BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN ĐỨC TUẤN
VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT
CHO HÀM PHÂN HÌNH
VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN ĐỨC TUẤN
VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT
CHO HÀM PHÂN HÌNH
VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG
NGHỆ AN - 2017
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi. Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn
toàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng
và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Tác giả
Phan Đức Tuấn
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn
Thành Quang. Trước hết tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết
ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu, đặt bài
toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả
thực hiện luận án.
Tác giả cũng xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới
GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã quan tâm, giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:
- Tập thể các Thầy Cô giáo ngành Toán thuộc Viện Sư phạm Tự
nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, về những hỗ
trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của
một nghiên cứu sinh.
- Tập thể các Thầy Cô giáo Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học
Sài Gòn, nơi tác giả công tác, đặc biệt là PGS. TS. Phạm Hoàng Quân,
đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình
tác giả thực hiện luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những thành viên trong gia đình
của tác giả và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên
trong suốt quá trình học tập.
Phan Đức Tuấn ...
iii
MỤC LỤC
Một số ký hiệu thường dùng trong luận án . . . . . . . . . . . .
1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Chương 1
Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình
p-adic
11
1.1
Một số khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic . . . . . . . . . . . . . 18
1.3
Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic . . . . 27
Chương 2
Giá trị Picard và sự xác định duy nhất của
hàm phân hình p-adic cùng với đạo hàm của chúng
2.1
33
Giá trị Picard cho hàm phân hình p-adic cùng với đạo hàm
của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Sự xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic cùng với
đạo hàm của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương 3
Đa thức vi phân và bài toán chia sẻ giá trị
58
3.1 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị không tính bội . . . . . 71
Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án . . . 81
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1
MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN ÁN
Ký hiệu
Ý nghĩa
Trang
N
Tập hợp số tự nhiên
13
C
Trường số phức
3
Cp
Trường số phức p-adic
12
Pn (Cp )
Không gian xạ ảnh p-adic n chiều
16
f0
Đạo hàm bậc nhất của f
3
f (k)
Đạo hàm bậc k của f
5
f −1 (S)
Tập ảnh ngược của S qua f
3
Ef (S)
Tập ảnh ngược của S qua f , tính cả bội
8
E f (S)
Tập ảnh ngược của S qua f , không tính bội 9
gcd(a, b)
Ước chung lớn nhất của a và b
29
Tf (r)
Hàm đặc trưng của hàm phân hình f
14
Nf (0, r)
Hàm đếm không điểm của hàm phân hình f 14
Nf (∞, r)
Hàm đếm cực điểm của hàm phân hình f
14
mf (∞, r)
Hàm xấp xỉ của hàm phân hình f
14
δf (a)
Số khuyết của hàm phân hình f tại a
16
µaf
Bậc của hàm phân hình f tại a
17
M [f1 , . . . , fn ] Đa thức vi phân của các hàm phân hình
39
2
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phân bố giá trị được xây dựng bởi R. Nevanlinna [72] vào
năm 1925. Sự ra đời của lý thuyết này được đánh giá là một trong những
sự kiện toán học vĩ đại của thế kỷ 20. Bằng cách áp dụng lý thuyết phân
bố giá trị, R. Nevanlinna [73] đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Với
hai hàm phân hình phức khác hằng số f và g , nếu có năm giá trị phân
biệt ai (i = 1, 2, 3, 4, 5) thỏa mãn f −1 (ai ) = g −1 (ai ) ( không tính bội) với
i = 1, 2, 3, 4, 5 thì f = g . Hơn nữa, nếu f −1 (ai ) = g −1 (ai ) (tính cả bội)
với i = 1, 2, 3, 4 thì f =
ag+b
cg+d
với a, b, c, d là các hằng số phức thỏa mãn
ad − bc 6= 0. Từ đây, lý thuyết về sự xác định duy nhất hàm phân hình
được phát triển mạnh mẽ theo nhiều hướng mở rộng khác nhau.
