Mục lục
Lời nói đầu
2
Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn
3
1 Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế
4
2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
75
3 Sử dụng phương pháp hàm số
110
4
Sử dụng phương pháp đánh giá
123
5
Sử dụng phép thế lượng giác
143
http://boxmath.vn/
1
1
Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế
1 Giải hệ phương trình:
x3 + 4y = y 3 + 16 (1)
1 + y 2 = 5 (1 + x2 ) (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Phương trình (2) tương đương với y 2 − 5x2 = 4 (3)
Thay vào phương trình (1) ta có:
"
x3 + y 2 − 5x
2
y = y 3 + 16 ⇔ x3 − 5x2 y − 16x = 0 ⇔
x=0
x2 − 5xy − 16 = 0
- Với x = 0 ⇒ y 2 = 4 ⇔ y = ±2
x2 − 16
- Với x2 − 5xy − 16 = 0 ⇔ y =
, thay vào (3) ta có
5x
"
2
2
x = 1 ⇒ y = −3
x − 16
− 5x2 = 4 ⇔ 124x4 + 132x2 − 256 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔
5x
x = −1 ⇒ y = 3
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: (x; y) = (0; ±2) , (1; −3) , (−1; 3)
2 Giải hệ phương trình:
1
1
−
= 2 (y 4 − x4 )
x 2y
1
1
+
= (x2 + 3y 2 ) (3x2 + y 2 )
x 2y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
(
Điều kiện:
x 6= 0
y 6= 0
Hệ phương trình tương đương với
2
= 2y 4 − 2x4 + 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2
x
1 = 3x4 + 3y 4 + 10x2 y 2 − 2y 4 + 2x4
y
(
2 = 5y 4 x + x5 + 10x3 y 2
⇔
1 = 5x4 y + y 5 + 10x2 y 3
( 5
x + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y 5 = 2 + 1
⇔
x5 − 5x4 y + 10x3 y 2 − 10x2 y 3 + 5xy 4 − y 5 = 2 − 1
√
5
3+1
(
(
√
5
5
x
=
(x + y) = 3
x+y = 3
2
√
⇔
⇔
⇔
5
5
(x − y) = 1
x−y =1
y = 3 − 1
2
!
√
√
5
3+1 53−1
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =
;
2
2
http://boxmath.vn/
4
3 Giải hệ phương trình:
x3 (2 + 3y) = 1
x (y 3 − 2) = 3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Điều kiện: x 6= 0
Biến đổi hệ phương trình thành
1
2 + 3y = 3 (1)
x
3
y3 − 2 =
(2)
x
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
1
1
3
1
3
y + 3y = 3 + ⇔y − 3 + 3 y −
=0
x
x
x
x
1
1
1
y
2
⇔ y−
y + 2+
+3 y−
=0
x
x
x
x
1
y
1
2
y + 2 + +3 =0
⇔ y−
x
x
x
#
"
2
1
1
3
⇔ y−
y+
+ 2 +3 =0
x
2x
4x
3
⇔y =
1
x
x = −1 ⇒ y = −1
3
1
3
2
−
2
=
⇔
2x
+
3x
−
1
=
0
⇔
1
x3
x
x= ⇒y=2
2
1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (x; y) = (−1; −1) ,
;2
2
Thay vào (2) ta được :
4 Giải hệ phương trình:
x4 − y 4 = 240
x3 − 2y 3 = 3 (x2 − 4y 2 ) − 4 (x − 8y)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được
x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16 = y 4 − 16y 3 + 96y 2 − 256y + 256
"
"
x−2=y−4
x=y−2
⇔ (x − 2)4 = (y − 4)4 ⇔
⇔
x−2=4−y
x=6−y
- Với x = y − 2, thay vào phương trình đầu ta được:
− 8y 3 + 24y 2 − 32y + 16 = 240
⇔ y 3 − 3y 2 + 4y + 28 = 0
⇔ (y + 2) y 2 − 5y + 14 = 0
⇔ y = −2 ⇒ x = −4
http://boxmath.vn/
5
- Với x = 6 − y, thay vào phương trình đầu ta được:
− 24y 3 + 216y 2 − 864y + 1296 = 240
⇔ y 3 − 9y 2 + 36y − 44 = 0
⇔ (y − 2) y 2 − 7y + 22 = 0
⇔y=2⇒x=4
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (x; y) = (−4; −2) , (4; 2)
5 Giải hệ phương trình:
x3 − 8x = y 3 + 2y
(1)
x2 − 3 = 3 (y 2 + 1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Thế (2) vào (1) ta có:
3 x3 − y 3 = x2 − 3y 2 (4x + y)
⇔x3 + x2 y − 12xy 2 = 0
⇔x x2 + xy − 12y 2 = 0
⇔x = 0 ∨ x = 3y ∨ x = −4y
- Với x = 0, thay vào (2) ta có: y 2 = −2 (vô nghiệm).
