳng d : x + y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm C, biết diện tích tam giác ABC
bằng
3
.
2
e. Cho hình bình hành ABCD có D ( −6; −6 ) . Đường trung trực của đoạn DC có
phương trình ( d ) : 2x + 3y + 17 = 0 và đường phân giác góc BAC có phương
trình ( d' ) : 5x + y − 3 = 0 .Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.
Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác ABC có C ( −4; −5 ) và phương trình đường cao AD : x + 2y − 2 = 0 ,
đường trung tuyến BB1 : 8x − y − 3 = 0 .Tìm tọa độ các điểm A, B.
b. Cho
hình thang vuông ABCD, vuông tại A và D. Phương trình AD
x − y 2 = 0 . Trung điểm M của BC có tọa độ M (1;0 ) . Biết BC = CD = 2AB. Tìm tọa
độ của điểm A .
3
c. Cho ∆ABC ,biết tọa độ điểm A ( 2; −3 ) và B ( 3; −2 ) , diện tích tam giác ∆ABC là
3
và trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng ∆ : 3x − y − 8 = 0 .Tìm tọa độ
2
điểm C .
d. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
có phương trình là: x + 2y − 5 = 0. Tìm tọa
Đường phân giác trong của góc ABC
độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm K ( 6; 2 ) .
e. Cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh AB là : x − 2y = 0 , điểm
9
I ( 4; 2 ) là trung điểm của AB , điểm M 4; thuộc cạnh BC , diện tích tam giác
2
ABC bằng 10 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn
hơn hoặc bằng 3 .
Bài tập 9. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác ABC có B ( 1; 5 ) và phương trình đường cao AD : x + 2y − 2 = 0 ,
đường phân giác trong CC1 : x − y − 1 = 0 . Tính tọa độ các điểm A, C.
552
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
b. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương trình BC : 2x − y − 7 = 0, đường
thẳng
AC
đi qua điểm
M ( −1;1) ,
điểm
A
nẳm trên đường thẳng
∆ : x − 4y + 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có
hoành độ dương.
( d1 ) : 2x − 3y − 3 = 0 và
( d2 ) : 5x + 2y − 17 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của ( d1 )
c. Cho
2
đường thẳng lần lượt có phương trình là
2
AB
, ( d 2 ) lần lượt cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho
đạt giá trị nhỏ
S ∆OAB
nhất.
( P ) : y = x2 + 2x − 3 . Xét hình bình hành ABCD
A ( −1; −4 ) , B ( 2; 5 ) thuộc ( P ) và tâm I của hình bình hành thuộc cung AB của
( P ) sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Hãy xác định tọa độ hai điểm
d. Cho
parabol
C, D.
e. Cho tam giác ABC cân tại A, có đỉnh
B và C
thuộc đường thẳng
d1: x + y + 1 = 0 .Đường cao đi qua đỉnh B là d 2 : x − 2y − 2 = 0 , điểm M ( 2;1)
thuộc đường cao đi qua đỉnh C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác
ABC
3
5
. Hai đường cao xuất
2
phát từ B và C lần lượt có phương trình: d1 : x − y + 1 = 0, d 2 : 2x + y − 4 = 0. Tìm
f. Cho tam giác ABC có A nằm trên Ox với 0 < x A <
tọa độ A, B, C sao cho diện tích tam giác ABC là lớn nhất.
Bài tập 10. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho
tam giác
ABC
có phương trình các đường cao
AD : 2x − y + 1 = 0, BE : x + y − 2 = 0 , C thuộc đường thẳng d : x + y − 6 = 0 và BC
đi qua M ( 0; 3 ) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
b. Cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AB : 2x + y − 1 = 0, và
C, D lần lượt thuộc 2 đường thẳng d1 : 3x − y − 4 = 0, d 2 : x + y − 6 = 0. Tính diện
tích hình vuông
c. Cho hình bình hành ABCD có A ( 2;1) , đường chéo BD có phương trình
x + 2y + 1 = 0. Điểm M nằm trên đường thẳng AD sao cho AM = AC. Đường
thẳng MC có phương trình x + y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình
bình hành ABCD .
553
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
d. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BC là
( d ) : x + 7y − 31 = 0 , điểm N ( 7; 7 ) thuộc đường thẳng AC, điểm M ( 2; −3 ) thuộc
AB và nằm ngoài đoạn AB . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
Bài tập 11. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
4 1
a. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm G ; , phương trình đường
3 3
thẳng BC : x − 2y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG : 7x − 4y − 8 = 0 . Tìm
tọa độ các đỉnh A,B,C .
b. Cho hình thang ABCD ( AB CD ) . Biết hai đỉnh B ( 3; 3 ) và C ( 5; −3 ) . Giao
điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng ∆ : 2x + y − 3 = 0. Xác định tọa
độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI = 2BI, tam giác ACB có diện
tích bằng 12 , điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm .
Bài tập 12. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0 , cạnh BC
song song với d , phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm cạnh
AC là M ( 1;1) . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
3
b. Cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB và AD theo thứ tự là
x + 2y − 2 = 0 và 2x + y + 1 = 0 . Cạnh BD chứa điểm M (1; 2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh
của hình thoi
Bài tập 13. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
a. Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A ( 6; 6 ) , đường thẳng đi qua trung điểm
của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và
C , biết điểm E ( 1; −3 ) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
b. Cho hai đường thẳng d1 : x − y − 2 = 0, d 2 : 2x + y − 5 = 0 . Viết phương trình
đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O cắt d1 , d 2 lần lượt tại A , B sao cho
OA.OB = 10 .
Bài tập 14. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC , biết
C ( 4; 3 ) và các đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ A lần lượt có
phương trình x + 2y − 5 = 0, 4x + 13y − 10 = 0 .Tìm tọa độ điểm A, B .
554
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Bài tập 15. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại
A có đỉnh A( −1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 .
Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18 .
Bài tập 16. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC với
A ( 2; −4 ) , B ( 0; −2 ) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x − y + 1 = 0 . Hãy tìm
tọa độ của C , biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 3 .
Bài tập 17. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông
tại A , có đỉnh C( −4;1) , phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0 . Viết
phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A
có hoành độ dương.
Bài tập 18. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có
M ( 1; 0 ) , N ( 4; −3 ) lần lượt là trung điểm của AB, AC ; D ( 2; 6 ) là chân đường cao
hạ từ A lên BC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
Bài tập 19. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có
M ( −2;2) là trung điểm BC và phương trình cạnh ( AB) : x − 2y − 2 = 0,
( AC ) :2x + 5y + 3 = 0 . Hãy xác định tọa độ 3đỉnh của tam giác.
Bài tập 20. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có
trọng tâm G ( −2; −1) và phương trình các cạnh là ( AB) : 4x + y + 15 = 0,
( AC ) :2x + 5y + 3 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh
A , trung điểm M của BC , đỉnh B,C .
Bài tập 21. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có B (3;5) ,
đường kẻ từ A có phương trình : 2x − 5y + 3 = 0 và trung tuyến kẻ từ C có phương
trình : x + y − 5 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A , trung điểm M ∈ AB .
Bài tập 22. Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD , biết rằng M ( 0; 2 ) ∈ AB,
N ( 5; −3 ) ∈ BC, P ( −2; −2 ) ∈ CD, Q ( 2; −4 ) ∈ DA .
Bài tập 23. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 2 điểm
A ( −1;1 ) ,B ( 2;2) . Tìm điểm C trên đường thẳng ( d ) : y = 3 , sao cho SABC = 2 (đvdt).
Khi đó tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
555
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Bài tập 24. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình bình hành
ABCD có B (1;5) , đường cao AH : x + 2y − 2 = 0 , đường phân giác trong d của góc
có phương trình
ACB
x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình
hành.
Bài tập 25. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC
vuông cân tại A , các đỉnh A, B,C lần lượt nằm trên các đường thẳng d :
x + y − 5 = 0, d1 : x + 1 = 0, d 2 : y + 2 = 0 và BC = 5 2 . Tìm tọa độ đỉnh A, B,C
của tam giác.
Bài tập 26. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có C ( 1;1) và
AB = 5
và
AB :
x + 2y − 3 = 0 , trọng tâm
∆ABC
thuộc đường thẳng
x + y − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm A, B .
Bài tập 27. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD
có A ( −2; 6 ) , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x − 2y + 6 = 0 . Gọi M, N lần lượt là
hai điểm trên 2 cạnh BC,CD sao cho BM = CN . Xác định tọa độ đỉnh C , biết
2 14
rằng AM cắt BN tại I ; .
5 5
3
Bài tập 28. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A ( 2; 7 ) ,
đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho AE = 2EB , đồng thời ∆AEC cân tại
13
A và có trọng tâm G 2; . Viết phương trình chứa cạnh BC .
3
Bài tập 29. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật
ABCD
có diện tích bằng 12 , tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 : x − y − 3 = 0
và d2 : x + y − 6 = 0 . Trung điểm của AB là giao điểm của d1 với trục Ox.
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Bài tập 30. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD
biết M ( 2;1 ) , N ( 4; −2) ; P ( 2;0) ; Q (1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD . Hãy lập
phương trình các cạnh của hình vuông.