Vào năm 1976, F. Gross [29] bắt đầu nghiên cứu vấn đề tương tự cho
hai hàm phân hình có ảnh ngược của các tập hợp điểm trùng nhau. Ông
đã đưa ra câu hỏi sau: Tồn tại hay không một tập S ⊂ C ∪ ∞ sao cho
với mọi hàm phân hình khác hằng số f và g thỏa mãn f −1 (S) = g −1 (S)
(tính cả bội) thì f = g ? Tập S có tính chất như vậy được gọi là tập xác
định duy nhất cho hàm phân hình. Ví dụ đầu tiên về tập xác định duy
nhất được đưa ra bởi F. Gross và C.C. Yang [30] vào năm 1982. Hai ông
đã chứng minh tập S = {z : z + ez = 0} là tập xác định duy nhất cho
các hàm nguyên. Chú ý rằng tập hợp này có vô hạn phần tử. Tập xác
định duy nhất đầu tiên cho hàm nguyên có hữu hạn phần tử được đưa
ra bởi H. Yi [66] vào năm 1995 với 15 phần tử và tập xác định duy nhất
cho hàm phân hình có số phần tử ít nhất với 11 phần tử được xây dựng
bởi G. Frank và M. Reinders [24] vào năm 1998. Sau đó, vào năm 2000,
H. Fujimoto [27] đã đưa ra các điều kiện đủ cho một tập hữu hạn là tập
xác định duy nhất.
3
Lý thuyết về sự duy nhất cho hàm phân hình cũng được khảo sát
trên trường số p-adic. Kết quả đầu tiên thuộc về W. W. Adam và E. G.
Strauss [5]. Vào năm 1971, các tác giả này đã chứng minh rằng hai hàm
phân hình p-adic khác hằng số có cùng ảnh ngược của 4 điểm phân biệt
thì trùng nhau. Kết quả này đã được mở rộng cho các đường cong chỉnh
hình p-adic trong các công trình của P. C. Hu và C. C. Yang [34], M. Ru
[59], V. H. An và T. D. Duc [10] cùng một số tác giả khác. Các tập xác
định duy nhất cho các hàm phân hình p-adic cũng được xây dựng bởi P.
C. Hu và C. C. Yang [34], A. Escassut và A. Boutabaa [13]. Năm 1999, P.
C. Hu và P. C. Yang [36] đã đưa ra tập xác định duy nhất cho các hàm
phân hình p-adic với 10 phần tử và vào năm 2003, H. H. Khoai và T. T.
H. An [40] đã đưa ra các điều kiện đủ cho một tập hữu hạn là tập xác
định duy nhất cho hàm phân hình p-adic.
Một hướng phát triển khác của bài toán xác định duy nhất hàm phân
hình là tìm đặc trưng cho các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của một
hay nhiều tập hợp điểm cùng với đạo hàm của chúng. Vào năm 1977, L.
A. Rubel và C. C. Yang [52] đã chứng minh kết quả sau: Nếu hàm nguyên
khác hằng số f và đạo hàm bậc nhất của nó f 0 có cùng ảnh ngược của
hai giá trị phân biệt a1 và a2 (tính cả bội), nghĩa là f −1 (ai ) = (f 0 )−1 (ai )
(tính cả bội) với i = 1, 2, thì f = f 0 . Vào năm 1997, C. C. Yang và X.
A. Hua [65] đã nghiên cứu bài toán xác định duy nhất cho các hàm phân
hình và các đơn thức vi phân dạng f n f 0 , khi chúng có cùng tập ảnh ngược
của một điểm tính cả bội và họ đã thu được kết quả sau: Giả sử f và g là
các hàm phân hình khác hằng số, n > 11 là một số nguyên và a ∈ C \{0}.
Nếu (f n f 0 )−1 (a) = (g n g 0 )−1 (a) (tính cả bội) thì hoặc f = dg với d là căn
bậc (n + 1) nào đó của đơn vị hoặc g(z) = c1 ecz và f (z) = c2 e−cz với
c, c1 và c2 là các hằng số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 . Bài toán tổng
quát theo hướng nghiên cứu này được phát biểu dưới dạng: Giả sử f và
g là các hàm phân hình khác hằng số và P là một đa thức vi phân sao
4
cho P [f ] và P [g] có cùng tập ảnh ngược của một hay có thể nhiều điểm
phân biệt. Với giả thiết nào của P hoặc về số các điểm chung, ta có thể
kết luận f = g hoặc ít nhất f và g có một quan hệ mật thiết nào đó.
Theo hướng nghiên cứu này, các kết quả về sự duy nhất của các hàm
phân hình phức lần lượt được khảo sát cho các đa thức vi phân dạng
(f n )(k) , (f n (f − 1))(k) , f n (f − 1)2 f 0 , ...
trong các công trình của M. L. Fang [23], W. C. Lin và H. X. Yi [50].
