Tài liệu 1000 đề thi thử môn toán – hồ xuân trọng (phần 8)

hoctoancapba.com HỒ XUÂN TRỌNG 1000 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2014-2015 TẬP 8 hoctoancapba.com hoctoancapba.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN  HÀ TĨNH  ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015  Môn: TOÁN  Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề  Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  y = x 3 - 3 x 2  + 2 (1).  a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  (1) .  b. Gọi  M  là điểm thuộc đồ thị  (C )  có hoành độ bằng ­1. Tìm m để tiếp tuyến với  (C )  tại  M  song song với  đường thẳng  d : y = (m 2  + 5) x + 3m + 1.  Câu 2 (1,0 điểm).  a. Giải phương trình  cos3 x + 2sin 2 x - cos x = 0.  b. Giải phương trình  5 x + 51 - x - 6 = 0.  1  Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân:  I = ò ( x + e 2 x ) xdx.  0  Câu 4 (1,0 điểm).  a. Giải phương trình  2log 3 (4 x - 3) + log 1 (2 x + 3) = 2.  3  b. Cho  n  là số nguyên dương thỏa mãn  5C n1 = Cn 3 .  Tìm hệ số của số hạng chứa  x 5  trong khai  triển nhị thức Niutơn của  (2 + x)n .  Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC  vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,  SC = a 3.  Tính theo a thể tích khối  chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm  B  đến mặt phẳng  ( SAD ).  Câu 6  (1,0  điểm). Trong mặt phẳng  tọa độ  Oxy ,  cho  hình  bình hành  ABCD  có  N  là  trung  điểm của cạnh  CD  và đường thẳng  BN  có phương trình là  13 x - 10 y + 13 = 0;  điểm  M (- 1;2)  thuộc đoạn thẳng AC  sao cho  AC = 4 AM .  Gọi  H  là điểm đối xứng với  N  qua  C .  Tìm tọa độ  các đỉnh  A, B, C , D ,  biết rằng  3 AC = 2 AB và điểm  H  thuộc đường thẳng  D : 2 x - 3 y = 0.  Câu  7  (1,0  điểm).  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  A(- 2;1;5) ,  mặt  phẳng  x - 1 y - 2  z  = =  .  Tính  khoảng  cách  từ  A  đến  2 3 1  ( P ) . Viết phương trình mặt phẳng  (Q )  đi qua  A  , vuông góc với  ( P )  và song song với  d .  ( P ) : 2 x - 2 y + z - 1 = 0  và  đường  thẳng  d : ìï x 2 + ( y 2 - y - 1) x 2 + 2 - y 3  + y + 2 = 0  Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  í ( x, y Î R ).  2  3  2 ïî  y - 3 - xy - 2 x - 2 + x = 0  Câu 9 (1,0 điểm). Cho  a  là số thực thuộc đoạn  [1;2].  Chứng minh rằng  (2a + 3a + 4a )(6a + 8a + 12 a ) < 24 a+1  ---------HẾT---------  Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( admin http://boxmath.vn/forum/) đã chia sẻ đến  www.laisac.page.tl 3 hoctoancapba.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN  HÀ TĨNH  THI THỬ THPT QG LẦN 1 NĂM 2015  HƯỚNG DẪN CHẤM  Môn: TOÁN  Nội dung  Câu  Điểm  1.a  Ta có  y  =  x 3 - 3 x 2  + 2 .  +) Tập xác định: R.  +) Sự biến thiên: 0,25 é x = 0  w Chiều biến thiên:  y ' = 3 x 2 - 6 x , y ' = 0 Û ê ë x = 2  w Giới hạn, tiệm cận: lim  y  = -¥ , lim  y  = +¥ . Đồ thị hàm số không có tiệm cận. x ® -¥ x ® +¥ w Cực trị: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại  (0; 2) , cực tiểu tại  (2; -2) w Hàm số đb trên mỗi khoảng  ( -¥; 0); (2; +¥ ) , nghịch biến trên  (0;2)  0,25 w Bảng biến thiên:  x -¥  y'  0                  2 +  0  ­  0        +  2 +¥  +¥  0,25  y  ­2 -¥  Đồ thị:  y Đồ thị cắt Ox tại  (1; 0) , cắt Oy tại  (0; 2)  (0; 2)  2  2  O    1  x  0,25  ­2 1.b  Ta có  M (-1; - 2).  0,25  /  2.a  Pttt của (C) tại M là  D : y = y (-1)( x + 1) - 2  hay  D : y = 9 x + 7.  0,25  ìm 2  + 5 = 9  ì m = ±2  D / /d Û í Ûí Û m = -2.  