Tài liệu 10 bài hệ phương trình chọn lọc no 1

Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook Your dreams – Our mission CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH _Gia đình Lovebook_ 1 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Bài toán này, ta vẫn có thể nhìn nhận được việc tách riêng x,y vì các biểu thức chưa x,y đều nằm trong các dấu ngoặc riêng, cụ thể, tạm bỏ qua các điều kiện, ta xử lí từng phương trình. Phương trình (1): chia cả 2 vế cho x - nhưng, vế trái thu được sau đó lại là x 2 2x 2 với mục đích chuyển x sang vế trái, thế 2x 2 x x2 2x tương đối cồng kềnh, ta phải nghĩ cách giảm 2 độ cồng kềnh đó. Do có căn thức dưới mẫu nên phương pháp mấu chốt để trục căn thức chính là liên hợp, để ý rằng ( x )2 ( x )2 2x 2 x x 2 2x 2 x 2 2x 2 x2 x x 2x 2 , nên 2 2x 2 2x 2 2 x x2 2x 2 2 x 2 2x 2 3y nhìn thanh thoát hơn rất nhiều. Phương trình mới thu được là x 1 - Phương trình (2): chứa logarit, ta sẽ đưa lên lũy thừa (vì phương trình (1) đã có lũy thừa 3y nên ta sẽ đưa về cho đồng dạng): y y2 1 3x 1 . Giờ thì đã có một sự đồng dạng không hề nhẹ giữa hai phương trình, ta sẽ cộng vế có x với nhau và các vế chứa y với nhau, và thu được 3x 1 ( x 1) 3y ( x 1)2 1 y y2 1 Và hàm số đã chính thức xuất hiện f(t) = 3t + t + √t 2 + 1, hàm số này đồng biến trên ℝ nên suy ra y , sau khi rút thế vào một trong hai phương trình, ta có y y2 1 x 1 3y Với phương trình này, vừa có mũ, vừa có căn, chắc chỉ còn đạo hàm. Nhưng cả hai vế đều có vẻ đồng biến, mà biểu thức y bằng cách y Ta xét g( y ) g '( y ) 3y ln 3 g '( y ) 3y y 2 1 lại có dạng liên hợp hơi quen, vậy ta sẽ chuyển luôn nó về một vế để dễ bề xử lí, 1 y2 1 3y y2 y2 1 y 1 y 2 1 trên ℝ có 1 y y , nên phương trình trở thành 3y 3y y 2 1 y ln 3 y y 2 1 1 1 y 2 1 y2 1 y 1. Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook Ta có 3y 0, y2 1 y 1 ln 3 y 1 0 1 ln 3 2 y2 1 y |y| y 0, y y 0 Suy ra g ′ (y) > 0 ∀ y ∈ ℝ. Và nhờ mò nghiệm ta thấy y g(y) 0 là nghiệm của g(y) trên. Nên ta được 0 . Vậy là bài toán coi như được xử lí xong. y 0 Your dreams – Our mission Đến đây, ta sẽ nhìn lại, và mấu chốt của chuỗi xử lí này chính là mối liên hệ giữa y và đạo hàm của ( y 2 ax y2 b2 1 y ) lại bằng k với a 1, b y y y2 y 2 0 và ln a 1 y 2 1 và y y2 1 . Cho nên khi gặp một phương trình nào đó có dạng 1 1 thì hãy mạnh dạn sử dụng đạo hàm. Đồng thời, ta cũng cần b ghi nhớ một bất đẳng thức có thể được sử dụng để đánh giá là y2 b2 0. y Bài giải chi tiết Nếu x = 1 thì từ (2) ta