- Với x = 3y, thay vào (2) ta có: y 2 = 1 ⇔ y = ±1 ⇒rx = ±3.
r
6
6
6
2
- Với x = −4y, thay vào (2) ta có: y =
⇒y=±
⇒ x = ∓4
.
13
13
13
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
r !
r
r !
r
6
6
6
6
;
, 4
;−
(x; y) = (3; 1) , (−3; −1) , −4
13
13
13
13
6 Giải hệ phương trình:
x3 + y 3 − xy 2 = 1
4x4 + y 4 = 4x + y
(1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Thay (1) vào (2), ta có:
4x4 + y 4 = (4x + y) x3 + y 3 − xy 2
⇔ xy 3y 2 − 4xy + x2 = 0
x=0⇒y=1
y = 0 ⇒ x = 1
⇔
"
3y 2 − 4xy + x2 = 0 ⇔ x = y
x = 3y
Thay vào (1), ta có: x = y = 1
3
1
,y = √
Thay vào (1), ta có: x = √
3
3
25
25
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 1) , (1; 0) , (1; 1) ,
http://boxmath.vn/
3
1
√
;√
3
25 3 25
6
7 Giải hệ phương trình:
√
5
2y = 4
3−
y + 42x
√
5
x=2
3+
y + 42x
(I)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Điều kiện: x > 0, y > 0
√
1
2
5
√x − √y = y + 42x
√
(I) ⇔
1
2
√ + √ = 3 (2)
y
x
(1)
Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta được:
15
1 2
− =
x y
y + 42x
⇔ (y − 2x) (y + 42x) = 15xy
⇔y 2 − 84x2 + 25xy = 0
⇔ (y − 3x) (y + 28x) = 0
⇔y = 3x ( do y + 28x > 0)
√
√
5+2 6
5+2 6
Từ đó thế vào (2) ta được: x =
;y =
27
9
√ !
√
5+2 6 5+2 6
;
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =
27
9
8 Giải hệ phương trình:
xy + x + y = x2 − 2y 2
x√2y − y √x − 1 = 2x − 2y
(1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0
(1) ⇔ x2 − xy − 2y 2 − (x + y) = 0
⇔ (x + y) (x − 2y) − (x + y) = 0
⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = 0
⇔ x − 2y − 1 = 0 ( do x + y > 0)
⇔ x = 2y + 1
Thế vào (2) ta được:
p
p
2y + 2y = 2y + 2
p
⇔ (y + 1)
2y − 2 = 0
p
⇔ 2y − 2 = 0 ( do y ≥ 0 ⇒ y + 1 > 0)
y
⇔2y = 4
⇔y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (5; 2)
http://boxmath.vn/
7
9 Giải hệ phương trình:
2x3 + 3x2 y = 5
y 3 + 6xy 2 = 7
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
8x3 + 12x2 y + 6xy 2 + y 3 = 27
⇔ (2x + y)3 = 27
⇔ 2x + y = 3
⇔ y = 3 − 2x
Thay vào (2) ta được:
2y 3 − 9y 2 + 7 = 0
y=1⇒x=1
√
√
y = 7 + 105 ⇒ x = 5 − 105
⇔
4
8
√
√
7 − 105
5 + 105
y=
⇒x=
4
8
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
(x; y) = (1; 1) ,
5+
!
√
√
105 7 − 105
;
,
8
4
5−
!