î 3m + 1 ¹ 7  î m ¹ 2  0,5  cos3 x + 2sin 2 x - cos x = 0 Û 2sin 2 x(1 - sin x) = 0  0,25  p é x = k  ê sin 2 x = 0  é 2  Ûê Ûê ësin x = 1  ê x = p + k 2 p êë  2  0,25  4 hoctoancapba.com 2.b  5 x + 51- x - 6 = 0 Û 52 x - 6.5 x + 5 = 0  0,25 é5 x  = 5 é x = 1  Û  ê x  Ûê ë 5 = 1  ë x = 0  0,25  1 1 2x 3  1  I = ò ( x + e ) xdx = ò x dx + ò xe 2 x dx = I1 + I 2  2 0 0 0  0,5  3  1  1  x  I1  = ò x 2 dx = 3 0  1  = 3  0  ì du = dx  ï Ta có  í e 2 x  v = ï î  2  ìu = x  Đặt  í 2 x  î dv = e dx 1 0.25  1  2x 1 e 3e 2  + 7  xe 2 x xe 2 x e 2 x  e 2  + 1  I 2  = dx = ( ) = .  Vậy  I =  2 0 ò 0  2 2 4 0  4  12  0,25  3  (4 x - 3) 2  ĐK:  x >  .   PT Û  log 3 (4 x - 3)2  - log 3 (2 x + 3) = 2 Û log 3  = 2  4  2 x + 3  -3  Û 8 x 2  - 21x - 9 = 0 Û x = 3  hoặc  x =  . Đối chiếu ĐK ta được nghiệm x=3  8  4.b  ĐK: n Î N * , n ³ 3. Ta có  5C 1 = C 3 Û n 2  - 3n - 28 = 0 Û n = 7  hoặc  n = - 4 (Loại)  n n  4.a  0,25  0,25  0,25  7  (2 + x )7 = å C7 k 2 7 - k x k  . Sh chứa  x 5  ứng với k=5. Hệ số của  x 5  là  C7 5 2 2  = 84.  0,25  k = 0  Kẻ  SH ^ AC ( H ΠAC ) .  Do  ( SAC ) ^ ( ABCD ) Þ SH ^ ( ABCD )  5  S AC 2 - SC 2  = a;  SH  = SA = J  D  A  K  H  B  C  SA.SC a  3  =  AC 2  AC. BD  S ABCD  = = 2 a 2  2  1 1a 3 a 3  3  VS . ABCD = SH .S ABCD  = .2a 2  =  .  3 3 2 3  a  Þ CA = 4 HA Þ d (C ,( SAD )) = 4d ( H , ( SAD )).  2  Do BC//(SAD) Þ d ( B,( SAD )) = d (C ,( SAD)) = 4 d ( H ,( SAD)).  Kẻ  HK ^ AD ( K Î AD ), HJ ^ SK ( J ΠSK )  Cm được  ( SHK ) ^ ( SAD)  mà  HJ ^ SK Þ HJ ^ ( SAD) Þ d ( H ,( SAD)) = HJ Ta có  AH = 0,5  SA2 - SH 2  = a  2  D AHK vuông cân tại K  Þ HK = AH sin 45  =  4  SH .HK a  3  2a 3 2a  21  Þ HJ  = = Vậy  d ( B ,( SAD )) = =  7  7  SH 2 + HK 2  2 7  0,5 0  5 hoctoancapba.com 6  d ( M , BN ) = 13(-1) - 10.2 + 13  132 + 10 2  H Î D Û H (3a; 2a)  A  20  = ;  269  B  M  I  0,25  G  D  N  H  C  Gọi I  là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN.  Ta thấy G là trọng tâm  D BCD .  2 1  1 5 4  CI =  AC mà  AM = AC Þ MG = AC Þ CG =  MG 3 3  4 12 5  4 16 32  Þ d (C , BN ) = d ( M , BN ) = Þ d ( H , BN ) = 2d (C , BN ) =  5  269 269  13.3a - 10.2a + 13  32  -45  Û = Û a = 1  hoặc  a =  19  269 269  Vì H  và  M  nằm khác phía đối với đường thẳng BN  nên  H (3;2)  Suy ra  CG = 3 AC 2 AB 2 CD CD  = = = = CN = CH Þ D MHN vuông tại M.  4 4 4 2  MH có pt  y - 2 = 0 Þ MN : x + 1 = 0 Þ N (- 1; 0)  Þ C (1;1),  D (-3; - 1)  uuuur uuur  -5 7 -1 5 7 13  Do  CM = 3MA Þ A( ; ) Þ I ( ; ) Þ B ( ; ).  3 3 3 3 3 3  -5 7 7 13  Vậy  A( ; ), B ( ; ), C (1;1), D (-3; - 1).  3 3 3 3  2( -2) - 2.1 + 1.5 - 1  2  d ( A,( P )) = = 3  22 + (-2)2 + 1 2  Ta thấy  CM = 7  uur  uur  r -1  uur uur  [ n p , ud  ]=(1;0;­2)  làm vtpt  5  0,25  0,5  0,25  0,25  Suy ra  (Q) : x - 2 z + 12 = 0  8  0,25  uur uur  (P)  có vtpt là  n p  = (2; -2;1) , d có vtcp là  ud  = (2;3;1) , [n p , ud  ]= ( -5;0;10 )  Theo giả thiết  suy ra (Q) nhận  n = 0,25  ĐK:  y 2 - 2 ³ 0; xy 2  - 2 x - 2 ³ 0.  x 2 + ( y 2 - y - 1) x 2 + 2 - y 3 + y + 2 = 0 Û ( x 2 + 2 - y )( y 2 + x 2  + 2 - 1) = 0  ì y ³ 0  Û  y = x 2  + 2  Û í 2 (Do  y 2 + x 2  + 2 - 1 > 0 " x , y )  2  î y = x + 2  Thay  y 2 = x 2  + 2 vào PT thứ hai của hệ ta được pt sau với ĐK:  x ³ 3  2  3 0,5  x 2 - 1 - x 3 - 2 + x = 0 Û ( 3  x 2 - 1 - 2) + x - 3 = x 3  - 2 - 5  ( )  é ù ( x - 3) x 2  + 3 x + 9  x + 3  Û ( x - 3 ) ê + 1 ú = x 3  - 2 + 5  êë 3  ( x 2 - 1) 2 + 2 3  x 2 - 1 + 4 úû é x = 3  ê Ûê x+3 x 2  + 3 x + 9  (*)  + 1 = ê 3  ( x 2 - 1)2 + 2 3  x 2 - 1 + 4 x 3  - 2 + 5  ë  0,25 6 hoctoancapba.com Ta thấy  +) x 2  + 3 x + 9  3  > 2 Û x 2 + 3 x - 1 > 2 x 3 - 2 Û ( x 2 + 3 x - 1)2 > 4( x 3  - 2)  x  - 2 + 5  +) Û ( x 2 + x ) 2 + ( x - 3)2 + 5 x 2  > 0 "x x + 3  + 1 < 2 Û 3  ( x 2 - 1) 2 + 2 3  x 2  - 1 + 1 > x  (** )  2 2 3  2  3  ( x - 1) + 2 x - 1 + 4  Đặt  t = 3  0,25  x 2  - 1, t > 0 . Khi đó (**) trở thành  t 2 + 2t + 1 > t 3 + 1 Û (t 2 + 2t + 1) 2 > t 3 + 1 Û t 4 + 3t 3 + 6t 2  + 4t > 0  Đúng "t > 0 .  