Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trong toán học phổ thông...

Tài liệu Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trong toán học phổ thông

.PDF
85
532
95

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HIỀN VẬN DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ LOGIC CƠ BẢN TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HIỀN VẬN DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ LOGIC CƠ BẢN TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Nam HÀ NỘI, NĂM 2017 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Đình Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy, người đã định hướng, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô trong bộ môn Đại số nói riêng đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoàn thành luận văn cũng như trong suốt khóa học vừa qua. Và cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, động viên tác giả trong suốt thời gian học tập vừa qua. Mặc dù có nhiều cố gắng xong do trình độ và thời gian còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi còn mắc những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, nhận xét của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! ii MỤC LỤC MỤC LỤC iv Lời nói đầu v 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Khái quát về logic học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Logic học là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Sự hình thành và phát triển của logic học . . . . 2 1.1.3 Ý nghĩa của việc nghiên cứu logic học . . . . . . 4 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Các phép toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Các quy luật của logic mệnh đề . . . . . . . . . . 11 Đại số vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Các phép toán logic trên hàm mệnh đề một biến . 15 1.3.3 Lượng từ với mọi và tồn tại . . . . . . . . . . . . 16 Suy luận trong toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1 Suy luận là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.2 Suy luận hợp logic và suy luận không hợp logic . 18 1.4.3 Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch . . . . . 20 1.4.4 Một số qui tắc suy diễn . . . . . . . . . . . . . . 23 iii 1.4.5 2 Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SUY LUẬN LOGIC 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 27 Phương pháp lập bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Phương pháp lập bảng . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Phương pháp lựa chọn tình huống . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Phương pháp biểu đồ Ven . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Phương pháp suy luận trực tiếp . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5.1 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . 60 2.5.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5.3 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.6.1 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.6.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6.3 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 iv Lời nói đầu Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán giữ vai trò quan trọng. Toán học là công cụ cung cấp tri thức để người học học tập các môn học khác. Thông qua học toán, người học được rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và logic, phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo. Thực tế, có nhiều người ít dùng kiến thức toán học vào cuộc sống, nhưng không ai phủ nhận rằng những