Mô tả:
Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải Đề cương phương trình loga và bài toán có lời giải
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Khái niệm:
Là phương trình có dạng log a f x log a g x ,
(1)
trong đó f x và g x là các hàm số chứa ẩn x cần giải.
Cách giải:
a 0; a 1
- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa f ( x) 0
g ( x) 0
- Biến đổi (1) về các dạng sau: (1)
f ( x) g ( x)
a 1
Chú ý:
- Với dạng phương trình log a f x b f ( x) a b
- Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log a x 2 n 2n log a x , nếu x > 0 thì n log a x loga x n
- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng
g x 0
f x g x
2
f
x
g
x
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
1/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
log a a x x;
- Các công thức Logarit thường sử dụng:
a loga x x
x
log a log a x log a y
y
1
log a b
log b a
log a xy log a x log a y;
log an x m
m
log a x;
n
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) log 2 x 2 x 2 3.
b) log3 2 x 1 log3 x 3 2.
Lời giải:
x2
a) Ta có: PT x 2 x 2 8 x 2 x 6 0
x 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}.
b) Điều kiện: x 3 . Khi đó PT log3 2 x 1 x 3 log3 9 2 x2 5 x 3 9
x 4
2 x 2 5 x 12 0
3 .
x
2
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 4.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
2/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
a) log 2 x 4 3 2log 2 x.
b) 3log8 x 2 log
2
3x 2 7 0.
Lời giải:
a) Điều kiện: x 0 . Khi đó PT log 2 x 4 log 2 x 2 3 log 2 x 2 x 4 3 x3 4 x 2 8
x 2
x 2 x 2 x 4 0 x 1 5 .
x 1 5
2
Kết hợp ĐK x 0 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 1 5
b) Điều kiện: x 2 . Khi đó PT 3log 23 x 2 log
1
3x 2 7 0
22
log 2 x 2 2 log 2 3x 2 7 0 log 2 x 2 log 2 3 x 2 log 2 27 0
x 10
128 x 2
2
2
log 2
0 128 x 2 3x 2 9 x 116 x 260 0
26 t / m .
2
x
3
x
2
9
2
Vậy nghiệm của phương trình là x 10; x
26
.
9
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) log 2 x x 1 1
b) log 2 x log 2 x 1 1
c) log 2 x 2 6log 1 3x 5 2
d) log 2 x 3 log 2 x 1 3
8
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
3/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Lời giải:
a) Điều kiện: x x 1 0 x 1; x 0 .
Ta có: PT x x 1 2 x2 x 2 0 x 1; x 2
Vậy phương trình có nghiệm là x 1; x 2.
b) Điều kiện: x 1 .
Ta có phương trình tương đương với log 2 x x 1 2 x 2 x 2 0 x 1; x 2
Vậy phương trình có nghiệm là x 1; x 2.
c) Điều kiện: x 2 .
Ta có: PT log 2 x 2 log 2 3x 5 2 x 2 3x 5 4 3x 2 11x 6 0 x 3; x
2
3
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là x 3.
d) Điều kiện: x 3 .
Ta có: PT x 3 x 1 8 x2 4 x 5 0 x 1; x 5
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là x 5.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
2
3
a) lg x 2 lg x 3 1 lg 5
b) 2log8 x 2 log8 x 3
c) lg 5x 4 lg x 1 2 lg 0,18
d) log3 x 2 6 log3 x 2 1
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
4/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Lời giải:
a) Điều kiện:
x2 0
x 3.
x 3 0
Ta có: PT lg x 2 x 3 lg 2 x 2 5x 4 0 x 1; x 4.
Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là x 4.
b) Điều kiện:
x2
x 3.
x3
Ta có: PT log8
x 2
x 3
2
2
x 2 8 x 16 0 x 4 (TM ).
3
Vậy PT có nghiệm là x 4.
5
5
x
c) Điều kiện:
4 x .
4
x 1
Ta có: PT lg
5x 4 x 1 lg18 5x 4 x 1 18 5 x2 x 328 0 x 8; x
41
.
5
Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là x 8.
x2 6 0
d) Điều kiện:
x 6.
x 2 0
Ta có: PT log3 x 2 6 log3 3 x 2 x 2 3x 0 x 0; x 3.
Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm x = 3.
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
5/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a) log 2 x 3 log 2 x 1
1
log5 2
c) log5 x 1 log 1 x 2 0
b) log 4 x log 4 10 x 2
d) log 2 x 1 log 2 x 3 log 2 10 1
5
Lời giải:
a) Điều kiện:
x3 0
x 1.
x 1 0
Ta có: PT log2 x 3 x 1 log 2 5 x 2 2 x 8 0 x 2; x 4
Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm là x 2.
b) Điều kiện:
x0
0 x 10.