Suy ra  (*) vô nghiệm  Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;  11 )  9  BĐT Û (2 a + 3a + 4a )( 1 1 1  + + ) < 24  2a 3a 4 a 0,25  Do  a Î [1;2] Þ 2 £ 2a £ 4; 3 £ 3a £ 9; 4 £ 4 a  £ 16  Þ 2 £ 2 a < 16; 2 < 3a < 16; 2 < 4 a £ 16.  Với  x Π[2;16] , ta có  ( x - 2)( x - 16) £ 0 Û x 2  - 18 x + 32 £ 0 Û x - 18 + Từ đó suy ra  0,25  32 32  £0Û £ 18 - x  x x 1 1 1  + a + a ) < 54 - (2a + 3a + 4a )  a 2 3 4  1 1 1 54 - (2a + 3a + 4 a )  Û a + a + a <  2 3 4 32  32( Khi đó  1 1 1 (2 a + 3a + 4 a )[54­(2a + 3a + 4 a )]  (2a + 3a + 4 a )( a + a + a  ) < 2 3 4 32  0,5  2  1 é [2 a + 3a + 4 a + 54­(2a + 3a + 4 a )] ù 729  £ = < 24  ê ú 32 ë 2 32  û  Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( admin http://boxmath.vn/forum/) đã chia sẻ đến  www.laisac.page.tl 7 hoctoancapba.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN  NGUYỄN HUỆ  Câu 1(2 điểm)  KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA  NĂM HỌC 2014 – 2015  ĐỀ THI MÔN: TOÁN  Thời gian làm bài: 180 phút  Cho hàm số  y = x 4 - 2x 2  - 1 có đồ thị là (C).  1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.  2.  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm  M(0; - 1). Câu 2(1 điểm)  1.  Giải phương trình:  sinx( 3 - sinx) - cosx(1 + cos x) = 0 .  2.  Tìm số phức z thỏa mãn:  (1 + 2i) 2 z + z = 4i - 20 .  Câu 3(1 điểm)  1.  Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ  hộp đó. Tính xác suất để trong số bi được chọn không có đủ cả ba màu?  1 1 log ( x + 3) + log4 ( x - 1)8 = 3log8 (4 x ) .  2 2 4  e  2 ö æ Tính :  I = ò ç x + ÷ ln xdx .  xø 1  è 2.  Giải phương trình sau: Câu 4(1 điểm)  Câu 5(1 điểm)  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):  x - y + 2 z - 6 = 0  và điểm M(1, ­1, 2).  a)Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)  b)Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M.  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  vuông  cạnh  bằng  a,  đường  uuur uuuur  cao SH với H thỏa mãn  HN = -3HM trong đó M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Tính thể  Câu 6(1 điểm)  tích khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD biết góc giữa (SAB) và (ABCD)  bằng 60 0 .  Câu 7(1 điểm)  Cho  đường  tròn  (C)  có  phương  trình  :  x 2 + y 2  - 2x - 4y + 1 = 0 và  P(2,1).  Một đường thẳng d đi qua P cắt đường tròn tại A và B. Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt  nhau tại M. Tìm tọa độ của M biết M thuộc đường tròn  x 2 + y 2  - 6x - 4y + 11 = 0 .  Câu 8(1 điểm)  Câu 9(1 điểm)  ìï x + y + 2y - 1 + x - y = 5  Giải hệ phương trình:  í .  2  ïî y + 2 = xy + y với a, b, c là các số thực thỏa mãn  a 2 + b 2 + c 2  = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của  biểu thức  P = a 4 + b 4 + c 4  + 3(ab + bc + ca) .  Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến  www.laisac.page.tl 8 hoctoancapba.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN  NGUYỄN HUỆ  KỲ THI THỬ ĐẠI  HỌC LẦN THỨ BA  NĂM HỌC 2014 – 2015  ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN  Câu  Ý  1  1  y = x 4 - 2 x 2  - 1 TXĐ: R  (2điểm)  é x = 0  y ' = 4 x 3  - 4 x .  y ' = 0 Û ê ë x = ±1 Giới hạn:  limy = +¥;  lim y = -¥  x ®+¥ bảng biến thiên  X  ­∞  y’  ­  Y  Nội dung  Điểm  0,25  x ®-¥ ­1  0       +  +∞  0  0  ­  1  +∞  0        +  ­1  +∞  0, 5  ­2  ­2 Hàm số đồng biến trên (­1;0); (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên  (­∞;­1);(0;1)  Hàm số đạt cực đại tại  x = 0 Þ y = - 1 .  