người học toán tốt thường có tư duy tốt. Các nhà nghiên cứu giáo dục cho rằng, cái còn lại sau những năm tháng vất vả học toán không phải chỉ là những công thức, qui tắc, định lí ... mà còn là cách suy nghĩ, cách giải quyết vẫn đề, khả năng toán học hóa các tình huống của cuộc sống. Do vậy, một trong nhứng nhiệm vụ quan trọng nhất của môn Toán là thông qua dạy tri thức toán học để dạy cách phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cách suy nghĩ, rèn luyện nhân cách, phát triển tư duy cho học sinh. Các bài toán suy luận logic thường không đòi hỏi nhiều về kĩ năng tính toán, điều cần thiết hơn cả là phải suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí và sáng tạo. Các bài toán này có tác dụng giúp người thực hiện nâng cao khả năng tư duy và phát huy năng lực sáng tạo nhưng nó không có một khuôn mẫu giải mà tùy thuộc vào nội dung bài toán để lập luận tìm ra cách giải thích hợp. Trong một số đề thi học sinh giỏi hoặc tuyển sinh lớp 10 có những bài toán về suy luận logic. Nếu học sinh không được làm quen và luyện tập nhiều các bài toán dạng này thì rất lúng túng và khó biết cách giải. Là một giáo viên phổ thông, tác giả mong muốn được tìm hiểu thêm về v một số phương pháp giải toán suy luận logic, qua đó có thêm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh trong học tập. Mong muốn ấy đã đưa tác giả đến với đề tài: “Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trong toán học phổ thông”. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về logic như khái quát về logic học, mệnh đề, đại số vị từ, suy luận và chứng minh. Chương 2: Trình bày về một số nguyên lý logic cơ bản trong toán học phổ thông như phương pháp lập bảng, phương pháp lựa chọn tình huống, phương pháp biểu đồ Ven, phương pháp suy luận trực tiếp, phương pháp quy nạp, nguyên lý Dirichlet. Đây không phải là một đề tài mới nhưng trong luận văn này, tác giả trình bày các phương pháp giải bài toán suy luận thông qua mối liên hệ với đại số. Hi vọng đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh phổ thông. vi Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC 1.1 Khái quát về logic học 1.1.1 Logic học là gì? Khoa học nói chung và toán học nói riêng đều xuất phát từ quá trình nhận thức thế giới khách quan, từ cảm giác → tri giác→ biểu tượng → nhận thức lí tính (tư duy) . Trong đó, tư duy biểu thị dưới dạng khái niệm (phản ánh những đặc điểm chung, bản chất của sự vật), phán đoán (phản ánh những qui luật tất yếu giữa các sự vật) và suy luận. Đồng thời tư duy gắn liền với ngôn ngữ như một phương tiện biểu đạt và giao tiếp. Trong quá trình nhận thức thế giới khách quan, người ta cần phải có cách nghĩ, cách suy luận đúng đắn và trong giao tiếp người ta phải có cách biểu đạt (biểu thị, diễn đạt) đúng đắn. Liên quan đến những điều đó là Logic học. Logic học là khoa học về tư duy, nghiên cứu các quy luật và hình thức của tư duy, các cách suy luận và biểu đạt đúng đắn. 1 1.1.2 Sự hình thành và phát triển của logic học 1.1.2.1. Sự xuất hiện và các giai đoạn phát triển của logic học hình thức truyền thống Logic học có lịch sử lâu dài và phong phú gắn liền với lịch sử phát triển xã hội nói chung. Sự xuất hiện của logic học như là lý thuyết về tư duy đã có sau thực tiễn con người suy nghĩ hàng nghìn năm. Cùng với sự phát triển của lao động sản xuất con người đã hoàn thiện và phát triển dần các khả năng suy nghĩ, rồi biến tư duy cùng các hình thức và quy luật của nó thành khách thể nghiên cứu. Những vấn đề logic đã lẻ tẻ xuất hiện trong suy tư người cổ đại từ hơn 2,5 nghìn năm trước