suy ra y Ta có x x2 Nếu x 2x 2 x 2 2x 2 x x2 2x x 0 x2 x2 0 x 0 3y 2 1 y 0 y 2 1 (1 y )2 y2 1 1 x 2x 2 y 1 1 , phương trình (1) tương đương với x 1 1 0 2x 2 x x 2 2x 2 3y 1 3y (3) (x 1)2 1 Phương trình (2) tương đương với x − 1 = log 3 (y + √y 2 + 1) ⇔ y + √y 2 + 1 = 3x−1 (4) Cộng vế với vế phương trình (3), (4) ta được 3x 1 ( x 1) 3t Xét hàm số f ( t ) f '( t ) 3y ( x 1)2 1 t t 2 y2 1 1 trên ℝ có t2 t 3t ln 3 1 y t2 1 t 3t ln 3 t 1 2 3t ln 3 1 Suy ra f ( t ) đồng biến trên ℝ. Nên f (x 1) 3y y2 1 y 1 Xét hàm số g( y ) 3y g '( y ) 3y ln 3 3y g '( y ) Ta có 3y ln 3 0, 1 y2 1 y2 y2 1 y 3y ln 3 1 0 1 x 1 y y 2 1 1 1 y 2 1 y ln 3 y2 1 y t2 1 1 trên ℝ có y 1 f (y) |t| t y y2 2 1 y |y| y y y 0, 0 Suy ra g ′ (y) > 0 ∀ y ∈ ℝ. Nên g(y) đồng biến trên ℝ. Lại có g(0) 0 nên g(y) 0 g(y) g(0) y 0 x 1. 0 y , thay vào (2) ta được 3y y y2 1 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook Your dreams – Our mission x=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=0 2 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Với bài này, mọi thứ nhìn qua có lẽ đã khác rồi, nhìn phương trình (2) có vẻ lằng nhằng hơn và y xuất hiện cả ở trong căn bậc 3, nhìn biểu thức không có mối liên kết hay sự tương đồng nào cả, ta sẽ thử xử phương trình (1) bởi f (h(x)) x 2 1 với 4y 2 1 cùng một dạng. Và vì thế, ta sẽ dự rằng hàm là của f (g(y)) chứ không có sự dính dáng gì giữa x và y nên tư tưởng của ta sẽ vẫn là tách rời hết mức có thể 2 biến này để nắn thành hàm số. Vậy thì ta sẽ tách dần dần, trước hết là chuyển 1 1 từ vế 4y 2 trái sang vế phải x2 1 4x 2 y 8x 2 y 3 x 4y 2 1 1 Tiếp theo là làm biến mất x 2 ở vế phải, thì hành động này hoàn toàn hợp lí, vì khi chia cả 2 vế cho x 2 thì cũng tách luôn được 4x 2 y 4y , nên ta được phương trình x2 1 x2 8y 3 1 x 4y 4y 2 1 x2 1 1 Vế trái chỉ còn x, đã cho ta một hàm số dạng f ( t ) t4 t2 1 x4 8y 3 1 x 4y 2 1 1 4y t , nhưng vế phải thì vẫn còn căn thức ở mẫu và chưa đưa được về dạng trên, vậy ta phải làm mất căn thức ở dưới mẫu và đưa lên tử, đồng thời biểu thức 4y 2 1 1 cũng mang hình dạng của một biểu thức liên hợp, và ta có 4y 2 1 1 4y 2 4y 2 1 1 cho nên phương trình trên được biến đổi thành 2y.4y 2 1 x2 1 x4 1 x 1 x2 1 x4 1 x 2y 4y 2 1 x2 1 x4 1 x 2y (2y )2 4y 4y 2 1 1 4y 1 1 1 1 Đến đây, đã xuất hiện vế phải na ná hàm số của vế trái, nhưng cần đưa 2y vào trong căn hoặc đưa 1 ra ngoài x thì hai vế mới tương đồng về hình thức của hàm số. Nhưng để ý phương trình (2) một chút, 4 x x không để là 4x 3 cho