Bài toán duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm của chúng
trên trường số p-adic cũng được khảo sát bởi các tác giả H. H. Khoai
và V. H. An [42]; J. Ojeda [54] cho các đơn thức vi phân dạng f n f 0 ; K.
Boussaf, A. Escassut và J. Ojeda [12] cho đa thức vi phân dạng f 0 P 0 (f ),
với P là một đa thức duy nhất cho hàm phân hình; H. H. Khoai, V. H.
An và N. X. Lai [44] cho đa thức vi phân dạng (f n )(k) .
Một trong những đặc điểm của các đa thức vi phân được đề cập ở
trên là chúng có thể lấy tích phân về dạng P (f ), với P là đa thức trên
trường số phức hoặc p-adic. Từ đó, nhiều tác giả đã ứng dụng các kết quả
trong lý thuyết phân bố giá trị và lý thuyết đa thức duy nhất cho hàm
phân hình để giải quyết các vấn đề đặt ra. Gần đây, các dạng đa thức vi
phân không thuộc dạng trên cũng bắt đầu được khảo sát. Chẳng hạn, vào
năm 2011, J. Grahl và S. Nevo [28] đã khảo sát bài toán duy nhất cho
hàm phân hình và đa thức vi phân dạng P [f ] = f n + af (k) . Việc khảo
sát các dạng đa thức vi phân này đòi hỏi các tác giả phải đưa ra các kỹ
thuật và phương pháp chứng minh mới. Điều này cho thấy bài toán duy
nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của chúng là rất đa dạng và việc
khảo sát chúng là rất đáng quan tâm và cần thiết.
Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án
là "Về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của
chúng".
5
2 Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu tập xác định duy nhất của hàm phân hình và
đạo hàm của chúng với các mục đích sau:
(a) Xây dựng các tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình.
(b) Khảo sát bài toán duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm của
chúng bằng cách xét các đa thức vi phân có cùng ảnh ngược của một
hay nhiều điểm.
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Hàm phân hình, đa thức vi phân và tập xác định duy nhất cho các
hàm phân hình.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu các đặc trưng của các hàm
phân hình và đạo hàm của chúng có cùng ảnh ngược của một hay nhiều
tập hợp điểm trong các trường hợp tính bội và không tính bội.
4 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng lý thuyết phân bố giá trị trong trường hợp phức
của Nevanlinna và trong trường hợp p-adic được xây dựng bởi Hà Huy
Khoái cùng với lý thuyết phân bố giá trị cho đa thức vi phân và các bổ
đề Borel suy rộng.
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
5.1 Ý nghĩa khoa học
Vấn đề tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm
của chúng là một lĩnh vực nghiên cứu mới và đang phát triển mạnh mẽ.
Các kết quả mới về tập xác định duy nhất, bài toán chia sẻ giá trị cho
hàm phân hình và đạo hàm của chúng vừa mang tính thời sự vừa có mối
quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực về phương trình hàm và phương trình
vi phân. Do đó, việc nghiên cứu các đặc trưng về tập xác định duy nhất
6
của các hàm phân hình và đạo hàm của chúng là có ý nghĩa khoa học và
cần thiết, góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về lý thuyết duy nhất
cho các hàm phân hình.
5.2 Ý nghĩa thực tiễn
Lý thuyết Nevanlinna trong các trường hợp phức cũng như p-adic và
các ứng dụng của lý thuyết này đang thu hút được sự quan tâm của các
nhà toán học trong và ngoài nước. Các kết quả trong luận án là tài liệu
tham khảo cho các nhóm nghiên cứu về giải tích p-adic, lý thuyết số và
các vấn đề liên quan, đồng thời là cầu nối cho sự hợp tác giữa tác giả và
các nhà toán học khác trong và ngoài nước.
6 Tổng quan và cấu trúc luận án
6.1 Tổng quan luận án
Các tập xác định duy nhất cho hàm phân hình đã được đưa ra bằng
các phương pháp xây dựng khác nhau. Vào năm 2002, T. T. H. An [6]
đã ứng dụng một Bổ đề Borel suy rộng của Y. T. Siu và S. K. Yeung
[60] để xây dựng các tập xác định duy nhất cho hàm phân hình phức.