đây đầu tiên ở Ấn Độ và Trung Quốc. Sau đó chúng được vạch thảo đầy đủ hơn ở Hy Lạp và La Mã. Có hai nguyên nhân cơ bản làm xuất hiện logic học. Thứ nhất, sự ra đời và phát triển ban đầu của các nhà khoa học, trước hết là của toán học. Sinh ra trong đấu tranh với thần thoại và tôn giáo, khoa học dựa trên cơ sở tư duy duy lý đòi hỏi phải có suy luận và chứng minh. Do vậy, logic học đã nảy sinh như là ý đồ vạch ra và luận chứng những đòi hỏi mà tư duy khoa học phải tuân thủ để thu được kết quả tương thích với hiện thực. Hai là sự phát triển của thuật hùng biện trong điều kiện dân chủ Hy Lạp cổ đại. Người sáng lập logic học - "Cha đẻ của logic học" là triết gia lớn của Hy Lạp cổ đại, nhà bách khoa Aristote (384 - 322 TCN). Ông viết nhiều công trình về logic học, có tên gọi chung là "Bộ công cụ", trong đó chủ yếu trình bày về suy luận và chứng minh diễn dịch. Aristote còn phân loại các phạm trù − những khái niệm chung nhất và khá gần với phân loại từ trước của Democritos về phán đoán. Ông đã phát biểu ba quy luật cơ bản của tư duy, trừ luật lí do đầy đủ. Học thuyết logic của Aristote đặc sắc ở chỗ, dưới dạng phôi thai nó đã bao hàm tất cả nhứng 2 phần mục, trào lưu, các kiểu của logic học hiện đại như xác suất, biểu tượng, biện chứng. Giai đoạn phát triển mới của logic học hình thức gắn bó hữu cơ với việc xây dựng logic quy nạp diễn ra từ thế kỉ XVII đi liền với tên tuổi của nhà triết học và tự nhiên học kiệt xuất người Anh F.Bacon (1561 − 1626). Ông cho rằng tam đoạn luận của Aristote hoàn toàn vô ích vì nó không cho phép tìm ra các thông tin mới từ các tiền đề đã có. Vậy nên khoa học sử dụng nó không thể phát triển các qui luật mới thông qua việc nghiên cứu các sự kiện thực nghiệm đã biết. Ông xây dựng nên logic quy nạp mà về sau được một nhà triết học và logic học Anh khác là S.Mill (1806 − 1873) phát triển, thúc đẩy khoa học vươn tới tầm cao mới. Những nhu cầu của khoa học không chỉ về phương pháp quy nạp mà còn về phương pháp diễn dịch vào thế kỉ XVII đã được nhà triết học người Pháp R.Descates (1596 − 1650) nhận diện đầy đủ hơn cả. Dựa trên những dữ liệu toán học, ông đã nhấn mạnh ý nghĩa của diễn dịch như là phương pháp nhận thức khoa học cơ bản nhất. 1.1.2.2. Sự xuất hiện và phát triển của logic toán Cuộc cách mạng thực sự trong các nghiên cứu logic học diễn ra nhờ sự xuất hiện của logic toán, chính nó đã mở ra một thời kì mới, hiện đại trong sự phát triển của logic học. Những phôi thai của logic toán đã có ngày từ ở Aristote, cũng như ở các nhà triết học kế tục ông, dưới dạng các yếu tố của logic vị từ, lí thuyết các suy luận tình thái và logic mệnh đề. Những thành tựu ngày càng nhiều của toán học và sự thâm nhập của các phương pháp toán vào các khoa học khác ngay ở sau thế kỉ XIX đã đặt ra hai vấn đề cơ bản. Thứ nhất là ứng dụng logic học để xây dựng cơ sở lí thuyết cho toán học, thứ hai là toán học hóa logic học. Nhà toán 3 học và logic học người Đức Leibniz (1646 − 1716) đã có ý đồ sâu sắc và thành công nhất trong việc giải quyết những vấn đề nêu trên. Do vậy, thực chất ông là người khởi xướng logic toán. Ông đã phát minh ra ngôn ngữ biểu tượng vạn năng với kì vọng nhờ đó có thể duy lí hóa mọi khoa học thực nghiệm. Những tư tưởng của Leibniz được phát triển tiếp ở thế kỉ XVIII và nửa đầu thế kỉ XIX. Tuy nhiên, chỉ từ nửa sau thế kỉ XIX mới có những điều kiện chín muồi cho sự phát triển của logic toán. Nhà toán học và logic học người Anh J.Bool (1815 − 1864) trong các công trình của mình đều ứng dụng toán học vào logic học. Ông đã phân tích toán học đối với lí