√
√
105 7 + 105
;
8
4
10 Giải hệ phương trình:
9x2 − 4y 2 = 5
log (3x + 2y) − log (3x − 2y) = 1
5
3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
3x + 2y > 0
Điều kiện:
3x − 2y > 0
http://boxmath.vn/
8
Khi đó hệ phương trình tương đương với
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
log5 (3x − 2y)
=1
log5 (3x + 2y) −
log5 3
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
⇔
log5 3.log5 (3x + 2y) − log5 (3x − 2y) = log5 3
5
3x + 2y =
3x − 2y
⇔
log5 3 [log5 5 − log5 (3x − 2y) − 1] − log5 (3x − 2y) = 0
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
⇔
log5 3.log5 (3x − 2y) + log5 (3x − 2y) = 0
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
⇔
log5 (3x − 2y) (log5 3 + 1) = 0
(
(3x − 2y) (3x + 2y) = 5
⇔
3x − 2y = 1
(
x=1
⇔
y = −1
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (1; −1)
11 Giải hệ phương trình:
x4 + x3 y + 9y = y 3 x + x2 y 2 + 9x (1)
x (y 3 − x3 ) = 7
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Từ (2) ta suy ra: x 6= y
(1) ⇔ x4 − xy 3 + x3 y − x2 y 2 − 9 (x − y) = 0
⇔ (x − y) x x2 + xy + y 2 + x2 y − 9 = 0
⇔ (x − y) x(x + y)2 − 9 = 0
⇔ x(x + y)2 − 9 = 0
⇔ x(x + y)2 = 9
(do x 6= y)
(3)
r
Từ (3) ta suy ra x > 0. Từ phương trình (2) ta suy ra y =
3
7
x3 + , thay vào (3) ta được:
x
!2
7
x x + x3 +
=9
x
s
r
2
7
7
3
3
⇔ x x2 + 2x. x3 + +
x3 +
−9=0
x
x
s
r
2
7
7
3
3
2 3
3
3
⇔ x + 2x . x + + x.
x +
−9=0
x
x
q
√
3
3
⇔ x3 + 2x x6 + 7x2 + x(x4 + 7)2 − 9 = 0 (4)
r
3
http://boxmath.vn/
9
3
Xét hàm số: f (x) = x + 2x
√
3
√
3
x6
+
7x2
q
+ 3 x(x4 + 7)2 − 9, x > 0
6
2
6x + 14x 1 9x8 + 70x4 + 49
> 0, ∀x > 0
f 0 (x) = 3x2 + 2 x6 + 7x2 + q
+ . q
3 3
2
3
2 2
6
2
4
3 (x + 7x )
x(x + 7)
Suy ra f (x) đồng biến trên (0; +∞) Mà f (1) = 0
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x = 1 ⇒ y = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: (x; y) = (1; 2)
12 Giải hệ phương trình:
x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
x2 + 2xy = 6x + 6
(I)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
2
2
−x
+
6x
+
6
2
x +
= 2x + 9
2
2
(I) ⇔
⇔
2
xy = −x + 6x + 6
xy = −x + 6x + 6
2
2
3
2
x = 0 ∨ x = −4
x x + 12x + 48x + 64 = 0
2
2
⇔
⇔
xy = −x + 6x + 6
xy = −x + 6x + 6
2
2
x = 0
x = −4
2
2
⇔
(vô
nghiệm)
∨
xy = −x + 6x + 6
xy = −x + 6x + 6
2
2
x = −4
⇔
y = 17
4
17
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = −4;
4
2
2
x + xy = 2x + 9
13 Giải hệ phương trình:
2x2 + 4xy + 2y 2 + 3x + 3y − 2 = 0 (1)
x2 + y 2 + 4xy + 2y = 0
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
x + y = −2
1
x+y =
2
- Với x + y = −2 ⇒ x = −2 − y thay vào phương trình (2) ta
được
"
y = 1 ⇒ x = −3
(−2 − y)2 + y 2 − 4(2 + y)y + 2y = 0 ⇔ 2y 2 + 2y − 4 = 0 ⇔
y = −2 ⇒ x = 0
1
1
- Với x + y = ⇒ x = − y thay vào phương trình (2) ta được
2
2
Ta có phương trình (1) ⇔ 2(x + y)2 + 3(x + y) − 2 = 0 ⇔
http://boxmath.vn/
10
y =
1
1
− y y + 2y = 0 ⇔ −2y 2 + 3y + = 0 ⇔
+y +4
2
4
y=
√ !