556
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Bài tập 31. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm
1
I(2; 1) và AC = 2BD. Điểm M 0; thuộc đường thẳng AB; điểm N ( 0; 7 ) thuộc
3
đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương.
Bài tập 32. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 2; 0 ) và 2
đường thẳng d1 : x − y = 0, d 2 : x + 2y + 1 = 0 . Tìm các điểm B ∈ d1 , C ∈ d 2 để
tam giác ABC vuông cân tại A .
Bài tập 33. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy cho hai đường thẳng
d1 : x − 2y + 1 = 0,d 2 : 2x + 3y = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông
ABCD , biết A thuộc đường thẳng d1, C thuộc đường thẳng d2 và hai điểm B, D
thuộc trục Ox .
7 5
Bài tập 34. Cho hình bình hành ABCD . Biết I ; là trung điểm của cạnh CD ,
2 2
3
D 3; và
2
3
có phương trình là ∆ : x − y + 1 = 0 . Xác định tọa độ đỉnh
đường phân giác góc BAC
B.
Bài tập 35. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ba điểm I (1; 1) ,
J ( −2; 2) , K ( 2; −2) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm
hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD .
Bài tập 36. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ba đường thẳng
d1 : 4x + y − 9 = 0, d2 :2x − y + 6 = 0, d3 : x − y + 2 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thoi ABCD , biết hình thoi ABCD có diện tích bằng 15 , các đỉnh A,C thuộc d3 , B
thuộc d1 và D thuộc d2 .
Bài tập 37. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A ( 2;2) ,B(7;2) và
đường
thẳng ( ∆ ) : x + 3y − 3 = 0 . Hãy tìm trên ( ∆ ) các điểm C và D sao cho :
a. ∆ABC cân tại A ;
557
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
b. ( AD + BD ) ngắn nhất.
Bài tập 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( −1; −1) , B ( 0; 2 ) ,
C ( 0;1) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ
B và C tới ∆ là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
x = t − 2
y = t
Bài tập 1.a. ( d ) : x − y + 2 = 0 ⇔
t ∈ R ; C ∈ ( d ) nên C ( t − 2;t )
AC = ( t − 3;t + 2) ,BC = ( t + 1;t − 3)
∆ABC vuông tại C khi AC ⊥ BC ⇔ AC.BC = 0 ⇔ ( t − 3)( 2t + 3) = 0
3
7 3
⇔ t 1 = 3 ⇒ C1 (1;3) hoặc t 2 = − ⇒ C2 − ; −
2
2 2
b. Gọi G là trong tâm của tam giác, suy ra tọa độ của G là nghiệm của hệ
7
3x + 4y − 3 = 0
7
x =
⇔
3 ⇒ G ; −1 .
3
3x − 10y − 17 = 0
y = −1
3
5
Gọi E là trung điểm của BC , suy ra EA = GA ⇒ E 2; − .
2
2
3
Giả sử B ( a; b ) , suy ra C ( 4 − a; −5 − b ) . Từ đó ta có hệ:
3a + 4b − 3 = 0
3a + 4b − 3 = 0
a = 5
.
⇔
⇔
3 ( 4 − a ) − 10 ( −5 − b ) − 17 = 0
−3a + 10b + 45 = 0
b = −3
Vậy, B ( 5; −3 ) ,C ( −1; −2 ) .
c. Gọi A1 đối xứng với A qua BD , suy ra A1 ∈ BC và A1 ( 1; −4 )
43 56
A 2 đối xứng với A qua CE , suy ra A 2 ∈ BC và A 2 − ; − .
5
5
Suy ra phương trình BC : 3x − 4y − 19 = 0 .
x − y − 1 = 0
x = −15
⇔
⇒ B ( −15; −16 ) .
Tọa độ B là nghiệm của hệ:
3x − 4y − 19 = 0
y = −16
x + 2y + 17 = 0
x = −3
⇔
⇒ C ( −3; −7 ) .
Tọa độ C là nghiệm của hệ:
3x − 4y − 19 = 0
y = −7
558
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Vậy, B ( −15; −16 ) ,C ( −3; −7 ) .
d. AB đi qua M ( 2; −3 ) có phương trình: a ( x − 2 ) + b ( y + 3 ) = 0
ABC vuông cân tại A ⇔ 12a 2 − 7ab − 12b2 = 0
Giả sử AB : 4x + 3y + 1 = 0 ⇒ AC : 3x − 4y + 7 = 0 ⇒ A ( −1;1) , B ( −4; 5 ) , C ( 3; 4 ) .