thuyết suy luận vạch thảo phép tính logic (Đại số Bool). Nhà toán học và logic học người Đức G.Frege (1848 − 1925) ứng dụng logic học để nghiên cứu toán học và các cơ sở của nó, xây dựng số học hình thức hóa. Nhà triết học, toán học, logic học người AnhB.Russel (1872 − 1970) cùng với A.Uaitkhed (1861 − 1947) trong tác phẩm cơ bản "Các nguyên tắc cơ bản của toán học" đã xây dựng hệ tiên đề diễn dịch cho logic học. 1.1.3 Ý nghĩa của việc nghiên cứu logic học Có tư duy, ắt có sai lầm, như Brochad đã từng phát biểu: "Đối với con người, sai lầm là qui luật mà chân lí là ngoại lệ". Có loại sai lầm do tư duy không phù hợp với thực tế khách quan (ngộ nhận về thế giới tự nhiên, về người khác và cả về bản thân), loại này dẫn đến những phán đoán giả dối. Có loại sai lầm do tư duy không phù hợp với các qui luật của tư duy, loại này dẫn đến nhứng suy luận phi logic. Vì vậy logic học luôn luôn có ích và cần thiết cho mọi người. Không phải không logic học thì người ta đều tư duy thiếu chính xác, vì tư duy đúng đắn có thể được hình thành bằng kinh nghiệm, qua quá trình học tập, giao tiếp, ứng xử . . . Nhưng đó chưa phải là thứ tư duy 4 logic mang tính tự giác. Và như vậy, ta cũng rất dễ tư duy sai lầm do ngộ biện. Logic học sẽ giúp ta nâng cao trình độ tư duy để có được tư duy khoa học một cách tự giác. Nhờ đó, ta có thể chủ động tránh được những sai lầm trong tư duy của bản thân. Logic học cũng là công cụ hữu hiệu để khi cần thiết, ta có thể tranh luận, phản bác một cách thuyết phục trước những lập luận mâu thuẫn, ngụy biện, thiếu căn cứ của người khác. Logic học còn trang bị cho ta phương pháp tư duy khoa học, nhờ đó ta có thể tham gia nghiên cứu khoa học, lĩnh hội và trình bày tri thức, tham gia các hoạt động thực tiễn khác một cách hiệu quả. Logic học cũng giúp ta có được một thế giới khách quan, nhân sinh quan toàn diện, biện chứng, Đặc biệt, logic học là cái cơ sở không thể thiếu được trong một số lĩnh vực như toán học, điều khiển học, pháp lí, quản lí, ngoại giao, điều tra, dạy học, . . . 1.2 Mệnh đề 1.2.1 Mệnh đề Trong suy luận và biểu đạt, người ta thường dùng các mệnh đề. Mệnh đề, hay mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa. Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất đúng hoặc sai. Một mệnh đề đều hoặc đúng hoặc sai. Không có mệnh đề nào có thể vừa đúng vừa sai. Mệnh đề đúng có giá trị chân lí là 1, mệnh đề sai có giá trị chân lí là 0. Ta thường kí hiệu mệnh đề bằng các chữ cái in hoa A, B, X, Y, . . . 5 Ví dụ 1.1 Các phát biểu sau đây là các mệnh đề: A = "Nước Việt Nam nằm ở châu Á". B = " BCN N (2, 5, 8) = 40 " . C = " Hàm số y = x3 là hàm số lẻ. D = "Tam giác đều có hai cạnh bằng nhau". E = "Số 6 là số nguyên tố". F = " Tháng 2 có 30 ngày". Trong đó mệnh đề A, B, C là mệnh đề đúng, mệnh đề D, E, F là mệnh đề sai. Tuy nhiên, không phải bất cứ câu nào cũng là mệnh đề. Ví dụ 1.2 Các phát biểu sau đây không là mệnh đề: (i) Hôm nay là thứ mấy? (ii) Ôi! Bạn hát hay quá! (iii) Số nguyên x chia hết cho 3 Câu (i), (ii) không phải là mệnh đề vì không phải là câu khẳng định, câu (iii) không phải mệnh đề vì không biết được tính đúng, sai của nó. 1.2.2 Các phép toán mệnh đề 1.2.2.1. Phép phủ định Giả sử A là một mệnh đề. Khi đó câu "Không phải là A" là một mệnh đề khác, được gọi là phủ định của A và kí hiệu là A. Nhận xét 1.3 Nếu A đúng thì A sai và nếu A đúng thì A sai. Tổng giá trị chân lí của A và A là 1. A A Bảng giá trị chân lí của phép phủ định: 1 0 0 1 6 Mệnh đề phủ định của phủ định của mệnh đề A chính là mệnh đề A.  