√
3 + 11 −1 − 11
;
;
Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = (1; −3); (−2; 0);
4
4
1
−y
2
2
2
√
−1 − 11
⇒x=
4√
4√
3 − 11
−1 + 11
⇒x=
4 √
√ 4!
3 − 11 −1 + 11
;
4
4
3+
√
11
14 Giải hệ phương trình:
x4 − x3 y + x2 y 2 − 1 = 0 (1)
x3 y − x2 + xy + 1 = 0
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Lấy phương trình (1) + (2) vế với vế ta được
x4 − x2 + x2 y 2 + xy = 0
⇔x(x3 − x + xy 2 + y) = 0
"
x=0
⇔ 3
x − x + xy 2 + y = 0
- Với x = 0, thay vào (1) không thỏa mãn.
−1 − xy
x2 − 1
=
, thay vào (2) ta được
- Với x3 − x + xy 2 + y = 0 ⇔
y
x
x3 + x =
−1 − xy
−x4 − x2 − 1
⇒y=
x
x
(3)
Thế (3) vào phương trình (2) ta được:
x2 (−x4 − x2 − 1) − x2 − x4 − x2 − 1 + 1 = 0 ⇔ x6 + 2x4 + 3x2 = 0
"
x = 0 (loại)
⇔ x2 (x4 + 2x2 + 3) = 0 ⇔
x4 + 2x2 + 3 = 0 (vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
15 Giải hệ phương trình:
2x2 y − 3y = −1
xy 2 − 3y 2 = −2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Viết lại hệ phương trình thành
(
(2x2 − 3)y = −1
(x − 3)y 2 = −2
http://boxmath.vn/
11
Dễ thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Như vậy ta có
−1
2
2x − 3 =
y
−2
(x − 3) = 2
y
2
1
⇒ 2x2 − x = 2 −
y
y
2
1
⇔ (x − )(2x + − 1) = 0
y
y
1
x − y = 0
⇔
2
2x + − 1 = 0
y
1
thay vào phương trình thứ (2) ta được:
y
y=1⇒x=1
y − 3y 2 + 2 = 0 ⇔
−2
−3
y=
⇒x=
3
2
2
1 1
- Với 2x + − 1 = 0 ⇒ x = − thay vào phương trình thứ (2) ta được:
y
2 y
√
√
7 − 2 21
−1 + 21
⇒x=
y =
−5 2
5
10√
√
y −y+2=0⇔
2
−1 − 21
7 + 2 21
y=
⇒x=
5
10
- Với x =
Kết luận:Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm
√
√ !
−3 −2
−7 − 2 21 −1 + 21
(x; y) = (1; 1),
;
,
;
,
2 3
10
5
√
√ !
7 + 2 21 −1 − 21
;
10
5
16 Giải hệ phương trình:
x3 − 4xy 2 + 8y 3 = 1
2x4 + 8y 4 = 2x + y
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:
(2x + y)(x3 − 4xy 2 + 8y 3 ) = 2x4 + 8y 4
⇔ x3 y − 8x2 y 2 + 12xy 3 = 0
(1)
Với y = 0 ⇒ x = 1
Với y =
6 0
3
2
x
x
x
(1) ⇔
−8
+ 12
=0
y
y
y
x
= 2 ⇒ x = 2y
y
x
⇔ = 6 ⇒ x = 6y
y
x
=0⇒x=0⇒y=0
y
http://boxmath.vn/
12
- Với x = 2y thay vào phương trình đầu ta được
r
3
(2y) 4 − 8y 3 + 8y 3 = 1 ⇔ 8y 3 = 1 ⇒ y =
3
1
⇒x=1
8
- Với x = 6y thay vào phương trình đầu ta được
r
r
1
3 216
(6y) − 24y 3 + 8y 3 = 1 ⇔ 200y 3 = 1 ⇒ y =
⇒x=
200
200
!
r ! r
r
1
3 1
3 216
3
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x; y) = (1; 0), (0; 0); 1;
;
;
8
200
200
3
3
17 Tìm m để hệ phương trình
có nghiệm:
x3 − y 3 + 3y 2 − 3x − 2 = 0
p
√
x2 + 1 − x2 − 3 2y − y 2 + m = 0
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
(
Điều kiện:
−1≤x≤1
0≤y≤2
Từ phương trình thứ nhất ta có:
(x + 1 − y) x2 + (y − 1)x + y 2 − 2y − 2 = 0
Do x2 + (y − 1)x + y 2 − 2y − 2 > 0 bởi điều kiện bài toán nên ta có y = x + 1
Thay vào phương trình số (2) ta có
√
x2 − 2 1 − x2 = −m
√
Xét hàm số f (x) = x2 − 2 1 − x2 trong tập [−1; 1]
⇒ −2 ≤ f (x) ≤ 1 ⇒ −2 ≤ −m ≤ 1 ⇒ −1 ≤ m ≤ 2
Vậy giá trị của m để hệ có nghiệm là −1 ≤ m ≤ 2
18 Giải hệ phương trình:
2 − px2 y 4 + 2xy 2 − y 4 + 1 = 2(3 − √2 − x)y 2
p
x − y2 + x = 3
(1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Dễ thấy y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.
Xét y 6= 0 chia hai vế phương trình (1) cho y 2 , ta được phương trình mới như sau:
r
√
2x
2
1
2+
−
x
+
−
1
=
6
−
2
2 − 2x
y2
y2
y4
s
2
√
1
1
⇔2 x + 2 −
x+ 2 −1=6−2 2
y
y
http://boxmath.vn/
13
√
√
1
= t. Ta được 2t − t2 − 1 = 6 − 2 2 ⇒ t = 3
2
y
1
1
Với t = 3. Ta có x + 2 = 3 ⇒ y 2 =
, thay vào phương trình (2) ta được
y
3−x
r
x=2⇒y=1
1
q
+x=3⇔
x−
√
√
3−x
2+1
x=4− 2⇒y =±
p
p√
√
√
√
2 + 1 ; 4 − 2; −
2+1
Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm là (x; y), (2; 1), 4 − 2;
Đặt x +
19 Giải hệ phương trình:
2x2 + 3xy = 3y − 13 (1)
(I)
3y 2 + 2xy = 2x + 11 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
11 − 3y 2
Từ phương trình (2) ta rút x =
thế vào phương trình (1) ta được
2y − 2
2
11 − 3y 2
3(11 − 3y 2 )y
2
+
= 3y − 13
2y − 2
2y − 2
(y − 3)(y + 7)(3y − 7)
⇔
=0
y−1
y = 3 ⇒ x = −4
17
y = −7 ⇒ x =
⇔
2
7
y = ⇒ x = −2
3
17
7
Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm (x; y) = (3; −4); −7;
; −2
;
2
3
20 Giải hệ phương trình:
4x2 + 3y(x − 1) = 7
3y 2 + 4x(y − 1) = 3
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Ta có hệ phương trình
(
⇔
http://boxmath.vn/
4x2 + 3y(x − 1) = 7
2
"
4x + 3y(x − 1) = 7
⇔
y=1
(y − 1) [3(y + 1) + 4x] = 0
3y = −3 − 4x
5
x= 4
(
y=1
4x2 + 3x − 10 = 0
(
y=1
x = −2
⇔(
⇔
3y = −3 − 4x
y=1
x = 4
x=4
y = −19
3
14
Kết luận :Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm(x; y) =
5
−19
; 1 , (−2; 1) 4;
4
3
21 Giải hệ phương trình:
x2 + 2 = x(y − 1) (1)
y 2 − 7 = y(x − 1) (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Lấy (1) cộng (2) ta được:
(x − y)2 + (x + y + 1) = 6 (3)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
x2 − y 2 + 9 = −x + y
⇔(x − y)(x + y + 1) = −9
−9
⇔x + y + 1 =
(x 6= y)
x−y
Thế vào (3) ta được:
(x − y)2 −
9
=6
x−y
⇒ (x − y)3 − 9 = 6(x − y)
⇒x−y =3
Thế vào (2) ta được
−1
x =
2
−7
y =
2
−1
−7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x =
;y =
2
2
22 Giải hệ phương trình:
xy − x + y = 3
(1)
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
(
3xy − 3x + 3y = 9
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5
(
⇔
http://boxmath.vn/
− 3y(xy + y − 3) + 3x − 3y = −9 (3)
4x3 + 12x2 + 9x = −y 3 + 6y + 5
(4)
15
Lấy (3) cộng (4) với theo vế ta được:
4x3 + 12x2 + 12x − 3xy 2 + y 3 − 3y 2 + 4 = 0
⇔4(x + 1)3 + 4y 3 − 3y 2 (y + x + 1) = 0
⇔(x + y + 1) 4(x + 1)2 − 4(x + 1)y + y 2 = 0
⇔(x + y + 1)2 (2x + 2 − y)2 = 0
"
x+y+1=0
⇔
2x + 2 − y = 0
- Với x + y + 1 = 0 ⇒ y = −x − 1 thay vào (1) ta có x2 + 3x + 4 = 0 (vô nghiệm)
√
−3 + 17
x =
4√
- Với 2x + 2 − y = 0 ⇔ y = 2 + 2x thay vào (1) ta có 2x2 + 3x − 1 = 0 ⇔
−3 − 17
x=
!
√
√
√
√ !4
−3 + 17 1 + 17
−3 − 17 1 − 17
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x; y) =
;
,
;
4
2
4
2
23 Giải hệ phương trình:
4x2 + y 4 − 4xy 3 = 1 (1)
2x2 + y 2 − 2xy = 1 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Nhân vế của (2) với −2 rồi cộng cho (1) vế theo vế ta được: y 4 − 2y 2 − 4xy 3 + 4xy + 1 = 0
2
⇔ y 2 − 1 − 4xy y 2 − 1 = 0
⇔ y 2 − 1 y 2 − 1 − 4xy = 0
⇔ y = 1 ∨ y = −1 ∨ y 2 − 1 − 4xy = 0
"
Nếu y = 1, thay vào (1) ta được: 4x2 + 1 − 4x = 1 ⇔ x (x − 1) = 0 ⇔
Nếu y = −1, thay vào (1) ta được: 4x2 + 1 + 4x = 1 ⇔ x (x + 1) = 0 ⇔
x=0
x=1
"
x=0
x = −1
2
Nếu y 2 − 1 − 4xy = 0 ⇔ x =
y −1
, thay vào (1) ta được:
4y
y
y
2
2
2
y −1
y −1
4
3
4
2
4
+y −4
y = 1 ⇔ 5y − 6y + 1 = 0 ⇔
y
4y
4y
y
=1⇒x=0
= −1 ⇒ x = 0
√
√
5
5
=
⇒x=−
5√
√5
5
5
=−
⇒x=
5
5
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là:
√
√ !
5 5
(x; y) = (1; 1) , (0; 1) , (−1; −1) , (0; −1) , −
,
;
5 5
http://boxmath.vn/
√
√ !
5
5
;−
5
5
16
24 Giải hệ phương trình:
x4 + 5y = 6
(1)
x2 y 2 + 5x = 6 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x4 − x2 y 2 + 5 (y − x) = 0
⇔ x2 x2 − y 2 − 5 (x − y) = 0
⇔ x2 (x − y) (x + y) − 5 (x − y) = 0
⇔ (x − y) x2 (x + y) − 5 = 0
⇔ x = y ∨ x2 (x + y) − 5 = 0
Nếu x = y, thay vào (1) ta được:
"
x4 + 5x = 6 ⇔ x2 − x + 3 (x + 2) (x − 1) = 0 ⇔
x = −2 ⇒ y = −2
x=1⇒y=1
5
− x Thay vào (1) ta được:
x2
5
4
x +5
− x = 6 ⇔ x6 − 5x3 − 6x2 + 25 = 0
x2
Nếu x2 (x + y) − 5 = 0 ⇔ y =
6
5
3
2
6
6
432
3
2
5x + 6x ≤ 5.
+6
≤
< 25 ⇒ x6 − 5x3 − 6x2 + 25 > 0
5
5
25
Từ (2) ta có: 5x = 6 − x2 y 2 ≤ 6 ⇒ x ≤
Do đó:
Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x; y) = (−2; −2) , (1; 1)
25 Giải hệ phương trình:
√
√1 + y = 2 x + 2
(1)
y
x x
y √x2 + 1 + 1 = √3x2 + 3 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
(
Điều kiện:
x>0
y 6= 0
Phương trình (1) tương đương với
√
√
y x + y 2 = 2x x + 2xy
√
√
⇔y 2 +
x − 2x y − 2x x = 0
"
√
y=− x
⇔
y = 2x
√
- Nếu y = − x, thay vào (2) ta được:
√
√ √ 2
− x
x + 1 + 1 = 3x2 + 3
http://boxmath.vn/
17
√
√ √
Ta có: − x x2 + 1 + 1 < 0 < 3x2 + 3 nên phương trình này vô nghiệm
- Nếu y = 2x, thay vào (2) ta được:
√
√
2x
x2 + 1 + 1 = 3x2 + 3
√
√
⇔ x2 + 1 2x − 3 = 2x
√
2x
√
⇔ x2 + 1 =
(3)
2x − 3
√
2x
√ , x ∈ (0; +∞)
x2 + 1, x ∈ (0; +∞) và g (x) =
2x − 3
√
−2 3
x
√ < 0, ∀x ∈ (0; +∞)
> 0, ∀x ∈ (0; +∞); g 0 (x) =
f 0 (x) = √
2
x +1
2x − 3
Suy ra f (x) đồng biến (0; +∞) trên và g (x) nghịch biến trên (0; +∞)
√
√
√
Ta thấy f ( 3) = g( 3) ⇒ x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
√
√
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x = 3 ⇒ y = 2 3
√ √
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) =
3; 2 3
Xét 2 hàm số: f (x) =
26 Giải hệ phương trình:
x3 − 8 + √x − 1 = √y
(x − 1)4 = y
(1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1
Với điều kiện đó, thay (2) vào (1), ta được
√
x − 1 = (x − 1)2
√
⇔x3 − x2 + 2x − 9 + x − 1 = 0
x3 − 8 +
Xét f (x) = x3 − x2 + 2x − 9 +
√
x−1
2
2
Ta có f 0 (x) = 3x2 − 2x + 2 + √
= 2x2 + 1 + (x − 1)2 + √
> 0, ∀x > 1
x−1
x−1
Như vậy f (x) đồng biến trên [1; +∞), lại có f (2) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy
nhất x = 2. Suy ra y = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1)
27 Giải hệ phương trình:
1 + x3 y 3 = 19x3
y + xy 2 = −6x2
(1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Nếu x = 0, thì hệ phương trình vô nghiệm.
Xét x 6= 0. Nhân hai vế của (2) với x, ta được: xy + x2 y 2 = −6x3
Thay vào (1), ta có:
http://boxmath.vn/
18
− 6 1 + x3 y 3 = 19 xy + x2 y 2
−2
xy =
3
−3
⇔ xy =
2
xy = −1
1
x = ; y = −2
3
Với từng trường hợp, thay vào (1), ta suy ra được các cặp nghiệm x = −1 ; y = 3
2
x = 0 (loại)
1
−1
Vậy phương trình có hai nghiệm (x; y) là:
; −2 và
;3
3
2
28 Giải hệ phương trình:
y + xy 2 = 6x2
1 + x2 y 2 = 5x2
(1)
(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Nếu x = 0,thì từ (1) suy ra y = 0, loại do không thỏa mãn (2)
Nếu y = 0, thì từ (1) cũng suy ra x = 0, loại do không thỏa mãn (2)
Vậy x 6= 0, y 6= 0
Chia (1) cho y, chia (2) cho y 2 ta được
1
1
(10 )
+ x = 6x.
y
y
1
1
2 + x2 = 5x2 . 2 (20 )
y
y
Suy ra
1
2
2
x =0
1
1
1
y
6x
− 2x = 5 x
⇔
1
2
y
y
y
x =
y
31
1
Trường hợp x = 0 loại do x 6= 0, y 6= 0
y
2
1
x =
y
31
Vậy từ (10 ) suy ra
1
12
x + =
y
31
1
12
2
Suy ra x, là nghiệm của phương trình t2 − t +
= 0.
y
31
31
2
12
8
Phương trình này có ∆t =
−
< 0 nên vô nghiệm.
31
31
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
29 Giải hệ phương trình:
x2 (1 − 2y) = y 2 (4x + 2y) (1)
2x2 + xy − y 2 = x
(2)
http://boxmath.vn/
19
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Nếu x = 0 thì y = 0. Vậy (0; 0) là một nghiệm
Xét x 6= 0, nhân cả hai vế của (2) với x, ta được
( 2
x = 4xy 2 + 2y 3 + 2x2 y
x2 = 2x3 + x2 y − y 2 x
Suy ra
2x3 − x2 y − 5xy 2 − 2y 3 = 0
⇔ (x − 2y) (x + y) (2x + y) = 0
x = 2y
⇔ x = −y
1
x=− y
2
y=0
2
- Với x = 2y, thay vào (2) ta được 9y − 2y = 0 ⇔
2
y=
9
2 4
;
Trong trường hợp này hệ có nghiệm (0, 0) ,
9 9
- Với x = −y, thay vào (2) ta được x = 0. Vậy hệcó nghiệm (0; 0)
1
y=
1
1
2
2
- Với x = − y, thay vào (2) ta được y = y ⇔
2
2
y=0
1 1
Trong trường hợp này hệ có nghiệm:
;−
, (0; 0)
2 4
1 1
2 4
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:
;−
, (0; 0) và
;
2 4
9 9
30 Giải hệ phương trình:
y(xy − 2) = 3x2
(1)
y 2 + x2 y + 2x = 0 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
(
y(xy − 2) = 3x2 (1)
y(y + x2 ) = −2x (2)
xy − 2
−3x
4 − 3x3
=
⇔
y
=
y + x2
2
5x
Suy ra
(3)
Thế (3) vào (1), ta được
4 − 3x3
5x
4 − 3x3
x.
− 2 = 3x2
5x
2
⇔ (4 − 3x3 ) − 10.(4 − 3x3 ) − 75x3 = 0
⇔ 9x6 − 69x3 − 24 = 0
http://boxmath.vn/
20
t=8
1
t=
−3
- Với t = 8 suy ra x = 2 dẫn
r đến y = −2
r
r
1
−1
3 −1
3 1
2
suy ra x =
dẫn đến y +
y + 2 3 = 0.
- Với t =
3
3
9
3
r !2
r
1
1
Phương trình này vô nghiệm do ∆ = 3
− 8. 3 < 0
9
3
3
2
Đặt x = t, ta được 9t − 69t − 24 = 0 ⇔
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) duy nhất là: (2; −2)
31 Giải hệ phương trình:
5x3 + 3y 3 − 2xy = 6
3x3 + 2y 3 + 3xy = 8
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương
( 3
5x + 3y 3 = 6 + 2xy
3x3 + 2y 3 = 8 − 3xy
(
⇔
x3 = 13xy − 12
y 3 = −21xy + 22
(∗)
Suy ra
(xy)3 = (13xy − 12) (−21xy + 22)
⇔ (xy − 1) (xy)2 + 274xy − 264 = 0
xy = 1
√
⇔
xy
=
−137
−
19033
√
xy = −137 + 19033
- Với xy = 1, thay vào (*) ta được nghiệm
của hệ phương trình là (1; 1)
(
√
√
√
x = 3 13a − 12
- Với xy = −137 − 19033, ta được
với a = −137 − 19033
√
3
y = −21a + 22
(
√
3
√
√
x = 13b − 12
19033
- Với xy = −137 + 19033, ta được
với
b
=
−137
+
√
3
y = −21b + 22
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:
√
√
√
√
(1; 1), x = 3 13a − 12; y = 3 −21a + 22 và x = 3 13b − 12; y = 3 −21b + 22
√
√
với a = −137 − 19033 và b = −137 + 19033.
32 Giải hệ phương trình:
4x2 + y 4 − 4xy 3 = 1 (1)
4x2 + 2y 2 − 4xy = 2 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải:
Trừ vế theo vế được
y 4 − 2y 2 + 4xy(1 − y 2 ) = −1
2
⇔ (y 2 − 1) = 4xy(y 2 − 1)
⇔ y 2 − 1 y 2 − 1 − 4xy = 0
http://boxmath.vn/
21
- Xem thêm -
.PDF 
148 
504 
53 