, ta tìm
e. BC : 2x − y + 3 = 0 . Gọi A' là điểm đối xứng của B qua phân giác ACB
được A' ( 6; 0 ) . Tọa độ điểm A là giao điểm A'C và AH ⇒ A ( 4; −1)
Bài tập 2.a. Dựng đường thẳng ( d ) qua A ( −1;3) và
( d ) ⊥ ( ∆ ) ⇒ ( d ) :2( x + 1) + 1( y − 3) = 0
hay ( d ) :2x + y − 1 = 0
( ∆ ) ∩ ( d ) = {B(0;1)} ⇒ AB = 5
xC − 2y C + 2 = 0
Gọi C ( xC ;y C ) ,xC > 0;y C > 0 . Ta có
⇒ C ( 2;2)
2
2
xC + ( y C − 1) = 5
Hình ABCD là hình vuông nên : BA = CD ; ta có :
−1 = x D − 2 x D = 1
⇒
⇒ D (1;4 )
2 = y D − 2
y D = 4
3
b. Chu vi hình vuông : P = 4.AB = 4 5 ⇒ S = AB2 = 5
Bài tập 3. a. NP đi qua N và vuông góc với đường cao hạ từ M , nên có phương
trình:
4x + 3y − 5 = 0 . P ( −1; 3 ) là tọa độ giao điểm của NP và phân giác trong
= IPN
.
góc P . Giả sử PI là phân giác trong P thì MPI
PM : y − 3 = 0, MN : 4x + 7y − 1 = 0
Gợi ý cách khác:
MH : 3x − 4y + 27 = 0, phân giác PI : x + 2y − 5 = 0
Lấy N' đối xứng với N qua PI .
Viết NP qua N và vuông góc MH
Viết PM qua P có uPM = PN'
b. Ta có phương trình BC : x + y − 2 = 0
x + y − 2 = 0
x = −1
Suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ:
⇔
⇒ B ( −1; 3 ) .
2x + 5y − 13 = 0
y = 3
559
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
a + 5 a −1
Gọi A ( a; a + 2 ) , suy ra tọa độ của trung điểm AC là M
;
2
2
Mà M ∈ BM nên 2
a+5
a −1
+5
− 13 = 0 ⇔ a = 3 ⇒ A ( 3; 5 ) .
2
2
Vậy, A ( 3; 5 ) , B ( −1; 3 ) .
c. Ta có phương trình BC : x + 2y + 5 = 0 .
x + y − 2 = 0
x = 9
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
⇔
⇒ C ( 9; −7 ) .
x + 2y + 5 = 0
y = −7
Gọi B' là điểm đối xứng với B qua CE , suy ra B' ( 5;1) và B' ∈ AC
Do đó, ta có phương trình AC : 2x + y − 11 = 0 .
5
2x − y + 1 = 0
5
x =
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
⇔
2 ⇒ A ;6 .
+
−
=
2x
y
11
0
2
y = 6
5
Vậy, A ; 6 ,C ( 9; −7 ) .
2
d. Gọi hình vuông đã cho là ABCD . ( AB ) là x − 2y + 12 = 0 .
3
Gọi H là hình chiếu của E lên đường thẳng AB . Suy ra H ( −2; 5 )
A, B thuộc đường tròn tâm H , bán kính EH = 45 có phương trình:
( x + 2 )2 + ( y − 5 )2 = 45
x − 2y + 12 = 0
Toạ độ hai điểm A, B là nghiệm của hệ:
.
2
2
( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 45
Giải hệ tìm được A ( 4; 8 ) , B ( −8; 2 ) . Suy ra C ( −2; −10 )
AD : 2x + y − 16 = 0 , BC : 2x + y + 14 = 0 , CD : x − 2y − 18 = 0 .
3 2
3 2
. A thuộc Ox và d ( A,Ox ) =
⇒ A ( 2; 0 )
2
2
x − y + 1 = 0
1 3
B là hình chiếu của A trên d nên có toạ độ :
⇒ B ; .
+
−
=
x
y
2
0
2 2
BD hợp với d góc 450 và có VTPT n = ( a; b ) ≠ 0 thoả :
e. Chu vi bằng 6 2 ⇒ AB =
560
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
a.1 − b.1
2
2 a +b
2
= cos 450 ⇒ BD : 2x − 1 = 0 hoặc 2y − 3 = 0
Bài tập 4.a Gọi B ( x B ; y B ) , C ( xC ; yC ) là tọa độ cần tìm.
1
G là trọng tâm tam giác nên có: GI = AI ⇒ I ( −1; 3 )
3
I là trung điểm BC và tam giác ABC vuông cân tại A nên có:
x B + xC = 2xI = 1
y B + yC = 2yI = −1 B ( 4;1) ,C ( −3; 2 )
⇒
= AC
B ( −3; 2 ) ,C ( 4;1)
AB
ABAC = 0
7x − 2y − 3 = 0
b. Tọa độ A thỏa mãn hệ:
⇒ A ( 1; 2 )
6x − y − 4 = 0
Vì B đối xứng với A qua M nên suy ra B ( 3; − 2 ) .