A =A Ví dụ 1.4 Nếu A = "Nước Việt Nam nằm ở châu Á" thì mệnh đề phủ định A = "Nước Việt Nam không nằm ở châu Á" Ở đây G(A) = 1 còn G(A) = 0 Ví dụ 1.5 Nếu B = "20 lớn hơn 26" thì mệnh đề phủ định B = "20 không lớn hơn 26" Ở đây G(B) = 0 còn G(B) = 1 Chú ý: Mệnh đề phủ định A thường được diễn đạt là "Không phải A". 1.2.2.2. Phép hội Hội của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A và B, kí hiệu A ∧ B, đúng khi cả hai mệnh đề A, B cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép hội: A B A∧B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề A, B ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, cùng,. . . Ví dụ 1.6 Hội của hai mệnh đề A = "Tam giác ABC là tam giác vuông" và B = "Tam giác ABC là tam giác cân" là một mệnh đề: "Tam giác ABC là tam giác vuông cân". 7 Ví dụ 1.7 Giải hệ hai phương trình thực chất là ta đi tìm tập hợp M các nghiệm thỏa mãn cả hai phương trình đã cho: M = M1 ∩ M2 . Theo ngôn ngữ mệnh đề, đó là hội của hai mệnh đề "f1 (x0 ) = g1 (x0 )" và "f2 (x0 ) = g2 (x0 )" với x0 ∈ D. Ví dụ 1.8 Từ những khái niệm đã có, ta có thể liên kết chúng lại để định nghĩa một khái niệm mới bằng phép hội: A = "Tứ giác ABCD là hình bình hành". B = "Tứ giác ABCD có một góc vuông". A = "Tứ giác ABCD có hai cạnh kề bằng nhau". Khi đó: A ∧ B = "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật". A ∧ C = "Tứ giác ABCD là hình thoi". A ∧ B ∧ C = "Tứ giác ABCD là hình vuông". 1.2.2.3. Phép tuyển Tuyển của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A hoặc B, kí hiệu A ∨ B, sai khi cả hai mệnh đề A, B cùng sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép tuyển: A B A∨B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề A, B ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "hoặc" hay một liên từ khác cùng loại. Ví dụ 1.9 Tuyển của hai mệnh đề: A = "3 nhỏ hơn 5" và mệnh đề B = "3 bằng 5" là mệnh đề "3 nhỏ hơn hoặc bằng 5". 8 Ví dụ 1.10 Cho hai mệnh đề A = "Số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 5" và B = "Số có chữ số tận cùng là 5 thì chia hết cho 5" Tuyển của hai mệnh đề A và B là A ∨ B = "Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5". 1.2.2.4. Phép kéo theo Cho hai mệnh đề A và B. Mệnh đề "Nếu A thì B", kí hiệu là A → B, là một mệnh đề, sai khi A đúng mà B sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Trong mệnh đề A → B, A được gọi là giả thiết hay tiền đề, B được gọi là kết luận. Bảng giá trị chân lí của phép tuyển: A B A→B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Các tên gọi thông thường của A → B hay gặp là: (i) Nếu A thì B. (ii) A kéo theo B. (iii) A là một điều kiện đủ của B. (iv) B là một điều kiện cần của A. Ví dụ 1.11 − "Nếu tháng 2 có 29 ngày thì năm đó là năm nhuận" là mệnh đề đúng. − "4 chia hết cho 3 nên tam giác ABC vuông tại A" là mệnh đề sai. Chú ý 1.12 1. Trong logic, khi xét giá trị chân lý của mệnh đề A → B người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề A, B. Khi A đã sai thì mệnh đề A → B luôn luôn đúng bất luận B đúng 9 hay sai. 2. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú. Chẳng hạn: "Chuồn chuồn bay thấp thì mưa Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm". 