đơn giản, thì đây chính là dụng ý của tác giả, tạo điều kiện x khỏi căn. Nên phương trình trên tương đương với Vậy là giờ ta cần xét hàm số f ( t ) Có f'(t) t2 1 1 t2 t2 1 t t2 0 t ℝ 1 x 1 1 trên 1 x2 1 1 2y 2 tại sao 0 để có thể đưa (2y )2 1 1 1 ra x Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook Your dreams – Our mission 1 2y và thế vào phương trình (2) để xử lí tiếp, đương nhiên ta sẽ làm mất y đi vì nó x xuất hiện ít hơn và nằm trong các biểu thức đơn giản hơn so với x ở phương trình (2), ta được phương Do đó ta suy ra được trình 4x3 6x 2 x 3 2 3 5x3 9x 2 6x 0 (3) Một phương trình vô tỉ có lập phương và có căn bậc 3, ta vẫn có thể nghĩ đến một hàm số có kiểu như là g(t ) at 3 bt , nhưng lần này, biểu thức ở bên trong căn đã khó chịu hơn nhiều khi không phải là bậc nhất nữa mà là bậc 3, vậy thì để cho đơn giản, ta sẽ đặt a 3 5x3 9x 2 6x 5x3 9x 2 6x a3 Ta cần đưa phương trình trên về dạng k.(x m)3 2(x m) k.a3 2a k.(x m)3 k.(5x 3 2(x 9x 2 m) k.(5x 3 6x) k.(x m)3 9x 2 6x) 2a 2(x m) 2 3 5x 3 9x 2 6x 0(4) 4 Đồng nhất hệ số của x 3 và số hạng tự do của (3) và (4), ta sẽ có 5k k k .m3 2m 3 k 1 , đến đây, ta m 1 thử lại, thay vào (4) thì khi rút gọn hoàn toàn giống với phương trình (3), như vậy tức là giá trị k,m này thỏa mãn. Vậy ta sẽ có phương trình chứa hàm số ở 2 vế là ( x 1)3 2( x 1) 3 9x 2 6x 3 2 3 5x 3 9x 2 2t đồng biến trên ℝ, suy ra x 1 Hàm số g( t ) t3 (x 1)3 9x 2 5x3 5x 3 6x 4x 3 6x 2 3x 1 6x 3 5x 3 9x 2 6x . Sau khi lập phương lên, ta thu được 0. Đây là phương trình bậc 3, và khi bấm máy tính thì thật thất vọng vì nghiệm rất lẻ! Chắc hẳn nhiều bạn sẽ nhìn lại lên phía trên xem mình đã sai ở đâu (bởi theo tư tưởng ra đề thì phương trình bậc 3 thu được ít khi nghiệm lẻ), nhưng cần bình tĩnh một chút và để ý hệ số của phương trình 4 : 6 :3 tỉ lệ với một bộ số 8:12:6 trong khai triển (2x 1)3 8x3 12x 2 6x 2 1 , vậy là đã thấy được ý đồ đen trắng của phương trình bậc 3 này, đầu tiên sẽ nhân cả 2 vế với 2 để dễ nhìn 8x3 12x 2 6x 2 0 (2x 1)3 3 0 , đến đây, mọi chuyện đã được giải quyết hoàn toàn. Bài toán này có một số mấu chốt quan trọng, đó là các biểu thức liên hợp, dạng x2 + a2 + b rất hay gặp, tiếp đó là việc nhận ra các hàm số khi có các điều kiện quen thuộc: ví dụ như lũy thừa bậc 3 và căn bậc 3, và cuối cùng là việc nhớ các hệ số của một vài khai triển quen thuộc, như 1:3:3:1; 8:12:6:1; 4:6:3;… sẽ giúp ích được phần nào khi xử lí tàn dư của các phép thế hay hàm số như trên. Dưới đây là một phương trình tương