Trong Chương 1, chúng tôi xem xét vấn đề này đối với các hàm phân hình
p-adic. Trước hết, bằng cách áp dụng Định lý Nevanlinna - Cartan p-adic
của H. H. Khoai và M. V. Tu [45] và lý thuyết Nevanlinna p-adic, chúng
tôi chứng minh các tương tự của Bổ đề Y. T. Siu và S. K. Yeung trong
trường hợp p-adic. Cụ thể, trong Mục 1.2, chúng tôi phát biểu và chứng
minh Mệnh đề 1.2.3 và Định lý 1.2.5. Trong Định lý 1.2.5, chúng tôi chỉ ra
rằng giả thiết các hàm f1k−δ1 g1 (f0 , . . . , fn ), . . . , fnk−δn gn (f0 , . . . , fn ) không
có không điểm chung trong Mệnh đề 1.2.3 có thể bỏ đi.
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng các kết quả này để xây dựng các tập
xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic (Định lý 1.3.2). Ngoài ra,
chúng tôi chỉ ra ví dụ về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic
thỏa mãn Định lý 1.3.2 với 12 phần tử. Các kết quả của Chương 1 là sự
tiếp nối của một hướng nghiên cứu trong lý thuyết về tập xác định duy
7
nhất cho hàm phân hình, đó là xây dựng các tập xác định duy nhất với số
phần tử bé nhất có thể. Các kết quả của chúng tôi góp phần làm phong
phú thêm lý thuyết này. Nội dung chính của Chương 1 đã được chúng tôi
công bố trong hai bài báo [57, 58].
Một trong những vấn đề liên kết với bài toán tập xác định duy nhất
là xem xét giá trị Picard của các hàm phân hình. Định lý cơ bản của
đại số nói rằng một đa thức khác hằng số một biến phức luôn nhận mọi
giá trị phức. Sử dụng định lý cơ bản của đại số, W. W. Adam và E. G.
Strauss [5] đã chứng minh: Nếu các đa thức khác hằng số f và g thoả mãn
f −1 (0) = g −1 (0) và f −1 (1) = g −1 (1) thì f = g . Hơn nữa, W. W. Adam
và E. G. Strauss cũng đưa ra kết quả tương tự cho các hàm phân hình
p-adic. Đối với các hàm phân hình phức, chúng ta có định nghĩa: Cho f
là một hàm phân hình, giá trị a ∈ C được gọi là giá trị Picard của f
nếu f (z) 6= a, ∀z ∈ C. Một tương tự của định lý cơ bản của đại số cho
hàm phân hình phức là Định lý Picard nói rằng mỗi hàm phân hình khác
hằng số f trên mặt phẳng phức có nhiều nhất hai giá trị Picard, nghĩa là
f nhận mọi giá trị phức w trừ ra nhiều nhất hai giá trị. Vào năm 1958,
W. K. Hayman [32] bắt đầu xét mối liên hệ giữa giá trị Picard của các
hàm phân hình và đạo hàm của chúng. Ông đã chứng minh được kết quả
quan trọng sau: Mỗi hàm phân hình phức f thỏa mãn f n (z) + af 0 (z) 6= b
với mọi z ∈ C là hằng số nếu n ≥ 5 và a, b ∈ C, a 6= 0. Hơn nữa, nếu f là
hàm nguyên thì chỉ cần n ≥ 3 hoặc n = 2, b = 0. Năm 1982, W. Döringer
[20] chỉ ra kết quả này vẫn đúng với f n + af (k) thay cho f n + af 0 với điều
kiện n ≥ k + 4; nếu f là hàm nguyên thì chỉ cần n ≥ 3, không phụ thuộc
k . Sử dụng kết quả này, vào năm 2011, J. Grahl và S. Nevo [28] đã xét
bài toán chia sẻ giá trị cho các đa thức vi phân dạng f n + af (k) . Cho f
là một hàm phân hình khác hằng số và S ⊂ C ∪ {∞}, ta định nghĩa
[
Ef (S) =
{(z, m) | f (z) = a với bội m},
a∈S
8
và
E f (S) =
[
{z | f (z) = a}.
a∈S
Giả sử F là một tập hợp khác rỗng các hàm phân hình. Hai hàm f
và g của họ F được gọi là chia sẻ S (tính cả bội) nếu Ef (S) = Eg (S).
Tương tự, hai hàm f và g của tập F được gọi là chia sẻ S (không tính
bội) nếu E f (S) = E g (S).
