Tài liệu 20 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 có đáp án chi tiết (bản word)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN LỚP 6 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần. Bài 2: (4 điểm) Tìm x (x  N) a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 3: (4 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22017 + 22018 a) Tính các tổng M b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 Bài 4: (3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được một số mới lớn gấp 4 lần số cũ. Bài 5: (6 điểm) a) Cho 40 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng? b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng? c) Cho n điểm (n  N). Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta một đường thẳng. Biết rằng tất cả có 105 đường thẳng. Tìm n ? ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Nội dung Biểu điểm * Trường hợp không dùng lũy thừa: Số lớn nhất có thể viết được là: 321 0,5 điểm *Trường hợp dùng lũy thừa:(Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1) - Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 132; 312; 123; 213 1điểm So sánh 213 với 312 Ta có: 213 > 312 (vì 213 = 9261; 312 = 961) 1 (3 điểm) - Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 213; 231; 312; 321 So sánh: 321 với 231 Ta có: 321 = 3. 320 = 3 (32)10 = 3.910 231 = 2.230 = 2.(23)10 = 2.810 1 điểm Từ đó suy ra: 321 > 231 - So sánh 321 với 213 Ta có: 321 > 39 = (33)3 = 273 > 213 0,5 điểm Vậy số lớn nhất là : 321 2 a) 5x = 125 (4 điểm) 5x = 53 0,5 điểm Vậy x = 3 0,5 điểm b) 32x = 81 0,5 điểm 32x = 34 0,5 điểm 2x = 4 . Vậy x = 2 0,5 điểm c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x-3 = 52.3 + 2.52 0,5 điểm 52x-3 = 53 0,5 điểm 2x – 3 = 3 0,25 điểm x = 3 Vậy x = 3 0,25 điểm Cho M = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22017 + 22018 a) Tính các tổng M Ta có: 2M = 22 + 23 + 24 + . . . + 22018 + 22019 1 điểm Lấy 2M – M = 22019 - 2 Vậy M = 22019 - 2 1 điểm 3 (4 điểm) b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 M = ( 2 + 22 ) +( 23 + 24 ) + ( 25 + 26 )+ . . . + ( 22017 + 22018) 0,75 điểm M = 2(1 + 2) +23(1 + 2 ) + 25(1 + 2)+ . . . + 22017(1 + 2) 0,5 điểm M = 3( 2 + 23 + 25 + . . . + 22017) 0,5 điểm Vậy M  3 0,25 điểm Gọi số cần tìm là abcde 4 , ta có: Đặt abcde = x abcde4 .4 = 4abcde nên abcde 4 = x 4 0,25 điểm 0,25 điểm 4 Ta có: x 4 . 4 = 400 000 + x 0,75 điểm (3 điểm) (10x + 4) . 4 = 400 000 + x 0,5 điểm 40x + 16 = 400 000 + x 0,5 điểm 39x 0,5 điểm x 5 (6 điểm) = 399984 = 10256 Vậy số phải tìm là : 102564 0,25 điểm a) Kẻ từ 1 điểm bất kì với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng 0,75 điểm Làm như vậy với 40 điểm ta được : 39.40 = 1560 (đường thẳng) 0,5 điểm Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần 0,25 điểm Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2 = 780 (đường thẳng) 0,75 điểm b) Nếu 40 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 780 đường thẳng * Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được: 0,75 điểm 10. 9: 2 = 45 (đường thẳng) * Còn nếu 10 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 45 – 1 = 44 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là : 780 – 44 = 736 (đường thẳng) c) Ta có: n.(n – 1): 2 = 105 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm n.(n – 1) = 105 .2 0,25 điểm n.(n – 1) = 210 0,25 điểm n.(n – 1) = 15. 14 0,25 điểm Vậy n = 15 0,25 điểm PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN TĨNH GIA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2017-2018 Môn Toán - Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : a) (-2013).2014+1007.26  1313 10   130 1515  b)        1414 160   140 1616  Câu 2: (6.0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x- y = 2011 ; y-z = -2012 ; z+x = 2013 b) Tìm hai số tự nhiên a và b biết : BCNN(a,b)=180; ƯCLN(a,b) = 12 c) Tìm n   ñeå phaân soá A= 4n  1 coù giaù trò nguyeân. 2n  3 Câu 3: (4.0 điểm) Một hiệu sách có năm hộp bút bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc. Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì? Câu 4: (4.0 điểm) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 7cm; OD = 3cm ; BC = 8cm và AC =3BD. a) Tính độ dài AC. b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD. Câu 5: (2.0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó vào sau số 2014 ta được số chia hết cho 101. (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ........................................................................... SBD: ................... HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Câu Ý a (2.0đ) Lời giải (-2013).2014+1007.26 = (-2013).2014+2014.13 = 2014.(-2013+13) = 2014.(-2000) = - 4028000 Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 1 (4.0đ) b (2.0đ) a (2.0đ) 2 (6.0đ)  1313 10   130 1515         1414 160   140 1616   13 1   13 15          14 16   14 16  1.0  13 13   15 1         14 14   16 16  1 0.5 0.5 Từ đề bài ta có: (x-y)+(y-z)+(z+x) = 2011+(-2012)+2013  2x = 2012  x = 1006 Vì x- y = 2011  y = x - 2011 = 1006 - 2011 = -1005 Vì x+z = 2013  z = 2013 - x = 2013 - 1006 = 1007 Vậy: x = 1006 ; y = -1005 ; z = 1007 Ta có: ab = 180.12 = 2160 Giả sử a  b. Vì ƯCLN(a,b)= 12 nên a=12m, b=12n với (m,n)=1 và m n Suy ra : 12m.12n = 2160  m.n = 15. Ta có bảng sau: b (2.0đ) m 1 3 n 15 5 a 12 36 b 180 60 4n  1 2(2n  3) 7 7   2  2n  3 2n  3 2n  3 2n  3 A coù giaù trò nguyeân  2n+3  Ö(7) = { 1; 7} A= c (2.0đ) Ta coù baûng sau: 2n+3 1 -1 7 -7 n -1 -2 2 -5 Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là: 78+ 80+ 82+ 114+ 128 = 482 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 (chiếc) Vì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và và bút chì còn lại là số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp 3 (4.0đ) 1.25 bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2. Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2 . Vậy hộp bút chì bán đi là Hộp 3: 82 chiếc. Số bút bi và bút chì còn lại là : 482 - 82= 400 (chiếc) Số bút chì còn lại : 400:5 = 80(chiếc) Vậy: Các hộp đựng bút chì là: Hộp 2 ; Hộp 3 . Các hộp đựng bút bi là: Hộp 1; Hộp 4; Hộp 5 0.75 0.5 0.5 0.25 0.25 a x (3.0đ) 4 (4.0đ) b (1.0đ) D O 3x B Cx A Đặt BD = x (cm)  AC = 3x (cm) Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên: OD+DA = OA  DA = 4  DB+BA = 4 hay x + BA = 4 (1) Vì A nằm giữa B và C nên: BA + AC = BC hay 3x + BA = 8 (2) Từ (1) và (2) ta có: (3x + BA) - (x + BA) = 8-4  2x = 4  x = 2  AC = 3.2 = 6 (cm) Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2  BA = 2 Mà BD = x = 2  BD = BA (=2)  B là trung điểm của đoạn thẳng AD Giả sử n có k chữ số (k 1) Ta có 2014=19.101 + 95, do đó: 2014n 2014.10k  n 19.101.10k  95.10k  n 5 (2.0đ) Suy ra: 2014n 101 khi và chỉ khi 95.10 k  n 101 k Với k= 1 thì 95.10  n  950  n 101.9   41  n  101 khi và chỉ khi 41  n 101 nhưng n có một chữ số nên 41  n 41  9  101 , nên không có số n thỏa mãn đầu bài. k Với k = 2 thì 95.10  n  9500  n 101.94   6  n  101 suy ra 6  n101 , và số n nhỏ nhất được xác định bởi 6 + n = 101. Suy ra n = 95 Đáp số: n = 95 thỏa mãn đề ra. 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Bài hình không vẽ hình thì không chấm điểm. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO THIỆU HÓA Môn: Toán 6 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (4,0 điểm).  1  1 1  1  1  1  a) Tính: A  1    1    1   ... 1   1  1   2   3   4   2014   2015   2016  b) Tìm x biết: Bài 2 (3,0 điểm). x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 16       12 20 30 42 56 72 9 a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau. Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) = 18. Tìm hai số a và b. Bài 3 (3,0 điểm). a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số ab a b ( ab là số có 2 chữ số). Bài 4 (4,0 điểm). 2 a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho:  2x  1  y  5  12 . b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số? Bài 5 (5,0 điểm). Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 6cm, AC= 2cm. a) Tính BC.   b) Giả sử cho OAB . 80o , tính OAC c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d. Bài 6 (1,0 điểm). Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc  ab ac 7 . ------HẾT------ Họ và tên học sinh:……………………………Số báo danh: …………..………… HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 – NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1 Nội dung 1  1  1   1  1 1  a) Tính: A  1    1    1   ... 1   1  1   2   3   4   2014   2015   2016  x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 16       b) Tìm x biết: 12 20 30 42 56 72 9 a) Tính: 1  1  1   1  1 1   A  1    1    1   ...  1   1  1   2   3   4   2014   2015   2016  Điểm 1  2  1   3  1   4  1   2014  1   2015  1   2016  1      ...      2   3   4   2014   2015   2016  1.2.3...2013.2014.2015 1   2.3.4.5...2014.2015.2016 2016 1 Vậy A  2016 0,75 0,25 b) Tìm x x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 x  2 16       12 20 30 42 56 72 9 1 1 1 1  16  1 1 (x  2)          12 20 30 42 56 72  9 1 1 1 1 1  16  1 (x  2)         3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9  9  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  16 (x  2)               3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9  1 1  16 (x  2)     3 9 9 2 16 (x  2)  9 9 2(x  2) 16 x  2 8 x 10 Vậy x = 10 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau. Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) =18. Tìm hai số a và b. 2 a) Do B = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có B = x1831 0,5 Vì B = x1831 chia cho 9 dư 1  x1831 - 1  9  x1830  9 0,25  x + 1 + 8 + 3 + 0  9  x + 3  9, mà x là chữ số nên x = 6 0,5 0,25 Vậy x = 6; y = 1 b) ƯCLN  a, b  18 nên a = 18x; b = 18y và x, y nguyên tố cùng nhau +) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630 18x.18y = 18.630  xy = 630 : 18 = 35 0,25 0,5 +) Vì a, b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau nên x, y cũng là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau:  x.y = 35 = 5.7  x = 5; y = 7 hoặc x = 7; y = 5 0,5 Vậy a = 90; b = 126 hoặc a = 126; b = 90 0,25 a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số ab a b ( ab là số có 2 chữ số). a) Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 và 4 thì chỉ có thể dư 0 hoặc 1 +) Từ giả thiết, suy ra p chia hết cho 2, 3 nhưng không chia hết cho 4 +) Như vậy, vì p 3 suy ra p – 1 chia cho 3 dư 2  p – 1 không là số chính phương; +) Vì p 2 và p không chia hết cho 4 suy ra p chia cho 4 dư 2  p + 1 chia cho 4 3 dư 3 nên p + 1 cũng không là số chính phương. Vậy rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. b) Nhận xét: ab là số có 2 chữ số suy ra 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤9 ab 10a  b 9a 9  1  1  Ta có a  b b ( vì a 0 ) a b a b 1 a b ab Phân số nhỏ nhất  lớn nhất  b = 9; a = 1 a b a 19 Vậy giá trị nhỏ nhất của phân số là: 10 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 2 a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho:  2x  1  y  5  12 . 4 b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số? a) Theo giả thiết, suy ra 2x + 1 là số tự nhiên lẻ và y2 – 5 cũng là số tự nhiên. 2   2x  1  y  5  12 3.4 1.12 0,5 0,25 2 TH1: 2x + 1 = 3 và y – 5 = 4. Giải tìm được x = 1 và y = 3 TH2: 2x + 1 = 1 và y2 – 5 = 12. Tìm được x = 0 và y2 = 17 ( vô lý) Vậy x = 1 và y = 3 b) Giả sử 22015 có m chữ số và 52015 có n chữ số (m, n nguyên dương) 5 Ta có 10m  1  2 2015  10 m ; 10n  1  52015  10n suy ra 10m n  2  102015  10m n Do đó m + n – 2 < 2015 < m + n hay 2015 < m + n < 2017  m + n = 2016 Vậy số tạo thành có 2016 chữ số Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 6cm, AC= 2cm. a) Tính BC.   b) Giả sử cho OAB . 80o , tính OAC c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao 0,5 0,5 0,25 1 1 nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d. 0,25 0,25 a) Tính BC. Vì A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nên xảy ra 2 trường hợp TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)  AB = AC + CB  BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)  BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm 0,75 0,75 0,25  b) Tính OAC . TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)   Tia AC và tia AB trùng nhau  OAC OAB 80o 0,75 TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)     Tia AC và tia AB đối nhau  OAC; là hai góc kề bù  OAC OAB  OAB 180o   Suy ra: OAC 180o  OAB 180o  80o 100o   Vậy OAC 80o hoặc OAC 100o c) +) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt +) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O. Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O. Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là : 2018.2017 2035153 (góc) 2 6 Vậy có 2035153 góc đỉnh O Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc  ab ac 7 . 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: abbc  ab ac 7 (1)  100. ab + bc = 7. ab . ac  ab (7. ac - 100) = bc  7. ac - 100 = bc bc Vì 0 < < 10 nên 0 < 7. ac - 100 < 10 ab ab 0,25 100 110  ac   16 . Vậy ac = 15 7 7 thay vào (1) được 1bb5 1b 15 7  1005 + 110b = 1050 + 105.b  100 < 7. ac < 110  14   5b = 45  b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = 5 0,25 0,25 0,25 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn. PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) ----------------------------- Bài 1: ( 2 điểm) 1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất: 2010 x 2011  1005 A= 2010 x 2010 1005 2. Thực hiện phép tính:   B = 33 1  2  2  2    1  ... 1   3  5  99  Bài 2: (2 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220 a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5. b. Tìm chữ số tận cùng của M. Bài 3: ( 2 điểm ) 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : n + 5 n – 2 2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho : (2x + 1)(y – 3) = 10 Bài 4: ( 3 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN = a . 2 2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC. Bài 5 (1 điểm) Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2 điểm) 1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất: 2010 x 2011  1005 2010 x (2010 1)  1005 2010 x 2010  2010  1005  A= = 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 1 = 2010 x 2010 1005 2) Thực hiện phép tính:   B = 33 1  2  2  2    1  ... 1   3  5  99  = 33. 1 3 5 97 1 1 . . ... = 33. = 3 5 7 99 99 3 Bài 2: (2 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220 a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 : M = 2 + 22 + 23 + … + 220 = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220) = 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23) = 2. 15 + 25.15 + …+ 217.15 = 15. 2(1 + 24 + …+ 216) = 3 . 5 .2 .(1 + 24 + …+ 216)  5 b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M  2 ; M  5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M 10. Do đó M tận cùng bằng chữ số 0. Bài 3: ( 2 điểm ) 1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7  n – 2  7  n – 2  n – 2  Ư(7) =  1 ; 7 n–2 1 -1 7 -7 n 3 1 9 -5 Vậy : n   3 ; 1 ; 9 ;  5 2) Ta có x , y  N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2 2 x  1 1 2 x  1 5 Do đó :  hoặc   y  3 10  y  3 2  x 0  x 2   Suy ra :  y 13 hoặc  y 5 Bài 4: ( 3 điểm) 1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC = N là trung điểm của CB nên : CN = NB = Suy ra : MC + CN = 1 .AC 2 1 .CB 2 1 ( AC + CB ) 2 C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N . C nằm giữa M và N  MC + CN = MN C nằm giữa A và B  AC + CB = AB = a Do đó : MN = a . 2 2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD) SBDH = SDBA (= 1 SABHD) 2 ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau) Do đó : SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC Vậy : SBHC = SIDC . Bài 5 (1 điểm) Rút gọn A ta có: A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) = (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1) = [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1) = (24-1).(24+1).(28+1).(216+1) = (28-1).(28+1).(216+1) = (216-1)(216+1) = 232 - 1 Biết 232 tận cùng là 2  A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN – LỚP 6 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1. (5 điểm) 1) Tính giá trị của các biểu thức sau 5 1 2 2 1 1 5 A       6 12 3 7 25 4 42 7.610.220.36  219.615 B  19 9 9.6 .2  4.317.226 2) Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ... 3 8 15 24 35 Bài 2. (4 điểm) 1) Với m, n là các số tự nhiên và n 0 . Chứng tỏ C 405n  2405  m 2 không chia hết cho 10 2) Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn abbc ab.ac.7 . Bài 3. (2 điểm) Một trường THCS tổ chức cho 64 học sinh đi thăm quan học tập tại bảo tàng bằng 2 loại xe: loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi. Biết số người đi vừa đủ số chỗ ngồi, hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc? 1 1 1 1 Bài 4. ( 2 điểm) Cho M = 2  2  2  ...  2 . Chứng tỏ rằng M không phải là số tự nhiên. 2 3 4 45 Bài 5. ( 2 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho tổng của nó và số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.  Bài 6. ( 5 điểm) Cho tam giác ABC có BAC 1100 .Trên cạnh BC lấy điểm M, vẽ các tia AI, AK   thứ tự là các tia phân giác của BAM và MAC (điểm I, K thuộc cạnh BC). 1) Tính số đo góc IAK. 2) Trên hình vẽ có mấy hình tam giác, hãy kể tên các tam giác đó. 3) Giả sử BK = 5 cm, BI = 2 cm, CM = 4 cm và KC gấp đôi IM. Tính IM. Họ và tên thí sinh: ………………… Họ, tên chữ ký GT 1: …………………………. Số báo danh:………………………… Họ, tên chữ ký GT 2: …………………………. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 I. Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa. 2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm: Bài 1. (5đ) ý Nội dung đáp án  2  1  1  5  2 5  1   A =       3 4 12   6 7 42  25 = 2 1 51 = 25 25 7.210.310.220.36  219.215315 7.610.220.36  219.615 = 1) B  9.619.29  4.317.226 32.219.319.29  22317.226 (3,5đ)   2) (1,5đ) 230.315  7.3  24  317.228  34  1 22  21  16  3 3  81  1  4.5 1  9.80 36 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ... 3 8 15 24 35 Các số hạng của dãy được viết dưới dạng: 4 9 16 25 36 ; ; ; ; ... 3 8 15 24 35 22 32 42 52 62 , , , , ,... 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 992 . 98.100 22 32 42 52 62 982 992 Ta cần tính A  . . . . ... . 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 97.99 98.100  2.3.4.5.6...98.99  .  2.3.4.5.6...98.99  99 2 99   = .  1.2.3.4...97.98 .  3.4.5...99.100  1 100 50 Số hạng thứ 98 có dạng Điểm 1,0 0,75 0,75 0,5 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 Ta có 2405 2404.2 4202.2 Số 4202 có chữ số tận cùng là 6 1) (2,0đ) 2 (4,0đ) nên số 2404.2 có chữ số tận cùng bằng 2 số 405n có chữ số tận cùng là 5 m2 là số chính phương nên chữ số tận cùng khác 3. 0,25 0,25 0,5 0,5 Vậy C 405n  2405  m 2 có chữ số tận cùng khác 0 nên C không chia hết cho 10 0,5 => đpcm Ta có abbc ab.ac.7 2) (2 đ) 100 ab  bc ab.ac.7   ab. 7 ac  100 bc bc 7 ac  100  ab 0,5 bc  10 ab 0  7 ac  100  10 Vì 0  14  0,5 100 110  ac   16 7 7 Vậy ac 15 0,25 Thay vào , ta được: 1bb5 1b.15.7 b 9 Thử lại: 1995 = 19.15.7 Vậy a = 1; b = 9; c = 5 0,25 Gọi x là số xe 12 chỗ ngồi và gọi y là số xe 7 chỗ ngồi (x, y   * ) Số người đi xe loại xe 12 chỗ ngồi là 12x ( người) Số người đi loại xe 7 chỗ ngồi là 7y ( người) Theo đầu bài ta có: 12x + 7y = 64 (1) Ta thấy 12x  4 và 64 4  7y 4 mà (7, 4) = 1 nên y 4 (2) 3. Từ (1) suy ra 7y < 64 hay y< 10 (3) (2,0đ) Từ (2) và (3) suy ra y   4;8 Thay y = 4 vào (1) , ta được x = 3 ( thỏa mãn) 2 Thay y = 8 vào (1) , ta được x = ( loại) 3 Vậy có 3 xe 12 chỗ ngồi và 4 xe 7 chỗ ngồi. 4. (2 đ) 0,25 1 1  2 2 1.2 1 1  2 3 2.3 1 1  2 4 3.4 ... 1 1  2 45 44.45 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: 0,5 1 1 1 1    ...  1.2 2.3 3.4 44.45 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    ...  1  Có = 1       ...   1.2 2.3 3.4 44.45 2 2 3 3 4 44 45 45 Suy ra M < 44  1 nên M < 1 45 Mặt khác có M > 0 do đó 1 > M > 0 nên M không thể là số tự nhiên. 5. Gọi số có hai chữ số phải tìm là ab ( 1 a 9;1 b 9 và a, b  N ) ( 2đ ) Số viết theo thứ tự ngược lại là ba 2 Theo bài ra, ta có: ab + ba = n ( n  N )  0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Biến đổi VÀ + ba =TẠO 11.(a + b) = n2 ab ĐÀO 2 2 HUYỆN Suy HOẰNG ra n  11 HOÁ nên n  121 ( vì 11 là số nguyên tố)MÔN THI: TOÁN Lại có 198  ab + ba 22 nên 198 n2 22. DoNgày đó n2thi: = 12118/03/2015 nên a + b = 11 Thời gian: 120 phút ( Không gian giao đề) Lập bảng tìm được các số thỏa mãn bài toán là: 29; 38; 47; 56; 65; kể 74;thời 83; 92 (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Vì M thuộc cạnh BC nên tia AM nằm giữa hai tia AB và AC Ta có AI là tia phân giác của góc BAM nên tia AI nằm giữa hai tia AM và AB và  MAI = 1  BAM 2 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 AK là tia phân giác của góc CAM nên tia AK nằm giữa hai tia AM và AC và  1. 1 (2,0đ) MAK =  MAC 0,5 2 Do đó tia AM nằm giữa hai tia AI và AK nên 6. (5,0đ)  IAK =  IAM +  MAK = 1 (  BAM +  MAC) 2  IAK = 550 2) Trong hình vẽ có 10 hình tam giác là: (1đ)  ABC,  ABI,  AIM,  AMK,  AKC,  AIK,  AIC,  AMC,  ABM,  ABK. Vì K nằm giữa M và C nên: MK + KC = MC => MK + KC = 4 (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Lập luận để suy ra M nằm giữa I và K 0,25 Theo bài ra BI < BK  I nằm giữa B và K 0,25 3) (2đ) Mà BI + IK = BK  2 + IK = 5  IK = 3 Ta có IM + MK = IK  IM + MK = 3 (2) Từ (1) và (2) ta có KC – IM = 1 Theo bài ra: KC = 2.IM  IM = 1(cm) . Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 0,25 0,5 0,5 2 5 1  : 5  .(  3) 2 3 6 18 a. A = b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015   c. C  1  1  1  1   1   1   1  ... 1   1.3   2.4   3.5   2014.2016  Bài 2 (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3. Bài 3 (4,5 điểm) 5 (n  Z , n 3) a. Cho biểu thức : B  n 3 Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên. b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2 c. Số 2100 viết trong hê ̣ thâ ̣p phân có bao nhiêu chữ số . Bài 4 (5,0 điểm)  Cho góc xBy = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C ( A  B; C  B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.  b. Tính số đo của DBC .  c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz = 900. Tính số đo ABz . Bài 5 (2,0 điểm) a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc  ab ac 7 1 20122015 9294  3 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5. b. Cho A  (7 2 .............. Hết............. Họ và tên thí sinh:............................................ SBD........................................ Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:.............................. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 - MÔN : TOÁN Bài Nội dung cần đạt a. A= 2 5 1 2 1 1 2.2  1  1.3 2 1  : 5  .(  3) 2 =      3 6 18 3 6 2 6 6 3 Điểm 1,5 đ 1 (4,5 đ) b. B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 0,5 đ =3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012 1,0 đ 0,5đ   c. C=  1  1  1  1   1  22 32 42 20152 1  1  ... 1   . . ...      1.3  2.4  3.5   2014.2016  1.3 2.4 3.5 2014.2016  (2.3.4...2015).(2.3.4...2015) (1.2.3...2014).(3.4.5...2016)  2015.2 2015  2016 1008 0,5 đ 0,5 đ  x  3 12  x 15  a. Biến đổi được : (x-3)2=144 122 ( 12) 2    x  3  12  x  9 Vì x là số tự nhiên nên x= - 9 (loại). Vâ ̣y x = 15 b. Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1.Ta có A = x1831 2 (4,0 đ) 3 (4,5 đ) 4 (5,0 đ) Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1  x1831 - 1  9  x1830  9 1.0 đ 0.5 đ 0,5 đ 0,5 đ  x + 1 + 8 + 3 + 0  9  x + 3  9, mà x là chữ số nên x = 6 Vậy x = 6; y = 1 c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoă ̣c p=3k+2 ( k  N*) Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3 Nếu p=3k+2 thì p2-1 = ( 3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3 Vâ ̣y p2-1 chia hết cho 3. a. Để B nhâ ̣n giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5 0,5 đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0,5 đ => n - 3  {-1;1;-5;5} => n  { -2 ; 2; 4; 8} 0,75 đ Đối chiếu đ/k ta được n  { -2 ; 2; 4; 8} b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2  y2 = 121  y = 11 (là số nguyên tố) * Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ  y2 = x2 + 117 là số chẵn => y là số chẵn kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại) Vậy x = 2; y = 11. c. Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1) Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 Nên : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hê ̣ thâ ̣p phân có 31 chữ số . A x 0,25 đ 0,5 đ z 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5 đ D B C y