10 x 0
Ta có: PT log 4 x 10 x 2 x 2; x 8
Đối chiếu điều kiện nên PT có nghiệm x 8.
c) Điều kiện:
x 1 0
x 2.
x2 0
Ta có: PT log5 x 1 log5 x 2 0 log5 x 1 x 2 0 x 2 x 3 0 x
1 13
2
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
6/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x
d) Điều kiện:
1 13
.
2
x 1 0
x 1.
x3 0
Ta có: PT log2 x 1 x 3 log 2 5 x 2 2 x 8 0 x 2; x 4
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = 2.
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a) log9 x 8 log3 x 26 2 0
b) log3 x log
3
x log 1 x 6
3
c) 1 lg x 2 2 x 1 lg x 2 1 2lg 1 x
d) log 4 x log 1 x log8 x 5
16
Lời giải:
a) Điều kiện:
x 8 0
x 8 .
x 26 0
Ta có: PT log9
81 x 8
x 26
2
0 x 2 29 x 28 0 x 1; x 28
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x 1; x 28.
b) Điều kiện: x 0
Ta có: PT log3 x 2log3 x log3 x 6 log3 x 3 x 27
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
7/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Vậy PT có nghiệm x 27.
c) Điều kiện: 1 x 0 x 1 .
Ta có: PT 1 lg x 1 lg x 2 1 lg 1 x lg x 2 1 1 x 2 9 x 3
2
2
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x 3 .
d) Điều kiện: x 0 .
60
1
1
1
60
17
Ta có: PT log 2 x log 2 x log 2 x 5 log 2 x
x 2 (TM )
2
4
3
17
60
17
Vậy PT có nghiệm là x 2 .
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:
a) 2 lg 4 x2 4 x 1 lg x 2 19 2lg 1 2 x
b) log 2 x log 4 x log8 x 11
c) log 1 x 1 log 1 x 1 1 log
d) log 1 5x 1 25x 2
2
2
1
2
7 x
6
Lời giải:
a) Điều kiện: 1 2 x 0 x
1
.
2
Ta có: lg 4 x2 4 x 1 lg 2 x 1 2lg 1 2 x
2
PT 2 lg x2 19 0 x 2 19 100 x 9
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
8/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x 9.
b) Điều kiện: x 0
1
1
Ta có: PT log 2 x log 2 x log 2 x 11 log 2 x 6 x 64 TM
2
3
Vậy PT có nghiệm x 64.
x 1 0
c) Điều kiện: x 1 0 1 x 7 .
7 x 0
Ta có: PT log 1 x 1 x 1 log 1
2
2
Kiểm tra điều kiện chỉ có nghiệm x
1
1 73
. 7 x 2 x2 x 9 0 x
2
4
1 73
thỏa mãn.
4
d) Điều kiện: 5x1 25x 0 5x 5 5x 0 0 5x 5 x 1 .
Ta có: PT 5
x 1
1
25
6
x
2
2
2
1
5 x 2
x log5 2
6 2 6 5x 5.5x 6 0 x
x log5 3
5 3
Vậy PT có nghiệm là x log5 2 vµ x log5 3.
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
a) log x 2 x 2 7 x 12 2
b) log x 2 x 2 3x 4 2
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
9/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
d) log x x 2 2 1
c) log 2 x x 2 5 x 6 2
Lời giải:
2 x 2 7 x 12 0
a) Điều kiện:
x 0.
x 0
x 3 TM
Ta có: PT 2 x 2 7 x 12 x 2 x 2 7 x 12 0
x 4 ( L)
Vậy PT có nghiệm x 3.
3 41
x
4
3 41
2 x 2 3 x 4 0
b) Điều kiện:
x
3
41
4
x 0
x
4
x 0
x 1 L
Ta có: PT 2 x 2 3x 4 x 2 x 2 3x 4 0
x 4 (TM)
Vậy PT có nghiệm x 4.
x 3
x2 5x 6 0
x 3
c) Điều kiện:
.
x 2
0 x2
x 0
x 0
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
10/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
5 97
TM
x
6
Ta có: PT x 2 5 x 6 4 x 2 3x 2 5 x 6 0
5 97
L
x
6
Vậy PT có nghiệm x
5 97
.
6
x 2
x2 2 0
x 2 x 2 .
d) Điều kiện:
x
0
x 0
x 1 L
Ta có PT x 2 2 x x 2 x 2 0
x 2 (TM )
Vậy PT có nghiệm là x 2.
Ví dụ 9: Giải các phương trình sau:
a) log3 x5 9 x 2 8x 2 2
b) log 2 x 4 x 2 1 1
15
2
1 2x
d) log x2 3 2 x 1
c) log x
e) log x2 3 x x 3 1
f) log x 2 x 2 5 x 4 2
Lời giải:
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
11/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
5
9 x 2 8 x 2 0
x
3.
a) Điều kiện: 3x 5 0
4
3x 5 1
x
3
Ta có: PT 9 x 2 8 x 2 3x 5 x
2
Vậy PT có nghiệm là x
23
TM
22
23
.
22
x2 1 0
x 2
b) Điều kiện: 2 x 4 0
3
x
2
2 x 4 1
x 1
Ta có: PT x 2 1 2 x 4 x 2 2 x 3 0
TM
x 3
Vậy PT có nghiệm x 1; x 3.
x 0
15
1
c) Điều kiện:
00 x .
2
1 2 x
x
1
1
x TM
15
5
x 2 15 x 2 2 x 1 0
Ta có: PT
1
1 2x
x L
3
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
12/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
1
Vậy PT có nghiệm là x .
5
x 0
x2 0
d) Điều kiện: 3 2 x 0 x 1 .
x 2 1
3
x
2
x 1 L
Ta có: PT x 2 2 x 3 0
x 3 (TM )
Vậy PT có nghiệm là x 3.
x 2 3x 0
x 3 13
e) Điều kiện: x 3 0
.
2
2
x 0
x 3x 1
x 1
Ta có: PT x 2 2 x 3 0
x 3
Kiểm tra điều kiện thì x 1 là nghiệm cần tìm.
x 0
x0
f) Điều kiện: 2 x 2 5 x 4 0
.
x 1
x
1
x 1
Ta có: PT x 2 5 x 4 0
TM
x 4
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
13/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Vậy PT có nghiệm là x 1; x 4.
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau:
2
1
a) log9 x 2 5 x 6 log
2
b)
1
log
2
2
x 3
3
x 1
log 3 x 3
2
1
8
log 4 x 1 log 2 4 x
4
Lời giải:
a) Điều kiện: x 1; x 3 . Khi đó PT log3 x 2 5 x 6 log3
x2 5x 6
x 1 x 3
2
x 2 x 3
x 1 x 3
2
x 1
log3 x 3
2
2 x 2 x 1
1
TH1: x 2 ta có: 1 2 x 4 x 1 x 3 (loại).
TH2: 1 x 2 ta có: 1 2 x 4 x 1 x
Vậy x
5
tm .
3
5
là nghiệm của PT đã cho.
3
b) Điều kiện: x 0; x 1 . Ta có: PT log 2 x 3 log 2 x 1 log 2 4 x
log 2 x 3 x 1 log 2 4 x x 3 x 1 4 x.
x 1 (lo¹i)
TH1: Với x 1 ta có: x 3 x 1 4 x x 2 2 x 3 0
.
x 3
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
14/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
x 3 2 3
.
TH2: Với 0 x 1 ta có: x 31 x 4 x x 2 6 x 3 0
x
3
2
3
(
lo
¹
i
)
Vậy x 3; x 3 2 3 là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau:
1
x
a) lg 3x 24 x 2 lg16 lg 4
4
2
b)
1
1
lg x 2 x 5 lg 5 x lg
2
5x
c) log 2 x2 x 1 log 2 x2 x 1 log 2 x 4 x 2 1 log 2 x 4 x 2 1
Lời giải:
a) Điều kiện: 3 2
x
3x 2 4 x
200
4
x
2
4 x
0 . Khi đó: PT lg 3 2
x
4 x
lg100 lg 2 lg 4
3x 24 x 200.2 x 3x 16.2 x 200.2 x 3x
x
2
216
6 x 216 x 3 tm .
x
2
Vậy x 3 là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
1 21
x 0
b) Điều kiện: 2
x
.
2
x x 5 0
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
15/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
x 2
Khi đó: PT lg x 2 x 5 lg1 x 2 x 5 1 x 2 x 6 0
x 3 lo¹i
Vậy là nghiệm của PT đã cho là x 2.
c) Ta có: PT x 2 x 1 x 2 x 1 x 4 x 2 1 x 4 x 2 1
x 2 1 x x 2 1 x x 4 1 x 2 x 4 1 x 2 x 2 1 x 2 x 4 1 x 4
2
2
x 0
x 4 x 2 1 x8 x 4 1 x8 x 2
x 1
Vậy x 0; x 1 là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 12: Số nghiệm của phương trình log5 x 4 1 2log 25 x là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Lời giải:
Điều kiện: x 0 . Khi đó PT log5 x 4 1 2log52 x log5 x 4 log5 5 log5 x
x 1
log5 x x 4 log5 5 x 2 4 x 5
x 5
Kết hợp điều kiện suy ra PT có nghiệm duy nhất x 1 . Chọn A.
Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình ln x 2 2 x 3 ln x 3 ln x 1 là:
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
16/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải:
x2 2 x 3 0
Điều kiện: x 3 0
x 1 . Khi đó PT ln x 1 x 3 ln x 3 ln x 1
x 1 0
2
2
2
ln x 1 x 3 ln x 1 x 1 x 3 x 1 x 1 x 3 1 0
x 1
x 1 0
x 4
2
x 3 1 x 2
Kết hợp điều kiện suy ra PT vô nghiệm. Chọn A.
Ví dụ 14: Gọi n là số nghiệm của phương trình log 2 x 2 3log8 3x 5 2 0 . Khi đó:
A. n 1 .
B. n 2 .
C. n 0 .
D. n 3 .
Lời giải:
Ta có: log2 x 2 3log8 3x 5 2 0 log 2 x 2 log 2 3x 5 2 x 2 3x 5 4
3x 2 11x 6 0 x 3; x
2
3
Đối chiếu điều kiện loại nghiệm x
2
, suy ra PT có nghiệm duy nhất x 3 n 1 . Chọn A.
3
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
17/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình log 2 2x 4 x log 2 2x 12 3 là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Lời giải:
PT log 2 2 x 4 log 2 2 x 12 x 3 log 2
Đặt t 2 x 0
2x 4
2x 4
x
3
2 x 3
2 x 12
2 x 12
t4 t
t 8 lo¹i
t 2 4t 32 0
t 12 8
t 4 x 2
Vậy x 2 là nghiệm của PT đã cho. Chọn A.
Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình log
2
x 1 log 1 5 x 3log8 x 3 là:
2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Lời giải:
Điều kiện: 5 x 3 . Khi đó PT log
1
1
22
x 1 2 log 2 5 x 3log 2 x 3
3
log 2 x 1 log 2 5 x log 2 x 3
5 17
x
2
x 1 5 x x 3 x 2 5 x 2 0
x 5 17
2
t / m
.
lo¹i
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
18/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
Vậy nghiệm của PT là x
5 17
. Chọn A.
2
1
Ví dụ 17: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình log3 x 2 2 x 3 log
2
A. T = 25.
B. T = 26.
C. T = 29.
3
x 1 1 là:
D. T = 30.
Lời giải:
x2 2 x 3 0
Điều kiện:
x 1.
x 1 0
x2 2 x 3
Khi đó PT log3 x 2 x 3 log3 x 1 log3 3 log3
log3 3
x 1
2
x2 2 x 3
x 0
3 x 2 2 x 3 3x 3 x 2 5 x 0
t / m
x 1
x 5
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 25. Chọn A.
Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2log 2 2 x 2 log 2 x 3 2 . Tổng các phần tử của tập
2
S bằng:
A. 8 .
B. 6 2 .
C. 4 2 .
D. 8 2 .
Lời giải:
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
19/69
http://tailieugiaovien.vn Chuyên tài liệu file word, lời
giải chi tiết
2 x 2 0
x 1
.
Điều kiện:
2
3
x
3
0
x
Khi đó PT 2log 2 2 x 2 2log 2 x 3 2
log 2 2 x 2 log 2 x 3 log 2 2 2 x 2 x 3 2
x 3
TH1: Với x 3. PT 2 x 2 x 3 2 2 x 2 8x 4 0
x 2 2.
TH2: Với 1 x 3. PT 2 x 2 3 x 2 2 x 2 8x 8 0 x 2.
Vậy S 2; 2 2 T 4 2 . Chọn C.
Chú ý: log a f x
2n
2n log a f x .
Ví dụ 19: Gọi S là tập nghiệm của phương trình log 4 x 1 2 log
2
4 x log8 4 x . Tổng các
3
2
phần tử của tập S bằng:
A. 4 2 6.
B. 4 2 6.
C. 2.
D. 4 2 6.
Lời giải:
Điều kiện: 4 x 4, x 1
PT log 2 x 1 log 2 4 log 2 4 x log 2 4 x 4 x 1 4 x 4 x
x 2
TH1: Với 4 x 1 ta có 4 x 4 16 x 2 x 2 4 x 12 0
x 2.
x 6
http://tailieugiaovien.vn
- Chuyên tài liệu file
word, lời giải chi tiết
20/69
- Xem thêm -