tự để các bạn luyện tập: 4x3 6x 2 3x 1 3 3 3x3 6x 2 6x 2 0 Bài giải chi tiết Điều kiện: xy 0 x 0 Phương trình (1) tương đương với 1 x2 1 x4 Do 4y 2 1 x4 4y 4y 2 1 x2 1 x 8y 3 1 x 4y 2 1 1 4y 2y 1 1 4y 2 1 1 . Nên phương trình tương đương với 4y 2 1 1 1 x 1 x2 1 x4 2y (2y )2 1 1 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook 1 x 1 x2 2y 1 1 Xét hàm số f ( t ) 1 x ℝ. Nên f t (2y )2 1 1 1 x f ( 2y ) t2 1 1 1 1 trên ℝ có f'(t) t2 6x 2 x 3 2 3 5x3 5x3 9x 2 6x 2 3 5x3 9x 2 3x x 3 3x 2 5x 3 0 5x3 9x 2 6x 9x 2 3x (x 1)3 2 3 5x 3 Xét hàm số f ( t ) Nên f ( x 1) (x 1)3 4x 3 5x3 6x 3 f t (2x 1)3 2t trên ℝ có f (t ) 5x 3 9x 2 9x 2 3x 3 x 3 3x 3 1 2 3t x 1 8x3 12x 2 3x 1 0 2 t2 0 t t2 1 ℝ. Suy ra f ( t ) đồng biến trên 2y Thay vào phương trình (2) ta được 4x3 3 Your dreams – Our mission y 3 6x 0 2(x 1) 2 3 9x 2 5x 3 6x 2 , suy ra f ( t ) đồng biến trên ℝ. 0 t 2 9x 2 3x 0 1 (thỏa mãn) 3 1 3 x= 𝐊ế𝐭 𝐥𝐮ậ𝐧: Hệ phương trình có nghiệm là: √3 − 1 2 1 y=3 √3 − 1 { 3 Giải hệ phương trình: Bài giải chi tiết (1) 8x3 12x 2 12x 3 Xét hàm số f ( t ) y 33 y 1 2x 1 3t trên ℝ có f (t ) t3 3t 2 Nên hàm số đồng biến trên ℝ nên f (2x 1) y3 3y 2 11y 9 3 3 9 8t trên ℝ có f '(t ) t3 y 1 y y 1 y 1 1 x 4 y 1 33 y 1 3 0 t f 3 y 1 2x 1 3 y 1 , thay vào (2) được y 1 89 y 1 Nên hàm số đồng biến. Nên f ( y 1) y 1 3 2x 1 y 1 89 y 1 (y 1)3 8( y 1) Xét hàm số f ( t ) 3 f 3t 2 9 y 1 8 0 t y 1 9 y 1 0 1 y 1 1 hoặc y 2 4 1 0 0 x 0 1 x=0 x=− 𝐊ế𝐭 𝐥𝐮ậ𝐧: Hệ phương trình có nghiệm là: { 2 ; {y = 0 y = −1 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook 4 Your dreams – Our mission Giải hệ phương trình: Bài giải chi tiết 1 x 6 Điều kiện: 2 y( y 2) 0 (1) 4(2x 1) 2x 1 3 2x 1 Xét hàm f (t ) 4( y 1)3 3( y 1) 3t trên ℝ có f ′ (t) = 12t 2 + 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ 4t 3 Suy ra hàm số f(t) đồng biến trênℝ. Mà ta có f(√2x − 1) = f(y + 1) ⇔ √2x − 1 = y + 1 2x 2 11x 8 x 1 2x 2 11x 5 2 ( x 5) 2x 1 x 1 1 1 x 1 2 ( x 5) 2( x 1) 1 x 5 (do 1 y 6 x 5 x 2 x 1 (2x 1)( x 5) 2x 2 , thay vào (2) ta được: y(y 2) 6 x x 5 1 6 x 0 1 6 x 1 1 x 1 2 0 0 1 6 x 1 0 1 và x 1 ) x 1 2 2 (thỏa mãn) 2x 1 1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { 5 x=5 y=2 Giải hệ phương trình: Bài giải chi tiết Cộng vế tương ứng của hai phương trình ta được 3x 2 2x 5 2x x 2 1 (2x 4y 3) 2x 2 x2 2x x 2 1 x x2 1 Xét hàm số f ( t ) f '( t ) 2t x2 2y 2 4y 2 2(y 1) y 2 (y 1)2 (y 1) ( y 1)2 1 t2 t t2 1 t 2 4y 4 0 y 2 3 2(y 1) y 2 2y 2 2y 2 1 trên ℝ có t t2 2t 2 1 2 1 2t t t 2 