ì x1 = -1 Þ y1  = -2  Hàm số đạt cực tiểu tại  íî x2 = 1 Þ y2  = -2 Đồ thị  đồ thị hàm số nhận Oy làm tâm đối xứng.  0,25  2  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm N( a; a4 - 2 a2  - 1 ) là:  y = (4a3 - 4a)( x - a) + a4 - 2a 2  - 1 0,25  Tiếp tuyến đi qua M nên :  -1 = (4 a3 - 4a)(0 - a) + a4 - 2a2  - 1 0,25  Û 3a4 - 2a 2  = 0  é a = 0  Ûê ê a = ± 2  êë  3 Với  a = 0 phương trình tiếp tuyến là :  y = - 1 0,25  90,25  hoctoancapba.com Với  a =  2  4 2 5  phương trình tiếp tuyến là :  y = - x -  3 3 3 9 Với  a = -  2  (1điểm)  2  4 2  phương trình tiếp tuyến là :  y = x - 1  3 3 3 1  3 sin x - cos x = sin 2 x + cos 2  x Û 3 sin x - cos x = 1 Phương trình tương đương  p é x = + k2 p 3 1 1  p p ê Û sin x - cos x = Û sin(x - ) = sin Û (k Î Z)  3  2 2 2 6 6  ê ë x = p + k2p 2  Đặt  z = a + bi, (a, b Î R) Þ z = a - bi . Suy ra:  (1 + 2i) 2 (a + bi ) + a - bi = 4i - 20 Û (-2a - 4b) + (4a - 4b)i = 4i - 20 ìa + b = 10 ìa = 4  . Vậy  z = 4 + 3i Ûí Ûí îa - b = 1 î b = 3 4  3  1  Số cách chọn ngẫu nhiên 4 bi từ số bi trong hộp là:  C18  = 3060  2 1 1 (1điểm)  Số cách chọn 4 bi đủ 3 màu từ số bi trong hộp là:  C5 C6 C7 + C51C62 C71 + C51C61C 72  Số cách chọn 4 viên bi để không có đủ 3 màu là:  C184 - (C52C61C71 + C51C62C71 + C51C61C 7 2 ) = 1485 Vậy xác suất để trong số bi được chọn không có đủ 3 màu là:  C184 - (C52 C61C71 + C51C62C71 + C51C61C 7 2 )  33  = » 48,53%  4  C18  68  2  ĐK:  x > 0; x ¹ 1 Phương trình tương đương với: log2 ( x + 3) + log 2 x - 1 = log 2 (4 x ) 0,25  0,25  0,25  0,25  0,25  0,25  0,25  Û log2 éë( x + 3) x - 1 ùû = log2 (4 x ) Û ( x + 3) x - 1 = 4 x (1)  é TH1:  0 < x < 1, suy ra: ( x + 3)(1 - x ) = 4 x Û x 2 + 6 x - 3 = 0 Û ê x = -3 + 2 3 ë x = -3 - 2 3( loai) TH2:  x > 1 , suy ra: ( x + 3)( x - 1) = 4 x Û x 2 - 2 x - 3 = 0 Û ê x = 3 é ë x = -1(loai)  4  (1điểm)  e æ 2ö e e  0,25  ln x  Ta có :  I = ò ç x + ÷ ln xdx = ò x ln xdx + 2 ò  dx .  xø x 1è 1 1  e ù 1 e e e  e  1 1é e 2  + 1  ln xd ( x 2 ) = ê x 2 ln x - ò x 2 d (ln x) ú = ( x 2  ln x - ò xdx) = ò 1 1 1  1  21 2ë 4  1 û 2 e e  e  ln x  I 2  = 2 ò dx = 2ò ln xd (ln x ) = (ln x ) 2  = 1  1  x 1 1  0,25  e I1  = ò x ln xdx = 0,25  0,25  0,25  1  Suy ra:  I = I1 + I 2  = (e 2  + 5)  4  5  (1điểm)  r  Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) có VTCP  u(1, -1, 2) Đường thẳng d có phương trình  x - 1 y + 1 z - 2  = = 1 - 1 2 0,25  10 0,25 hoctoancapba.com Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M nên có tâm I thuộc d  ì x - 1 y + 1 z - 2  ï 1 = -1 = 2  ï Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ  í y = 0  Suy ra  (S) có tâm O(0,0,0)  ïz = 0 ï î  Bán kính mặt cầu (S): R= OM =  6 Mặt cầu (S) có phương trình:  x 2 + y2 + z 2  = 6 0,25  0,25  6  (1điểm)  S  Do  Þ góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa SM và  MH. Vậy  ÐSMH = 60° .  I 0,25  A  D  N  MN ^ AB ü ý Þ AB ^ ( SMH ) SH ^ AB þ O  M  H  C  B  Do đó:  SH = MH .tan 60° = a 3 1 a3  3  Þ VSABCD = MH . S ABCD =  4 3 12 0,25  Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, suy ra  IO ^ ( ABCD ) .  2 2 2 2 Đặt IO = x . Từ:  R = OI + OA = SI  , suy ra:  a2 a 3 a 2  a 3  =( + x ) 2  + Û x = 2 4 16 6 a 21 a 2 7 p 2 2  Do đó:  R = x + OA = Þ Smc =  6 3 x2 + 7  (1điểm)  Đường tròn  (C ) có tâm I(1,2),R=2  2 2  Gọi M(a,b). Do  M Î (C1 ) Þ a + b - 6 a - 4 b + 11 = 0(1) 2 0,25  2  Phương trình đường tròn đường kính IM:  x + y - ( a + 1) x - ( b + 2) y + a + 2b = 0 Suy ra phương trình đường thẳng d:  ( a - 1) x + ( b - 2) y + 1 - a - 2b = 0 Do  P Î d Þ a - b - 3 = 0(2) ì a = 4  Þ M (4;1)  î b = 1 8  (1điểm)  0,5  0,25  0,25  Từ (1) và (2) suy ra:  í 0,25  1  2 Đặt  a = 2y - 1 ³ 0, b = x - y ³ 0 0,25  Điều kiện  x ³ y ³  Phương trình thứ nhất trở thành  a 2 + b2  + a + b = 4(3) 2 2 2 2  Phương trình