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng: 6x − y − 4 = 0 nên suy
ra phương trình BC : x + 6y + 9 = 0 .
7x − 2y − 3 = 0
3
⇒ N 0; −
Tọa độ trung điểm N của BC thỏa mãn3hệ:
2
x + 6y + 9 = 0
Suy ra AC = 2.MN = ( −4; − 3 ) .
Phương trình đường thẳng AC : 3x − 4y + 5 = 0 .
16 − 3a
3a + 4
c. Gọi A a;
⇒ B 4 − a;
.
4
4
Khi đó diện tích tam giác ABC là: S ABC =
1
AB.d ( C, ∆ ) = 3AB
2
2
2 6 − 3a
Theo giả thiết ta có: AB = 5 ⇔ ( 4 − 2a ) +
= 25 ⇔ a = 0 hoặc a = 4
2
Vậy hai điểm cần tìm là A ( 0;1) và B ( 4; 4 ) .
9 3
d. I ; . Giả sử M là trung điểm AD ⇒ M ( 3; 0 ) . AB = 2IM = 3 2
2 2
⇒ AD = 2 2 , MA = MD = 2 . ( AD ) : x + y − 3 = 0 .
561
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
x + y − 3 = 0
Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:
2
2
( x − 3 ) + y = 2
⇒ A ( 2;1) , D ( 4; −1) ,C ( 7; 2 ) , B ( 5; 4 )
e. Ta có: B = AB ∩ BD suy ra tọa độ B là nghiệm hệ:
x − 2y − 1 = 0
x = 7
⇔
⇒ B = ( 7; 3 )
x − 7y + 14 = 0
y = 3
Giả sử A ( 2a + 1; a ) ∈ AB, D ( 7d − 14; d ) ∈ BD
⇒ AB = ( 6 − 2a; 3 − a ) , BD = ( 7d − 21; d − 3 ) , AD = ( 7d − 2a − 15; d − a )
Do AB ⊥ AD ⇒ AB.AD = 0 ⇔ ( 3 − a )(15d − 5a − 30 ) = 0 ⇔ 3d − a − 6 = 0
⇒ a = 3d − 6 ⇒ AD = ( d − 3; 6 − 2d ) .
Lại có: BC = ( xC − 7; yC − 3 ) . Mà ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC
d − 3 = xC − 7
x = d + 4
⇒ C
⇒ C = ( d + 4; 9 − 2d ) .
6 − 2d = yC − 3 yC = 9 − 2d
⇒ EA = ( 6d − 13; 3d − 7 ) , EC = ( d + 2; 8 − 2d ) với E = ( 2;1)
Mặt khác điểm E ( 2;1) ∈ AC ⇒ EA, EC cùng phương
⇔ ( 6d − 13 )( 8 − 2d ) = ( d + 2 )( 3d − 7 ) ⇔ d 2 − 5d + 6 = 0 ⇒ d = 2 ⇒ a = 0
3
Vậy A = (1; 0 ) , B = ( 7; 3 ) , C = ( 6; 5 ) , D = ( 0; 0 ) là các đỉnh của hình chữ nhật cần
tìm.
3
34
Bài tập 5.a.
⇒ ϕ1 = ϕ2
3
cosϕ2 = cos ( d1 ;d3 ) =
34
cosϕ1 = cos ( d1 ;d2 ) =
Vậy, ∆ABC cân có cạnh đáy là x + y − 6 = 0 .
b. Vì B ∈ d1 ⇒ B ( b; 2 − b ) ,C ∈ d 2 ⇒ C ( c; c − 8 ) .
AB.AC = 0
( b − 1)( c − 4 ) = 2
Ta có hệ:
⇔
2
2
AB = AC
( b − 1) − ( c − 4 ) = 3
x = 2
x = −2
xy = 2
⇔
hoặc
Đặt x = b − 1; y = c − 4 ta có hệ: 2
2
x − y = 3
y = −1
y = 1
Vậy, B ( 3; −1) ,C ( 5; 3 ) hoặc B ( −1; 3 ) ,C ( 3; 5 ) .