Sử dụng khái niệm này, J. Grahl và S. Nevo [28] đã đưa ra các đặc
trưng cho các hàm phân hình phức có các đa thức vi phân dạng f n +af (k)
chia sẻ một giá trị tính cả bội. Trong Chương 2, chúng tôi xét bài toán
này trên trường các số p-adic. Trước hết, chúng tôi xét các giá trị Picard
cho đa thức vi phân dạng f n + af (k) và thu được Định lý 2.1.5 và Định lý
2.1.6. Sử dụng các kết quả này, chúng tôi thiết lập các định lý duy nhất
cho hàm nguyên và hàm phân hình p-adic cùng với các đa thức vi phân
có dạng trên có cùng ảnh ngược của một điểm tính cả bội. Kết quả chính
của mục này là Định lý 2.2.3 và Định lý 2.2.4.
Trong Định lý 2.2.3, điều kiện bị chặn của chúng tôi trong trường
hợp p-adic cho n và k là n ≥ 4, không phụ thuộc vào k , trong khi kết quả
trong trường hợp phức của J. Grahl và S. Nevo [28] là n ≥ 11 và n ≥ k+2.
Trong Định lý 2.2.4, điều kiện bị chặn cho n và k là n ≥ 5k + 14, còn
trong trường hợp phức, điều kiện bị chặn cho n và k đưa ra bởi J. Grahl
và S. Nevo [28] là n ≥ 5k + 17.
Phương pháp chứng minh của chúng tôi là sử dụng Định lý cơ bản
thứ hai cho hàm phân hình p-adic được xây dựng bởi H. H. Khoai [38] và
Bổ đề Borel cho hàm phân hình p-adic được xây dựng bởi P. C. Hu và C.
C. Yang [34]. Nội dung chính của Chương 2 đã được chúng tôi công bố
trong công trình [62].
Trong Chương 3, chúng tôi xét bài toán duy nhất cho đa thức vi
phân dạng f n + af m (f (k) )l , với n, m, l, k là các số nguyên dương. Trong
9
[20], W. Döringer đã chỉ ra rằng: Mỗi hàm phân hình phức f thỏa mãn
f n (z) + af m (z)(f (k) )l (z) 6= b, ∀z ∈ C là hằng số nếu n ≥ 3 + (k + 1)l + m
và a, b ∈ C, a 6= 0. Sử dụng kết quả này, chúng tôi xét các hàm nguyên và
hàm phân hình có các đa thức vi phân dạng f n + af m (f (k) )l , với n, m, l, k
là các số nguyên dương có cùng ảnh ngược của một điểm trong cả hai
trường hợp tính bội và không tính bội. Đa thức vi phân dạng này khác
với đa thức vi phân dạng f n + af (k) đã xét ở Chương 2 với điều kiện m
nguyên dương. Trong Mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu trường hợp tính cả
bội. Kết quả chính của mục này là Định lý 3.1.10 và Định lý 3.1.11. Tiếp
theo, trong Mục 3.2, chúng tôi đưa ra các đặc trưng cho các hàm phân
hình có các đa thức vi phân dạng trên chia sẻ một giá trị không tính bội
và thu đươc Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.2.
Phương pháp chứng minh của chúng tôi là sử dụng lý thuyết Nevanlinna và các bổ đề trong lý thuyết duy nhất của các hàm phân hình phức.
Cụ thể chúng tôi sử dụng Bổ đề 3.1.8 được xây dựng bởi C. C. Yang và
X. A. Hua [65] và Bổ đề 3.1.9 được xây dựng bởi H. X. Yi [67]. Các kết
quả của chúng tôi góp phần làm phong phú lý thuyết về sự xác định duy
nhất của các hàm phân hình, đặc biệt là hướng nghiên cứu tìm đặc trưng
của các hàm phân hình chia sẻ một hay nhiều tập hợp cùng với đạo hàm
của chúng. Nội dung chính của Chương 3 đã được chúng tôi công bố trong
công trình [63].
6.2 Cấu trúc luận án
Nội dung của luận án được trình bày trong 3 chương như sau:
Chương 1. Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic.
Chương 2. Giá trị Picard và sự xác định duy nhất của hàm phân
hình p-adic cùng với đạo hàm của chúng.
Chương 3. Đa thức vi phân và bài toán chia sẻ giá trị.