thứ hai trở thành  a b + a + b = 3(4) 11 0,25  hoctoancapba.com ìï S 2  + S - 2 P = 4 ìS = a + b Giải hệ (3), (4) đặt  í (S , P ³ 0)  ta được :  í 2 2  ïî P + S - 2 P = 3 î P = a.b 2 (6) 2  Trừ (5) cho (6) ta được  S - P = 1 Þ S = P + 1 Thay vào (6):  P 2 + P 4 + 2P 2  + 1 - 2P = 3 Û (P - 1)(P 3 + P 2  + 4 P + 2) = 0 é P = 1  Ûê 3 Kết hợp điều kiên  P ³ 0 ta được P=1; S=2  2  ë P + P + 4 P + 2 = 0 Giải hệ P=1; S=2 ta thu được a = b =1  Suy ra hệ có nghiệm duy nhất  (x = 2; y = 1) 9  (1điểm)  (5)  Do P = a 4 + b 4 + c 4 + 3 ( ab + bc + ca ) £ a 4 + b 4 + c 4  + 3 ( a b + b c +  c a )  nên ta có thể coi  a, b, c ³ 0 .giả sử  a = m ax{a,b,c} Þ 1 £ a £  3 0,25  0,25  0,25  2  æ 3 - a2 ö æ 3 - a 2  ö 2  Do đó P £ a + 2 ç + 3 a 2. 3 a + 3  ( )  ç 2 ÷ ÷ è 2 ø è ø  3 9  Hay P £ a4 + a2 + 9 + 3a 2 3 - a 2  2 2 4 ( 0,25  )  Xét hàm số f ( a ) = a 4 - 3a + 6 + 2 a 2 ( 3 - a 2  )  trên  é0; 3 ù ë û 2  4  a f ' ( a ) = 4a 3 - 6 a + 2 2 ( 3 - a 2 ) 2 ( 3 - a 2 ) = 4a3  - 6 a + 12 - 8 a 2  2 ( 3 - a 2 ) æ ö 2  ç ÷ = ( 4a - 6 ) a çç 2  ÷ 2 ( 3 - a ) ÷ è ø 2  é 3  êa = é 4a 2  - 6 = 0  2  ê ê 2  f ' ( a ) = 0 Û êa = 0 Û êê a = 1  (do  a ³ 0 )  2  ê 2 ( 3 - a )  êa = 2 ë êë  Ta có bảng biến thiên  a  3  1  2  2  f’  0  ­  0  +          0  ­  f 8  0,25 3  8 6  é a = 1  Þ M ax f ( a ) = 8 Û ê é0; 3 ù ë û ë a = 2  é a = b = c = 1  ê ìa = 2  3  Þ P £ f ( a ) £ 12 Þ M axP=12 Û ê ï êí 2  1  ê ïb = c = êî 2  ë  0,25  Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến  12 www.laisac.page.tl  hoctoancapba.com ĐỀ THI KHẢO SÁT  TRƯỜNG THPT  CHUYÊN HÙNG VƯƠNG  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số MÔN: TOÁN    LỚP: 12  Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề  Đề thi có 01 trang  y = x 3 + ( 2m - 1) x 2  - m + 1  ( Cm ) , m là tham số thực.  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi  m = - 1. b) Tìm m để đường thẳng  y = 2mx - m + 1  và ( C m ) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.  Câu 2 (1 điểm).  a) Giải phương trình 2  ( cos x + sin x )  - b) Giải phương trình log 3 ( x - 2 ) + log 3 cos 2 x = 1 + 2 cos x. 3  x + 3 = 1 + log 3  2 . ln 2 Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân  I = 2 e x - 1  ò 0  e x + 1 dx. Câu 4 (1 điểm).  a) Khai triển và rút gọn biểu thức  1 - x + 2(1 - x )2  + ... + n(1 - x )n thu được đa thức  P( x ) = a0 + a1 x + ... + an x n . Tìm  a 8  , biết rằng  n  là số nguyên dương thoả mãn  1 7 1  + 3  =  .  2 Cn Cn n b) Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề  thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án đúng,  làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi Thọ đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45  câu; 5 câu còn lại Thọ chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm 2 môn thi của Thọ không dưới  19 điểm.  Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp  S. ABC  có đáy là tam giác vuông tại  A ,  AB = 2 a, AC = a. Các  cạnh bên của hình chóp bằng  nhau và bằng  a  2. Gọi  M , H  lần  lượt là trung điểm của  AB  và  uuur 1 uuur  BC ,  I  là điểm thỏa mãn  BI = AC. Tính theo  a  thể tích khối chóp  S. ABC  và khoảng cách  3  giữa hai đường thẳng  MH  và  SI . Câu  6  (1  điểm).  Trong  không  gian  với  hệ  trục  Oxyz , cho  các  điểm A ( 0; 0;1) , B ( 0;1; 0 ) . Viết  phương trình mặt phẳng đi qua các điểm  A, B  đồng thời cắt trục  Oz tại điểm  C  sao cho tứ diện  OABC  có thể tích bằng  1.  Câu 7  (1  điểm).  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  trục  Oxy ,  cho  tam  giác  ABC  có  đường  trung  tuyến  AM  và đường cao  AH  lần  lượt có phương trình  13 x - 6 y - 2 = 0, x - 2 y - 14 = 0. Tìm tọa độ  các đỉnh của tam giác  ABC  biết tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác  ABC  là I ( - 6; 0 ) . Câu 8 (1 điểm). Giải bất phương trình  2 x + 5 x > 11 + 14  . x - 2  Câu 9 (1 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn  a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất  của biểu thức  P = a2 b2  3  + - ( a + b)2 . 2 2  ( b + c ) + 5bc ( c + a ) + 5 ca 4  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Cảm ơn thầy Bùi Văn Nam ([email protected]) đã gửi tới www.laisac.page.tl 13 hoctoancapba.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN  HÙNG VƯƠNG  HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN  ĐỀ THI KHẢO SÁT LỚP 12  Câu  Nội dung  1  a) Khi  m = - 1  hàm số trở thành  y = x 3 - 3 x 2  + 2. Điểm  0,25  1) Tập xác định:  R . 2) Sự biến thiên:  0,25  * Giới hạn tại vô cực: Ta có  lim y = -¥  và  lim y = +¥ . x ®-¥ x ®+¥ é x = 0  * Chiều biến thiên: Ta có  y ' = 3 x 2  - 6 x; y ' = 0 Û ê . ë x = 2  Suy ra :  hàm  số  đồng  biến  trên  mỗi  khoảng ( -¥; 0 ) , ( 2 ; + ¥ ) ; nghịch  biến  trên  khoảng ( 0; 2 ) .  * Cực trị:  Hàm số đạt cực đại tại  x = 0, yC Đ  = 2 , hàm số đạt cực tiểu tại  x = 2, yCT = - 2 . * Bảng biến thiên:  x  0 -¥ y '  +  0  + ¥ 2  –  0  0,25  + + ¥ 2 y  - 2 -¥ 3) Đồ thị:  y  2  0,25  O  2  x  - 2 b) Xét phương trình hoành độ giao điểm x 3 + ( 2m - 1)x 2  - m + 1 = 2mx - m + 1  ( * )  0,25  Û x3 + ( 2m - 1) x 2  - 2 mx =  0  Û x = 0; x = 1  hoặc  x = - 2 m .  14 0,25  hoctoancapba.com Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ( * ) có ba nghiệm phân biệt  2  0,25  1  Do đó  m ¹ 0  và  m ¹ -  thỏa mãn bài toán.  2  a) Phương trình đã cho tương đương với  sin 2 x + cos 2  x + 2 sin x.cos x - 3 cos 2 x = 1 + 2 sin x 0,25  Û sin 2 x - 3 cos 2 x =  2 sin x 0,25  1 3  Û sin 2 x cos 2 x = sin x 2 2  p é ê 2 x - 3  = x + k 2 p pö æ Û sin ç 2 x - ÷ = sin x Û ê 3 ø è ê 2 x - p = p - x + k 2 p êë  3  0,25  p é ê x = 3  + k2 p Ûê ê x = 4p + k2 p . êë  9 3  b) Điều kiện:  x > 2. Phương trình đã cho tương đương với log 3 ( x - 2 ) + log 3 ( x + 3 ) = log 3  6  0,25  0,25 Û log 3 ( x - 2 )( x + 3 ) = log 3  6  0,25  Û ( x - 2 )( x + 3) = 6  3  Û x 2  + x - 12 = 0 Û x = 3  hoặc  x = - 4 .  So sánh với điều kiện, thu được nghiệm:  x = 3. Đặt  e x = t Þ e x d x = dt. Đổi cận:  x = 0 Þ t = 1, x = ln 2 Þ t =  2 . 0,25  0,25  0,25  ( 2t - 1 ) dt = 2 æ 3 - 1 ö dt ò 1  çè t + 1  t ÷ø t + 1) t 1 ( 0,25 2 Suy ra I = ò 2  4  0,25  = ( 3 ln ( t + 1 ) - ln t ) |1  0,25  = 3 ln 3 - 4 ln 2 . a) Ta có  0,25  ì n ³ 3  ìn ³ 3  1 7 1  ï + 3  = Û í 2 Û n = 9 . 7.3 ! 1  Û í 2  2 + = Cn Cn n n 5 n 36 = 0  î  ï n( n - 1) n( n - 1)( n - 2 ) n î  0,25  Suy ra  a 8  là hệ số của  x 8  trong khai triển biểu thức  8(1 - x )8 + 9(1 -  x )9 . Hệ  số  của  x 8  trong  khai  triển  biểu  thức  8(1 - x )8  là  8 C 8 8 , hệ  số  của  x 8  trong  khai  triển biểu thức  9(1 - x )9  là  9 C 9 8 . Suy ra  a8 = 8.C88 + 9.C9 8  = 89 . b)  Bạn  Thọ  được  không  dưới  19  điểm  khi  và  chỉ  khi  trong  10  câu  trả  lời  ngẫu  nhiên ở cả hai môn Lí và Hóa bạn Thọ trả lời đúng ít nhất 5 câu.  1  3  Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là  ,  trả lời sai là  .  Ta có:  4  4  5 æ1ö Xác suất Thọ trả lời đúng 5 trên 10 câu là  C ç ÷ è4ø 5  10  6  æ 1 ö Xác suất Thọ trả lời đúng 6 trên 10 câu là  C10  ç4÷ è ø 6 0,25  0,25  5  æ 3 ö .ç ÷ ; è 4 ø  4  æ 3 ö .ç ÷ ; è 4 ø 15 hoctoancapba.com æ1ö Xác suất Thọ trả lời đúng 7 trên 10 câu là  C ç ÷ è4ø 7 3  æ 3 ö .ç ÷ ; è 4 ø  7  10  8 8  æ 1 ö Xác suất Thọ trả lời đúng 8 trên 10 câu là  C10  ç4÷ è ø 0,25  2  æ 3 ö .ç ÷ ; è 4 ø  9  æ 1 ö 3  Xác suất Thọ trả lời đúng 9 trên 10 câu là  C ç ÷ . ; è 4 ø  4  9  10  10  10  æ 1 ö Xác suất Thọ trả lời cả 10 câu là  C10  ç 4 ÷ . è ø  Cộng các xác suất trên ta suy ra xác suất Thọ được không dưới 19 điểm là 0,0781.  5  S  K  A  M  B  I  E  H  O  C Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng  với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  Vì  tam  giác  ABC  vuông  tại  A  nên  tâm  đường  tròn  ngoại  tiếp  của  tam  giác  này  0,25  chính là trung điểm H của BC.  Do đó SH ^ ( ABC ) . Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC ta có  BC = 4 a2 + a2  = a 5. Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHB ta có  SH = 2 a 2  Từ đó suy ra  VSABC = 5a 2  a 3  =  . 4 2  0,25  1 1 a 3 æ1 ö a3  3  (đvtt).  SH .SABC = . . ç .a.2 a ÷ = 3 3 2 è2 6  ø  Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đó d ( MH , SI ) = d ( MH , ( SBI ) ) =  d ( H , ( SBI ) ) . 0,25  Kẻ HO vuông góc với BI tại O thì O chính là điểm đối xứng với trung điểm E của  AC qua H. Kẻ HK vuông góc với SO tại K.  Khi đó HK ^ ( SBI ) . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHO ta có  1 1 1 4 1 7 a 21  = + = 2 + 2 = 2  Þ HK =  . 2 2 2 HK HS HO 3a a 3 a 7  Vậy d ( MH , SI ) = HK =  a 21  . 7  0,25  16 6  7  hoctoancapba.com Giả sử C ( 0; 0 ; c )  suy ra mặt phẳng cần tìm có phương trình  x y z + + = 1 . 1 1  c 0,25  Ta có  VOABC = OA.OB.OC = 1.1 .| c|= | c|.  Theo giả thiết, ta có | c|= 1 Û c = ± 1 . 0,25  Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn bài toán là  x + y + z - 1 =  0  hoặc  x + y - z - 1 = 0 .  Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 0,25  0,25  ì x - 2 y - 14 = 0 ì x = -4  Ûí Þ A ( -4; -9 ) . í î13 x - 6 y - 2 = 0 î y = -9  0,25  Gọi A'  là  điểm  đối  xứng  với  A  qua  I.  Khi  đó điểm A ' ( - 8; 9 )  nằm  trên  đường  tròn  ngoại tiếp tam giác ABC.  Gọi K là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó tứ giác BKCCA' có hai cặp cạnh đối diện  song song nên là hình bình hành. Khi đó KA' và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi  đường (là M).  Vì  K  và  M  lần  lượt  nằm  trên  AH  và  AM  nên  giả  sử 0,25  æ 13m - 2 ö K ( 2 k + 14; k ) , M ç m; . 6  ÷ø  è ì 2 k + 14 - 8 = 2 .m ì k = -1  ìï K (12; -1 ) ï Vì M  là trung điểm của KA' nên í Þí 13m - 2  Þ í m = 2  k + 9 = 2  . î ïî  îï M ( 2; 4 )  6  uuuur  Đường thẳng BC đi qua M và nhận  AK làm VTPT nên  BC : 2 x + y - 8 = 0 . Giả sử B ( b; 8 - 2 b) . Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên 0,25  é b = 3  2 2  .  IA = IB Û 4 + 81 = ( b + 6 ) + ( 2b - 8 )  Û 5b2  - 20b + 15 = 0 Û ê ë b = 1  Với  b = 3  ta có B ( 3; 2 ) . Vì C đối xứng với B qua M nên C (1; 6 ) . 0,25  Với  b = 1  ta có B (1; 6 ) . Vì C đối xứng với B qua M nên C ( 3; 2 ) . 8  Điều kiện:  0 £ x ¹ 2 .  Bất phương trình đã cho trở thành  14  7 x 2( x - 2 ) + 5 x > 7 + Û 2( x - 2) + 5  x > . x - 2  x - 2  0,25  (1)  Rõ ràng  x = 0  không thỏa mãn bất phương trình (1).  Với  0 < x ¹ 2  bất phương trình (1) tương đương với  2( x - 2 ) x Đặt  x - 2  x + 5 > 7  x . x - 2  0,25  =  t . Khi đó bất phương trình trở thành  ét > 1 7  2t 2  + 5t - 7  2t + 5 >  Û > 0  Û t( 2t + 7 )( t - 1) > 0  Û ê 7  ê - < t < 0 . t t ë  2  * Với  t > 1  ta có  x - 2  x > 1 , hay  ( x + 1)( x - 2 ) x > 0  Û x > 4 .  0,25 17 * Với  - hoctoancapba.com ìï0 < x < 2  7  7 x - 2  1  < t < 0  ta có  - < <  0 , hay  í Û < x < 2 . 2  2  x ïî ( x + 4 )( 2 x - 1) > 0  4  Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là  x > 4, 9  1  < x < 2 . 4  0,25  Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có  a2 ³ (b + c)2 + 5bc Tương tự, ta có  a2 4 a2  = . 