562
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
c. Gọi vectơ pháp tuyến AB, AC, BC lần lượt là: n1 ( 1; 2 ) , n 2 ( 2;1) , n 3 ( a; b )
Phương trình BC có dạng: a ( x − 1) + b ( y − 2 ) = 0,a 2 + b 2 > 0
Tam giác ABC cân tại A nên: cos B = cos C ⇔ cos n1 , n 3 = cos n 2 , n 3
(
⇔
a + 2b
2
2
=
a +b . 5
)
(
)
2a + b
a = − b
⇔
a = b
a +b . 5
2
2
−2 1
Với a = − b , chọn b = −1 ⇒ a = 1 ⇒ BC: x − y + 1 = 0 ⇒ B ( 0;1) ,C ; . Không
3 3
thỏa mãn M thuộc đoạn BC.
Với a = b , chọn a = b = 1 ⇒ BC: x + y - 3 = 0 ⇒ B ( 4; −1) ,C ( −4; 7 ) . Thỏa mãn M
thuộc đoạn BC.
Gọi trung điểm của BC là K ( 0; 3 ) .
BC2
BC2
Ta có: DB.DC = DK + KB . DK + KC = DK 2 −
≥−
4
4
(
)(
)
Dấu bằng xảy ra khi D ≡ K . Vậy D ( 0; 3 )
d. Ta có x 2 + y 2 + 2x − 2y − 14 = 0 ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = 16
2
2
Do vậy đường tròn ( C ) có tâm I ( −1;1 ) và bán kính R = 4.
3
Đường thẳng d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ d ( I,d ) < 4
−1.1 + 1.1 + m
< 4 ⇔ m < 4 2 ⇔ −4 2 < m < 4 2 ( ∗ )
12 + 12
Với điều kiện ( ∗) , đường thẳng d cắt ( C ) tại A, B phân biệt.
⇔
1
= 1 R 2 sin AIB
= 8 sin AIB
≤ 8.
IA.IB.sin AIB
2
2
= 1 ⇔ AIB
= 900 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin AIB
Diện tích tam giác IAB : S ∆IAB =
Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I .
m
m = 4
R
Do vậy d ( I,d ) =
=2 2 ⇔
=2 2⇔
(thỏa ( ∗) )
2
2
m = −4
Vậy, diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 8 khi m = −4 hoặc m = 4 .
e. ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và BD ,
Gọi vectơ pháp tuyến AB, BD, AC là n AB ( 1; −2 ) , n BD ( 1; −7 ) , n AC ( a; b ) (với
a 2 + b2 > 0 ) . Khi đó ta có: cos n AB , n BD = cos n AC , n AB
(
)
(
)
563
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
a = − b
a 2 + b 2 ⇔ 7a 2 + 8ab + b 2 = 0 ⇔
a = − b
2
7
Với a = − b , chọn a = 1 ⇒ b = −1 ⇒ AC : x – y – 1 = 0
⇔ a − 2b =
3
b
, chọn a = 1 ⇒ b = −7 ⇒ AC : x – 7y + 5 = 0 ( không thỏa vì AC
7
không cắt BD )
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC ∩ BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:
7
x=
x − y − 1 = 0
2 ⇒I 7 ; 5
⇔
2 2
x − 7y + 14 = 0
y = 5
2
Hơn nữa A, C khác phía so với BD nên: NA + NC ≥ AC
Với a = −
7 5
Đẳng thức xảy ra khi N = AC ∩ BD ⇒ N ≡ I . Vậy N ; .
2 2
Bài tập 6. a B ∈ BB1 ⇒ B ( b; 8b − 3 ) , C1 là trung điểm của AB nên có
b+4
C1
; 4b − 2
2
3
Mặt khác: C1 ∈ CC1 nên suy ra
A
7 ( b + 4 ) − 13 ( 4b − 2 ) − 9 = 0
⇔ b = −1 ⇒ B ( −1; −11)
C1
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra
B1
tọa độ của G là nghiệm của hệ :
1
x = 3
8x − y − 3 = 0
1 1
⇔
⇒ G ;−
−
−
=
14x
13y
9
0
1
3 3
y = −
3
B
C
x = 3xG − x A − x B = −2
Suy ra C
⇒ C ( −2;11) .
yC = 3yG − y A − y B = 11
b. Cách 1: Gọi I là giao điểm 2 đường chéo hình chữ nhật ABCD. Vì G là trọng
tâm tam giác ABD nên A,G,I thẳng hàng. Theo tính chất trọng tâm tam giác ta
564
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
5 3
dễ dàng tìm ra tọa độ điểm I ; . Vì I là trung điểm AC nên biết tọa độ A,I
2 2
ta sẽ tìm ra tọa độ C ( 4;2 ) .
Vì D thưôc đường thẳng x − y − 2 = 0 mà C thỏa mãn phương trình này . Do đó
DC: x − y − 2 = 0 .