1.2.2.5. Phép tương đương Cho hai mệnh đề A và B. Mệnh đề "A tương đương với B", kí hiệu là A ↔ B, là một mệnh đề, đúng khi cả hai mệnh đề A, B cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép tương đương: A B A↔B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Chú ý: Trong thực tế, mệnh đề "A tương đương với B" thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn: ( i ) A nếu và chỉ nếu B. ( ii ) B là cần và đủ đối với A. Ví dụ 1.13 − A là mệnh đề: "Tam giác ABC có ba góc bằng nhau" và B là mệnh đề "Tam giác ABC là tam giác đều" thì A ↔ B là mệnh đề: "Tam giác ABC có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều" và là mệnh đề đúng vì A đúng, B đúng. − A là mệnh đề: "3 - 2 = 4" và B là mệnh đề "Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau" thì A ↔ B là mệnh đề: "3 - 2 = 4 nên hình vuông có bốn cạnh bằng nhau" và là mệnh đề sai vì A sai, B đúng. 10 1.2.3 Các quy luật của logic mệnh đề 1.2.3.1. Luật đồng nhất Tư tưởng có tính chất xác định nếu nội dung của nó (các thuộc tính và các mối quan hệ của các sự vật phản ánh trong đó) đã được qui định một cách chính xác. Trong tư duy, người ta chỉ có thể đồng nhất (và do đó phân biệt) các tư tưởng với nhau nếu chúng có tính chất xác định. Trong quá trình lập luận, mọi tư tưởng phải đồng nhất với chính nó A ≡ A, nếu không tuân thủ qui luật đồng nhất sẽ sinh lủng củng, sai lầm trong tư duy. Điều này bắt buộc không được biến đổi một cách tùy tiện, vô căn cứ nội dung của tư tưởng (không được thay thế tư tưởng này bằng tư tưởng khác). Bình thường, tư duy của mọi người biết suy nghĩ có tính chất xác định. Song cũng có khi tính xác định này bị vi phạm do người ta thiếu hiểu biết về đối tượng, do sai lầm trong ngôn ngữ (những nội dung khác nhau lại được diễn đạt bằng cùng một từ hay cụm từ). Ví dụ 1.14 + Có thể đưa ra những câu hỏi ngây thơ kiểu như: "Một kg sắt và một kg bông, cái nào nặng hơn?". + Một học sinh viết: "Anh bộ đội bị thương hai lần, một lần ở tay và một lần ở Quảng Trị." Trong trường hợp này, học sinh đã đồng nhất hai cách chỉ vị trí của từ ở: 1. Nơi bị thương trên thân thể; 2. Địa danh mà anh bộ đội bị thương. Ví dụ 1.15 Giai thoại "Einstein không biết chữ". Albert Einstein (1879 - 1955) là nhà vật lí người Mỹ gốc Đức - Do Thái. Người ta kể: Có một lần, Einstein vào quán ăn, vì không mang theo kính nên ông không đọc được thực đơn. Einstein đã nhờ người hầu bàn đọc hộ thực đơn. Thấy vậy, người hầu bàn ghé vào tai ông và nói: "Xin ngài thứ lỗi! Tôi cũng không biết chữ như ngài". 11 Trong trường hợp này, người hầu bàn đã nhầm hiện tượng với bản chất, tức là vi phạm quy luật đồng nhất khi đồng nhất sự kiện "không đọc được" với sự kiện "không biết chữ". Chú ý 1.16 Trong định nghĩa khái niệm không được dùng chính khái niệm A để định nghĩa nó (định nghĩa vòng quanh). Ví dụ 1.17 + Định nghĩa "Tổng là kết quả của phép cộng" và lại coi "Phép cộng là phép toán tìm tổng". + Định nghĩa "Góc vuông là góc 90◦ " và lại định nghĩa "một độ là 1 90 của góc vuông". 1.2.3.2. Luật bài trung - Trong hai phán đoán phủ định lẫn nhau: A và A, một phán đoán nhất thiết phải chân thực (đúng). Không thể cả hai cùng giả dối (sai). - Luật bài trung là cơ sở cho chứng minh phản chứng. Từ A là sai suy ra bắt buộc A phải đúng. Ví dụ 1.18 Dựa trên cở sở luật bài trung, ta có thể dùng phép nhị phân để phân chia ngoại diên khái niệm thành hai tập hợp có quan hệ đối lập. Chẳng hạn, chia số thực thành số hữu tỉ và số vô tỉ. Do vậy có thể chứng minh √ 5 là số vô tỉ bằng cách chứng minh nó không phải là số hữu tỉ. 1.2.3.2. Luật không mâu thuẫn Hai phán đoán, trong đó một phán đoán khẳng định ("A là B"), còn phán đoán kia phủ định cùng cái đó về cùng đối tượng ("A không là B") thì không thể đồng thời cùng chân thực (đúng). Chú ý 1.19 Có những phán đoán tuân theo luật không mâu thuẫn mà không tuân tuân theo luật bài trung. Ngược lại, mọi phán đoán tuân theo 12
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan