Tài liệu Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đào Thị Thu Hường VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đào Thị Thu Hường VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các nội dung và kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác. Tác giả Đào Thị Thu Hường LỜI CẢM ƠN Lời nói đầu tiên, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến với thầy PGS TS. Mỵ Vinh Quang, người đã nhận hướng dẫn tôi, người đã giúp đỡ tôi rất rất nhiều trong việc làm quen với công việc nghiên cứu và tận tình chỉ dạy, động viên tôi hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tôi xin trân trọng cảm ơn đến thầy TS. Trần Huyên – Người cho tôi con đường yêu môn Đại số và quyết tâm theo đuổi ngành Đại số và lý thuyết số. Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu và các thầy cô trong tổ Toán của Trường TH, THCS, THPT Ngô Thời Nhiệm Quận 9 TP.HCM nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - Tin của Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học. Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng Khóa 27 đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là bạn Nguyễn Thanh Ngọc lớp LL&PPDHBM Toán đã đồng hành, động viên tôi cùng học tập . Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đến bố mẹ ruột, ba mẹ chồng, chồng và anh em tôi đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Đặc biệt là cảm ơn con gái đã thức cùng mẹ trong những ngày mẹ ôn bài thi. Tôi xin chân thành cảm ơn. Đào Thị Thu Hường MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan  Lời cảm ơn   MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1  Chương 1. VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC ..................... 3  1.1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức............................................................. 3  1.2. Căn và lũy thừa hữu tỷ ............................................................................... 5  1.3. Đạo hàm hình thức ..................................................................................... 7  1.4. Một số công thức ........................................................................................ 8  1.5. Hàm sinh của dãy số................................................................................... 9  Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC – HÀM SINH ....................................... 10  2.1. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số. ...... 10  2.2. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giải các bài toán đếm. ......................................................................................................... 17  2.3. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức trong việc chứng minh các công thức tổ hợp. .............................................................................. 24  2.4. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giải một số bài toán bậc phổ thông. ......................................................................................... 27  KẾT LUẬN ................................................................................................... 32  TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 33  1 MỞ ĐẦU Trong toán học, việc sử dụng các kiến thức toán cao cấp để giải quyết các bài toán ở phổ thông là điều rất quan trọng. Nó không chỉ giúp người làm toán có nhiều phương pháp lựa chọn lời giải, mở rộng tầm hiểu biết toán học mà còn phát huy được sự thông minh và sự sáng tạo, tầm bao quát toán, mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Như chúng ta đã biết các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và toán giải tích. Khi tiếp cận vấn đề này các em học sinh giỏi, sinh viên và khá nhiều thầy cô giáo phổ thông thường phải đối mặt với rất nhiều bài toán khó và lúng túng khi tìm cách giải. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường Đại học, cao đẳng, các bài toán liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thường rất khó, đòi hỏi người học, người làm toán phải có tầm hiểu biết rộng và rất sâu sắc các kiến thức về dãy số và chuỗi mới đưa ra các phương pháp giải toán hay và hoàn thiện được bài toán. Để phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học tập, nghiên cứu các bài toán về dãy số, các bài toán tổ hợp, các bài toán trong lý thuyết số…Vành  các chuỗi lũy thừa hình thức a x n0 n n đã tỏ ra rất có ích và nó là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các vấn đề trên. Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mỵ Vinh Quang, tác giả đã quyết định chọn đề tài luận văn :” Vành các chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng ”. Nội dung luận văn gồm có 2 chương: Chương 1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức. 2 Trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và hàm sinh. Chương 2. Một số ứng dụng của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và hàm sinh. Trình bày cách ứng dụng của vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giảiquyết các bài toán về dãy số, các bài toán tổ hợp, các bài toán trong lý thuyết số, các bài toán sơ cấp… Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp từ quý thầy cô và đọc giả. 3 Chương 1. VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 1.1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức Ký hiệu vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến trên trường  là:   2     x   a0  a1 x  a2 x  ... ai     ai xi ai    .  i 0     Mỗi phần tử f    x  , f   ai x i với x 0  1 , được gọi là một chuỗi lũy i 0 thừa hình thức của biến x với các hệ tử thuộc  . Để biến   x thành một vành giao hoán có đơn vị ta cần các phép toán sau: n n Cho f   an x , g   bn x    x  ta định nghĩa n n f  g  an  bn , n  0;1;... và f  g    an  bn  x n n   fg   cn x n  cn   ak bn  k  . n k   1.1.1 Để thuận tiện, ta kí hiệu 0 cho chuỗi luỹ thừa với tất cả các hệ số bằng 0 và 1 cho chuỗi luỹ thừa 1  0.x  0.x 2  ... và gọi chúng tương ứng là (chuỗi luỹ thừa) “không” và “đơn vị”. Một cách tổng quát hơn, với hằng số    , ta vẫn giữ kí hiệu cho chuỗi luỹ thừa hình thức   0.x  0.x 2  ... . Cuối cùng, ta kí hiệu  A cho chuỗi luỹ thừa nhận được từ A bằng cách đổi dấu hệ số của nó. Nói rằng   x  là một vành giao hoán có đơn vị, có nghĩa là các phép toán ” + “ và ” . “ trên   x  có các tính chất sau đây và việc kiểm tra là rất đơn giản: với mọi A  A  x  , B  B  x  , C  C  x     x  , 4 1 A  0  0  A  A  2 A  B  B  A  3 A    A     A   A  0  4  A  B   C  A   B  C   5  A.1  1. A  A  6  A.B  B. A  7  A.B  .C  A.  B.C  8  A.  B  C   A.B  A.C  9  A.0  0. A  0 Lưu ý rằng các đẳng thức (4), (7) nói rằng các phép toán ‘’+, . “ có tính kết hợp, các đẳng thức (2), (6) nói rằng các phép toán “+” và “ . “ là giao hoán. Tất cả các tính chất mà chúng ta nêu lên ở trên là các tính chất quen thuộc trên vành các đa thức   x  . Giống như với   x  , đẳng thức (9) có phát biểu đảo sau đây Mệnh đề 1.1.1. Nếu A, B    x  sao cho A.B  0 thì hoặc A  0 hoặc B  0. Chứng minh. Thật vậy, giả sử A  0, B  0 . Gọi a , b tương ứng là các hệ số khác 0 với chỉ số nhỏ nhất của A và B . Thế thì a .b  0 chính là hệ số  0 của AB với chỉ số nhỏ nhất. Nói riêng AB  0 . Định nghĩa 1.1.2. Ta nói A    x  là khả nghịch nếu tồn tại B    x  sao cho AB  1 . Phần tử B như vậy nếu tồn tại là duy nhất và được gọi là nghịch đảo của A . Ta còn kí hiệu nghịch đảo của A bởi A1 hay 1 . A Nói riêng, nếu A là khả nghịch thì A  0 . Mặt khác, nếu A là nghịch đảo của B thì B là nghịch đảo của A . 5 Mệnh đề 1.1.3. Với các phép toán trên,   x lập thành một vành giao hoán có đơn vị. Chứng minh. Việc kiểm tra các tiên đề của vành là thoả mãn.   i Định lý 1.1.4. Chuỗi lũy thừa hình thức f   ai x là khả nghịch khi và chỉ i 0 khi a0  0. Chứng minh.    Giả sử f có nghịch đảo, nghĩa là 1   bn x n f n0 Khi đó f . 1 / f   1 và theo (1.1.1) ta có c0  1  a0 .b0 vì thế a0  0. Hơn nữa, trong trường hợp n  1, cn  0   ak bn  k , này từ (1.1.1) đó cho ta ta biết rằng tìm với được k  1  bn     ak bn  k  a0  k 1  n  1 1.1.2  Điều này xác định b1 , b2 ,... duy nhất.    Ngược lại, giả sử a0  0 . Khi đó ta có thể xác định b0 , b1 ,... từ (1.1.2), và kết quả chuỗi b x n n là nghịch đảo của f .  n 1.2. Căn và lũy thừa hữu tỷ Cho A  x     x  có hệ số tự do bằng 1 và m , n là các số nguyên với 1 n dương. Ta định nghĩa luỹ thừa A  x  n hay n A  x  là chuỗi luỹ thừa B  x  với hệ số tự do bằng 1 sao cho B  x   A  x  . Một cách tổng quát hơn, ta định n 6 m nghĩa A  x  n , hay n A  x  m như là chuỗi luỹ thừa B  x  với hệ số bằng 1 duy nhất thoả mãn B  x   A  x  . n m Định lý 1.2.1. Cho A  x     x  có hệ số tự do bằng 1 và n là một số nguyên dương. Tồn tại duy nhất một phần tử B  B  x     x  với hệ số tự do bằng 1 sao cho B n  A. Để chứng minh định lý này ta có bổ đề sau Bổ đề 1.2.2. Nếu A  A  x     x  có hệ số tự do bằng 1 thì với mọi số nguyên dương n , An cũng có hệ số tự do bằng 1. Một cách cụ thể hơn, nếu n 2 A  1  a1 x  ... thì A  1  b1 x  b2 x  ... trong đó bk  na k  (đa thức của a1 , ..., a 2 , ..., a k 1 ). Chứng minh. Bằng quy nạp theo n . Chứng minh định lý 1.2.1. Viết A  A  x   1  a1 x  a2 x 2  ...  ak x k  ... và giả B  1  b1 x  b2 x 2  ...  bk x k  ... Theo bổ đề 1.2.2, ta có B n  1  nb1 x   nb2  f1  b1   x 2  ...   nbk  f k  b1 ,..., bk 1   x k  ... Trong đó f k  b1 ,..., bk 1  là một đa thức của b1 ,..., bk 1 với mọi k . n Từ đây, đẳng thức B  A tương đương với một hệ phương trình vô hạn nb1  a1   nb2  f1  a1   a2      nb  f b ,..., b  1 k 1   ak  k    sử 7 Dễ thấy, hệ này xác định một nghiệm duy nhất b1 , b2 ,... : trước hết b1 xác định duy nhất bởi phương trình đầu tiên, rồi b2 xác định bởi b1 và phương trình thứ 2, và một cách truy hồi, với mọi k  1, bk xác định bởi phương trình thứ k và các giá trị b1 ,..., bk 1 .  1.3. Đạo hàm hình thức Định nghĩa 1.3.1. Đạo hàm hình thức của A  x   a0  a1 x  ...    x  là chuỗi lũy thừa k 1 hình thức A '  x  cho bởi công thức A '  x   a1  2a2 x  ...   kak x . k 1 Theo thông lệ, ta sẽ kí hiệu A ''  x  cho đạo hàm của A '  x  và một cách  tổng quát, A n  x cho đạo hàm thứ n của A  x  , được định nghĩa bằng quy nạp như đạo hàm của đạo hàm thứ n  1 của A. Mệnh đề 1.3.2. Giả sử A, B    x  ,   . Ta có 1  2  3  4 5 A '  0  A  const   A '  .A '  A  B  '  A ' B '  AB  '  A ' B  AB '  A  '  nA n n 1 A ', n  0. Hơn nữa, nếu A là khả nghịch thì 6  A  '   AA ' 7  A  '  n AA ' 1 2 n n 1 Chứng minh. , n   0 . 8 Các đẳng thức 1 ,  2  ,  3  là hiển nhiên. Đẳng thức (4) cũng dễ dàng suy ra từ việc so sánh hệ số lũy thừa của x trong hai vế. Công thức (5) được suy ra bằng quy nạp theo n và bằng cách sử dụng (4). Để thiết lập (6), ta chỉ cần đạo hàm hai vế đẳng thức A. A 1  1 và sử dụng công thức Leibniz cho vế trái. Cuối cùng, do A n   A 1  ta suy ra n  A    A  n 1  n '   A   n A 1 n 1 1   nA n 1 A '.  Công thức Leibniz có thể được phát biểu cho một tích hữu hạn như sau mà việc chứng minh đơn giản là sử dụng qui nạp  A1 A2 ... An  '  A1' A2 ... An  A1 A2' ... An  ...  A1 A2 ... An' . Hệ quả 1.3.3. Hai chuỗi lũy thừa hình thức có cùng đạo hàm khi và chỉ khi sai khác một hằng số. 1.4. Một số công thức Khai triển thành chuỗi lũy thừa hình thức một số hàm đơn giản sau đây: 1  1  x  x 2  x 3  ...  x n  ... 1 x 1.4.1 x x 2 x3 xn e  1    ...   ... n! 1! 2! 3! 1.4.2  1 x 2 x3 x 4 xn log  x    ...   ... 1 x 2 3 4 n 1.4.3 x ln 1  x   x  n x 2 x3 x 4 n 1 x    ...   1  ... n 2 3 4 1.4.4  9 sin x  x  x3 x5 x 2 n 1 n 1   ...   1  ... 3! 5!  2n  1! 1.4.5 2n x2 x4 n x cos x  1    ...   1  ... 2! 4!  2n  ! 1  x   1 1  x  k 1 1.4.6        xk k k  1.4.7  n  k  n   x n  n  1.4.8 1 1  2n  n 2 3 4 5 1  1  4x    x  1  x  2 x  5 x  14 x  42 x  ... 1.4.9  2x n n 1 n     2k     x k  1  2 x  6 x 2  20 x 3  70 x 4  252 x 5 1  4x k k  924 x 6  3432 x 7  12870 x8  48620 x 9  ... 1 1.4.10  1.5. Hàm sinh của dãy số  Cho dãy số an  . Chuỗi lũy thừa hình thức f  x    an x n được gọi là n0 hàm sinh của dãy an  . 10 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC – HÀM SINH 2.1. Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số. Nếu biết công thức truy hồi của dãy số an  ta có thể ứng dụng hàm sinh của dãy số này để tìm hoặc nghiên cứu số hạng tổng quát an của dãy theo phương pháp chung như sau: n Bước 1: Ký hiệu A  x   n0 an x là hàm sinh của dãy an  . Bước 2: Nhân cả hai vế của công thức truy hồi với x n , rồi tính tổng theo n , từ đó rút ra phương trình đối với A  x  . Bước 3: Giải phương trình tìm A  x  . Từ đó dựa vào các công thức đã biết suy ra an . Sau đây là một số ví dụ minh hoạ. Ví dụ 2.1.1. Cho dãy các số a0 , a1 ,... thỏa mãn điều kiện  n  0; a0  0  . an 1  2an  1  2.1.1 Hãy tìm dãy  an  . . Bài giải. n Đặt A  x    n0 an x . Nhân vế trái của  2.1.1 với x n rồi tính tổng theo n ta được: a n0 n 1 x n a1  a2 x  a3 x 2  a4 x3  ...     a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  ...  a0 / x  A x x 11 Tương tự, nhân vế phải của  2.1.1 với x n rồi tính tổng theo n ta được:   2a n n 0  1 x n  2 an x n   x n n0 n0  2 A x  1 1 x Cho 2 vế bằng nhau, ta được: A x 1 x 1 x 1  1  2x   A x   x  1 x  2A x   A x  1  x  2  x  1  x 1  2 x   1  2 x 1  x   2 x.  2 x   x. x n n  n0 n0  AD 1.4.1      2  1 x   2  1 x   2  1 x   2 x  22 x 2  23 x 3  ...  x  x 2  x3  ... 2 2 3 3  ... n Vậy an  2  1  n  0  .  Ví dụ 2.1.2. Cho dãy các số a0 , a1 ,... thỏa mãn điều kiện an 1  2an  n  n  0; a0  1 . Hãy tìm dãy  an  . Bài giải. n Đặt A  x   n0 an x . Nhân vế trái của  2.1.2  với x n rồi tính tổng theo n ta được:  2.1.2  12 a n0 n 1 x n a1  a2 x  a3 x 2  a4 x3  ...   a 0    a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  a0 / x A x 1  x Tương tự, nhân vế phải của  2.1.2  với x n rồi tính tổng theo n ta được:   2a n0 n  n  x n  2 an x n   nx n n0 n0  2A x  S Với S   nx n . n0 n  Sdx   n  1 x n0 S 1 1  x  2 1 n 1 1 1 n 1 x C  x C 1  1 x n0 n  1 n0 n  1 1 x   1  x 1  x 2  C   x n 1   n 1 n0   xn  n0 1 1  x  2 Cho 2 vế bằng nhau, ta được: A x 1 x  2A x  x 1  x  2 x  1  2x  1  A x   2  x  x 1  x  1 2x2  2x  1 x2  A x    1  2 x  1  2 x 1  x 2 1  2 x 1  x 2  1 1  x  2  2 1  2x Áp dụng công thức (1.4.8) và (1.4.1)  1 1  x  2  n  1 n 2 3 n   x  1  2 x  3 x  4 x  ...   n  1 x  ... n0  n  2 n  2  2 x   2. 1  2 x  22 x 2  ...  2n x n  ... 1  2x n0   13 n n 1 Vậy an    n  1  2.2 = 2  n  1  n  0  .  Ví dụ 2.1.3. Xét dãy Fibonacci :  n  1; F0  0, F1  1 . Fn 1  Fn  Fn 1  2.1.3 Hãy tìm Fn . Bài giải. n Xét hàm sinh: F  x    Fn x . n0 Nhân vế trái của  2.1.3 với x n rồi tính tổng theo n ta được: F2 x  F3 x 2  F4 x 3  ...   F  F x  F x 0 1 2 2    F3 x 3  ...  F0  F1 x / x  F  x  x x Tương tự, nhân vế phải của  2.1.3  với x n rồi tính tổng theo n ta được: F x  F x 1 2 2     F3 x3  ...  F0 x  F1 x 2  F2 x3  ...   F  x    x.F  x   F  x   x.F  x  Cho 2 vế bằng nhau, ta được: F  x  x x  F  x   x.F  x  x 1   F  x  .  1  x   1  F  x   2 x  x  1 x      1 1 1 x    F  x     5 1 5 1 5  1 5   1 5  1  x.  1  x.   1  x.  . 1  x.  2 2   2   2   j j 1 5  j  1   1  5  j  .   x     x   2  5  j 0  2  j 0    n n 1  1  5   1  5         n  0 . Vậy Fn  5  2   2      14 Ví dụ 2.1.4. Cho dãy số un  được xác định bởi: u1  1  u2  2  * un  2  un  2un1 , n   Đặt a  lim n  2.1.4  un1 . Tính a. un Bài giải. n 2 Đặt u0  0 và f  x    n0 un x  u0  u1 x  u2 x  ... Nhân vế trái của u n0 n 2  2.1.4  với xn rồi tính tổng theo n ta được: x n u2  u3 x  u4 x 2  ...     u0  u1 x  u2 x 2  u3 x3  ...  u0  u1 x / x 2  f  x  x x2 Tương tự, nhân vế phải của  2.1.4  với x n rồi tính tổng theo n ta được:  u n0 n  2un 1  x n   un x n  2 un 1 x n n0  f  x  2 n0 f  x x Cho 2 vế bằng nhau, ta được: 15 f  x  x 2  f  x   2. f  x x 2 1 x  1  f  x . 2  1     f  x   2 x x  x  2x  1 x x  f  x   x 1  x.1  2  .1  x.1  2    1  1 1     2 2 1  x. 1  2 1  x. 1  2      j j  .   x. 1  2     x. 1  2      2 2  j 0  j 0   1 un     1  1 2 2 2    n  1 2  Do 1  2  1  1  2 Vậy un  1 2 1  2  2 un 1 n  u n a  lim n  n n  Vậy: a  1  2.  n  n0 .    n   0  n  0 . 1  2  2 2  lim 1 1  2  2 2 1  n 1 n  1 2  Ví dụ 2.1.5. Dãy số  an  được xác định như sau: a0  1  n an1  5an  n.2 , n  0 Hãy tìm dãy  an  . Bài giải: n Đặt f  x    n0 an x .  2.1.5  