Biết phương trình DC sẽ viết được phương trình AB mà ABCD là hình chữ
nhật nên biết pháp tuyến AB ta sẽ biết pháp tuyến AD từ đó viết được phương
trình AD . Tọa độ D là giao điểm của AD và DC . Ta tìm được D . Vì I là trung
điểm BD nên ta tìm được nốt B
Cách 2: Gọi I là trung điểm của BD . Theo tính chất trọng tâm ta có :
3
x =
xG − x A = 2 ( xI − xG )
I 2
⇔
AG = 2GI ⇔
y = 5
yG − y A = 2 ( yI − yG )
I 2
Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có I là trung điểm của AC . Từ đó :
xC = 2xM − x A = 4
⇒ C ( 4; 2 )
xC = 2yM − y A = 2
D ∈ d : x − y − 2 = 0 ⇒ D ( x; x − 2 ) .
AD ⊥ DC ⇒ DA.DC = 0
{
}
c. AB ∩ BD = B ( 9; −7 )
3
Gọi I là giao điểm AC và BD , suy ra I ( a; 2 − a ) , D ( −9 + 2a;11 − 2a )
Vì BC ⊥ AB ⇒ BC : 4x − 3y + m = 0 . BC qua điểm B nên ta tìm được m .
Theo giả thiết diện tích hình chữ nhật là 22 nên ta có: AB ⋅ BC = 22. Hơn nữa
BC ⊥ AB ⇒ BC.AB = 0 dễ dàng tìm ra tọa độ C, D.
4 + xP = 2xI
d. Gọi P ( xP ; yP ) đối xứng với M ( 4; 6 ) qua I nên
6 + yP = 2yI
3 ( 4 + xP )
5 ( 6 + yP )
+ 6 = 0 ⇔ 3xP − 5y P − 6 = 0 ( 1)
2
2
Lại có PM ⊥ PN ⇔ PM.PN = 0 ⇔ ( xP − 4 )( xP − 6 ) + ( y P − 6 )( y P − 2 ) = 0
I thuộc ( d ) nên
−
Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra: 34yP 2 − 162yP + 180 = 0 ⇔ yP = 3 hoặc yP =
(2)
30
17
Bài tập 7.a Gọi M là điểm đối xứng với A qua CF , suy ra M ∈ BC . Vì AM ⊥ CF
nên AM : x + y − 3 = 0 .
565
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Do đó AM ∩ CF tại I ( 2;1) , M đối xứng với A qua I ⇒ M ( 0; 3 ) .
Tương tự, gọi N là điểm đối xứng
A
với A qua BE , suy ra N ∈ BC và
N ( −2; −1) .
I
Suy ra MN = ( 2; 4 ) ⇒ phương
F
E
trình BC : 2x − y + 3 = 0 .
x − 1 = 0
B = BE ∩ BC ⇒ B :
2x − y + 3 = 0
M
B
N
C
x = 1
⇔
⇒ B ( 1; 5 )
y = 5
x − y − 1 = 0
x = −4
⇔
⇒ C ( −4; −5 ) .
C = CF ∩ BC ⇒ C :
2x − y + 3 = 0
y = −5
b. Giả sử rằng: B ( 3b; −4b + 4 ) ,C ( 0; c ) .
Ta có: AC = ( −3; c ) , BC = ( −3b; 4b + c − 4 )
Giả thiết tam giác ABC vuông tại C 3ta có: AC.BC = 0 ⇔ 9b + 4bc + c 2 − 4c = 0
(1)
S ∆ABC =
3c − 12
1
AB.d ( C; AB ) , trong đó: AB = 5 b − 1 , d ( C; AB ) =
5
2
Theo bài toán, ta có:
3c − 12
1
.5 b − 1
= 6 ⇒ ( b − 1)( c − 4 ) = 4
2
5
(2)
c. BC đi qua B ( 1; 5 ) và vuông góc AH nên BC : − 2x + y – 3 = 0
−2x + y − 3 = 0
⇒ C ( −4; −5 )
Toạ độ C là nghiệm của hệ:
x − y − 1 = 0
Gọi
A' là điểm đối xứng B qua đường phân giác
( d ) : x − y − 1 = 0,
BA ∩ ( d ) = K . Đường thẳng KB đi qua B và vuông góc ( d ) nên KB có phương
trình : x + y – 6 = 0
x + y − 6 = 0
7 5
⇒ K ; ⇒ A' ( 6; 0 )
Toạ độ điểm K là nghiệm của hệ:
−
−
=
x
y
1
0
2 2
Phương trình AC : x – 2y – 6 = 0 , A = CA'∩ AH ⇒ A ( 4; −1)
566
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Trung điểm I ( 0; −3 ) của AC, đồng thời I là trung điêm BD nên D ( −1; −11) .
d. . AB : x – y – 3 = 0 . Giả sử G ( m; 2 − m ) ∈ d ⇒ C ( 3m − 3; 9 − 3m ) .
S ∆ABC =
6m − 15
m = 2
3
3
1
3
3
⇒ .AB.d ( C; AB ) = ⇒ d ( C; AB ) =
⇒
=
⇒
2
2
2
2
2
2
m = 3.
e. Phương trình DC qua D và vuông góc ( d ) là: 3x − 2y + 6 = 0 .
Giao điểm của DC và ( d ) là: M ( −4; −3 ) và cũng là trung điểm DC . Suy ra tọa
độ C ( −2; 0 ) .
Gọi C′ là điểm đối xứng của C qua d' thì C′∈ AB, phương trình CC′ :
1 1
x − 5y + 2 = 0 . Giao điểm CC′ và d' là I ; .Suy ra tọa độ C' ( 3;1) .
2 2
Phương trình AB qua C′ vuông góc ( d ) là: 3x − 2y − 7 = 0.
Bài tập 8.a Vì BC ⊥ AD nên phương trình BC : 2x − y + 3 = 0 .
8x − y − 3 = 0
B = BC ∩ BB1 ⇒ B :
2x − y + 3 = 0
A
0
x = 1
⇔
⇒ B ( 1; 5 )
y = 5
B1
Do A ∈ AD , suy ra A ( 2 − 2a; a ) .
B
a−5
Do đó B1 −a − 1;
.
2
Mà B ∈ BB1 nên ta có: 8 ( −a − 1) −
C
a−5
− 3 = 0 ⇔ a = −1 ⇒ A ( 4; −1) .
2
b. Gọi H là hình chiếu của M
⇒ BC = CD = 2x ⇒ MH =
D
lên AD ta có
2 2
H ;
. Đặt AB = x
3 3
3x
1
2
. Vậy, AD = .
=
2
3
3
567
www.VNMATH.com
Nguyễn Phú Khánh
Gọi A
t=
(
2a; a
)
và H là trung điểm của AD suy ra D ( ; ) và AD =
2
suy ra
3
2 2
2
⇒ A ;
3 3
3
5 5
c. Gọi M là trung điểm AB ⇒ M ; − ⇒ AB : x − y − 5 = 0
2 2
1
1
Vì G là trọng tâm ∆ABC ⇒ S ∆ABG = S ∆ABC = . Giả sử G ( x0 ; y 0 ) , ta có:
3
2
x − y 0 − 5 2S ∆ABG
1
=
=
d ( G; AB ) = 0
⇔ x0 − y0 − 5 = 1 ( 1)
AB
2
2
Vì G ∈ ∆ : 3x − y − 8 = 0 ⇒ 3x0 − y 0 − 8 = 0 ( 2 )
Từ ( 1) v à ( 2 ) suy ra G ( 1; −5 ) ⇒ C ( −2; −10 ) hoặc G ( 2; −2 ) ⇒ C ( 1; −1)
d. Gọi tọa độ điểm B ( −2b − 5; b ) ⇒ C ( 2b + 5; − b ) .
Điểm O ∈ BC . Lấy đối xứng O qua phân giác của góc B ta được điểm
M ( 2; 4 ) ∈ AB ⇒ BM = ( 7 + 2b; 4 − b ) CK = ( 1 − 2b; 2 + b )
Vì tam giác ∆ABC vuông tại A nên có: BM.CK = 0 ⇒ b = −3 hoặc b = 1 .
e. Gọi tọa độ điểm B ( 2y B ; y B ) ⇒ A ( 8 − 2y B ; 4 − y B )
0
Phương trình đường thẳng CI : 2x + y − 10 = 0
Gọi tọa độ điểm C ( xC ;10 − 2xC ) ⇒ CI = 5 4 − xC , AB = 20 y B − 2
Diện tích tam giác ABC là: S ABC =
1
CI.AB = 10 ⇔ 4y B + 2xC − xC y B − 8 = 2
2
⇔ xC y B − 4y B − 2xC = −6 ( 1) hoặc xC y B − 4y B − 2xC = −10 ( 2 )
4 − xC = k ( 2y B − 4 )
Vì M ∈ BC ⇒ CM = kMB ⇔ 11
9 vì y B ≥ 3
− + 2xC = k y B −
2
2
⇒ 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = 0 ( 3 )
x y − 4y B − 2xC = −6
y = −1 − 2
Từ ( 1) và ( 3 ) ta có hệ: C B
⇒ B
2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = 0 xC = −1 + 2
x y − 4y B − 2xC = −10
y = 3
Từ ( 2 ) và ( 3 ) ta có hệ: C B
⇔ B
2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = 0
xC = 2
568
- Xem thêm -
.PDF 
38 
787 
50 