5  9 (b + c)2  2 2  ( b + c) + (b + c) 4  0,25  b2 4 b2  ³ . ( c + a)2 + 5ca 9 ( c + a)2  Suy ra  a2 b2 4 æ a2 b2  ö 2 æ a b ö + ³ + ³ ç + ç 2 2 2 2  ÷ ( b + c) + 5bc ( c + a) + 5 ca 9 è (b + c) ( c + a) ø  9 è b + c c + a ÷ø æ ( a + b)2  ö + c( a + b) ÷ 2 2  2 æ a + b + c( a + b) ö 2 ç 2  = ç ÷ ÷ ³ ç 9 è ab + c( a + b) + c2 ø 9 ç ( a + b)2  2  ÷ + c( a + b) + c ÷ ç è 4  ø 2  2  2  = 0,25  2  2  2 æ 2( a + b) + 4 c( a + b) ö ç ÷ . 9 è ( a + b)2 + 4 c( a + b) + 4 c2  ø  Vì  a + b + c = 1 Û a + b = 1 - c nên  2  2  2 æ 2(1 - c)2  + 4 c(1 - c) ö 3 8æ 2 ö 3  P³ ç - (1 - c)2 = ç1 - (1 - c)2 . (1)  2 2  ÷ 9 è (1 - c) + 4 c(1 - c) + 4 c ø  4 9 è c + 1 ÷ø 4  0,25  2  8æ 2 ö 3  Xét hàm số  f ( c ) = ç1 - (1 - c)2  với  c Π( 0; 1 ). ÷ 9 è c + 1 ø  4  Ta có  f '( c) = 16 æ 2 ö 2 3  1. - ( c - 1 ); ç ÷ 2  9 è c + 1 ø ( c + 1 ) 2  1  f '( c) = 0 Û ( c - 1) 64 - (3c + 3)3  = 0 Û c =  . 3  Bảng biến thiên:  ( )  c  1  3  0  f '( c )  0,25  –  0  1  +  f (c )  - 1  9 1  Dựa vào bảng biến thiên ta có  f ( c ) ³ -  với mọi  c Π( 0; 1 ). 9  (2)  1  1  Từ (1) và (2) suy ra  P ³ -  , dấu đẳng thức xảy ra khi  a = b = c =  . 9  3  1  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  -  . 9  Cảm ơn thầy Nam Bùi ([email protected]) đã gửi tới www.laisac.page.tl  18 hoctoancapba.com SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THAM KHẢO 2x  1 có đồ thị (C). x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx - 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt 3 A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng , biết C(1; -1). 2 2 Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình log 2 (2 x )  5 log 2 x  1  0. Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y  Câu 3. (1,0 điểm)   a) Tìm số phức z thỏa z  z  3 i  1 . b) Một giá sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí và 1 quyển sách Hóa. Chọn ra ngẫu nhiên 4 quyển. Tìm xác suất để 4 quyển chọn ra có đủ 3 môn Toán, Lí và Hóa.  2 Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân I    cot x dx . cos 2 x 6 Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  2 z  3  0 và x  4  t  đường thẳng d:  y  3  t . z  t  a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P), vuông góc với d và cắt d. Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có có AB  AC  a, BC  a , SA  a 3 . Biết góc 2 SAB  SAC  300 . Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1;2) và hai đường thẳng d1 : x  2 y  1  0 , d2 : 2 x  y  2  0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt d1 , d2 lần lượt tại B, C (B và C không trùng với A) sao cho 1 1 đạt  2 AB AC 2 giá trị nhỏ nhất. Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3x 2  12 y2  24 xy  9  x  2 y  2 xy  0  x, y   .  2 2 5 x  7 y  xy  15 Câu 9. (1,0 điểm) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b  ab  3 . a2 b2 ab   . b 1 a 1 a  b ---------- HẾT ---------- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đên  19 www.laisac.page.tl hoctoancapba.com SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THAM KHẢO Câu 1.a HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán Đáp án  Tập xác định: D   \ 1  Sự biến thiên 3 y,   0, x  1 .  x  1 2 Điểm 1,0 0,25 + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ;1) và (1; ) . + Hàm số không có cực trị + Giới hạn: * lim y  2; lim y  2  Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x  0,25 x  * lim y  ;lim y    Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1  x 1 Bảng biến thiên: x -∞ 1 +∞ y' +∞ y 2 0,25 2 -∞   1  Đồ thị: Giao điểm của (C) với Ox là   ; 0  , giao điểm của (C) với Oy là  2  Đồ thị nhận I 1; 2  làm tâm đối xứng  0; 1 0,25 1.b 1,0 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 2x 1  mx  1  x 1 x  1  2 mx  (m  3) x  0 0,25 20