Luận án được viết dựa trên 5 công trình của tác giả, trong đó 4 công
trình đã đăng trong các tạp chí: East - West Journal of Mathemat-
10
ics, Vietnam Journal of Mathematics, Acta Mathematica Vietnamica, Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de Rolando
Eötvös Nominatae Sectio Mathematica và một công trình đã gửi đăng
([57], [58], [62], [63], [64]).
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại:
1. Seminar của Bộ môn Đại số, Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại
học Vinh.
2. Seminar của Bộ môn Đại số, Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại
học Sài Gòn.
3. Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang, 10-14/8/2013.
4. Hội Nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên tại Trường Đại học
Quy Nhơn, 12-14/8/2015.
11
Chương 1
TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO HÀM
PHÂN HÌNH P -ADIC
Trong chương này, trước hết, chúng tôi nghiên cứu các tương tự của
Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic. Sau đó, chúng tôi ứng dụng các kết
quả này trong việc nghiên cứu bài toán về tập xác định duy nhất cho hàm
phân hình p-adic.
1.1 Một số khái niệm cơ sở
Cho p là một số nguyên tố cố định, Qp là bổ sung đầy đủ của trường
hữu tỉ Q theo chuẩn p-adic. Ký hiệu Qp là bao đóng đại số của Qp . Khác
ˆ là
với trường hợp phức, Q là trường không đầy đủ. Ký hiệu C = Q
p
p
p
bổ sung đầy đủ của bao đóng đại số của Qp . Ta gọi Cp là trường các số
phức p-adic.
Giả sử f là một hàm nguyên trên Cp và b ∈ Cp . Viết f dưới dạng
f (z) =
∞
X
bn (z − b)n
n=q
với bq 6= 0 và ta đặt ωf0 (b) = q .
Cho a ∈ Cp , ta định nghĩa hàm ωfa : Cp −→ N bởi ωfa (b) = ωf0 −a (b).
Cố định một số thực ρ0 với 0 < ρ0 ≤ r. Lấy a ∈ Cp và ta ký hiệu hàm
đếm không điểm của f −a, tính cả bội, trong đĩa Dr = {z ∈ Cp : |z| ≤ r}
bởi
1
Nf (a, r) =
ln p
Z
r
ρ0
nf (a, x)
dx,
x
ở đây nf (a, x) là số nghiệm của f (z) = a (tính cả bội) trong đĩa
Dx = {z ∈ Cp : |z| ≤ x}.
12
Khi a = 0, ta đặt
Nf (r) = Nf (0, r).
Cho l là một số nguyên dương, đặt
Z r
nl,f (a, x)
1
dx,
Nl,f (a, r) =
ln p ρ0
x
P
ở đây nl,f (a, x) = |z|≤x min{ωfa (z), l}.
Giả sử k là một số nguyên dương. Định nghĩa hàm ωf≤k từ Cp vào N
bởi
ωf≤k (z)
=
0
nếu ωf0 (z) > k
ω 0 (z) nếu ω 0 (z) ≤ k
f
f
và
n≤k
f (r)
=
X
≤k
ωf≤k (z), n≤k
f (a, r) = nf −a (r).
|z|≤r
Định nghĩa
1
Nf≤k (a, r) =
ln p
Z
r
ρ0
n≤k
f (a, x)
x
dx.
Nếu a = 0, ta đặt Nf≤k (r) = Nf≤k (0, r).
Đặt
1
≤k
Nl,f
(a, r) =
ln p
Z
r
ρ0
n≤k
l,f (a, x)
x
dx,
ở đây
n≤k
l,f (a, x) =
X
min{ωf≤k
−a (z), l}.
|z|≤x
Cho một hàm nguyên khác hằng số f (z) trên Cp , được biểu diễn bởi
chuỗi hội tụ.
f (z) =
∞
X
n=0
an z n ,
13
với mỗi r > 0, ta định nghĩa
|f |r = max{|an |rn , 0 ≤ n < ∞}.
Bây giờ giả sử f =
f1
f2
là một hàm phân hình khác hằng số trên Cp ,
ở đây f1 , f2 là hàm nguyên trên Cp không có không điểm chung, ta đặt
|f |r =
|f1 |r
.
|f2 |r
Với mỗi a ∈ Cp , ta ký hiệu hàm đếm các không điểm của f − a,
tính cả bội, trong đĩa Dr = {z ∈ Cp : |z| ≤ r}, bởi
Nf (a, r) = Nf1 −af2 (r),
Nf (∞, r) = Nf2 (r),
Nf≤k (a, r) = Nf≤k
(r),
1 −af2
Nf≤k (∞, r) = Nf≤k
(r),
2
≤k
≤k
Nl,f
(a, r) = Nl,f
(r),
1 −af2
≤k
≤k
Nl,f
(∞, r) = Nl,f
(r).
2
Tương tự cho hàm phân hình f trên Cp , ta định nghĩa
k (a, r),
≥k
>k
Nf≥k (a, r), Nl,f
(a, r), Nl,f
(a, r).
Ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm phân hình f bởi
mf (∞, r) = max{0, log |f |r },
và
mf (a, r) = m
1
f −a
(∞, r).
Hàm đặc trưng của hàm phân hình f được định nghĩa bởi
Tf (r) = mf (∞, r) + Nf (∞, r).
Chúng ta có các bổ đề sau đây (xem [34, 41, 45]).
14
Bổ đề 1.1.1. ([34]) Giả sử f và g là các hàm nguyên trên Cp . Khi
đó, với mọi r > 0, ta có
log |f + g|r ≤ max{log |f |r , log |g|r }.
Bổ đề 1.1.2. ([34]) Giả sử f =
f1
f2
là một hàm phân hình trên Cp ,
trong đó f1 , f2 là các hàm nguyên không có không điểm chung trên
Cp . Khi đó, với mọi r > 0, ta có
Tf (r) = T 1 (r) + O(1),
f
Tf (r) = max log |fi |r + O(1),
1≤i≤2
ở đây O(1) là đại lượng bị chặn không phụ thuộc vào r.
Bổ đề 1.1.3. ([34]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng số trên
Cp . Khi đó, với mọi số nguyên dương k và r > 0, ta có
|f (k) |r ≤
|f |r
.
rk
Bổ đề 1.1.4. ([34]) Giả sử f là một hàm nguyên khác hằng số trên
Cp . Khi đó, với mọi r > 0, ta có
Tf (r) − Tf (ρ0 ) = Nf (0, r) + O(1),
ở đây 0 < ρ0 < r.
Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề đạo hàm Lôgarit). ([34]) Giả sử f là một hàm
phân hình khác hằng số trên Cp . Khi đó, với mọi số nguyên dương k
và r > 0, ta có
m f (k) (∞, r) = O(1).
f
Bổ đề 1.1.6 (Định lý cơ bản thứ nhất). ([34]) Giả sử f là một
hàm phân hình trên Cp . Khi đó, với a ∈ Cp , ta có
Nf (a, r) + mf (a, r) = Tf (r) + O(1).
15
Bổ đề 1.1.7 (Định lý cơ bản thứ hai). ([34]) Giả sử f là một hàm
phân hình trên Cp và a1 , a2 , ..., aq là các giá trị phân biệt thuộc Cp .
Khi đó
(q − 1)Tf (r) ≤ N1,f (∞, r) +
q
X
N1,f (ai , r) − log r + O(1).
i=1
Hơn nữa,
X
δf (a) ≤ 2,
a∈Cp ∪∞
với
δf (a) = 1 − lim sup
r→+∞
N1,f (a, r)
.
Tf (r)
Bây giờ, chúng ta trình bày một số khái niệm về lý thuyết Nevanlinna
cho đường cong chỉnh hình.
Ký hiệu P n (Cp ) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường số phức
p-adic Cp . Một đường cong chỉnh hình
f : Cp → P n (Cp )
là một lớp tương đương gồm (n+1)-thành phần các hàm nguyên (f0 , ..., fn )
sao cho f0 , ..., fn không có không điểm chung, ở đây hai (n + 1)-thành
phần (f0 , ..., fn ) và (g0 , ..., gn ) là tương đương nếu tồn tại hằng số c sao
cho fi = cgi với mọi i = 0, ..., n. Ta đồng nhất f với một biểu diễn:
f = (f0 , ..., fn )
Giả sử f : Cp → P n (Cp ) là đường cong chỉnh hình có biểu diễn
f = (f0 , ..., fn )
. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của f bởi
Tf (r) = max log |fi |r .
0≤i≤n
Giả sử H là một siêu phẳng của P n (Cp ) xác định bởi phương trình
F = 0 sao cho ảnh của f không chứa trong H . Ta đặt
Nf (H, r) = Nf ◦F (r), Nm,f (H, r) = Nm,f ◦F (r).
- Xem thêm -