Suy ra f ( t ) đồng biến trên ℝ. Nên f (x) 3y 2 2y 2 x 5 hoặc y 3 2 t 1 t2 1 t2 1 1 f (y 1) 2 x x 2 0 t y 1 , thay vào (2) ta được: 1 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook Your dreams – Our mission 5 x = −1 3 𝐊ế𝐭 𝐥𝐮ậ𝐧: Hệ phương trình có nghiệm là: { ;{ y = −2 2 y= 3 x= 6 Giải hệ phương trình: Bài giải chi tiết (1) y( x 2 ( x2 x)2 3 2x 2 x) 3 4x 3 2x x 2 x x2 x 3 Xét hàm số f ( t ) 3 y 3 x 2( x 1) x 2 3 4x 2x t x2 2x 2 4 2(x 1) (x 1)2 (1 x) (1 x) (1 x)2 t(1 y 3 x 2 x , thay vào (2) được 5 2x 2 3 5 3 t2 3 3) trên ℝ có f'(t) 1 2 3 t2 t2 3 0 t ℝ Suy ra f ( t ) đồng biến trên ℝ. Nên f ( x ) f (1 x ) x 1 x x 1 2 1 y 13 2 1 2 𝐊ế𝐭 𝐥𝐮ậ𝐧: Hệ phương trình có nghiệm là: 1 + √13 {y = 2 x= 7 Giải hệ phương trình: Bài giải chi tiết 3 2 1 Điều kiện: x 4 ( y 1)2 y (1) ( y 1)3 x 1 0 2( y 1) 1 Xét hàm số f (t ) 2t 1 trên t3 Nên f(t) đồng biến trên Nên f (y 1) f ( 2x ) 4x 2 x 1 3x 1 (2x)3 1 ; 2 2.(2x) 1 1 ; 2 có f ( t ) 3t 2 1 2t 1 0 t . y 1 2x , thay vào (2) ta được 1 3 x 4x 2 x x 1 (3x 1) 2 1 y 3 (thỏa mãn) 1 2 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { Your dreams – Our mission x=1 y=3 1 4 : Hệ phương trình có nghiệm là: { 1 y= 4 x= 8 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Dễ dàng nhận ra (1) dùng phương pháp khảo sát hàm đại diện. Cụ thể, xét hàm f(t)= √t + 10 − √t − 1 trên miền t ∈ [1; +∞). Có f’(t) = 1 2 1 t + 10 1 t-1 < 0 ∀ t ∈ (1; +∞) Nên f(t) là hàm số nghịch biến và liên tục trên (1; +∞). Sau khi thay kết quả thu được từ việc khảo sát hàm số vào (2), ta sẽ thu được một phương trình mà nếu phá ngoặc sẽ xuất hiện hạng tử x bậc 4. Tinh ý, các bạn sẽ nhận ra (2) cũng sử dụng phương pháp hàm đại diện. Cụ thể: (2) ⇔ (2x 2 + 1)2 + 2(2x 2 + 1) = (y + 2x)2 + 2(y + 2x) Đến đây, ta xét hàm số g(t) = t 2 + 2t là một hàm số đơn điệu thực sự trong miền xác định trước, do đó vấn đề đã được giải quyết. Bài giải chi tiết x≥1 Điều kiện: { y≥1 (1) ⇔ √x + 10 − √x − 1 = −√y − 1 + √y + 10 Xét hàm số f(t)= √t + 10 − √t − 1 trên miền t ∈ [1; +∞) Ta có f’(t) = 1 2 1 t + 10 1 t-1 < 0 ∀ t ∈ (1; +∞) Nên f(t) là hàm số nghịch biến và liên tục trên (1; +∞) Lại có f(x) = f(y) ⇔ x = y. Thế vào (2) ta được: (2) ⇔ (2x 2 + 1)2 + 2(2x 2 + 1) = (y + 2x)2 + 2(y + 2x) Xét hàm số g(t) = t 2 + 2t (t ∈ (1 ; +vc) có f ′ (t) = 2t + 2 > 0 ∀ t > 1 Nên hàm số g(t) đồng biến trên (1 ; +∞) Lại có f(2x 2 + 1) = f(2x + y) ⇔ 2x 2 + 1 = 2x + y x=1⇒y=1 x=y 2 Khi đó, hệ ban đầu tương đương với : { 2 ⇔ 2x − 3x + 1 = 0 ⇔ [ 1 2x + 1 = y + 2x x = (loại) 2 x=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=1 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook 9 Your dreams – Our mission Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Nhận thấy (2) chưa thể khai triển được. (1) tuy có căn khá cồng kềnh, nhưng dù sao √2x + 3 cũng 4 chỉ là bình phương của √2x + 3 ! Ta phá ngoặc, nhận thấy dấu hiệu của phương pháp khảo sát hàm đại diện ở đây. 4 (1) ⇔ 3√2x + 3 + √2x + 3 = y 2 + 3y Đến đây, ta xét hàm f(t)= t 2 + 3t. Chỉ cần kết hợp với điều kiện của căn thức là ta có thể khẳng định hàm số này đồng biến. Do đó bài toán không còn là vấn đề. Bài giải chi tiết Điều kiện: x ≥ 3 2 4 (1) ↔ 3√2x + 3 + √2x + 3 = y 2 + 3y Xét hàm số f(t)= t 2 + 3t có f ′ (t) = 2t + 3 > 0 ∀ t ∈ [ 3 ; +∞) 2 3 ; +∞) 2 4 4 Mà ta lại có f( √2x + 3) = f(y) ⇔ y = √2x + 3 ⇔ y 4 = 2x + 3. Khi đó, (2) ⇔ −2014x 2 + 2x − 2010 = 0 ⇔ x ∈ ∅ Kết luận: Hệ phương trình vô nghiệm. Vậy hàm sô f(t) đồng biến và liên tục trên [ 10 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: (2) thấy ngay chưa phân tích được. (1) vừa có căn bậc hai, vừa có đa thức bậc 3, nhưng cũng thấy rằng x√x chính là (√x)3 . Ta giả thiết nếu sử dụng phương pháp khảo sát hàm số, hạng tử chính của vế trái là √x và ở vế phải là (y − √x). Thấy vế phải có hạng tử y đi kèm hệ số 3, ta trừ cả hai vế cho 3√x. Hàm số đại diện đã lộ rõ. Cụ thể: (1) ⇔ (√x)3 + 3√x = (y − √x)3 + 3(y − √x) Đến đây ta xét hàm f(t)= t 3 + 3t đồng biến và liên tục trên miền (0; +∞). Vấn đề của bài toán đã được giải quyết khi mà phương trình (2) sau khi thay kết quả vào sẽ trở thành phương trình bậc hai một ẩn x. Bài giải chi tiết Điều kiện: x ≥ 0 (1) ⇔ (√x)3 + 3√x = (y − √x)3 + 3(y − √x) Xét hàm số f(t)= t 3 + 3t, có f ′ (t) = 3t 2 + 3 > 0 với mọi t nên f(t) đồng biến và liên tục trên miền (0; +∞). y 4 = 16x 2 Lại có f(√x) = f(y − √x) ⇔ √x = y − √x ⇔ 2√x = y ⇔ { 2 y = 4x Đem thế vào phương trình (1), ta được: (1) ⇔ 16x 2 + 4x + 4x − 2014 = 0 ⇔ 16x 2 + 8x − 2014 = 0 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook ⇔ x1 = [ Your dreams – Our mission −8 + √128960 −1 + √2015 (thỏa mãn đk) = 32 4 −8 − √128960 (loại do x ≥ 0) x2 = 32 −1 + √2015 ⇔ y = 2√ 4 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là 1 2015 4 ;2 1 2015 4 Trích trong sách “Chinh phục hệ phương trình” – Lovebook Your dreams – Our mission Cuối cùng, toàn thể anh chị em đại gia đình Lovebook muốn gửi riêng tới các em học sinh: Nhất định các em sẽ làm được Đừng bao giờ nản chí các em nhé!